2.5. Методы анализа устойчивости и качества

При проектировании системы управления с обратной связью ключевой проблемой являет­ся обеспечение ее устойчивости. С полным пониманием того, что неустойчивая система не имеет практического смысла, мы прежде всего должны разработать методы анализа и син­теза устойчивых систем. Система считается устойчивой, если при ограниченном входном сигнале ее выходной сигнал также является ограниченным. Подобное представление об устойчивости красной нитью проходит через всю данную главу.

Устойчивость системы с обратной связью непосредственно связана с расположением корней ее характеристического уравнения. В этой главе мы рассмотрим весьма полезный метод анализа устойчивости, известный как критерий Рауса-Гурвица. Этот метод позво­ляет определить число корней характеристического уравнения, расположенных в правой полуплоскости, не прибегая к вычислению значений корней, т. е. не обременяя себя ру­тинными и трудоемкими операциями. Ценность этого метода также в том, что с его помо­щью становится возможным выбор некоторых параметров системы, гарантирующих ее устойчивость в замкнутом состоянии.

При анализе и синтезе систем управления с обратной связью первостепенное значение имеет их устойчивость. С практической точки зрения неустойчивая система не имеет ни­какого смысла. Декларируя это, мы должны признать, что, конечно, могут быть и исключе­ния, но в дальнейшем мы будем считать, что все синтезируемые системы управления дол­жны быть устойчивыми. Многие реальные системы объективно неустойчивы в разомкну­том состоянии, а некоторые даже и проектируются, будучи таковыми. Большинство современных истребителей, если не использовать активную обратную связь, помогающую пилоту управлять машиной, являются неустойчивыми и просто не могут летать. Инже­нер-проектировщик в первую очередь должен обеспечить устойчивость системы управле­ния неустойчивым объектом (например, самолетом), после чего позаботиться об удовлет­ворении других требований к динамике системы.

Однако, устойчивость является необходимым, но недостаточным условием ее работоспособности. При синтезе систем управления появляется благоприятная возможность влиять на вид пе­реходной характеристики и поведение системы в установившемся режиме. Одним из пер­вых этапов процедуры синтеза является задание показателей качества. Важным преимуществом систем управления с обратной связью является возможность вли­ять на качество системы в переходном и установившемся режимах. Прежде чем присту­пать к анализу или синтезу системы, необходимо договориться о том, как определять и из­мерять ее качество. И только определив желаемое качество системы, можно заняться на­стройкой ее параметров. Поскольку системы управления объективно являются динамическими, их качество обычно оценивается по поведению, как в переходном, так и в установившемся режимах. Переходная характеристика — это реакция системы, затуха­ющая с течением времени. Установившийся режим — это реакция системы, которая остается спустя большой промежуток времени с момента приложения входного сигнала. Исходные данные для синтеза систем управления обычно включают в себя некото­рые показатели реакции системы на входной сигнал определенного вида, а также желае­мую точность в установившемся режиме. Часто в процессе синтеза эти данные пере­сматриваются ради достижения некоторого компромисса. Таким образом, исходные данные редко когда представляют собой жесткий набор требований — скорее всего они являются первой попыткой перечисления желаемых показателей качества.

В практических задачах, сводящихся к интегрированию дифференциальных уравнений, начальные значения обычно являются результатом измерения и, следовательно, содержат некоторую погрешность.

Поэтому естественно возникает вопрос о влиянии малых изменений начальных значений на искомое решение данного дифференциального уравнения.

Если окажется, что сколь угодно малые изменения началь­ных, значений способны сильно изменить решение, то решение, определяемое неточными начальными значениями, обычно не будет иметь прикладного значения, так как оно даже приближенно не будет описывать изучаемое явление.

Следовательно, возникает крайне важный для приложе­ний вопрос о нахождении условий, при которых малое из­менение начальных значений вызывает малое изменение оп­ределяемого этими условиями решения.

Пусть дано, например, дифференциальное уравнение пер- вого порядка

(2.42)

и функция - его решение при начальном условии . Пусть, далее, функция есть решение того же уравнения (2.42) при измененном начальном условии . Предполагается, что и определены для всех .

Решение называется устойчивым в смысле Ляпунова, если такое, что из неравенства

(2.43)

следует неравенство

(2.44)

при ; это означает, что решения близкие по начальным значениям, остаются близкими и при всех .

Если решение устойчиво и существует такое, что из неравенства следует

(2.45)

То решение называется асимптотически устойчивым; ре­шения, близкие по начальным значениям, к асимптотически устойчивому решению, не только остаются близкими к нему при и неограниченно сближаются с ним при воз­растании t.

Решение, не обладающее свойством устойчивости, назы­вается неустойчивым. Аналогично определяется понятие устойчивости и для реше­ния системы дифференциальных уравнений

(2.46)

Пусть система функций является частным решением системы дифференциальных уравнений (2.46), удовлетворяющим начальным условиям

а - частное решение, удовлетворяющее измененным начальным условиям

Тогда решение называют устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого существует такое , что из совокупности неравенств будут следовать неравенства при .

На решения систем дифференциальных уравнений легко переносится и понятие асимптотической устойчивости.

Другая задача, рассматриваемая теорией устойчивости, свя­зана с изучением влияния на решения уравнения (2.42) малого изменения функции f(t, х)—правой части уравнения. Этот вопрос также весьма важен для приложений, так как для описания какого-нибудь явления всегда приходится упрощать, идеализировать это явление, учитывая лишь наиболее сущест­венные из влияющих на него факторов и отбрасывая осталь­ные, менее существенные. При этом всегда возникает вопрос, удачно ли выбраны упрощающие предположения. Возможно, что неучтенные факторы сильно влияют па изучаемое явление, значительно изменяя его количественные и даже качественные характеристики.

В конечном счете, этот вопрос решается практикой — соот­ветствием или несоответствием полученных теоретических вы­водов с опытными данными, по все же во многих случаях можно указать условия, при которых некоторые упрощения заведомо недопустимы.

Например, если при сколь угодно малом изменении пра­вой части уравнения (2.42) решения могут сильно измениться, то упрощающие предположения, сводящиеся к такому измене­нию правой части в (2.42), в большинстве случаев будут недо­пустимы.

Исследование на устойчивость некоторого решения уравнения (2.42) может быть заменой переменных сведено к исследованию на устойчивость нулевого, или, как часто говорят, тривиального решения .

Поэтому в дальнейшем во всех случаях на устойчивость исследуется тривиальное решение уравнений.

Заметим, что уравнение n-го порядка

(2.47)

с помощью введения новых вспомогательных функций может быть преобразовано в систему n уравнений первого порядка:

для которой уже применимо данное выше определение устой­чивости. Поэтому в дальнейшем почти всюду на устойчивость исследуются системы уравнений первого порядка.

При этом для исходного уравнения (2.47) устойчивость не­которого решения будет означать близость при решений и и их производных до порядка п—1 включительно, если начальные значения этих решений и их производных до порядка п—1 достаточно близки в началь­ной точке.

Точно так же можно свести систему дифференциальных уравнений любого порядка к системе дифференциальных урав­нений первого порядка.

С точки зрения системного подхода Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия.

Пример:

Устойчивость является важнейшим качественным свойством систем управления. Любая САУ создается таким образом, чтобы её основной режим работы был устойчивым.

Рассмотрим линейную САУ, которая описывается системой дифференциальных уравнений:

.

(2.48)

Основным режимом её работы является статический режим или состояние равновесия, когда

.

(2.49)

Решая (2.48) с учетом (2.49)

,

(2.50)

получим

.

(2.51)

Р ешение (2.51) существует и является единственным, если матрица A невырождена, т.е. .

Е

Рис. 2.24.

сли , то . Если возмущающее воздействие F вывело систему из состояния равновесия, а по окончании его действия система возвращается в это состояние, то такая система устойчива (рис.2.24). –моменты действия возмущений.

Рассмотрим отклонение системы от состояния равновесия

,

(2.52)

где – текущие координаты вектора состояния, – вектор состояния установившегося режима.

Определение: Линейная система устойчива, если

. (2.53)

Рассмотрим как изменяется во времени.

, но т.к. , то .

(2.54)

Подставим (2.52) и (2.54) в (2.48).

или учтя (2.50), получим

.

(2.55)

Как видно из (2.55) поведение во времени определено матрицей объекта A. Следовательно эту матрицу необходимо изучать для установления факта устойчивости. При этом можно не переходить к отклонениям от равновесного состояния, а рассматривать однородную систему дифференциальных уравнений

(2.56)

Основное условие устойчивости

Итак, уравнения, определяющие устойчивость системы имеют вид

.

(2.57)

Если известно начальное состояние системы при t=0, x(0), то решение (2.57), как мы уже видели, будет

,

(2.58)

– собственные вектора динамической системы, – собственные значения матрицы A или корни характеристического уравнения

.

(2.59)

Если имеем скалярную систему, то характеристическое уравнение имеет вид

,

(2.60)

а решение (1), тогда

,

(2.61)

где – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями.

Встает вопрос: каким требованиям должны удовлетворять корни , для того, чтобы выполнялось условие устойчивости. Из (2.58) и (2.61) видно, что для , при , необходимо, чтобы каждое слагаемое .

Это возможно, как мы уже отмечали, когда .

Теорема об устойчивости. Для устойчивости линейной динамической системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части (были левыми).

Докажем условие необходимости:

Имеем характеристическое уравнение (2.60), тогда, если известны корни характеристического уравнения, полином можно представить в таком виде (теорема Виета):

.

(2.62)

Не лишая общности рассуждения, полагаем , тогда возможно:

1. Если все корни вещественны и отрицательны, т.е.

.

(2.63)

Подставляя (2.62) в (2.63), получим

.

(2.64)

Перемножая скобки в (2.64), получим полином n-й степени, в котором все коэффициенты положительны.

2. Если все корни комплексные, но с отрицательной вещественной частью, т.е.

.

(2.65)

Снова подставим (2.65) в (2.62), допустим для двух комплексно-сопряжённых корней, тогда получим

.

