715

Чтобы убедиться, что последнее соотношение является решением дифференциального уравнения (1.7), достаточно взять вторую производную по времени от решения (1.8) и подставить это выражение вместе с условием (1.8) в дифференциальное уравнение (1.7).

Постоянные коэффициенты С1 и С2 могут быть определены из начальных условий. Пусть в начальный момент времени известны отклонение массы у0 и ее начальная скорость у&0 : при t = 0: у(0) = у0, y&(0)= y&0.

Тогда, учитывая, что y&(t)= C1ωcos(ωt)− C2ωsin(ωt), в момент времени t = 0

y(0)= C ,		C = y0					,
					&
	2		1
&						ω
		откуда
y(0)= C1ω.					= y		.
		C		2
					0

Таким образом, решение (1.8) приобретает вид

&
y(t)=	y0	sin(ωt)+ y		cos(ωt).	(1.9)
			0
	ω

Решение дифференциального уравнения (1.7) будет более наглядно, если от постоянных С1 и С2 перейти к другим постоянным A и ϕ по формулам

C = Acosϕ		,
1	0		(1.10)
C2 = Asinϕ0.
Тогда равенство (1.9) приобретает вид:
y(t)= Acos(ϕ0 )sin(ωt)+ Asin(ϕ0 )cos(ωt)
или
y(t)= Asin(ωt + ϕ0 ),			(1.11)

где y(t) — отклонение массы от положения статического равновесия; А — максимальное отклонение от положения статического равновесия, которое будем называть амплитудой колебаний; ϕ0 — начальная угловая фаза колебаний.

На рис. 1.14 буквой Т обозначен период колебаний — время, за которое колеблющаяся масса совершает одно колебание. Из курса физики известно, что величина, обратная периоду, называется частотой колебаний

ν = 1

Т

и определяет число колебаний в единицу времени.

Рис. 1.14. График изменения положения массы при ее свободных колебаниях без учета сил сопротивления

Установим физический смысл постоянной ω, которая входит в дифференциальное уравнение (1.7) и в решения (1.9) и (1.11). Анализируя график на рис. 1.14, можно сделать вывод:

(ωt2 + ϕ0 )− (ωt1 + ϕ0 )= 2π, ω(t2 − t1 )= ωT = 2π,

ω =	2π	= 2πν.	(1.12)
	T

Таким образом, физический смысл постоянной ω связан с частотой колебаний ν, которая, будучи умноженной на 2π, называется круговой частотой колебаний. Амплитуда и фаза колебаний может быть определена через постоянные С1 и С2, которые ранее введены равенством (1.10):

10

						=	C2	.
A = C2		+ C2	,	tgϕ
1		2			0		C
						1

Вычислим силу инерции, возникающую в процессе колебаний системы. Из равенства (1.11)

&y&(t)= −Aω2 sin(ωt + ϕ0 ), тогда (см. соотношения (1.1) и (1.11))

&&	2	2	(1.13)
I(t)= −my(t)= mAω sin(ωt + ϕ0 )= mω y(t).

Отметим, что знак этой силы совпадает со знаком перемещения y(t). Значит, она всегда направлена в сторону, противоположную от положения статического равновесия. Наибольшее значение силы инерции возникает в момент времени, когда перемещение колеблющейся массы у(t) достигает максимального значения, а именно амплитудного значения: уmax(t) = A. Следовательно:

I	max	= mAω2.	(1.14)

Таким образом, кроме статической внешней нагрузки в амплитудном положении при свободных колебаниях на систему действует сила инерции, которая при определенных условиях усугубляет внешнее воздействие от постоянно действующих сил (см. рис. 1.15). Кроме того, любые колебания упругой системы можно рассматривать как усталостное нагружение, которое также следует учитывать при анализе несущей способности сооружения.

Рис. 1.15. Совместное действие постоянных нагрузок (веса массы G) и силы инерции в амплитудных положениях массы

при свободных колебаниях

1.2.2.Свободные затухающие колебания

Вэтом случае в дифференциальном уравнении (1.5) возмущающая сила Р(t) по-прежнему равна нулю, а сила трения R(t) ≠ 0. Будем считать, что справедлива гипотеза Фойгта, и тогда уравнение (1.5) перепишем в виде

&&	&		2	y = 0 ,	(1.15)
y	+ 2ny + ω
где
	n =	β			(1.16)
		2m

называется коэффициентом затухания колебаний и для рассматриваемой системы является постоянной величиной.

