715

x= l1 + l 2 :

x= 0 :

x= 0 :

x= l1 :

x= l1 :

x= l1 :

y2 = δ2,

y1 = 0, y1′ = 0,

y1 = y2, y1′ = y′2, y1′′ = y′2′,

Подставив в эти граничные условия общие интегралы дифференциальных уравнений (2.55) и (2.56), получаем систему однородных линейных алгебраических уравнения, откуда, приравняв нулю ее главный определитель, приходим к уравнению:

tg(n l		)tg(n l		)=	n2		Р1 + Р2	.	(2.58)
	1		2
1		2			n1		Р1

В уравнение (2.58) в явном и неявном (см. выражения (2.54), (2.57)) виде входят две сжимающие силы, которые без дополнительных условий определить нельзя. Однако решение уравнения (2.58) возможно, если силы Р1 и Р2 образуют однопараметрическую систему сил. При большем числе участков схема решения сохраняется, однако задача значительно усложняется.

Аналогично случаю действию нескольких сил на стержень постоянного сечения, для ступенчатого стержня А.П. Коробов предложил простой способ расчета приближенного значения силы Ркр, дающий заниженное значение ее величины.

2.5.3.2. Расчет стоек с непрерывным изменением жесткости

Задача по-прежнему решается статиное уравнение изогнутой оси в возмужет быть представлено в виде:

M (x)= P(δ − y)= EJ(x)y′′,

откуда

y′′ +	P		Pδ
		y =		.	(2.59)
	EJ(x)		EJ(x)

Уравнение (2.59) — это неоднородвторого порядка с переменными коэфких дифференциальных уравнений знашения дифференциальных уравнений с Пусть функция жесткости стержня из-

Рис. 2.51. Возмущенное состояние стойки с непрерывным

изменением жесткости

ческим методом. Дифференциальщенном состоянии (рис. 2.51) мо-

ное дифференциальное уравнение фициентами. Теория решения тачительно сложнее, чем теория репостоянными коэффициентами. меняется по следующему закону

EJ(x)= EJ0		− α	x m
	1			.	(2.60)
			l

где α, m — некоторые константы (m — целое число).

Если m — нечетное (m = 1, 3, 5, …, (2k – 1)), то решение записывается через функции Бесселя. Это — степенные функции, которые не выражаются через элементарные функции и даются в таблицах, приведенных в справочниках по высшей математики. Если m — четное (m = 2, 4, 6, …, 2k), то решение удается получить в элементарных функциях.

Рассмотрим далее некоторые частные случаи.

1.m = 0 соответствует стержню с постоянной изгибной жесткостью: EJ = const.

2.m = 1. Этот случай соответствует стойке постоянной толщины h0 с линейным изменением шири-

ны b(x)= b0 − k0 x (k0 — известная константа, а h0 < b0 ) (рис. 2.52). Изгибная жесткость такой стойки в произвольном сечении может быть записана:

EJ(x)= E

b(x)h3

b h3

xh3

0

= E

0 0

− k

0

=

0

12

12

12

k

0

k

0

l

x

= EJ

1

−

x

= EJ

1

−

x

= EJ

1− α

.

0

0

0

b0

l

b0

l

80

Здесь обозначено:
		=	b h3		α =	k	l
J			0 0	,		0		, m = 1.
	0		12
						b0

Рис. 2.52. Стойка постоянной толщины, у которой ширина меняется по линейному закону

3. m = 2. Рассмотрим составной стержень в виде фермы (рис. 2.53).

Пусть h(x)= b(x). Поперечное сечение такого стержня в сечении x представляет собой четыре уголка, отстоящие друг от друга на расстоянии h(x) (рис. 2.54). Момент инерции такого сечения с учетом того, что момент инерции уголка относительно собственных осей много меньше добавки за счет параллельного переноса, может быть записан в виде:

h(x)			2	2
J(x)= 4J + 4A			Ah		(x),
	2

где J, А — соответственно момент инерции и площадь одного уголка; h0, hl — соответственно ширина стойки у фундамента и в сечении x = l (рис. 2.53).

Рис. 2.53. Составная стойка	Рис. 2.54. Поперечное
в виде фермы	сечение фермы

Выразим далее значение ширины стойки в произвольном сечении x:

h(x)= h −	h	− h					h	x
	0	l	x = h	1	− 1	−	l				.
0			0				h
		l						l
							0

Тогда изгибная жесткость составного стержня в произвольном сечении будет равна:

EJ(x) ЕAh2 (x)= EAh2				h	x 2
	1	− 1	−	l
0				h
					l
				0

Значения коэффициентов формулы (2.60) для этого случая равны: α =1− hl , m = 2. h0

4. m = 3. Этот случай реализуется для стойки (см. рис. 2.52) при условии, что h0 > b0:

81

EJ(x)= E

b3(x)h0

= E

(b0 − k0x)3 h0

=

12

12

b3h

k

0

l

3

x 3

= E

0 0

1

−

x

= EJ

1

− α

,

0

12

b0 l

l

=

b h3

k

l

где J

0 0

, α =

0

, m = 3.