(2.66)

Из (2.66) видно, что также получается многочлен с положительными коэффициентами.

Из рассмотренного вытекает необходимое условие устойчивости:

Для устойчивости линейной динамической системы необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными, т.е. .

Заметим, что в данном определении отсутствует слово ”достаточно”.

Однако, данное условие является намного эффективнее основного условия устойчивости, т.к. не требует вычисления корней.

То есть по виду характеристического уравнения системы можно сделать какое-то заключение об устойчивости. Если хотя бы один из коэффициентов характеристического уравнения отрицателен, то сразу можно сказать, что система неустойчива.

Однако, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то в общем случае нельзя уверенно утверждать, что система устойчива.

Для суждения об устойчивости САУ практически нет необходимости находить корни характеристического уравнения, т.к. хорошо разработаны косвенные методы, по которым можно судить о знаках вещественных частей этих корней и тем самым об устойчивости системы, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные методы называются критериями устойчивости.

Критерии устойчивости линейных САУ

1. Алгебраические.

2. Частотные.

Алгебраический критерий Гурвица (1895 г., Швейцария).

Наиболее распространен в технической практике алгебраический критерий Гурвица в форме определителей.

Пусть имеется характеристическое уравнение системы:

.

(2.67)

Составляется определитель Гурвица по следующему алгоритму:

1. Главная диагональ, начиная с коэффициента и т.д. до .

2. Коэффициенты над главной диагональю – с уменьшающимися индексами.

3. Коэффициенты под главной диагональю – с увеличивающимися индексами.

– определитель Гурвица

Определение критерия: Для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все диагональные миноры определителя Гурвица и сам определитель были положительны

,

,

. . . . . .

.

Для определения критического значения какого-либо параметра САУ достаточно приравнять нулю .

Следствие алгебраических критериев: Для уравнения 2-го порядка, положительность коэффициентов является необходимым и достаточным условием устойчивости.

Область применения алгебраических критериев ограничивается, как правило, системами не выше 5-го порядка, т.к. условия устойчивости усложняются с ростом порядка системы. Кроме того, алгебраические критерии применяются лишь для анализа системы на устойчивость при известных всех её параметрах. Отметим, что алгебраические критерии не применимы для систем с чистым запаздыванием.

Существует три частотных критерия: критерий Михайлова (1938 г.); критерий Найквиста (1932 г.); Д-разбиение Ю.И.Неймарка (1948 г.)

Критерий Михайлова.

Имеется характеристическое уравнение системы n-го порядка

.

(2.68)

Левую часть (2.68) приравниваем

.

(2.69)

Допустим, что корни уравнения (2.68) известны и равны . Тогда по теореме Виета уравнение (2.69) можно представить в виде произведения сомножителей

.

(2.70)

На комплексной плоскости корней каждому корню соответствует вполне определенная точка (рис.2.25).

Геометрически, каждый корень изображается вектором из начала координат, равный модулю комплексного числа, а угол между вектором и положительным направлением действительной оси – фазе комплексного числа.

Величины ( ), входящие множителями в (2.70) геометрически представляют собой векторы проведенные из точки к .

Заменив в (2.70) на , получим концы элементарных векторов

,

(2.71)

будут находиться на мнимой оси в точке (рис.2.26).

представляет собой вектор, равный произведению векторов и действительного числа . Модуль равен:

. (2.72)

Фаза вектора равна сумме фаз элементарных векторов

. (2.73)

Условимся считать вращение векторов против часовой стрелки положительным. Тогда при увеличении частоты от до каждый элементарный вектор повернется на угол равный , если корень левый. Если корень правый, то на угол .

Предположим, что уравнение (2.68) имеет правых корней. Тогда при изменении от до суммарный угол поворота определяется как

.

(2.74)

Как известно из основной теоремы устойчивости, для устойчивой системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения были левыми. Следовательно, при изменении от до , как это следует из (2.74), необходимо и достаточно, чтобы вектор повернулся на угол .

При возрастании от до вектор на комплексной плоскости M описывает кривую, которая называется годографом Михайлова.

Уравнение годографа находится подстановкой в (2.69)

(2.75)

или

–алгебраическая форма комплексного числа,

(2.76)

где – четная функция (действительная часть),

– нечетная функция (мнимая часть).

Если положить в (2.76) вместо , то получим

(2.77)

Из последнего выражения заключаем, что годограф Михайлова симметричен относительно действительной оси при и .

Поэтому при построении годографа достаточно изменять от 0 до . При этом результирующий угол поворота годографа уменьшится вдвое, т.е. .

Для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до годограф Михайлова прошёл столько квадрантов, каков порядок характеристического уравнения, причем начинался бы с положительной действительной оси и не нарушал порядок пересечений вещественной и мнимой осей комплексной плоскости M.

Пример:

1. Для устойчивых систем. 2. Для неустойчивых систем.

Рис. 2.27	Рис. 2.28

Критерий Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Это один из самых рабочих (инженерных) критериев. Когда, однако, рассматривается многоконтурная система, критерий Найквиста преимущества не имеет и лучше пользоваться критерием Михайлова.

Имеем замкнутую САУ (рис.2.29)

Мысленно размыкаем систему в контуре ОС и место разрыва считаем одновременно входом и выходом системы, одновременно переходя в частотную область , т.е. .

(2.78)

где и – полиномы числителя и знаменателя разомкнутой системы .

Докажем этот критерий:

.

(2.79)

Рассмотрим знаменатель выражения (2.79).

.

(2.80)

В уравнении (2.80) знаменатель представляет собой годограф разомкнутой системы, а числитель годограф замкнутой системы, т.к.

.

1. Предположим, что разомкнутая система устойчива. Большинство реальных разомкнутых систем, состоящих из устойчивых звеньев и не имеющих местных ОС – устойчивы. Если разомкнутая система устойчива, то фаза при изменении от 0 до будет равна

, где n – порядок характеристического уравнения .

Порядок характеристического уравнения также n, т.к. степень не больше степени .

Изменение фазы числителя (2.80) при изменении от 0 до , т.е. фазы годографа замкнутой системы, в общем случае, равно:

,

(2.81)

где k – число правых корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Тогда изменение фазы вектора при возрастании от 0 до равно разности изменения фаз и .

.

(2.81^’)

По основной теореме устойчивости система будет устойчива, если , тогда

.

(2.82)

Изобразим на комплексной плоскости годограф .

Рис. 2.30

– тогда и только тогда, когда этот годограф не охватывает начало координат (рис.2.30).

Переходим к амплитудо-фазовой характеристике , которая отличается от переносом начала координат на 1 вправо, а критической точкой комплексной плоскости является (рис.2.31).

1

Рис. 2.31

-е определение критерия Найквиста: Если система в разомкнутом состоянии устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении от 0 до не охватывала точку комплексной плоскости с координатами .

П

ример:

 система находится на границе устойчивости.

– частота незатухающих колебаний.

Физика: если на вход разомкнутой системы подать гармонический сигнал частоты , то амплитуда и частота выходного сигнала будут равны амплитуде и частоте входа, а сдвиг фаз составит 180.

Рис. 2.32

2-е определение критерия Найквиста: Если система в разомкнутом состоянии неустойчива и её характеристическое уравнение имеет правых корней, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы частотная характеристика разомкнутой системы при изменении от 0 до охватывала точку комплексной плоскости с координатами -1,j0 1/2 раз.мер:

Угол поворота вектора должен быть равен (доказательство самостоятельно).

Понятие запаса устойчивости по фазе и по модулю

Т.к. параметры системы определяются приближенно и в процессе работы не остаются постоянными, то весьма важное значение имеет оценка удаления частотной характеристики от точки -1,j0 . Это удаление характеризует запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по модулю (усилению).

За критическую фазу принимается и м

Рис. 2.33

одуль .

Для определения этих запасов на частотной характеристике разомкнутой системы проводится окружность радиусом 1 с центром в начале координат (рис.2.33). Тогда:

1 . Запас по фазе для частоты , при которой .

2. Запас по модулю определяется величиной модуля a для частоты , при которой , это отрезок от до точки с.

Рис. 2.33а

Практически, обычно, считают для качественных систем .

Запасы устойчивости системы достигаются включением дополнительных звеньев или изменением параметров старых звеньев. Дополнительные звенья (корректирующие) выполняют роль фильтров определенного диапазона частот, что соответствующим образом деформирует частотную характеристику, обеспечивая требуемые запасы по фазе и модулю.

Физический смысл запаса устойчивости по фазе и по модулю

Подавая на вход системы гармонический сигнал и увеличивая частоту, на выходе получим сигнал с изменяющейся амплитудой и возрастающей фазой.

Т.к. рассматривается ГОС, то фаза ОС равна , т.е. если бы (безынерционны) то на суммирующем устройстве фаза входного и выходного сигналов отличается на угол -180.

Допустим при (инерционной) получили отставание по фазе выходного сигнала на определенной частоте -200, тогда обратная связь из отрицательной превратилась в положительную.

При положительной ГОС и в системе происходит генерирование колебаний и она становится неустойчивой.

и т.д.

Если при ПОС , то всякие возмущения будут затухать в самом контуре регулирования системы, и она будет устойчива.

Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе

Чаще всего в практических расчетах используется критерий Найквиста в логарифмических масштабах из-за значительной простоты и удобства расчетов. Рассмотрим его применение на примере (рис. 2.34).

Разрываем контур обратной связи и определим ПФ разомкнутой системы

,

(2.83)

где – коэффициент усиления (всегда величина безразмерная) разомкнутой системы.

Как видно из (2.83) структура состоит из 4-х типовых звеньев: усилительного , интегрирующего и двух апериодических и .

ЛАХ:

(2.84)

ЛФХ: (2.85)

Рис. 2.35. Амплитудная и фазовая частотная характеристика

– частота сопряжения для звена ;

– частота сопряжения для звена ,

; ; .

Пересечение результирующей ЛАХ разомкнутой системы с осью частот называется частотой среза : при ; при .

В критерии Найквиста критическими величинами являются и или в логарифмическом масштабе .