Уравнение (1.15) относится к классу однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение известно из курса высшей математики:

y(t)= e	−nt [B cos(ω t)+ B			sin(ω t)],	(1.17)
	1	1	2	1
где
	ω =	ω2 − n2			(1.18)
	1

круговая частота затухающих колебаний. В большинстве случаев для реальных конструкций ω >> n, поэтому в дальнейшем будем считать, что ω1 ω (ниже будет доказано последнее утверждение).

Как и ранее, постоянные В1 и В2 находятся из начальных условий при известных значениях перемещения и скорости массы в момент времени t = 0. С другой стороны, эти постоянные можно выразить через другие константы

B1 = Bcos(ϕ01t), B2 = Bsin(ϕ01t).

11

Тогда решение (1.17) можно представить в виде
y(t)= Be	−nt sin(ω t + ϕ	01	).	(1.19)
	1

Получено уравнение гармонических колебаний с переменной во времени амплитудой

A(t)= Be−nt .

Заметим, что с течением времени амплитуда будет уменьшаться и при t → ∞ A(t)→ 0 . Таким образом, колебания будут затухать (рис. 1.16).

Рис. 1.16. График изменения положения массы при ее свободных колебаниях с учетом сил трения

Рассмотрим амплитудные значения колебаний в моменты времени, различающиеся через период (см. рис. 1.16).

y1 = Be−nt1 sin(ω1t1 + ϕ01)= Be−nt1 ,

y2 = Be−n(t1 +T ) sin[ω1(t1 + T )+ ϕ01]= Be−n(t1 +T ),

y3 = Be−n(t1 +2T ) sin[ω1(t1 + 2T )+ ϕ01]= Be−n(t1 +2T )

и т.д.

Записывая отношение соседних амплитуд, получаем:

	y1	= e−nt1 +nt1 +nT = enT ,	y2	= e−nt1 −nT +nt1 +2nT = enT и т.д.
	y2		y3

Следовательно, отношение соседних амплитуд есть величина постоянная:

y1 = y2 ... = enT = const. y2 y3

Таким образом, ряд максимальных ординат (амплитуд) образует геометрическую прогрессию, а скорость затухания периодических колебаний может быть записана в виде зависимости амплитуды k + 1-го колебания от значения первой

yk+1 = eyknТ1 .

Однако целесообразнее выразить скорость затухания через логарифмический декремент колебаний:

	y	k
δ = ln				= nT.	(1.20)
	yk+1

2π

Поскольку T = ω1 и ω1 ω, то с учетом равенств (1.6) и (1.16) последнее условие можно переписать в виде:

	δ =	2πn	=	2πβ	=	πβ	δ ω2	≈ πβδ ω.	(1.21)
		ω		2mω		ω
							11	11
		1		1		1

Иногда соотношение (1.20), c учетом равенства (1.12), записывают через линейную частоту колебаний системы:

n = δ = δω1 = δν .

Т 2π

12

На величину β, а значит, коэффициента затухания n, оказывает влияние множество факторов, которые невозможно учесть иначе, кроме как экспериментально. Поэтому для определения влияния сил трения на колебания системы проводят эксперимент: выводят конструкцию из положения статического равновесия и при помощи специальных приборов (механических или электронных вибрографов) записывают собственные колебания массы подобно рис. 1.16. Анализируя этот график, можно непосредственным измерением найти величину периода, а также, измерив амплитуды соседних колебаний (см. равенство (1.20)), значение логарифмического декремента колебаний. После чего из соотношения (1.20) определяется значение коэффициента затухания, который учитывает все потери энергии в колеблющейся системе.

Если прежде утверждалось, что для реальных инженерных сооружений ω1 ω , так как n << ω, то теперь докажем это. С одной стороны, δ = 2πnω1 (см. равенство (1.21)), а с другой — из соотношения (1.18) ω1 = ω2 − n2 , с учетом этих обстоятельств

			δω	2
	n2	=	1
			2π
		= ω2 − ω12.
	n2

Исключая из этой системы параметр n, получаем

ω1 =		ω
						.
			δ 2
	1+
			2π

Рассмотрим случай с очень быстрым затуханием, когда на каждом цикле амплитуда уменьшается

