10. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке М(точка касания) называется плоскость, содержащая в себе все касательные к различным кривым, проведённым на поверхности через эту точку М. Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания M.

A. Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной форме , где -дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке М имеет вид , где , , , а -текущие координаты касательной плоскости, x₀,y₀,z₀ – координаты точки касания М₀.

Уравнения нормали к поверхности имеют вид

Б. В случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме, т.е. в виде уравнения и , то уравнение касательной плоскости в точке М плоскости имеет вид: ,

Уравнение нормали к поверхности записывается в виде , где , , -значения частных производных функции в точке М , - координаты касательной плоскости.

Пример . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке, для которой х=1,у=1.

Решение. Прежде всего найдём аппликату точки касания .

Итак, точка касания есть М(1,1,4). Находим частные производные данной поверхности, заданной в явной форме: , и вычислим их значения в точке М с координатами , , : . Имеем ,или -уравнение касательной плоскости, -уравнение нормали.

8. Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными всех порядков до (n+1)-го порядка включительно в окрестности точки (a,b). Тогда в рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:

где -остаточный член.

Формулу Тейлора можно представить в других обозначениях, если обозначить приращение функции в виде , где h и k-соответствующие приращения аргументов х и у. Тогда

,

Где , .Частный случай формулы Тейлора при a=b=0 называется формулой Маклорена.

12. Экстремум функции нескольких независимых переменных

Основные теоретические сведения.

Говорят, что функция при некоторой системе значений независимых переменных имеет максимум (минимум), если приращение функции

отрицательно (положительно) при всевозможных, достаточно малых по абсолютной величине .

Максимум или минимум функции называется экстремумом. Экстремум здесь понимается в локальном смысле. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Для функции двух переменных удобно определение локального экстремума следующее:

Определение. Функция имеет максимум (минимум) в точке , если значение функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке в достаточно малой окрестности точки , то есть, (или соответственно ) для всех точек , удовлетворяющих условию , где – достаточно малое положительное число.

Необходимые условия экстремума.

Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то или ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю ; ; ;…;

или частные производные при этих значениях не существуют.

Система равенств эквивалентна одному уравнению:

,

Итак, в точке экстремума первый дифференциал функции равен нулю или не существует. Количество уравнений в системе равно числу независимых переменных.

Точки, в которых вычисляются решение, называются стационарными (или критическими) точками. Эти точки являются только подозрительными на экстремум, так как не всякая стационарная точка является точкой экстремума.

Достаточные условия экстремума.

Для того, чтобы решить вопрос, какие стационарные точки, получаемые из решения системы уравнений:

; ; ;…; , доставляют функции максимум или минимум, или ни то, ни другое, обращаются к исследованию дифференциала второго порядка этой функции.

Пусть - стационарная точка функции , тогда если дифференциал второго порядка сохраняет постоянный знак при всевозможных достаточно малых по модулю приращениях аргументов, то функция в точке имеет экстремум, причем максимум будет в том случае, когда , а минимум – когда .

Если дифференциал второго порядка не сохраняет постоянного знака, то функция в точке не имеет ни максимума, ни минимума. Если же обратится в нуль, то решение вопроса об экстремуме требует исследования дифференциалов порядка выше, чем второй.

Правило определения экстремума функции

двух независимых переменных.

Чтобы исследовать на экстремумы функцию двух независимых переменных x, y, следует:

1) Определить стационарные точки, в которых функцияможет достигать экстремума. Для этого надо решить систему уравнений ; (необх. условия экстремума)

2) Найти частные производные второго порядка

; ; и вычислить значения вторых частных производных в каждой стационарной точке. Достаточные условия экстремума выражаются с помощью определителя второго порядка. Например, пусть - найденная стационарная точка данной функции. Принято обозначать числа следующими буквами

; ; .

3) Составить определитель для каждой стационарной точки. При этом, а) если то экстремум в стационарной точке есть: при A>0 (или C>0) будет минимум, а при A<0 (или С<0) будет максимум; б) если , то экстремума в рассматриваемой стационарной точке нет; в) если , то вопрос о наличии или отсутствии экстремума функции в стационарной точке остается открытым.

Пример . Исследовать на экстремум функцию

Решение: 1) Найдем частные производные первого порядка ;

Воспользуемся необходимым условием экстремума:

; составляем систему уравнений .

После сокращения на 6 имеем . Решаем систему. Из первого уравнения находим , подставляя его во второе уравнение, получим , или , или .Откуда имеем ; (остальные два корня уравнения будут комплексными, нас они не интересуют); далее из уравнения находим при и при . Итак, получим две стационарные точки ,

2) Для исследования достаточных условий экстремума нашли частные производные второго порядка ; ; и составляем определитель для каждой стационарной точки а) : ; ;

Получим число . Следовательно, в точке нет экстремума (ни максимума, ни минимума);

б) : ; ; . Получим число .

Следовательно, экстремум есть в точке , причем минимум, так как A>0. Минимум этот равен значению функции при x=6, y=6: .