Смотрим, чему равна фаза при : и амплитуда (модуль) при : или .

Следовательно, рассматриваемая в примере система в замкнутом состоянии неустойчива.

Критерий Найквиста в логарифмическом масштабе: Для устойчивой системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы логарифмические характеристики разомкнутой системы имели:

1. при , ;

2. при , .

Рис. 2.36. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе

Запасы устойчивости по фазе и амплитуде определяются для устойчивой системы как показано на рис.2.36.

Примеры:

Дать заключение об устойчивости и нарисовать графики частотных и переходных характеристик.

Рис.2.37

Д - разбиение

Это частотный метод, который позволяет для исследуемой системы определить значения параметров, соответствующих устойчивой работе системы.

Если изменяемый параметр один, то используется Д-разбиение в плоскости одного параметра.

Д-разбиение в плоскости одного параметра

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

,

(2.86)

где – варьируемый параметр, который характеризует устойчивость системы.

Рассмотрим комплексную плоскость корней уравнения (2.86).

При изменении параметра корни начинают перемещаться в комплексной плоскости (рис.2.38) мнимая ось, являющаяся границей устойчивости, при каком-то определенном оказывается пройденной.

В методе Д-разбиения мнимая ось отображается в комплексной плоскости параметра .

Для этого решаем (2.86) относительно :

,

(2.87)

Подставляя в (2) , получим

,

(2.88)

где – вещественная часть комплексного числа ; – мнимая часть комплексного числа .

Задаваясь частотой от до , строим кривую , которая есть отображение мнимой оси на комплексной плоскости параметра – кривая Д-разбиения (рис. 2.39).

Т .к. частотные характеристики симметричны относительно вещественной оси, кривую Д-разбиения можно строить в пределах , а затем дополнить её зеркальным отображением относительно вещественной оси. После этого надо наметить предполагаемую область устойчивости. Для этого применяется правило штриховки, основанное на том, что границей в плоскости корней является мнимая ось комплексной плоскости корней характеристического уравнения, и при движении по ней от до , область корней устойчивой системы располагается слева. Аналогично на Д-кривой заштриховывается левая часть кривой по направлению от до (рис.2.39).

Выделим область, претендующую на устойчивость, т.е. ту, которой соответствует наименьшее число правых корней. Если в последующем установим, что их число равно 0, то тем самым выделим область устойчивости.

Допустим, изменяя параметр мы двигаемся вдоль вещественной оси в положительном направлении из области 1  2  1  3. Тогда:

• полагаем, что в области 1 из n-корней имеется k-правых;

• переходя из области 1 в область 2 хотя бы один корень стал отрицательным и тогда имеем (k-1) - правых корней;

• из 2  1 снова k-правых корней;

• из 1  3 k+1 -правых корней.

Итак, наименьшее число правых корней имеет область 2, но будут ли все корни левыми? Для этого задаются простейшим (в смысле вычисления) параметром из области 2 и по любому другому критерию определяют устойчивость. В результате чего можем получить два ответа:

1. Система неустойчива, тогда изменением параметра нельзя добиться устойчивости системы и необходимо добиваться устойчивости изменением (если это возможно) другого параметра.

2. Система устойчива, тогда при любом из области 2 система будет устойчива. Это положение широко используется при наладке САУ.

Как уже говорилось, устойчивость САУ является необходимым, но далеко не достаточным условием технической пригодности систем. Помимо устойчивости к САУ предъявляются и качественные показатели переходных процессов. Все современные методы анализа качества переходного процесса регулирования можно разделить на две группы:

1. Прямые методы анализа – непосредственное решение дифференциальных уравнений системы и построение по нему графиков переходных процессов.

2. Косвенные методы: нахождение корней характеристического уравнения системы; интегральный метод; частотный метод ­(наиболее распространён).

Задача анализа качества систем в переходных режимах тесно связана с задачами анализа переходных процессов, хотя и не совпадает с ними. Задача анализа качества регулирования в динамике заключается в том, чтобы оценить характеристики переходных процессов (ПП) или так называемые показатели качества, и предельные значения этих показателей.

В отличие от анализа переходных процессов, при анализе качества системы изучается не каждый ПП в отдельности, а только выясняется входят ли характеристики ПП или показатели качества в заданные пределы или нет. Показатели качества регулирования зависят от типа входного воздействия.

Показатели качества регулирования при единичном

ступенчатом сигнале

Все переходные процессы можно разбить на два класса:

1. Установившиеся значения выходной величины не совпадают с первоначальными.

2. Установившиеся значения выходной величины и начальные совпадают.

В первом случае получаем характеристики ПП выходной величины при изменении управляющего воздействия (рис.2.40).

Во втором случае получаем характеристики переходных процессов выходной величины при изменении возмущения (рис.2.41).

Рис. 2.40

Рис. 2.41

1 – апериодические,

1,2 – монотонные процессы,

3 – колебательные переходные процессы.

Колебательные процессы соответствуют комплексным корням характеристического уравнения, апериодические – вещественным корням.

При нулевых начальных условиях в САУ 2-го порядка апериодические процессы будут монотонными 1 и 2, а колебательные – не монотонными 3.

В более сложных системах выше 2-го порядка понятия монотонности и апериодичности не совпадают. В системах n-го порядка апериодические процессы могут быть немонотонными.

Н а рис. 2.42 приведен график переходного процесса выходной координаты системы 3-го порядка. На экспоненциальную характеристику (пунктир) накладывается колебательный процесс.

Колебательность и монотонность являются качественными оценками переходных процессов. Для качественных САУ (приборные системы и т.п.) стремятся получить процессы монотонные, слабоколебательные.

Количественные характеристики переходных процессов

Качество регулирования складывается из следующих количественных показателей переходного процесса:

1. Время регулирования – ;

2. Величина максимального перерегулирования – ;

3. Число колебаний переходного процесса – .

Остановимся на них более подробно:

Время регулирования характеризует быстродействие САУ и определяется интервалом времени от начала ПП до момента, когда отклонение выходной величины от установившегося значения становится меньше определенной величины. Обычно это 5% от установившегося состояния (рис. 2.43).

Рис. 2.43

Быстродействие системы можно оценить по корням характеристического уравнения. Еcли известны корни, то время регулирования можно примерно оценить по величине вещественной части ближайшего к мнимой оси корня (рис. 2.44).

Мерой быстродействия является величина .

Величина перерегулирования– %:

- при управляющем воздействии

(рис.2.43),

- при возмущающем воздействии.

В случае ПП вызванных возмущением (рис.2.45), максимальное отклонение определяется величиной по отношению к установившемуся состоянию

САУ считается хорошей, если . В некоторых САУ перерегулирование недопустимо.

3. Обычно, приемлемым числом колебания в САУ считается n = 1–3. Число колебаний равно числу минимумов в кривой переходного процесса в интервале времени . Колебательность связана с размещением корней характеристического уравнения системы и определяется как максимальное отношение мнимой и вещественной частей комплексных корней, т.е.

.

Для того, чтобы ограничить колебательность, на плоскости корней задают сектор, определяемый максимальным значением (рис.94).

В общем случае задача анализа состоит из определения допустимых пределов ПП (рис. 2.46).

При выборе структурной схемы и значений параметров САУ, выполнить все перечисленные требования можно только принятием компромиссных решений из-за противоречивости этих требований.

Метод корневого годографа

В предыдущих главах мы выяснили, что качество системы с обратной связью тесно связано с положением на s-плоскости корней характеристического уравнения. Мы также узнали, что желаемые показатели качества замкнутой системы управления можно обеспечить путём разумного выбора одного или нескольких параметров системы. Поэтому интересно выяснить, как будут перемещаться по s-плоскости корни характеристического уравнения при изменении какого-либо параметра системы.

Положение корней на s -плоскости можно определить графическим методом. Траек­тории корней при изменении одного параметра системы и образуют так называемый кор­невой годограф, являющийся эффективным средством анализа и синтеза систем управ­ления.

Относительная устойчивость и качество переходного режима замкнутой системы управле­ния непосредственно связаны с положением корней ее характеристического уравнения на s -плоскости. Чтобы обеспечить надлежащее расположение этих корней, часто необходима настройка одного или нескольких параметров системы. Поэтому имеет смысл исследовать, как перемещаются на 5-плоскости корни характеристического уравнения при изменении параметров системы; иначе говоря, представляют интерес траектории корней на s -плоскости. Метод корневого годографа был предложен Эвансом в 1948 г. и впоследствии по­лучил широкое распространение в инженерной практике. Он позволяет инженеру оценить чувствительность полюсов системы к изменению какого-либо параметра. Наибольшую пользу метод корневого годографа приносит в сочетании с критерием Рауса-Гурвица.

Понятие корневого годографа

Динамические свойства замкнутой системы управления определяются её передаточной функцией.

, (2.89)

где и - полиномы относительно переменной s. Корни полинома q(s) определяют составляющие реакции системы. Для простой одноконтурной системы, изображённой на рис. 2.47, характеристическое уравнение имеет вид:

(2.90)

K – варьируемый параметр. Корни характеристического уравнения системы в общем случае являются комплексными, поэтому (2.90) можно записать в ином виде:

(2.91)

Следовательно, необходимо выполнение условий:

и (2.92)

где

Корневой годограф — это траектории корней характеристического уравнения системы на s-плоскости при изменении какого-либо параметра системы.

На рис. 2.48 изображена простая система второго порядка, которая рассматривалась нами в предыдущих главах. Характеристическое уравнение имеет вид:

,

или

(2.93)

Рис. 2.47. Замкнутая система управления с варьируемым параметром K

Рис.2.48. Система с единичной обратной связью и варьируемым параметром K

Траектории корней при изменении К находятся из условии:

(2.94)

и

(2.95)

Коэффициент К может изменяться от 0 до со. Для системы второго порядка корни её харак­теристического уравнения

.