вдвое: Ak = 2 . Тогда δ = ln2 =

Ak+1

	= 0,693 и
	ω1 =			ω			= 0,994ω .
				0,693 2
		1+
				6,28
	Тем самым частоты ω1 и ω равны с погрешностью 0,6 %.
	Теоретически, связь между частотой свободных колебаний системы
	и логарифмическим декрементом колебаний осуществляется между
	собой линейной зависимостью (см. (1.21)). Ту же зависимость можно
	определить экспериментально. Для этого в системе, имеющей одну
	степень свободы, можно изменять величину массы и измерять частоту
	свободных колебаний. Оказывается, что экспериментально измеренный
	при этом логарифмический декремент колебаний практически не меня-							Рис. 1.17. Теоретическое и
	ется для всего диапазона частот (рис. 1.17). Обращаем внимание, что
								экспериментальное изменение
	эти графики существенно не совпадают. Вероятно, это противоречие							логарифмического декремента
	объясняется неверностью гипотезы Фойгта (1.4). Но в силу простоты и							колебаний в зависимости от
	удобства эта гипотеза используется до сих пор.							частоты свободных колебаний

1.3. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы

Возмущающие (вибрационные) нагрузки на упругую систему в большинстве случаев действуют со стороны работающих механизмов, которые имеют вращающиеся неуравновешенные массы. Например (см. рис. 1.18), ротор электродвигателя массой mР имеет центр масс, который смещен от оси вращения на расстояние ρ. Осуществить идеальную центровку реального двигателя практически невозможно. Поэтому всегда ρ ≠ 0. Пусть паспортная скорость вращения такого двигателя равна n, который обычно задается в оборотах в минуту (не путать с коэффициентом затухания колебаний). Зная эту характеристику, несложно определить круговую частоту возмущающей силы, измеряемую в радианах в секунду:

13

θ= πn . 30

Рис. 1.18. Схема балки, нагруженной центробежными силами со стороны неуравновешенных масс электродвигателя

Если включить такой двигатель, то возникнет центробежная (возмущающая) сила, которую можно определить из соотношения

P = mρθ2 .	(1.22)
0

Ее в дальнейшем будем называть амплитудным значением возмущающей силы. В общем случае эта сила имеет вертикальную и горизонтальную проекции. Однако если принять во внимание, что деформация растяжения-сжатия много меньше, чем деформация изгиба, то горизонтальной составляющей возмущающей силы можно пренебречь. Следовательно, при расчете сооружений на гармоническую нагрузку возмущающая сила может быть представлена в виде (см. рис. 1.19):

Рис. 1.19. Расчетная схема балки, нагруженной возмущающей силой

P(t)= P0 sin(θt).

(1.23)

Под действием этой силы, изменяющейся во времени с частотой θ, балка будет совершать периодические движения, которые будем называть вынужденными колебаниями.

1.3.1. Вынужденные колебания системы без учета сил трения

В случае, когда силы трения равны нулю, уравнение (1.5) приобретает вид

&&	2		P0	sin(θt).
	+ ω	y =			(1.24)
y			m

Это соотношение можно классифицировать как неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение состоит из двух слагаемых

				~	(t):
		у(t)= y(t)+ y
первое		(t) — общее решение однородного дифференциального уравнения (когда в правой ча-
	y

сти соотношения (1.24) стоит ноль, то есть это, по сути, уравнение (1.7)), решение которого получено в п. 1.2.1 (см. равенство (1.11)):

				(t)= Asin(ωt + ϕ0 ),
			y
это соотношение описывает свободные колебания системы.
~	(t) — частное решение неоднородного дифференциального уравнения (1.24), которое
второе y
найдем простым подбором
	~				P0
	у	(t)=			m(ω2 − θ2 )sin(θt).	(1.25)

Подставляя последнее соотношение в уравнение (1.24), убеждаемся, что оно выполняется. В итоге общее решение уравнения (1.24) представляет собой сумму свободных (с частотой ω) и вынужденных (с частотой θ) колебаний:

y(t)= Asin(ωt + ϕ0 )+ m(ω2P0− θ2 )sin(θt).

