- •Введение
- •1. Пути повышения эффективности автоматизации проектирования на основе реализации
- •Принципы системного подхода к проектированию
- •Структура проектных спецификаций и иерархические уровни проектирования. Значение функционально-логического уровня при
- •Требования к математическому обеспечению сапр разных иерархических уровней
- •Обзор программного обеспечения сапр
- •2. Математическое обеспечение анализа проектных решений на функционально-логическом уровне
- •2.1. Общие требования к организации математического аппарата
- •2.2. Анализ систем во временной области
- •Принципы построения систем автоматического управления
- •2.3. Модели систем в переменных состояния
- •2.4. Анализ систем в частотной области
- •2.5. Методы анализа устойчивости и качества
- •3. Программные средства автоматизации
- •3.1. Основы работы в matlab
- •3.1.1. Среда matlab
- •3.1.2. Выполнение элементарных вычислений
- •3.1.3. Редактирование и отладка м-файлов
- •3.1.4 Переменные в Matlab. Массивы и матрицы
- •3.2. Этапы синтеза проектирования системы управления
- •3.2.1. Способы описания линейных динамических систем
- •3.2.2. Особенности построения частотных характеристик линейных систем в Control System Toolbox
- •3.2.3. Соединение звеньев lti-объекта
- •3.2.4. Синтез принятия решений при проектировании непрерывных систем на примере управления функционированием магнитного диска
- •3.3. Приложение для синтеза корректирующих звеньев
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14.
2.3. Модели систем в переменных состояния
Мы рассмотрели некоторые методы анализа и синтеза систем с обратной связью. В частности, мы воспользовались преобразованием Лапласа, чтобы перейти от дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, к алгебраическому уравнению относительно комплексной переменной s. На основании этого алгебраического уравнения мы смогли получить передаточную функцию, связывающую вход и выход системы.
Повсеместное применение цифровых компьютеров побуждает нас обратиться к описанию систем управления во временной области. Соответствующие методы могут быть применены к нелинейным, нестационарным и многомерным системам. Нестационарная система управления — это система, в которой один или более параметров являются функциями времени. Например, масса ракеты изменяется по мере расходования топлива в процессе полета.
Анализ и синтез систем управления во временной области основан на понятии состояния системы. Состояние системы—это совокупность таких переменных, знание которых, наряду со входными функциями и уравнениями, описывающими динамику системы, позволяет определить ее будущее состояние и выходную переменную. Для динамической системы ее состояние описывается набором переменных состояния Это такие переменные, которые определяют будущее поведение системы, если известно ее текущее состояние и все внешние воздействия. Рассмотрим систему,
Рис. 2.19. Структурная схема системы управления
изображенную на рис. 2.19 , где и есть выходные переменные, а и входные переменные. Для этой системы переменные имеют следующий смысл: если в момент времени известны начальные значения и входные сигналы и для , то этой информации достаточно, чтобы определить будущие значения всех переменных состояния и выходных переменных.
Переменные состояния описывают поведение системы в будущем, если известны текущее состояние, внешние воздействия и уравнения динамики системы.
Общий вид динамической системы приведен на рис.2.20.
Рис.2.20. Динамическая система
Простым примером переменной состояния может служить положение выключателя электролампочки. Выключатель может быть в одном из двух положений — «включено» или «выключено», поэтому его состоянию соответствует одно из двух возможных значений. Если мы знаем, в каком состоянии (положении) находится выключатель в момент времени t0, и если мы прикладываем к нему воздействие, то мы всегда можем определить будущее состояние элемента.
Примером системы, которую можно описать переменными состояния, является RCL цепь, изображенная на рис. 2.21. Cостояние системы характеризуется двумя переменными , где - напряжение на конденсаторе , - ток через индуктивность.
В
Рис. 2.21. RLC-цепь
(2.17)
Таким образом, и несут информацию о полной начальной энергии в цепи и, следовательно, о состоянии системы в момент . Для описания пассивной RCL цепи число необходимых переменных состояния равно числу независимых элементов, накапливающих энергию. Используя закон Кирхгофа для токов, запишем дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее скорость изменения напряжения на конденсаторе:
(2.18)
Закон Кирхгофа для напряжений, примененный к правому контуру, дает уравнение, определяющее скорость изменения тока через индуктивность:
(2.19)
Выход системы определяется линейным алгебраическим уравнением
(2.20)
Уравнения (2.18) и (2.19) мы можем переписать в виде системы двух дифференциальных уравнений относительно переменных состояния и
(2.21)
(2.22)
Используя уравнения (2.21) и (2.22), а также начальные условия мы сможем определить будущее поведение системы и ее выходную переменную.