причём известно, что при . Как изображено графически на рис. 2.49, при траектории корней должны иметь вид вертикальной линии, чтобы выполнялся угло­вой критерий (2.95). Например, как показано на рис. 2.50, для корня ,

Угловой критерий выполняется в любой точке вертикальной линии, перпендикулярной от­резку действительной оси от 0 до -2 и проходящей через его середину. Значение К, соот­ветствующее точке , можно найти с помощью выражения (2.94):

-2

-1

Рис. 2.49. Корневой годограф системы

второго порядка для

Рис. 2.50. Вычисление модуля и аргумента для точки при

откуда

(2.96)

где - модуль вектора, проведенного из начала координат в точку , а — модуль вектора, начало которого находится в точке —2, а конец — в точке .

Для многоконтурной системы применение формулы Мейсона к сигна­льному графу дало результат:

(2.97)

где есть коэффициент передачи q- го контура. Следовательно, мы можем записать харак­теристический полином в виде:

. (2.98)

Чтобы найти корни характеристического уравнения, приравняем (2.98) нулю:

. (2.99)

Последнее уравнение можно переписать в виде:

(2.100)

и корни характеристического уравнения должны удовлетворять этому соотношению.

В общем случае функцию можно представить в виде:

,

Тогда амплитудный и угловой критерий корневого годографа принимают вид:

(2.101)

и

(2.102)

где - целое число. Амплитудный критерий (2.101) позволяет определить значение К, со­ответствующее определённому положению корня . Принадлежность точки , корневому годографу подтверждается, если выполняется условие (2.102). Все углы отсчитываются от горизонтальной линии против часовой стрелки.

Теперь на примере системы второго порядка, изображённой на рис. 2.51 (а), мы пока­жем, как с помощью корневого годографа можно исследовать влияние варьируемого па­раметра а на свойства системы. Для этого характеристическое уравнение необходимо привести к такому виду, чтобы параметр а входил множителем в числитель соответству­ющего слагаемого. В данном случае исходное характеристическое уравнение имеет вид:

или

Поделив это уравнение на , получим

(2.103)

а)	б)
Рис. 2.51. Одноконтурная система (а). Корневой годограф как функция параметра s (б)

Для корня амплитудный критерий выполняется, если

(2.104)

Угловой критерий имеет вид:

В принципе корневой годограф можно построить путём определения точек на s-плоскости, которые удовлетворяют угловому критерию. Далее мы опи­шем 12-этапную процедуру построения корневого годографа. На рис. 2.51 (б) изображён корневой годограф, соответствующий характеристическому уравнению (2.103). В частно­сти, значение параметра а, соответствующее корню , определяется из (2.104):

(2.105)

Оба корня сходятся на действительной оси в точке s, при этом реакция системы на ступенчатое воздействие является критически демпфированной. Корням соответ­ствует значение параметра а, равное

, (2.106)

где находится как длина векторов на s – плоскости, т.е. .

При дальнейшем увеличении параметра а оба корня являются действительными и различными, один из них больше, чем , другой — меньше.

Вообще говоря, желательно как-то упорядочить процедуру построения корневого го­дографа, сведя её к последовательности отдельных операций. Этим мы займемся в следу­ющем разделе.

Построение корневого годографа

Корни характеристического уравнения несут ценную информацию о поведении системы во времени. Здесь мы рассмотрим процедуру из двенадцати этапов, позволяющую быстро построить корневой годограф.

Этап 1: Записать характеристическое уравнение в виде:

(2.107)

и, если необходимо, модифицировать его так, чтобы варьируемый параметр К входил в уравнение как множитель:

(2.108)

Этап 2: Представить в виде дроби, используя полюсы и нули этой функции:

(2.109)

Этап 3: Разместить полюсы и нули на s-плоскости, отметив их выбранными условными обозначениями. Обычно представляют интерес траектории корня при изменении параметра K от 0 до . Из (2.109) мы имеем:

При K=0 корни характеристического уравнения просто совпадают с полюсами . Следовательно, при изменении K от 0 до ∞ траектории корней характеристического уравнения начинаются в полюсах и заканчиваются в нулях . У большинства функций Р(s), с которыми мы будем иметь дело, некоторые нули располагаются в бесконечности на s-плоскости. Это объясняется тем, что у этих функций Р(s) полюсов больше, чем нулей. При п полюсах и М нулях, если п>М, п -М ветвей корневого годографа стремятся к п – М нулям, расположенным в беско­нечности.

Этап 4: Выделить отрезки действительной оси, которые принадлежат корневому го­дографу. Участки корневого годографа, совпадающие с действительной осью, всегда лежат слева от нечетного числа полюсов и нулей. Этот факт вытекает из анализа угло­вого критерия (2.102). Все четыре первых этапа построения корневого годографа мы про­иллюстрируем примером.

Этап 5: Определить число ветвей корневого годографа, SL. Поскольку корневой го­дограф начинается в полюсах и заканчивается в нулях передаточной функции разомкну­того контура, а число полюсов всегда больше или равно числу нулей, то число отдель­ных ветвей годографа равно числу полюсов.

Этап 6: Корневой годограф должен быть симметричен относительно действитель­ной оси, т. к. комплексные корни могут появляться только комплексно-сопряжёнными парами.

Этап 7: К нулям, расположенным в бесконечности, корни стремятся вдоль асимптот, проведенных из центра в точке под углами . Если число конечных нулей функции меньше числа её полюсов, п_р, то N ветвей корневого годографа должны при заканчиваться в нулях, расположенных в бесконечности (здесь ). Асимптоты корневого годографа образуют N лучевую звезду, центр которой находится на действительной оси. Координата определяется выражением:

(2.110)

Углы наклона асимптот к действительной оси имеют значения:

(2.111)

Это правило особенно полезно при определении примерного вида корневого годог­рафа. Выражение (2.111) легко может быть получено из рассмотрения точки корневого го­дографа, расположенной на s-плоскости на большом расстоянии от конечных полюсов и нулей. Чистое изменение аргумента в этой точке равно 180°, потому что она принадлежит корневому годографу.

Конечные полюсы и нули функции Р(х) находятся на большом расстоянии от этой удалённой точки, поэтому углы φ векторов, проведенных в неё из каждого полюса и нуля, одинаковы и, следовательно, собственный аргумент этой точки равен , где и есть соответственно число конечных полюсов и нулей. Таким образом, мы имеем:

,

или, что тоже самое

.

Произведя вычисления для всех возможных ветвей корневого годографа, мы получим фор­мулу (2.111).

Центр симметрии прямолинейных асимптот, часто называемый центроидом, нахо­дится по характеристическому уравнению (уравнение вида 2.109). При боль­ших значениях s определяющую роль играют члены высшего порядка, поэтому характе­ристическое уравнение сводится к виду:

.

Однако при такой аппроксимации центр симметрии асимптот находится в начале координат, . Лучшей аппроксимацией является представление характеристического уравнения в виде:

,

где центроид находится в точке .

Положение центроида определяется из рассмотренных первых двух членов уравнения (2.109) записанного в виде

Тогда можно записать:

и

Учитывая только два первых члена разложения функции , имеем

В свою очередь, уравнение

С учетом первых членов принимает вид:

Приравнивая коэффициенты при , получим:

,

что эквивалентно выражению (2.110)

Например, для системы, изображенной на рис. 2.48, характеристическое уравнение имеет вид:

Поскольку , то следует ожидать, что две ветви корневого годографа будут закан­чиваться в нулях, расположенных в бесконечности. Асимптоты корневого годографа име­ют центр в точке и составляют с действительной осью углы и .

Следовательно, легко можно построить корневой годограф, как это и было продемонстри­ровано на рис 2.49.

Этап 8: Определить точки, в которых корневой годограф пересекает мнимую ось (если такие точки имеются). Пересечение корневым годографом мнимой оси легко установить с помощью критерия Рауса-Гурвица.

Этап 9: Определить точки отрыва корневого годографа от действительной оси (если такие точки имеются). Точка отрыва корневого годографа от действительно оси — это то место, где сходятся несколько корней, как правило, два. На рис. 2.52 (а) показана точка отрыва для системы второго порядка, а на рис. 2.2 (б) — для частного случая системы четвёртого порядка. Согласно угловому критерию, касательные к корневому годогра­фу в точке отрыва разделены углами, составляющими целую часть от 360°. Так. на рис. 2.52 (а) мы видим, что в точке отрыва угол между двумя ветвями корневого годографа составляет 180°, а на рис. 2.52 (б) четыре ветви разделены углами в 90°.

Рис. 2.52. Иллюстрация точки отрыва (а) для системы второго порядка и (б) для системы четвертого порядка

Точку отрыва на действительной оси можно определить графически или аналитиче­ски. Наиболее простой метод состоит в модификации характеристического уравнения так, чтобы варьируемый параметр К был выделен в одной части от знака равенства. Иначе говоря, характеристическое уравнение записывается в виде:

(2.112)

Например, для системы с единичной обратной связью, которая в разомкнутом состоянии имеет передаточную функцию

,

характеристическое уравнение имеет вид

(2.113)

Это уравнение преобразуется к виду:

(2.114)

Корневой годограф этой системы изображен на рис. 2.52 (а). Мы ожидаем, что точка отрыва будет находиться вблизи , поэтому в окрестностях этой точки построим график , как это показано на рис. 2.53 В данном случае р(х) = 0 в полюсах и . График р(s) симметричен относительно точки , а его максимум имеет место при , что соот­ветствует точке отрыва.

Рис. 2.53. Графическое определение точки отрыва

Тот же результат можно получить аналити­чески путём нахождения максимума функции р(х) = К. Для этого необходимо приравнять нулю производную функции р(s) и найти корни полу­ченного уравнения:

(2.115)

Доказательство (1.115) вытекает из рассмотрения характеристического уравнения которое можно переписать в виде

Придав параметру K малое приращение, получим:

(2.116)

Деление последнего уравнения на дает:

(2.117)

Поскольку знаменатель дроби есть исходный характеристический полином, то в точке отрыва находится несколько корней, и

.

Тогда (2.117) можно записать в виде:

(2.118)

или иначе

(2.119)

Устремляя к нулю, получим условие

(2.120)

Которое должно выполнятся в точке отрыва.