14

Прогибы	~	(t) описывают вынужденные колебания массы. Важно, что в этом случае эти коле-
	y

бания происходят с той же частотой и той же фазой, что и возмущающая сила. Амплитуда вынужденных колебаний получается из равенства (1.25):

A = ymax	(t)=	P0			=	P0					.
		m(ω2	− θ2 )					θ2
						mω2 1	−
									2
								ω

С учетом равенства (1.6), последнее соотношение представим в виде:

A = P0δ11	1			= yстµ ,	(1.26)
	1−	θ2
		ω2

где yст = P0δ11 — перемещение колеблющейся массы при статическом приложении на конструкцию амплитудного значения силы Р0; — коэффициент нарастания колебаний, который можно интерпретировать как динамический коэффициент:

µ =		1			.
	1−		θ2
			ω2

При совпадении частоты свободных колебаний ω и частоты возмущающей силы θ µ → ∞ и, следовательно (см. представление (1.26)), А → ∞ (рис. 1.20).

Явление резкого увеличения амплитуды колебаний, возникающее вследствие совпадения частоты свободных колебаний конструкции и частоты возмущающей силы, называется резонансом.

Рис. 1.20. Изменение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от частоты возмущающей силы

Важно, что при отсутствии сил трения в момент наступления резонанса величина силы инерции может достичь неограниченно большого значения, что в свою очередь может привести к разрушению сооружения. Дифференциальное уравнение (1.24) движения колеблющейся массы при резонансе (θ = ω) без учета сил трения принимает вид:

&y& + θ2 y = P0 sin(θt). m

Его общее решение может быть представлено в виде:

y(t)= Asin(θt + ϕ0 )− P0tθ cos(θt). 2m

15

График функции у(t) представлен на рис. 1.21. Отметим важный факт. Максимального (по сути, равного бесконечности) значения амплитуда колебаний достигает не мгновенно: после каждого колебания она увеличивается по линейному закону, и теоретически со временем растет до бесконечности.

1.3.2. Вынужденные колебания системы с учетом сил трения

Реальные конструкции в процессе совершения колебаний всегда испытывают сопротивление со стороны окружающей среды. В этом случае дифференциальное уравнение движения массы (1.5) с учетом всех сил, действующих на массу, может быть записано в виде:

&&	&	2	y =	P0	sin(θt),	(1.27)
y	+ 2ny + ω

m

Рис. 1.21. Процесс нарастания вынужденных колебаний при резонансе

которое классифицируется как неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение состоит из двух слагаемых: общего решения однородного дифференциального уравнения (1.15), имеющего вид (1.19), и частного решения неоднородного дифференциального уравнения (1.27):

y(t)= Be	−nt sin(ω t + ϕ					01	)+ Asin(θt + ϕ			0	),	(1.28)
	1
где
A =		P0				1			,
		m (ω2 − θ2 )2 + 2n2θ2

2nθ tgϕ0 = − (ω2 − θ2 ).

Решение дифференциального уравнения (1.27) состоит из двух частей:

–первое слагаемое — свободные колебания с частотой ω, затухающие во времени;

–второе слагаемое — гармонические колебания с постоянной амплитудой.

Чтобы наглядно представить процесс колебаний, следует графически сложить эти два процесса (рис. 1.22). Когда возникает возмущающая сила (включается электродвигатель, установленный на конструкции), массе сообщается начальная скорость, в результате чего возникают свободные колебания с частотой ω — первое слагаемое в соотношении (1.28). Одновременно с этим возмущающая сила, непрерывно и периодически воздействуя на массу с частотой θ, также сообщает массе возвратнопоступательные движения — второе слагаемое в равенстве (1.28). Однако из анализа решения (1.28) следует, что с течением времени первое слагаемое, связанное со свободными колебаниями, затухает, и, как это показано в п. 1.2.2, для реальных систем этот процесс происходит достаточно быстро. Поэтому по истечению непродолжительного промежутка времени с начала колебаний перемещение массы будем описывать соотношением

y(t)= Asin(θt + ϕ0 ).

(1.29)

Рис. 1.22. Процесс вынужденных колебаний с учетом собственных колебаний системы

Сравнив соотношения (1.23) и (1.29), отметим, что частота вынужденных колебаний массы совпадает с частотой возмущающей силы. Однако эти колебания запаздывают на фазу ϕ0. То есть максимальное отклонение y(t) не совпадает по времени с максимальным значением возмущающей силы P(t). Эта фаза равна нулю в двух случаях. Во-первых, если отсутствует сила сопротивления, о чем говорилось ранее в п. 1.3.1. Во-вторых, если масса m очень велика (см. равенство (1.16)). Запишем выражение амплитуды вынужденных колебаний в форме

16

A =

P0

1

=

m

(ω2 − θ2 )+ 2n2θ2

=

P0

1

= yстµ ,

(1.30)

mω2

θ 2 2

n2

θ2

1

−

+ 4

ω

ω2

ω2

где y

=

P0

= P δ как и ранее — перемещение колеблющейся массы при статическом приложении

mω2

ст

0 11

на конструкцию амплитудного значения силы Р0; — коэффициент нарастания колебаний

µ =

1

.