Переменные состояния, описывающие систему, не являются единственными, и всегда можно выбрать альтернативную комбинацию таких переменных. Например, для системы второго порядка, такой как масса—пружина или RCL цепь, в качестве переменных состояния можно выбрать любые две линейно независимые комбинации и . Так, для RCL-цепи мы могли бы принять за переменные состояния два напряжения, и . Тогда новые переменные состояния, и будут связаны со старыми переменными и , соотношениями:
(2.23)
(2.24)
Уравнение (2.24) связывает напряжение на индуктивности со старыми переменными состояния . В реальной системе всегда можно образовать несколько комбинаций переменных состояния, которые определяют энергию, запасенную в системе, и, следовательно, адекватно описывают ее динамику. На практике в качестве переменных состояния часто выбирают такие физические переменные, которые легко могут быть измерены.
Альтернативный метод получения модели в переменных состояния основан на использовании графа связей. Такие графы могут быть построены для электрических, механических, гидравлических и тепловых элементов или систем, а также для комбинаций элементов различных типов. Графы связей позволяют получить систему уравнений относительно переменных состояния.
Переменные состояния характеризуют динамику системы. Инженера в первую очередь интересуют физические системы, в которых переменными являются напряжения, токи, скорости, перемещения, давления, температуры и другие аналогичные физические величины. Однако понятие состояния применимо к анализу не только физических, но также биологических, социальных и экономических систем. Для этих систем понятие состояния не ограничивается рамками представлений об энергии и подходит к переменным состояния в более широком смысле, трактуя их как переменные любой природы, описывающие будущее поведение системы.
Дифференциальные уравнения состояния
Состояние системы описывается дифференциальными уравнениями первого порядка относительно каждой из переменных состояния. Эти уравнения в общем случае имеют следующий вид:
(2.25)
…………
где . Эту систему дифференциальных уравнений можно записать в матричной форме:
(2.26)
Матрица-столбец, состоящая из переменных состояния, называется вектором состояния и имеет вид:
(2.27)
где полужирное начертание символа означает вектор. Вектор входных сигналов обозначается как и. Тогда систему можно описать в компактном виде дифференциальным уравнением состояния
(2.28)
Уравнение (2.28) часто называют просто уравнением состояния.
Матрица А является квадратной размерности п×п, а матрица В имеет размерность п×m. Уравнение состояния связывает скорость изменения состояния системы с самим состоянием и входными сигналами. В общем случае выходные сигналы линейной системы связаны с переменными состояния и входными сигналами уравнением выхода
(2.29)
где y - совокупность выходных сигналов, представленная в виде вектора - столбца.
Воспользовавшись уравнениями (2.28) и (2.29) запишем уравнение состояния RCL-цепи
(2.30)
Уравнение выхода будет иметь вид:
(2.31)
Если R=3, L=1, C=1/2, то
и
Решение дифференциального уравнения (2.28) можно получить точно также, как решается скалярное дифференциальное уравнение первого порядка. Рассмотрим уравнение
(2.32)
где и - скалярные функции времени. Решение будем искать в виде экспоненты . Преобразуем уравнение (2.32) по Лапласу, получим
откуда
. (2.33)
Обратное преобразование Лапласа уравнения (2.33) дает искомое решение
(2.34)
Аналогично получается и решение дифференциального уравнения состояния. Прежде всего введем в рассмотрение матричную экспоненциальную функцию, представив ее в виде ряда
(2.35)
который сходится для всех конечных t и любой А. Тогда решение уравнения состояния будет иметь вид:
(2.36)
Решение (2.36) можно также получить, применив преобразование Лапласа к уравнению (2.28) и сгруппировав члены. В результате получим:
(2.37)
где можно ввести обозначение , что является преобразованием Лапласа функции . Применив к (2.37) обратное преобразование Лапласа и учитывая, что второе слагаемое в правой части содержит произведение , мы и получим решение (2.36). Матричная экспоненциальная функция описывает свободное движение системы и называется фундаментальной матрицей или переходной матрицей состояния. Таким образом, решение (2.36) можно записать в виде:
(2.38)
В результате для свободного движения системы (в случае когда u=0) решение можно записать так:
(2.39)
Отсюда легко можно видеть, что для того чтобы определить переходную матрицу состояния, необходимо начальные значения всех переменных состояния кроме одной положить равными нулю и вычислить реакцию каждой переменной состояния на это ненулевое значение. Иначе говоря, элемент φij(t) представляет собой реакцию i-й переменной состояния на начальное значение j-й переменной состояния при условии, что начальные значения всех остальных переменных состояния равны нулю. Мы воспользуемся этим свойством в последующих разделах при вычислении элементов переходной матрицы состояния. Однако сначала мы рассмотрим несколько моделей систем в переменных состояния, представленных в виде сигнальных графов, и покажем, как с их помощью можно исследовать устойчивость систем.