Теперь рассмотрим частный случай, когда

Отсюда:

. (2.121)

Дифференцируя , имеем

(2.122)

Откуда следует, что точка отрыва находится при .

Этап 10: Используя угловой критерий, определить угол выхода корневого годографа из полюса и угол его входа в нуль. Угол выхода корневого годографа из полюса равен разности между суммой аргументов векторов, проведённых в данный полюс из всех остальных полюсов, и суммы аргументов векторов, проведённых в данный полюс из всех нулей, плюс угловой критерий . То же самое справедливо для угла входа корневого годографа в нуль. Углы выхода и входа представляют интерес в случае комплексных полюсов и нулей, т. к. эта информация позволяет уточнить вид корневого годографа. Например, рассмотрим систему третьего порядка, передаточная функция ко­торой в разомкнутом состоянии имеет вид:

(2.123)

На рис. 2.54 (а) показано расположение трёх полюсов и отмечены аргументы векторов, проведенных в комплексный полюс . Сумма аргументов всех векторов для точки , нахо­дящейся на бесконечно малом расстоянии от должна удовлетворять угловому крите­рию. Таким образом, учитывая, что 6₇ = 90°, мы имеем: , мы имеем: а это значит, что угол выхода из полюса равен как показано на рис. 7.12 (б). Угол выхода из полюса отличается от лишь знаком (минус), поскольку и являются комплексно-сопряжеными. Другой пример приведен на рис 2.55. В данном случае угол выхода находится из выражения

.

Поскольку , то угол выхода .

Заключительные два этапа процедуры постро­ения корневого годографа связаны с определением положения корней и значения параметра , со­ответствующего этому положению.

Рис. 2.54. Определение угла выхода: а) проверка углового критерия в точке, находящейся на бесконечно малом расстоянии от и б) действительное направление выхода из полюса

Э тап 11: Определить положение корней , которые удовлетворяют угловому критерию. Угловой критерий имеет вид

Э

Рис. 2.55. Определение угла

выхода

тап 12: Используя амплитудный критерий (2.101), определить значение параметра соответствующее корню .

Для этого корня амплитудный критерий имеет вид:

.

Трехканальные ПИД-регуляторы

В промышленных системах управления используется так называемый трехканальный, или ПИД-регулятор. Он имеет передаточную функцию

Во временной области выходная переменная, , регулятора и его входная переменная связаны уравнением

Своим названием ПИД-регулятор обязан тому, что его выходной сигнал равен сумме составляющих, пропорциональных как самому водному сигналу, так и его интегралу и производной. В действительности канал производной имеет передаточную функцию

,

но, обычно много меньше, чем постоянные времени ОУ, и ей можно пренебречь.

Если положить , то мы получим пропорционально-интегральный, или ПИ-регулятор:

.

В случае мы получим пропорционально-дифференциальный, или ПД-регулятор:

Управление многими производственными процессами осуществляется с помощью ПИД-регуляторов. Их популярность отчасти объясняется способностью обеспечить вы­сокое качество ведения процессов в широком диапазоне режимов, а отчасти функциональной простотой, позволяющей инженерам эксплуатировать их без каких-либо проблем. Если задан объект управления, то подлежат определению три параметра ПИД-регулятора: коэффициент пропорциональности, коэффициент при интеграле и коэффициент при производной.

Рассмотрим ПИД-регулятор

где и . Таким образом, ПИД-регулятор вносит в передаточную функцию разомкнутой системы один полюс в начале координат и два нуля, которые могут быть раз­мещены в любом месте левой половины s-плоскости.

Напомним, что корневой годограф начинается в полюсах передаточной функции и заканчивается в её нулях. Если, например, мы имеем систему, изображённую на рис. 2.56, где , используем ПИД-регулятор с комплексными нулями и , где и , то можем построить корневой годограф, как это показано на рис. 2.57. С увеличением коэффициента комплексные корни стремятся к нулям. Замкнутая система имеет передаточную функцию

Реакция такой системы на ступенчатый входной сигнал будет иметь перерегулирова­ние менее 2%, а установившаяся ошибка будет равна нулю. Время установления будет равно приблизительно 1 с. Это довольно хорошие показатели. Если желательно уменьшить время установления, то 2, и 2, надо выбрать в левой полуплоскости ещё дальше от мнимой оси, а коэффициент К₃ задать таким, чтобы корни характеристического уравне­ния замкнутой системы располагались вблизи этих комплексных нулей.

Рис. 2.56. Замкнутая система с регулятором

Рис. 2.57. Корневой годограф для объекта управления с регулятором,

имеющим комплексные нули

Подходы к синтезу систем управления с обратной связью

Рассмотрим несколько методов синтеза в частотной области, позволяющих обеспечить заданное качество систем управления. На ряде приме­ров мы проиллюстрируем положительные стороны регуляторов с опережением и с отста­ванием по фазе. Будет показано, что синтез таких регуляторов можно выполнить как с по­мощью корневого годографа, так и с помощью диаграммы Боде. Применение ПИ-регуляторов будет рассмотрено в контексте обеспечения высокой точности воспроизведения входных сигналов.

Мы установили, что система управления должна быть устойчивой и обладать адекватной реакцией на входные эталонные сигналы, она должна быть как можно менее чувствительной к изменению параметров, иметь по воз­можности минимальную установившуюся ошибку и, наконец, быть в состоянии компенси­ровать влияние нежелательных возмущений. Замкнутая система, которая изначально обла­дала бы оптимальным качеством, без дополнительной коррекции ее характеристик - это весьма редкий случай. Обычно бывает невозможно удовлетворить одновременно все тре­бования, предъявляемые к качеству системы, поэтому возникает проблема поиска компро­мисса между рядом требований, среди которых могут быть и противоречащие друг другу.

было показано, что иногда желаемое качество системы можно обеспечить просто путем настройки ее параметров. Однако часто этого оказывается недо­статочно, и для достижения желаемого результата должна быть изменена структура сис­темы. Поэтому в общем случае синтез системы связан с выбором ее типа и структуры и последующей настройкой параметров. Например, если мы хотим, чтобы несколько показателей качества были меньше заданных значений, то мы часто можем попасть в кон­фликтную ситуацию. Так, если относительное перерегулирование не должно превышать 20 % и при этом, то это накладывает противоречивые требования к коэффици­енту затухания как можно видеть из рис. 2.58.

Рис. 2.58. Зависимость относительного перерегулирования и нормированного времени максимума от коэффициента для системы второго порядка

Поэтому, если нельзя ослабить ограниче­ния на указанные показатели качества, необходимо каким-то образом изменить саму сис­тему. Подобное изменение системы, имеющее целью обеспечение желаемых показателей качества, называется коррекцией.

Для получения требуемых показателей качества в структуру системы вводится до­полнительный элемент, корректирующий ее характеристиками. Такой корректирующий элемент или устройство может быть электрическим, механическим, гидравлическим, пневматическим или иным, называемым обычно регулятором. Наиболее часто в систе­мах управления в качестве регуляторов используются электрические схемы.

Корректирующее устройство — это элемент или схема, дополнительно вводи­мые в систему управления с целью исправления ее динамических характери­стик.

Передаточная функция регулятора (корректирующего устройства) обозначается как , а место его расположения в структуре системы определяется исходя из конкретных соображений. Для простой одноконтурной системы управления несколько вариантов коррекции приведены на рис. 2.59.

	+ б
	- г

Рис.2.59. Виды коррекции. (а) Последовательная коррекция; (б) Корректирующее устройство в цепи обратной связи; (в) Коррекция по выходу, или по нагрузке; (г) Коррекция по входу

Корректирующее устройство, введенное в прямую цепь передачи сигнала [как показано на рис. 2.59. (а)], называется последователь­ным. Аналогично, другие варианты носят название корректирующих устройств в цепи обратной связи, на выходе системы (или по нагрузке) и на входе системы, как соответст­венно показано на рис. 2.59. (б), (в) и (г). Выбор места размещения корректирующего устройства зависит от конкретных требований к качеству системы, от уровня мощности сигнала в различных точках системы и от имеющихся в наличии конкретных технических устройств. Обычно выход системы — это выход объекта управления и поэтому схема на рис. 2.59. (в) вряд ли может считаться реализуемой.

Качество системы управления может быть описано как с помощью ее временных, так и час­тотных характеристик. Требования к качеству могут быть заданы, например, в виде вели­чины максимального перерегулирования, времени максимума переходной характеристи­ки и времени ее установления. Кроме того, обычно необходимо задать максимально допус­тимую установившуюся ошибку при различных тестовых входных сигналах и внешних возмущениях. Все эти требования к качеству можно связать с желаемым расположением полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы . Достаточно просто можно построить корневой годограф замкнутой системы при изменении какого-либо ее параметра. Однако, если корневой годограф не позволяет найти желаемое расположение корней, то в систему необходимо ввести корректирующее устрой­ство (рис. 2.59.), которое повлияет на вид корневого годографа и даст возможность, варьи­руя параметр системы, разместить корни в соответствии с требованиями к ее качеству.

Качество замкнутой системы управления можно также оценить по ее частотным ха­рактеристикам, главным образом по таким показателям, как максимальное значение амп­литудной характеристики , резонансная частота , полоса пропускания и запас устойчивости по фазе. Чтобы удовлетворить требования, предъявляемые к качеству сис­темы, при необходимости в нее вводится корректирующее устройство. Синтез этого устройства можно произвести, пользуясь любой формой представления частотных харак­теристик — в полярных координатах, в виде диаграммы Боде или в виде диаграммы Никольса. В случае последовательной коррекции предпочтительнее использовать диаграм­му Боде, т. к. в этом случае частотные характеристики корректирующего устройства про­сто складываются с соответствующими характеристиками исходной системы.

Таким образом, синтез системы предполагает изменение вида ее частотных характе­ристик или корневого годографа так, чтобы удовлетворить требования, предъявляемые к качеству системы.