(1.31)

θ 2 2

n2

θ2

1

−

+ 4

ω

ω2

ω2

Сила инерции (см. равенство (1.1)), действующая на колеблющуюся массу с учетом решения

(1.29), равна				sin(θt + ϕ0 ).
I(t)= −my = mAθ			2
&&
Максимальное (амплитудное) значение силы инерции равно
I	max	= mAθ2 .			(1.32)

Отметим, что в (1.32) максимальное значение силы инерции зависит от величины амплитуды, которое, в свою очередь, определяется коэффициентом нарастания колебаний (см. представления (1.30), (1.31)). Максимального значения коэффициент нарастания колебаний достигает при совпадении частот свободных и вынужденных колебаний, то есть при наступлении резонанса. В этом случае при наличии сил трения (n ≠ 0) амплитуда колебаний (Ар) не достигает бесконечного значения, как это было при анализе вынужденных колебаний системы без учета сил сопротивления (см. п. 1.3.1). Из соотношения (1.30)

получаем формулу определения амплитуды
A = y		ω	.	(1.33)
Р	ст 2n

Конечно, амплитуды колебаний и силы инерции достигают значительных (а зачастую неприемлемых) значений не только в случае, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой свободных колебаний. Особого внимания так же заслуживают значения частот возмущающей силы немного меньших и немного больших значения частоты свободных колебаний. Согласно строительным нормам и правилам, установлен диапазон частот, примыкающих к резонансной частоте, являющихся опасными для эксплуатации строительных конструкций. Диапазон значений частоты 0,8ω < θ < 1,2ω будем называть резонансной зоной.

Отметим важное свойство: чем больше силы трения (чем больше рассеивание энергии в процессе колебаний), тем меньше амплитуда вынужденных колебаний, значит тем меньше значения силы инерции (см. равенства (1.32), (1.33)), тем безопаснее работает конструкция (см. рис. 1.23). Поэтому для уменьшения сил инерции, которые могут возникнуть, когда система по каким-либо причинам будет находиться в резонансной зоне, специальными инженерными приемами в систему вводят дополнительное трение. Устанавливают специальные устройства — демпферы.

17

Рис. 1.23. Изменение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от частоты возмущающей силы при наличии сил трения

Запишем значение силы упругого сопротивления с учетом (1.2) и (1.6)

S(t)= y(t) = mω2 y(t).

δ11

С другой стороны, сила инерции с учетом (1.29) равна

I(t)= −m&y&(t)= mAθ2 sin(θt + ϕ0 )= mθ2 y(t).

В итоге в момент резонанса (θ = ω) получаем равенство S(t)= I(t). Следовательно (см. п. 1.2), при резонансе возмущающая сила может быть уравновешена только силой вязкого сопротивления:

P(t) = R(t).

Напомним, что (см. представление (1.4)) R(t)= βy&(t), и, если коэффициент β достаточно мал (это

характерно для реальных конструкций), то R 0. Таким образом, если рассматриваются колебания упругой системы при условии, что частота вынужденных колебаний не находится в резонансной зоне, то силами трения обычно пренебрегают. При резонансе (θ = ω) силами трения пренебрегать нельзя. Иначе возмущающая сила не будет уравновешена.

В случае наличия сил сопротивления (n≠0) амплитуда колебаний возрастает, асимптотически приближаясь к значению АР, которое может быть рассчитано по формуле (1.33). Процесс нарастания амплитуды колебаний в этом случае представлен на рис. 1.24. Отметим немаловажный факт: максимального значения амплитуда достигает не сразу, а по истечению некоторого времени.

Рис. 1.24. Процесс нарастания вынужденных колебаний при резонансе в случае наличия сил сопротивления

1.4. Колебания систем с конечным числом степеней свободы

Вупругих системах, имеющих конечное число степеней свободы, положения масс (m1, m2, m3 … mi

…mn) в произвольный момент времени описываются независимыми координатами: у1, у2, у3… уi… уn (рис. 1.25). Введем следующие допущения, которые будем использовать в дальнейшем при рассмотрении процесса движения такой системы.

