- •Часть 2
- •( Кафедра «высшей математики и физико-математического моделирования») методические указания
- •Часть 2
- •Введение
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Определенный интеграл и его приложения
- •3. Несобственные интегралы
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •1. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •6. Дифференцирование сложной функции
- •7. Производная по направлению. Градиент функции и его свойство
- •8. Производные и дифференциалы высших порядков
- •9. Дифференцирование неявных функций.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •12. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •13. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •14. Дифференциальные уравнения
- •15. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •16. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Часть 2
- •Федотенко Галина Федоровна в авторской редакции
16. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
где f1(x)и f2(x)-непрерывные функции. Система называется однородной, если f1(x)=0, f2(x)=0, . Решением системы называется вектор-функция , координатные функции которой для всех х удовлетворяют каждому из равенств. Задача Коши для системы формируется следующим образом: найти решение y=y(x) системы, которые при х=х0 удовлетворяют условиям y1(x0)=y10, y2(x0)=y20, где y10 и y20-заданные числа. Если ввести векторы у, f(x)= и матрицу , то систему можно записать в матричном виде =Ay+f(x). Вектор-функция и называются линейно независимыми, если существуют числа и , такие что
и линейно независимыми, если основное тождество выполняется в единственном случае, когда и . Фундаментальной системой решений однородной системы называется два ее линейно независимых решения , . Общим решением системы называется решение , где С1 и С2 – произвольные постоянные, у1, у 2 –фундаментальная система решений. Частным решением у0 системы (40) называется любое решение, удовлетворяющее ей. Общим решением неоднородной системы является вектор-функция , где , - фундаментальная система, - частное решение.
Решение задач
Задача 1.
Задача 2.
,
, , , ,
-общее решение, , , , ,
.
Задача 3.
, - характеристическое ур-е
, , - общее решение однородного уравнения
, , ,
,
,
,
, ,
Ответ:
Задача 4
Решим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:
, ,
,
Используя метод вариации произвольных постоянных, найдём частное решение искомого уравнения ,а затем общее:
, ,
,
,
, - общее решение.
Найдём частное решение .
- частное решение. Ответ:
Задача 5.
Найти решение задачи Коши.
, , ,
,
, , ,
, , , , ,
, ,
, , , .
, ,
, ,
Ответ:
Задача 6.
Найти общий интеграл
, ,
, , .
, , , , . .
, , , .
Делаем замену , , , ,
и , ,
, и т.е.
, ,
.
Ответ:
Задача 7.
Найти решение задачи Коши.
, , .
, , . , . , .
Пусть .
,
, , .
,
,
.
, , .
Ответ:
Задача 8.
,
данное уравнение в полных дифференциалах
.
,
, ,
Ответ:
Задача 9.
Задача 10.
Решить дифференциальное уравнение
.
Это уравнение Бернулли с . Полагаем . Получаем уравнение или . Подберем такую функцию , чтобы выражение в скобках было равно нулю, т.е. решим дифференциальное уравнение . Находим . Решаем затем уравнение и получаем его общее решение . Следовательно, общее решение исходного уравнения . Нетрудно заметить, что является особым решение исходного уравнения.
Ответ: y= .
Задача 11.
Решить систему при данных начальных условиях: , , .
Сначала приводим систему к нормальному виду
.
Первое уравнение дифференцируем по , после чего вместо подставим выражение из второго уравнения системы: . Из этого уравнения и первого уравнения исходной системы составим новую систему , из первого уравнения которой выражаем и, подставляя во второе, получаем . Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни , . Частное решение ищем в виде . После определения коэффициентов получаем . Следовательно . Найдя производную , получаем . Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид
.
Подставляя начальные условия, определяем значения постоянных и : .
Итак, мы имеем ответ.
Ответ: .