С практической точки зрения наилучшим и наиболее простым способом улучшения качества системы является, если это возможно, изменение самого объекта управления. Иначе говоря, если проектировщик способен в процессе синтеза изменить передаточную функцию объекта управления , то тем самым можно улучшить и качество системы. Например, чтобы улучшить динамику сервопривода, часто бывает достаточно выбрать двигатель с наилучшими параметрами. Поэтому проектировщик систем управления должен ясно понимать, что улучшение качества системы в первую очередь связано с изменением свойств собственно объекта управления. Однако часто объект либо вообще невозможно изменить, либо он уже был изменен настолько, насколько возможно, но качество системы все еще остается неудовлетворительным. Тогда остается единственная возможность — добиться желаемого качества системы за счет введения корректирующего устройства.

Схемы последовательной коррекции

В этом разделе мы рассмотрим процедуру синтеза последовательного корректирующего устройства или корректирующего устройства в цепи обратной связи, как соответственно показано на рис. 2.59. (а) и 2.59. (б). В любом случае корректирующее устройство вклю­чается последовательно с неизменяемым объектом , и в итоге передаточная функция контура приобретает вид . Корректирующее устройство (или регулятор) вы­бирается так, чтобы изменить либо вид корневого годографа, либо форму частотных харак­теристик. В любом случае можно подобрать такое устройство, передаточная функция ко­торого будет иметь вид:

(2.124)

Далее задача сводится к надлежащему выбору полюсов и нулей функции . Для иллю­страции основных свойств схем коррекции мы ограничимся рассмотрением корректирую­щих устройств первого порядка. Разработанный на этой основе метод коррекции можно будет распространить и на более сложные схемы, например, соединяя последовательно не­сколько корректирующих устройств первого порядка.

Сначала параметры корректирующего устройства выбираются так, чтобы система удовлетворяла заданному ограничению на величину установившейся ошибки. После это­го параметры настраиваются таким образом, чтобы изменить динамику системы в желае­мом направлении, не влияя при этом на установившуюся ошибку.

Рассмотрим корректирующее устройство первого порядка с передаточной функцией

(2.125)

Проблема синтеза заключается в выборе параметров z, p, K, обеспечивающих заданное качество системы. Если , то соответствующее устройство обладает опережением по фазе, и относительное расположение нуля и полюса s-плоскости приведено на рис. 2.60. Если полюсом можно пренебречь, т. е. , а нуль находится в начале координат, то

, (2.126)

и мы имеем дело с дифференциатором. Корректирующее устройство с передаточной функцией (2.126) имеет следующую частотную характеристику:

, (2.127)

откуда следует, что создаваемый им фазовый сдвиг равен +90⁰. Аналогично, частотная характеристика, соответствующая передаточной функции (2.125), имеет вид

, (2.128)

где и . Частотные характеристики такой системы с опережением по фазе приведены на рис. 2.61.

Рис.2.60. Расположение полюса и нуля для схемы с опережением по фазе

Фазовая характеристика определяется уравнением

(2.129)

Поскольку влияние нуля на частотные характеристики проявляются ранее, то они имеют вид, изображенный на рис. 2.61.

Рис.2.61. Диаграмма Боде для схемы с опережением по фазе

К ак видно, схема обладает опережением по фазе, а наклон среднечастотной асимптоты амплитудной характеристики равен .

Корректирующее устройство с опережением по фазе можно реализовать с помощью схемы, изображенной на рис. 2.62. Эта схема имеет передаточную функцию

Рис. 2.62.Четырехполюсник с опережением по фазе

(2.130)

Полагая

и ,

мы получим передаточную функцию устройства с опережением по фазе

(2.131)

которая совпадает с выражением (2.128) с точностью до дополнительного коэффициента K.

Фазовый сдвиг имеет максимальное значение на частоте , где — среднее гео­метрическое значений и ; если частоту откладывать в логарифмическом масштабе, то фазовая характеристика имеет максимальное значение как раз посредине между частотами, соответствующими нулю и полюсу передаточной функции. Таким об­разом,

Чтобы получить выражение для максимума фазового сдвига, запишем аргумент функции (2.128) в виде

(2.132)

Подставив сюда значения частоты , получим:

(2.133)

Далее, используя соотношение между тригонометрическими функциями, можно записать:

(2.134)

Выражение (10.11) очень полезно для вычисления требуемого соотношения а между по­люсом и нулем корректирующего устройства, обеспечивающего заданный максимальный фазовый сдвиг. График зависимости от приведен на рис. 2.63.

Из графика, в частности, видно, что фазовый сдвиг не может быть больше 70°. Кроме того, поскольку , то существуют практические ограничения на максимально достижимое значение . Поэтому, если требуется иметь максимальный фазовый сдвиг больше, чем 70°, то в этом случае придется использовать две схемы, соединенные последовательно.

Рис. 2.63. Зависимость максимального фазового сдвига от параметра для схемы с опережением по фазе

Тогда эквивалентная передаточная функция корректирующего устройства будет равна при условии, что эффект нагрузки со стороны на незначителен.

Часто возникает необходимость использования корректирующего устройства, обладающего отставанием по фазе. Схема с отставанием по фазе изображена на рис. 2.64. Ее передаточная функция имеет вид:

(2.135)

Обозначив и , запишем (2.135) в виде:

, (2.136)

где и . В данном случае, поскольку , полюс расположен ближе к началу координат, чем ноль, как показано на рис. 2.65. Схемы такого типа часто называют интег­рирующими, поскольку их частотные характеристики в ограниченном интервале частот близки к соответствующим характеристикам интегратора. Диаграмма Боде для устройства с отставанием по фазе строится на основании выражения и приведена на рис. 2.66.

Рис. 2.64. Схема с отставанием по фазе	Рис. 2.65. Расположение полюса и нуля для системы с отставанием по фазе

Рис. 2.66. Диаграмма Боде для схемы с отставанием по фазе

Сравнивая рис. 2.61 и рис. 2.66, можно заметить, что амплитудные характеристики симметричны относительно уровня 0 дБ, а фазовые — относительно зна­чения 0°. Точно так же максимальный фазовый сдвиг устройства с отставанием по фазе имеет место на частоте .

Коррекция с опережением по фазе: синтез с помощью диаграммы Боде

При синтезе корректирующих устройств с опережением по фазе диаграмма Боде обладает существенным преимуществом по сравнению с иными способами представления частот­ных характеристик. Суть в том, что при этом частотные характеристики последовательно­го корректирующего устройства просто складываются с частотными характеристиками нескорректированной системы. Это значит, что если в системе на рис. 2.17.(а) контур имеет передаточную функцию , то сначала надо построить диаграмму Боде для функции . Анализ этой диаграммы должен дать ответ на вопрос, в каком интер­вале частот необходимо скорректировать форму частотных характеристик. Иначе говоря, таким образом определяются значения полюса р и нуля z передаточной функции корректи­рующего устройства. Диаграмма Боде для нескорректированной системы изображается с учетом коэффициента усиления, обеспечивающего заданную точность системы в устано­вившемся режиме. Затем необходимо определить запас по фазе и ожидаемую величину и оценить, удовлетворяют ли эти показатели требованиям к качеству системы. Если за­пас по фазе является недостаточным, то к фазовой характеристике нескорректированной системы необходимо в соответствующем интервале частот добавить положительные при­ращения за счет вводимого корректирующего устройства. Чтобы обеспечить максималь­ный дополнительный фазовый сдвиг, желательно, чтобы частота а_т совпадала с частотой, на которой амплитудная характеристика скорректированной системы пересекает уровень 0 дБ. (Вспомните определение запаса по фазе.) Величина дополнительного фазового сдви­га позволит определить необходимое значение а по выражению (2.134) или по рис. 2.66. Нуль определяется из условия, что максимальный фазовый сдвиг, создаваемый корректирующим устройством, имеет место на частоте , т. е. посредине между частотами, соответствующими полюсу и нулю. Поскольку наибольшее усиление коррек­тирующего устройства равно , то на частоте следует ожидать усиления в . Таким образом, синтез корректирующего устройства с опережением по фазе сводится к следующим этапам:

1. Оценить запас по фазе в нескорректированной системе при условии удовлетворе­ния требований к коэффициентам ошибки.

1. Определить необходимый дополнительный фазовый сдвиг .

2. Вычислить параметр по выражению (2.134).

3. Вычислить и найти частоту, при которой амплитудная характеристика не­ скорректированной системы имеет значение - дБ. Поскольку на частоте корректирующее устройство обладает усилением , то эта частота одновремен­но будет соответствовать пересечению амплитудной характеристикой скорректиро­ванной системы уровня 0 дБ.

4. Вычислить значения полюса и нуля .

5. Построить частотные характеристики скорректированной системы, проверить по­лученное значение запаса по фазе и, если необходимо, повторить предыдущие эта­пы. И, наконец, в завершение синтеза скомпенсировать уменьшение коэффициента усиления за счет члена .

Коррекция с опережением по фазе: синтез с помощью корневого годографа

Синтез корректирующего устройства с опережением по фазе можно выделить с помощью корневого годографа. Такое устройство имеет передаточную функцию

(2.137)

где и для RC – схемы определяется из выражения (2.130). Нуль и полюс выбираются так, чтобы корневой годограф скорректированной системы имел приемлемую форму. Желае­мое положение доминирующих корней определяется исходя из требований к качеству сис­темы. Данный метод синтеза включает следующие этапы:

1. На основании требований к качеству системы определить желаемое расположение доминирующих корней на s-плоскости.

2. Построить корневой годограф нескорректированной системы и определить с его помощью, можно ли добиться желаемого расположения доминирующих корней.

3. Если необходима коррекция, то поместить нуль корректирующего устройства не­ посредственно под одним из желаемых корней (или слева от двух первых вещест­венных полюсов разомкнутой системы).

4. Определить положение полюса корректирующего устройства так, чтобы сумма ар­гументов векторов, проведенных из нуля и полюса к желаемому корню, составила 180° и, следовательно, этот корень действительно принадлежал корневому годогра­фу скорректированной системы.

5. Вычислить коэффициент усиления системы, соответствующий желаемому положению корня, и определить значение коэффициента ошибки.

6. Если коэффициент ошибки не удовлетворяет требованиям к точности системы, по­вторить процедуру синтеза.

