15. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным дифференциальным уравнением второго

порядка с постоянными коэффициентам называется

уравнение вида , где p, q- некоторые числа; r(x)-функция от х.

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение, в котором правая часть r(х) равна нулю:

. Общее решение уравнения равно сумме какого либо частного решения этого уравнения и общего

решения соответствующего однородного уравнения . Опишем сначала способ нахождения общего решения однородного уравнения . Характеристическим уравнением для однородного

уравнения называется квадратное уравнение

Относительно неизвестной . В соответствии со знаком дискриминанта D=p²-4q возможны три случая:

1. D>0: характеристическое уравнение имеет два

различных корня и ;

2. D=0: характеристическое уравнение имеет один

корень ;

3. D<0: действительных корней характеристическое

Уравнение не имеет. В этом случае находятся числа

.

Найдем решение уравнения для всех этих случает.

1. Если характеристическое уравнение имеет

два различных корня , то общее решение уравнения имеет вид , где С₁, С_2—произвольные постоянные.

2. Если характеристическое уравнение имеет единственный корень , то общее решение уравнения имеет вид

где С₁, С_2—произвольные постоянные.

3. Характеристическое уравнение не имеет корней, то общее решение уравнения имеет вид ,

где С₁, С_2—произвольные постоянные, где . Способы нахождения частных решений неоднородного уравнения зависят от вида правой части и в явном виде находятся только для функций f(x) специального вида.

Пусть f(x) имеет вид ,

где - некоторые числа, причем не равно нулю, Q(x), P(x)-многочлены от х. В этом случае частное решение уравнения ищется в виде _,

где U(x),V(x)-многочлены, степени которых равны наибольшей из степеней многочленов P(x) и Q(x). При этом показатель s выбирается по следующему правилу:

1. z=0, если ;

2. z=1,

Многочлены U(x) и V(x) указанной степени в формуле записываются в общем виде с произвольными коэффициентами. Затем находится производные y’ и y’’ функции . После подстановки y, y’ и y’’ в уравнение получается линейная система уравнений для определения коэффициентов многочленов U(x) и V(x). Пусть теперь правая часть уравнения имеет вид

, где -некоторое число, Р(х)- многочлен от х Частное решение уравнения ищется в виде ,

где U(x)-многочлен с неопределенными коэффициентами,

степень которого равна степени многочлена Р(х). При этом

показатель z выбирается по следующему правилу:

1. Z=0, если

2. Z=1, 3) Z=2,

Линейные дифференциальные уравнения второго

порядка с переменными коэффициентами.

Уравнение

Представляет собой общий вид дифференциального уравнения второго порядка с правой частью f(x). Здесь -некоторые непрерывные функции.

Уравнение называется однородным, если f(x)=0.

Задачей Коши называется задача решения уравнения при заданных начальных условиях . Линейными независимыми решениями однородного уравнения

называется решение , , для которого

определитель Вронского (вронскиан)

,

И линейно зависимыми, если для некоторых х. Известно, что всякое линейное уравнение однородное уравнение , где и - непрерывные функции, имеет два линейно независимых решения. Фундаментальной системой решений называется система двух линейно независимых функций и , являющихся решениями однородного уравнения. Для решений уравнений вида применяется метод вариации произвольных постоянных, который заключатся в том, что общее решения уравнения ищется в виде , где и -функции, которые определяются из системы уравнений

. Из системы находится , . Тогда