Рис. 1.25. Система, имеющая n степеней свободы

1. Колебания масс происходят по типу стоячей волны. Это значит, что частоты и фазы колебаний всех масс одинаковы. Говорят, что колебания масс синхронны (колеблются с одинаковой частотой) и синфазны (все массы имеют одинаковые фазы), если перемещения масс можно записать в виде:

y1(t)= A1 sin(ωt + ϕ0 ), y2 (t)= A2 sin(ωt + ϕ0 ),

..........................................

yn (t)= An sin(ωt + ϕ0 ),

18

тогда в фиксированные моменты времени t1 и t2 перемещения масс подчиняются условию

y (t )		=	y (t )				= ... =	y	(t )
1 1				2	1			n 1		.
y (t )			y	2	(t )			y (t )
1 2					2			n	2

Если последнее равенство не выполняется, то колебания реализуются по типу бегущей волны. 2. Силами трения будем пренебрегать. Это объясняется тем обстоятельством, что для реальных конструкций силы трения по сравнению с возмущающими и инерционными силами достаточно малы (см. п. 1.3.2), и лишь в случае наступления резонанса силы трения существенно влияют на величину силы инерции. Следовательно, при исследовании вынужденных колебаний считаем, что

колебания происходят за пределами резонансной зоны, определенной в п. 1.3.2.

1.4.1. Свободные колебания

Силы инерции, действующие на массы в процессе их движения (см. п. 1.2.1 и формулу (1.13)) , всегда направлены в сторону противоположную от положения статического равновесия. При свободных колебаниях на конструкцию действуют только силы инерции, которые представим в виде:

	I	1	(t)= m ω2 y		(t),
			1	1
	I	2	(t)= m	ω2 y	2	(t),
			2				(1.34)
	...............................
	I	n	(t)= m	ω2 y	n	(t).
			n

Определим перемещение yi(t) i-й массы. Воспользуемся принципом независимости действия сил. Можно считать, что это перемещение складывается из перемещений от всех сил инерции I1(t), I2(t), I3(t)… Ii (t)…In (t), действующих на рассматриваемую конструкцию. Пусть на систему приложена только одна сила, равная по величине единице, и действует она по направлению силы Ii (t). В этом случае все массы испытают перемещения, которые обозначим как δ1i , δ2i , δ3i ...δni . Эти перемещения можно определить обычным способом как это принято в классической строительной механике путем сопряжения соответствующих единичных эпюр. Если вместо единичной силы будет приложена сила инерции Ii (t), то перемещения δ1i , δ2i , δ3i ...δni увеличатся в Ii (t) раз. Если же на рассматриваемую систему одновременно действуют n сил инерции, то соответствующие перемещения масс можно представить в виде

y1(t)= δ11I1(t)+ δ12I2 (t)+ ... + δ1nIn (t)
y2 (t)= δ21I1(t)+ δ22I						2 (t)+ ...+ δ2nIn (t)
.................................................................
		(t)= δ	I (t)+ δ				(t)+ + δ				(t).
y	n			n2	I	2		nn	I	n
			n1 1

Или, выразив силы инерции через прогибы (см. соотношения (1.34)), получим:

y (t)= δ m y (t)ω2

+ δ m y

2

(t)ω2 + ...+ δ m y

n

(t)ω2

1

11 1 1

12 2

1n n

y

(t)= δ m y (t)ω2

+ δ

m y

(t)ω2 + ... + δ

m y

(t)ω2

2

21 1 1

22 2

2

2n n

n

.....................................................................................

y

n

(t)= δ

m y (t)ω2

+ δ

m y

2

(t)ω2 + ... + δ

m y

n

(t)ω2.

n1 1 1

n2 2

nn n

Так как колебания происходят по типу стоячей волны, то силы инерции достигают максимального значения при амплитудном значении перемещений yi(t). Прежде амплитуда колебаний обозначалась буквой А. В дальнейшем амплитуды перемещений будем обозначать как: v1, v2, v3, …, vn. В этом случае максимальное значение силы инерции i-й массы равно

I	imax	= m v ω2 .
			i	i
Обозначив
	λ =		1	(1.35)
			ω2

и проведя алгебраические преобразования исходной системы уравнений, окончательно получаем систему уравнений:

19