Итак, сначала мы должны указать желаемое расположение доминирующих корней, удовлетворяющих параметрам , и как показано на рис. 2.67 (а). Затем необходимо по­строить корневой годограф нескорректированной системы [см. рис. 2.67 (б)]. Далее слева от первых двух вещественных полюсов помещается нуль, за счет которого будет создано опережение по фазе. При этом следует соблюдать осторожность, потому что этот нуль не должен повлиять на желаемое положение доминирующих корней; нуль не должен находи­ться ближе к началу координат, чем второй полюс на действительной оси, иначе реакция системы будет определяться в основном вещественным корнем, расположенным вблизи на­чала координат. Так, на рис. 2.67 (в) показано, что желаемый корень находится прямо над вторым полюсом, и мы поместим нуль z чуть левее второго вещественного полюса.

Рис. 2.67. a) Положение желаемого корня	Рис. 2.67. б) Корневой годограф нескорректированной системы
Рис. 2.67. в) Добавление нуля	Рис. 2.67. г) Положение нового полюса

Если вещественный корень будет расположен близко к вещественному нулю, то в разложении на простые дроби изображения по Лапласу выходной переменной коэффици­ент при члене, соответствующем данному корню, будет достаточно малым и влияние это­го корня на реакцию системы окажется незначительным. Однако проектировщик должен постоянно помнить, что реакция скорректированной системы определяется не только корнями ее характеристического уравнения, но и нулями передаточной функции. Поэто­му всегда целесообразно во избежание ошибок при синтезе проверять показатели качест­ва скорректированной системы путем компьютерного моделирования.

Поскольку желаемый корень должен принадлежать корневому годографу скорректи­рованной системы, то надо потребовать, чтобы алгебраическая сумма аргументов векто­ров, проведенных к этому корню, была равна 180°. Поэтому остается вычислить угол , соответствующий аргументу вектора, проведенного из полюса корректирующего устрой­ства к желаемому корню, затем провести прямую линию, проходящую через желаемый корень под углом , и тем самым определить положение полюса корректирующего устройства, как показано на рис. 2.67 (г).

Преимущество метода корневого годографа заключается в том, что проектировщик всегда может указать желаемое расположение доминирующих корней, определяющих ха­рактер реакции системы. Недостаток данного метода в том, что он не позволяет непосред­ственно определить коэффициенты ошибки (например, ), как это возможно при использовании диаграммы Боде. Здесь после завершения синтеза надо сначала определить коэф­фициент усиления системы, при котором корни занимают желаемое положение (а он бу­дет зависеть от р и z), и только после этого вычислить соответствующий коэффициент ошибки скорректированной системы. Если этот коэффициент окажется неприемлемым, то придется повторить процедуру синтеза, изменив положение желаемых корней, а также полюса и нуля корректирующего устройства. Корректирующие устройства с опережением по фазе применяются для улучшения показателей качества систем управления, в частности для увеличения запаса устойчиво­сти по фазе. Такие устройства позволяют изменить форму корневого годографа на и обеспечить желаемое расположение корней характеристического уравнения. Если предъявляется требование к коэффициенту ошибки, то синтез предпочтительнее производить с помощью диаграммы Боде, поскольку размещение нуля и полюса коррек­тирующего устройства на s-плоскости не позволяет непосредственно указать, чему равен коэффициент усиления системы, и требуются дополнительные вычисления. Поэтому, если при синтезе задается требование к коэффициенту ошибки, решение задачи с помо­щью корневого годографа может представлять собой итерационный процесс. С другой стороны, метод корневого годографа хорош тогда, когда требования к качеству заданы в виде величины перерегулирования и времени установления. В этом случае можно найти эквивалентные значения параметров , и и затем определить желаемое расположение доминирующих корней на s-плоскости. Применение корректирующих устройств с опере­жением по фазе всегда расширяет полосу пропускания замкнутой системы, что может оказаться нежелательным для систем, подверженных влиянию шумов. Кроме того, кор­ректирующие устройства с опережением по фазе не позволяют обеспечить высокую точ­ность системы в установившемся режиме, которая определяется соответствующими ко­эффициентами ошибки.

Синтез систем с применением интегрирующих устройств

Для большей части систем управления основной целью является достижение высокой точно­сти в установившемся режиме. Следующей по значимости целью является поддержание в ра­зумных рамках качества переходного режима. Как мы выяснили, точность систе­мы с обратной связью можно повысить за счет увеличения коэффициента усиления в прямой цепи. Однако при этом переходная характеристика может оказаться совершенно неприемле­мой или даже система может стать неустойчивой. Поэтому для достижения необходимой точ­ности в прямую цепь часто бывает необходимо ввести корректирующее устройство.

Рассмотрим одноконтурную систему управления, изображенную на рис. 2.68. Необ­ходимо выбрать корректирующее устройство так, чтобы получить большое значение коэф­фициента ошибки. Установившаяся ошибка в данной системе определяется выражением

. (2.137^’)

Рис.2.68. Одноконтурная система с обратной связью

Мы установили, что установившаяся ошибка зависит от числа полюсов функции ,расположенных в начале координат. Полюс в начале координат соответствует операции интегрирования, поэтому можно сказать, что точность системы в установившемся режиме зависит от количества интеграторов, входящих в передаточную функцию . Если точность системы недостаточна, то необходимо ввести кор­ректирующее устройство интегрирующего типа, чтобы скомпенсировать дефицит интеграторов в исходной передаточной функции .

Одним из типов широко используемых регуляторов является пропорционально-ин­тегральный (ПИ) регулятор, имеющий передаточную функцию

(2.138)

В качестве примера рассмотрим систему регулирования температуры, в которой а тепловой объект имеет передаточную функцию

Если на вход нескорректированной системы подается ступенчатый сигнал, т. е. , то установившаяся ошибка будет равна

.

Чтобы получить малую установившуюся ошибку (например, менее чем 0,05/1), коэффици­ент К₁ должен быть достаточно большим. Однако при этом вид переходной характеристи­ки системы, скорее всего, окажется неприемлемым. Поэтому необходимо ввести в систему корректирующее устройство , как показано на рис. 2.68. Чтобы вообще исключить установившуюся ошибку, можно применить корректирующее устройство с передаточной функцией

(2.139)

Такую коррекцию можно реализовать с помощью ПИ-регулятора, соединив паралле­льно интегратор и усилитель и просуммировав их выходные сигналы. Можно убедиться, что при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка всегда будет равна нулю:

=0 (2.140)

Требования, предъявляемые к виду переходной характеристики системы, можно удовлетворить путем настройки коэффициентов . По-видимому, лучше всего это сделать с помощью корневого годографа, построив его в функции от варьируемого параметра после того, как на s-плоскости будет размещен нуль регулятора (соответствующая процедура была рассмотрена в предыдущем разделе).

Введение дополнительного интегратора можно использовать также для уменьшения установившейся ошибки при линейном входном сигнале Например, если не­скорректированная система содержит один интегратор, то за счет дополнительного интегратора, входящего в передаточную функцию регулятора , установившуюся ошибку при линейном входном сигнале можно свести к нулю. Чтобы проиллюстрировать синтез корректирующего устройства интегрирующего типа, рассмотрим более подробно систему регулирования температуры.

Система регулирования температуры (пример)

Система регулирования температуры при отсутствии коррекции имеет в разомкнутом состоя­нии передаточную функцию

(2.141)

причём коэффициент можно настраивать. Чтобы при ступенчатом входном сигнале установившаяся ошибка равнялась нулю, мы введем ПИ-регулятор

(2.142)

Кроме того, требуется, чтобы переходная характеристика системы имела перерегу­лирование не более 10%. Поэтому домини­рующие комплексные корни должны нахо­диться на (или ниже) линии , как по­казано на рис. 2.69.

Рис. 2.69. Иллюстрация на s – плоскости синтеза

корректирующего устройства

Нуль регулятора мы выберем так, чтобы действительная часть комплексных корней была равна и, следовательно, время уста­новления (по критерию 2%) равнялось с. Как и в предыдущем разделе, положение нуля мы определим так, чтобы сумма аргументов всех векторов, проведенных к желаемому корню из трех полюсов и нуля передаточ­ной функции, составила -180°. Получим следующее равенство:

,

где - аргумент вектора начало которого находится в точке где должен располагаться неиз­вестный нуль. Отсюда мы имеем , а это значит, что нуль занимает положение . Наконец, чтобы определить значение коэффициента , при котором корень зани­мает желаемое положение, вычислим длину векторов, проведенных в эту точку из полюсов и нуля, и получим

Корневой годограф скорректированной системы и положение нуля ее передаточной функции приведены на рис. 2.69. Следует заметить, что нуль должен быть расположен левее полюса с тем чтобы переходная характеристика в основном определялась комплекс­ными доминирующими корнями. В действительности третий корень характеристического уравнения скорректированной системы занимает положение , т. е. он в 4/3 раза больше действительной части комплексных корней. И хотя комплексные корни являются доминирую­щими, эквивалентный коэффициент затухания системы все же несколько меньше, чем из-за наличия третьего вещественного корня и нуля.

Передаточная функция замкнутой системы, изображенной на рис. 2.68, равна

, (2.143)

где . Влияние нуля сводится к увеличению перерегулирования (см. рис. 5.13). Если мы хотим добиться перерегулирования, равного 5%, то можно использовать предшеству­ющий фильтр с передаточной функцией

(2.144)

с помощью которого удается исключить нуль из передаточной функции . Заметим, что об­щий коэффициент усиления замкнутой системы (полагая s = 0) в случае, если или если мы используем предшествующий фильтр с передаточной функцией (2.144). При от­сутствии предшествующего фильтра перерегулирование составляет 17,6%, а при наличии та­кого фильтра оно равно 2%.

Коррекция с отставанием по фазе: синтез с помощью корневого

годографа

RS – схема, изображенная на рис. 2.64, обладает отставанием по фазе и может быть исполь­зована для увеличения коэффициента ошибки системы управления. Передаточная функция такой схемы имеет вид:

, (2.145)

где

, , .

