7.1 Некоторые замечания по использованию метода Ритца

1) Могут возникнуть трудности при вычислении интеграла, обозначающего функционал, системой Maple. Пусть, например, функционал имеет вид

Взяв аппроксимацию в виде y(x)=₁+₂x и подставив ее в этот интеграл, обнаружим, что функция int отказывается его вычислять. Все дело в том, что эта функция пытается интегрировать аналитически, в том числе с использованием специальных функций. И хотя часто такое интегрирование приводит к успеху, ряд интегралов не выражаются ни через элементарные, ни через специальные функции. В этой ситуации могло бы прийти на помощь численное интегрирование, но Maple не допускает выполнения такой операции, если параметры {_i}, стоящие под знаком интеграла, не определены. Это типичный пример неудачного соседства числовых и символьных вычислений: дифференцирование по x, вынесение параметров {_i} за знак интеграла – это символьные преобразования, интегрирование полученных сомножителей-интегралов численно – это численные методы.

Однако эту проблему применительно к рассматриваемой задаче решения краевой задачи методом Ритца можно легко обойти. Для этого нужно формализовать задачу до более высокого уровня, в частности до этапа составления системы алгебраических уравнений. Действительно, применяя процедуру Ритца для аппроксимации

(7.3)

к функционалу задачи 3-го рода

, (7.4)

получим систему

коэффициенты которой вычисляются по формулам

,

.

Таким образом, составив систему уравнений по этим формулам, мы избегаем непростого этапа составления и дифференцирования функционала. Заметим, приведенные формулы допускают как аналитическое, так и численное интегрирование, а, значит, гарантируют успешное вычисление. Кроме того, такой подход прямого вычисления коэффициентов позволяет задействовать функцию linsolve, предназначенную для линейных систем. При больших порядках систем эта функция предпочтительнее функции solve.

2) Вместо аппроксимации (7.3) часто используется приближение вида

, (7.5)

где (x) – любая непрерывная функция, удовлетворяющая граничным условиям задачи при x=a и/или x=b; при этом в тех же граничных точках базисные функции {N_i} должны удовлетворять соответствующим однородным условиям. Наиболее естественно выглядит представление (7.5) для учета граничных условий 1-го рода. Если таковыми являются условия в обеих граничных точках: y(a)=y₀, y(b)=y₁, то функции (x), {N_i} могут быть выбраны так

,

.

Граничные условия 2-го/3-го рода являются естественными для функционала (7.4) и, вообще говоря, не обязательно должны выполняться при подстановке аппроксимации (7.3) или (7.5). Их учет осуществляется приближенно с помощью граничных добавок в (7.4). Однако, если эти условия включить в (7.5) путем надлежащего выбора (x) и {N_i}, то можно добиться их точного выполнения. Обратите внимание, что тем не менее граничные слагаемые при этом в функционале (7.5) должны оставаться!

Рассмотрим пример. Пусть в рассмотренной задаче граничные условия имеют вид . Сначала найдем соответствующий функционал:

.

Потребуем, чтобы аппроксимация (7.6) точно удовлетворяла заданным граничным условиям. Функцию будем искать в виде . Так как , то . Базисные функции {N_i} должны удовлетворять тем же однородным условиям, т.е. , . Выбирая такие функции в виде , найдем, что

,

и тем самым , и т.д.

Альтернативой рассмотренному способу учета граничных условий является включение в аппроксимацию (7.3) только одного из условий, к примеру . В этом случае можно взять

,

и решение, полученное по методу Ритца, будет удовлетворять данному условию точно, а второму условию приближенно.

С другой стороны, оба краевых условия будут выполняться приближенно, если аппроксимацию выбрать так, чтобы она заранее не удовлетворяла ни одному из них, например в виде

Следует помнить, что всегда можно повысить как точность решения уравнения, так и выполнения граничных условий путем увеличения числа параметров {_i}. Так что рассмотренный подход, связанный с точным учетом граничных условий 2-3-го рода непосредственно через аппроксимацию, никаких особых преимуществ не несет. Тем более что функционал во всех случаях используется один и тот же.

