- •Нелинейная механика грунтов
- •Дисперсные грунты крупнообломочные грунты
- •Физические характеристики грунтов
- •1.2. Формы расчётных областей, системы координат, правила знаков
- •1.3. Условия предельного напряженного состояния грунтов
- •Матрицы (1.10), (1.12), (1.13) связаны равенством
- •1.4. Зависимость между перемещениями, напряжениями и деформациями
- •1.5. Расчётные модели геотехнических систем
- •1.5.1. Упрощённые модели
- •Дифференциальные уравнения равновесия. Принцип Лагранжа, равновесие узлов системы мкэ Равновесие тела обрушения и его частей (отсеков). Предельное напряженное состояние в точке
- •Жёстко-пластическая среда
- •Задача Фламана Задача Буссинеска
- •Начальная критическая нагрузка на основание Метод горизонтальных сил г.М. Шахунянца
- •Метод угловых точек
- •1.5.2. Нелинейные модели грунта
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •2. Метод конечных элементов в механике грунтов
- •2.1. Теоретические основы мкэ. Идеи, постулаты
- •2.2. Матрицы жёсткости конечных элементов
- •2.2.1. Общие положения
- •2.2.2. Матрица жёсткости стержневого кэ
- •2.2.3. Функции перемещений континуальных конечных элементов
- •2.2.4. Построение матриц жёсткости континуальных кэ
- •1…16 – Номера степеней свободы
- •2.3. Глобальная матрица жёсткости системы
- •2.3.1. Общая и местная системы координат
- •2.3.2. Формирование систем уравнений
- •2.3.3. О решении системы уравнений
- •2.3.4. Завершающие процедуры статического расчёта
- •2.4. Специальные конечные элементы
- •2.5. Решения физически нелинейных задач средствами мкэ
- •2.6. Заключительные замечания. Ключевые положения мкэ
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •Равновесие узлов системы мкэ. Принцип Лагранжа
- •Уравнение
- •Мора - Кулона
- •Закон Кулона (для заданных поверхностей сдвига)
- •Уравнение Мизеса -
- •Шлейхера - Боткина
- •Закон Гука
- •Смешанная (упругопластическая) задача теорий упругости и пластичности
- •Плоская деформация Пространственная и осесимметричная задача
- •3.2. Программное обеспечение. Критерии предельных состояний
- •3.3. Примеры решения научно-технических задач1
- •Контрольные вопросы для самопроверки
- •Заключительные замечания
- •Библиографический список
- •Сведения из алгебры матриц
- •Понятия, определения
- •Действия с матрицами
- •Давид Моисеевич Шапиро нелинейная механика грунтов
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
2.3.2. Формирование систем уравнений
Стержневая система. Равновесие k-го узла. Каждое уравнение глобальной системы выражает равновесие узловых сил по направлению одного из перемещений. Каждое неизвестное представляет собой одно из возможных (определяемых в расчёте) перемещений каждого узла, объединяющего концы контактирующих элементов.
На рис. 31, а показан фрагмент плоской стержневой системы с тремя степенями свободы в узлах. В k-м узле соединяются два конечных элемента M и N с номерами узлов i−k и k−l в общей системе и 1−2 в местных системах. К k-му узлу приложены силы P1k, P2k, Р3k , приведенные к общей системе координат.
Равновесие k-го узла может быть выражено при помощи уравнений
P1k= FM4cosαM − FM5sinαM+FN1cosαN −FN2sinαN,
P2k= FM4 sinαM +FM5cosαM+FN1sinαN +FN2cosαN,
P3k= FM6+FN3,
где индексы M и N соответствуют номерам КЭ в общей системе, углы αM и αN показаны на рис. 31, а; FM4,5,6, FN1,2,3 – узловые силы в стержнях в местных системах.
а) б)
Рис. 31. Схемы к уравнениям равновесия k-го узла:
а – стержни M и N в общей системе, узловые силы P1k, P2k, Р3k;
б – те же стержни в местных системах, векторы FM4,5,6, FN1,2,3
Те же уравнения в матричной форме
. (2.43)
Уравнения (2.43) могут быть преобразованы следующим образом. Сначала при помощи соотношений (2.4) силы FM4,5,6, FN1,2,3 выражаются через перемещения U1, U2…U6. Затем вместо U1, U2…U6 с помощью геометрических равенств (2.41) вводятся перемещения узлов i, k, l с обозначениями xqs (где q=1, 2, 3 – индексы направлений; s= i, k, l – номера узлов). Покажем это на примере первого слагаемого матричного уравнения (2.43):
. (2.44)
В уравнениях (2.44) индексы М по-прежнему используются для обозначения параметров, относящихся к стержню i−k. Запись второго слагаемого в уравнении (2.43) аналогична (2.44), но индексы М заменяются на N, а из матрицы жёсткости (2.4) используются первые три строки.
В развёрнутой записи уравнения (2.43)–(2.44) содержат по девять членов: по числу перемещений xqs (q=1, 2, 3; s=i, k, l), вызывающих реакции в узле. Уравнения (2.43)–(2.44) являются фрагментом общего матричного соотношения, в котором представлены узловые силы и перемещения по направлениям степеней свободы в каждом узле. Это и есть глобальная система уравнений, неизвестными в которой являются перемещения xqs.
Равновесие k-го узла континуальной и комбинированной систем. Порядок составления систем уравнений для расчётных областей, состоящих из плоских (двухмерных) и пространственных КЭ, а также их сочетаний со стержневыми КЭ, аналогичен изложенному выше. Геометрические преобразования, подобные (2.41) и (2.42), как правило, не производятся, так как векторы степеней свободы в местной и общей системах совпадают.
Покажем построение уравнений равновесия на примере k-го узла комбинированной системы на рис. 32,а. В этом узле объединены вершины четырёх прямоугольных КЭ: А, B, C, D и концы двух стержневых КЭ: М и N.
Уравнения равновесия сил, сходящихся в k-м узле:
,
, (2.45)
.
а) |
б) |
|
|
Рис. 32. Схемы к уравнениям равновесия k-го узла комбинированной системы: а – стержни М, N, прямоугольные КЭ А, B, C, D в общей системе, узловые силы Pk; б – те же КЭ (условно раздвинуты) в местных системах (номера узлов 1, 2, 3, 4 те же, что а, b, с, d на рис. 27,в)
Последующие выкладки, выполняемые программой, заключаются в замене сил F произведениями перемещений узлов, присутствующих на схемах (на рис. 32 всего 9 узлов и 21 перемещение: по три степени свободы в узлах i, k, l и по две – в остальных шести узлах), на соответствующие коэффициенты матриц жёсткости конечных элементов. Всего в первое уравнение системы (2.45) войдут 18 неизвестных перемещений, во второе уравнение 21, в третье уравнение 6.
Уравнения (2.45) в развёрнутой записи являются частью общей (глобальной) системы, в которой участвуют все действующие (известные) узловые силы Р1,2,3k и перемещения по направлениям степеней свободы в каждом узле.