Установившаяся ошибка нескорректированной системы

. (2.146)

Тогда, например, для системы типа 1 коэффициент ошибки по скорости равен

. (2.147)

Следовательно, если записать в виде

, (2.148)

то для коэффициента ошибки по скорости мы получим

(2.149)

Теперь введем в систему устройство с отставанием по фазе и определим коэффициент ошибки по скорости в скорректированной системе. Если коэффициент ошибки нескорректированной системы (2.149) обозначить как , то для системы с коррекцией мы получим

. (2.150)

Желаемому положению корней на годографе скорректированной системы теперь будет со­ответствовать коэффициент . Если полюс и нуль корректирующего устройства выбрать так, что , то в результате значение К_у, соответствующее желаемому расположе­нию корней, увеличится раз. Если, например, = 0,1 и р = 0,01, то коэффициент К_у увеличится в 10 раз. Если полюс и нуль корректирующего устройства расположены на s-плоскости близко друг от друга, то их влияние на положение желаемых корней будет не­значительным. Поэтому, поместив полюс и нуль корректирующего устройства вблизи на­чала координат s -плоскости по сравнению с , можно будет увеличить коэффициент ошибки в α раз, практически не изменив при этом положение желаемых корней. Параметр α имеет верхний предел, обычно порядка 100, т. к. в противном случае номиналы резисто­ров и конденсаторов становятся слишком большими. Например, если и , то

и

Выбрав С = 10 мкФ, мы получим = 1 МОм и = 99 МОм. Если увеличивать а, то это по­требует и увеличения номинала резистора . Следует, однако, заметить, что применение пневматических регуляторов, частотные характеристики которых имеют вид рис. 2.66, по­зволяет получить значения а, достигающие 1000 и более.

Процедура синтеза корректирующего устройства с отставанием по фазе методом корневого годографа включает следующие этапы:

1. Построить корневой годограф нескорректированной системы.

2. Сформулировать требования к качеству переходного режима системы и определить на корневом годографе нескорректированной системы положение доминирующих корней, удовлетворяющих этим требованиям.

3. Вычислить коэффициент К, соответствующий желаемому положению корней, и, следовательно, определить значение коэффициента ошибки.

4. Сравнить полученный коэффициент ошибки с его желаемым значением и вычис­лить параметр а, т. е. определить, во сколько раз необходимо увеличить коэффици­ент К за счет надлежащего выбора полюса и нуля корректирующего устройства.

5. При известном отношении z/р = α определить соответствующее положение полюса и нуля корректирующего устройства так, чтобы корневой годограф скорректиро­ванной системы по-прежнему проходил через точки, в которых расположены жела­емые корни. Для этого полюс и нуль корректирующего устройства должны быть расположены близко к началу координат s-плоскости по сравнению с .

Пятый этап имеет силу только в том случае, если нуль и полюс корректирующего устройства по модулю значительно меньше, чем собственная частота , соответствую­щая доминирующему корню, так что для него эти нуль и полюс практически сливаются в одну точку. Это означает, что аргументы векторов, проведенных из нуля и полюса кор­ректирующего устройства к желаемому корню, почти одинаковы. Практически считается, что если эти аргументы отличаются менее чем на 2°, то условия пятого этапа синтеза будут удовлетворены. Сказанное выше проиллюстрируем следующим примером.

Пример синтеза корректирующего устройства с отставанием по фазе

Рассмотрим систему, которая при отсутствии коррекции имеет в разомкнутом состоянии передаточную функцию

Требуется, чтобы коэффициент затухания, соответствующий доминирующим комплексным корням, был равен 0,45, а коэффициент ошибки по скорости равнялся бы 20. Корневой годог­раф нескорректированной системы изображен на рис. 2.70. Вертикальный участок этого го­дографа начинается в точке s = -1, а его пересечение с линией = 0,45 дает значение корня. Вычисление значения К, соответствующего этому корню, дает результат . Следовательно, коэффициент ошибки по скорости для нескорректированной системы равен . Требуемое отношение нуля корректирующего устройства к его полюсу

(2.151)

Если принять, что , то разность аргументов векторов, проведенных из нуля и по­люса к желаемому корню, приблизительно будет равна , поэтому доминирующие корни практически останутся в точках . Корневой годограф скорректированной системы изображен на рис. 2.71. Скорректированная система имеет передаточную функцию

(2.152)

где =5, или , чтобы скомпенсировать ослабление вносимое корректирующим устройством.

Рис. 2.70. Корневой годограф нескорректированной системы из примера	Рис. 2.71. Корневой годограф скорректированной системы из примера

Обратите внимание, что действительное положение корня будет немного отличатся от желаемого. Корневой годограф отрывается от действительной оси в точке .

Коррекция с отставанием по фазе: синтез с помощью диаграммы Боде

Синтез RС-схемы с отставанием по фазе, используемой в качестве корректирующего устройства, достаточно просто можно осуществить с помощью диаграммы Боде. Преиму­щество диаграммы Боде очевидно: чтобы получить приемлемые частотные характеристи­ки, мы просто должны к частотным характеристикам исходной системы добавить соответ­ствующие характеристики корректирующего устройства. Передаточная функция системы с отставанием по фазе, записанная в виде, удобном для построения диаграммы Боде, имеет вид:

(2.153)

Соответствующая диаграмма Боде изображена на рис. 2.66 для двух значений α. Заметим, что полюс и нуль корректирующего устройства по модулю должны быть много меньше, чем наименьший полюс нескорректированной системы. Отметим также, что отрицатель­ный фазовый сдвиг, вносимый корректирующим устройством, в общем случае является де­стабилизирующим фактором и поэтому нежелательным. Но вместе с тем такое устройство вносит в контур ослабление, равное -201gα. За счет этого уменьшается частота, на которой амплитудная характеристика пересекает уровень 0 дБ, а это, в свою очередь, приводит к увеличению запаса по фазе. Таким образом, удается удовлетворить требования, предъявля­емые к качеству системы. Процедура синтеза корректирующего устройства с отставанием по фазе в данном случае сводится к следующим этапам:

1. Построить диаграмму Боде для нескорректированной системы при коэффициенте усиления, необходимом для получения требуемого значения коэффициента ошибки.

2. Определить запас по фазе в нескорректированной системе и, если он недостаточен, выполнить последующие этапы.

3. Выбрать частоту, на которой будет обеспечиваться заданное значение запаса по фазе, т. е. частоту , на которой амплитудная характеристика скорректированной системы будет пересекать уровень 0 дБ. (При этом необходимо учитывать, что на данной частоте корректирующее устройство даст дополнительный фазовый сдвиг, равный -5°.)

4. Частоту излома, соответствующую нулю корректирующего устройства, выбрать на декаду левее новой частоты , чтобы гарантировать, что корректирующее устрой­ство добавит только -5° к результирующей фазовой характеристике (см. рис. 2.66).

5. Определить, насколько нужно уменьшить усиление системы на частоте , чтобы амплитудная характеристика скорректированной системы на этой частоте действи­тельно пересекала уровень 0 дБ.

6. Вычислить параметр α, зная, что корректирующее устройство на частоте вносит ослабление, равное -201gα.

7. Вычислить частоту излома, соответствующую полюсу корректирующего устройст­ва, . На этом процедура синтеза заканчивается. Проиллюстрируем данную методику синтеза простым практическим примером.

Синтез корректирующего устройства с отставанием по фазе

Рассмотрим еще раз систему из примера синтеза корректирующего устройства с отставанием по фазе, для которой синтезируем корректирующее устройство с отставанием по фазе, исходя из заданного запаса устойчивости по фазе. Для не­скорректированной системы мы имеем

(2.154)

где . К системе предъявляются следующие требования: коэффициент ошибки по ско­рости K_v = 20 и запас по фазе, равный 45°. Диаграмма Боде для нескорректированной системы изображена сплошной линией на рис. 2.72.

Рис. 2.72. Синтез корректирующего устройства с отставанием по фазе с помощью диаграммы Боде (а). Переходные характеристики скорректированной (сплошная линия) и нескорректированной (штриховая линия) систем (б)

В системе без коррекции запас по фазе составляет 20°, поэтому он должен быть увеличен. С учетом того, что корректирующее устройство будет вносить дополнительный фазовый сдвиг величиной -5°, в качестве новой частоты выберем частоту, где . В нашем случае эта частота = 1,5 (с некоторым запасом). На этой частоте усиление системы уменьшится на 20 дБ. На рис. 2.72 изображены асимптотические амплитудные характеристики скорректированной и нескорректированной систем. В действи­тельности эти характеристики располагаются на 2 дБ ниже тех, что изображены на рисунке. На частоте = 1,5 усиление уменьшается на 20 дБ.

Таким образом, мы имеем 20 дБ = 20lgα, или α = 10. Выбрав нуль корректирующего устройст­ва так, чтобы соответствующая ему частота излома находилась на декаду левее частоты , мы получим и соответственно для полюса . В итоге скорректи­рованная система будет иметь передаточную функцию

(2.155)

Частотные характеристики скорректированной системы изображены на рис. 2.72 (а) штриховы­ми линиями. Из диаграммы видно, что корректирующее устройство на средних и высоких часто­тах вносит ослабление, за счет этого амплитудная характеристика пересекает уровень 0 дБ на более низкой частоте, нежели без коррекции, а это в свою очередь приводит к увеличению запа­са по фазе. Заметим также, что отрицательный фазовый сдвиг, создаваемый корректирующим устройством, почти полностью исчезает на частоте . В качестве проверки можно вычислить запас по фазе на частоте и убедиться, что он равен 45°, как и требовалось. С помощью диа­граммы Никольса можно также установить, что полоса пропускания замкнутой системы умень­шилась с 10 рад/с в системе без коррекции до 2,5 рад/с в скорректированной системе. За счет этого следует ожидать более медленного нарастания переходной характеристики. Переходные характеристики системы изображены на рис. 2.80(б). В скорректированной сис­теме перерегулирование составляет 25%, а время максимума переходной характеристики рав­но 2 с, поэтому можно считать, что качество системы вполне приемлемое.