3) Если требуется решить более общее уравнение 2-го порядка

,

то привести его к виду (7.2), для которого известен функционал, можно умножением обеих частей этого уравнения на функцию

.

Нетрудно проверить, что в этом случае исходное дифференциальное уравнение приводится к виду с симметричным дифференциальным оператором

,

Например, уравнение

умножением на приводится к виду

.

4) Метод Ритца вполне пригоден для решения нелинейных краевых задач, если только удается подобрать соответствующий функционал. Для ряда задач такой функционал достаточно очевиден. Например, для уравнения

имеем функционал

.

При решении нелинейных задач метод Ритца приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений. Решение такой системы обычно связано с итерационным процессом (последовательным улучшением некоторого начального приближения), который может не сходиться. Наиболее часто для решения нелинейных систем используется метод Ньютона. В компьютерной системе Maple на основе этого метода реализована функция fsolve.

5) Также метод Ритца может с успехом применяться к задачам на нахождение собственных функций и собственных значений. Рассмотрим дифференциальное уравнение

, (7.6)

где p(x)0 имеет непрерывную производную, q(x) – непрерывна, при условиях

y(a)=0, y(b)=0. (7.7)

Совокупность уравнения (7.6) и граничных условий (7.7) называют краевой задачей Штурма–Лиувилля. Легко убедиться, что для любого  она всегда имеет нулевое (тривиальное) решение y0. Те значения параметра , при которых краевая задача (7.6)–(7.7) имеет нетривиальные решения y(x)0, называются собственными значениями (числами), а сами эти решения – собственными функциями данной задачи Штурма–Лиувилля. Собственные функции и собственные значения обладают рядом важных свойств, среди которых отметим ортогональность любых двух собственных функций y_m(x) и y_n(x), отвечающих двум различным собственным числам _m и _n:

.

Можно показать, что краевая задача Штурма–Лиувилля (7.6)–(7.7) эквивалентна следующей вариационной задаче на условный экстремум: найти минимум функционала

(7.8)

при граничных условиях (7.7) и изопериметрическом условии

. (7.9)

Последнее условие обеспечивает отличие от тождественного нуля решения y(x), а также его нормировку.

Поскольку решение изопериметрической задачи сводится к безусловной минимизации функционала , где (функция Лагранжа), то процедура метода Ритца переносится сюда почти естественным образом. Следует, однако, учесть, что минимизируя функционал по параметрам аппроксимации {_i}, т.е. записывая с учетом условия (7.9), мы тем самым получим нелинейную систему алгебраических уравнений относительно {₁,…, _n, }, точное решение которой при большом числе неизвестных может быть затруднительным. Но если отказаться от включения в систему соотношения (7.9), придем к обычной матричной задаче на собственные числа из линейной алгебры, методы решения которой хорошо разработаны. Вычислив собственные числа {_m} и соответствующие им собственные векторы , найдем собственные функции по формуле , а затем последние нормируем с помощью (7.9).

Метод Ритца дает приближение для собственного значения с избытком.

Отметим, что задача Штурма–Лиувилля в более общей формулировке, равно как подобные задачи на собственные значения и собственные функции в двумерном или трехмерном пространстве, также без особых усилий могут быть приближенно решены методом Ритца.

6) Возникает вопрос: как проверить сходимость аппроксимаций в случае, если нет точного решения задачи? С практической точки зрения это важный момент, поскольку прямые методы находят применение, прежде всего, для задач, не имеющих аналитического решения, а таких задач большинство.

Для оценки точности результатов, полученных методом Ритца или другими прямыми методами, обычно пользуются следующим теоретически, конечно, несовершенным, но практически достаточно надежным приемом: вычислив y_m(x) и y_m+1(x) сравнивают их между собой в нескольких точках отрезка [a,b], либо по норме . Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решение рассматриваемой вариационной задачи равно y_m(x). Если же значения y_m(x) и y_m+1(x) в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют y_m+2(x) и сравнивают между собой y_m+1(x) и y_m+2(x). Этот процесс продолжается до тех пор, пока значения y_m+k(x) и y_m+k+1(x) двух соседних приближений не совпадут в пределах заданной точности.