0

12

b0

5. m = 4. Стойка, имеющая квадратное (круглое) поперечное сечение, с линейным изменением стороны (диаметра):

J(x)= h4 (x) ,

12

h(x)= h −

h

− h

h

x

0

l

x

= h 1

− 1

−

l

.

0

0

h

l

l

0

EJ(x)= EJ

hl

x 4

x

4

0

1

−

1

−

= EJ

0

1

− α

,

h

l

l

0

где α =1− hl , m = 4. h0

Из этих пяти вариантов наиболее важными являются случаи, для которых m = 0, 2, 4. В этом случае решение задачи — «простое». Оно приводится к виду

Pкр = k EJ20 , l

где k = F(α,m) дается в таблицах, которые составлены для случаев разного закрепления концов стержня.

Таблицы приведены, в частности, в книге А.И. Динника «Устойчивость стержней переменного сечения». Для нечетных m решение записывается в бесселевых функциях.

2.5.3.3. Приближенный метод определения критической силы

Если жесткость стержня изменяется непрерывно от участка к участку по своему закону, то задача решается аналогично случаю, когда жесткость меняется по каждому из n участков ступенчато. Для каждого участка последовательно записывается дифференциальное уравнение упругой линии:

yi′′= Mi ((x)) .

EJi x

Для каждого участка записывается свой интеграл, в который входит по две константы, а затем записываются условия опирания и стыковки по границам участков. В итоге получаем 2n однородных уравнений. Аналитическое решение чрезвычайно громоздко, хотя в некоторых случаях, например, для симметричной схемы можно значительно упростить расчет. Для сложных случаев нужно пользоваться справочниками, в которые во многих случаях сведены решения задач. Эффективно использование современных расчетных комплексов: СOSMOS/M, ANSYS и др.

В случае, когда число участков велико и в справочнике нет готового решения, применяют энергетический метод (см. п. 2.2.2). Пусть имеется стойка, имеющая n участков с различной жесткостью и нагруженная m сжимающими силами (рис. 2.56). Уравнение критического состояния записывается в виде (2.11). Изменение энергии деформирования i-го участка (см. равенство (2.13)) при переводе стержня в возмущенное состояние:

Рис. 2.56. Сжатие стойки, имеющей n участков с различной изгибной жесткостью

82

1 li+1

Ui = 2 ∫EJi (x)(y′′)2 dx ,

li

тогда изменение потенциальной энергии за счет изгиба всего стержня:

	1	n	li+1	2
U =		∑ ∫EJ(y′′) dx .
	2 i=1		l
			i

Изменение потенциальной энергии силы Pk (с учетом соотношения (2.14)):

l

Пk = −Pk δk = − Pk ∫k (y′)2 dx . 2 0

Учитывая все силы, расположенные на стойке, получим

	m	Pk	l k	(y′)2 dx .
	П = −k∑=1		∫0
		2

С учетом этих представлений равенство (2.11) приводится к виду:

	1	n	li+1		m	Pk	l k
		∑	∫EJ(y′′)2 dx = ∑				∫	(y′)2 dx .	(2.61)
	2 i=1		l	i	k=1	2	0

Теперь, задавшись соотношениями между силами (Р1, Р2, …, Pm) вида (2.48) и формой функции прогибов y(x), удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, можно, вычислив интегралы, определить критическое значение нагрузки.

2.5.3.4. Стержни с местными ослаблениями

Примеры таких стержней представлены на рис. 2.57. Очевидно, что критическая нагрузка для ослабленного стержня мало отличается от критической нагрузки для стержня, не ослабленного локальными вырезами. Это объясняется тем обстоятельством, что значение критической нагрузки определяется видом изогнутой оси стержня и, следовательно, общей жесткостью стержня. Местное же ослабление мало влияет на общую жесткость стержня и, значит, на вид изогнутой оси стержня. Поэтому обычно при расчете таких стержней местное ослабление не учитывается.

Рис. 2.57. Примеры стержней с местными ослаблениями

Если, тем не менее, требуется учесть ослабление, проще применять энергетический метод или использовать справочники, в которых приведены некоторые наиболее типичные случаи.

2.5.4. Учет влияния поперечной силы на величину критической силы

До сих пор при рассмотрении смежного (возмущенного) состояния равновесия стержня учитывались только изгибные деформации, то есть считалось, что перемещения стойки связаны только с изгибающими моментами. Между тем, в возмущенном состоянии на стойку действуют не только изгибающие моменты, но и поперечные силы (рис. 2.58). Поэтому прогибы стержня должны рассматриваться как сумма:

y = yQ + yM ,

(2.62)

где уМ — прогибы от действия изгибающего момента; yQ — прогибы от действия поперечной силы (рис. 2.59).

83

	Рис. 2.58. Линия прогибов с учетом влияния	Рис. 2.59. Перемещения от действия изгибающего
		момента и поперечной силы
	изгибающего момента и поперечной силы

Обычно считается, что уМ >> уQ, то есть влиянием действия поперечной силы пренебрегается. Однако возникает вопрос: как влияет на значение критической силы учет или не учет действия поперечной силы.

Очевидно, в результате не учета действия поперечной силы (при ее наличии), происходит как бы увеличение жесткости стойки (G → ∞). Следовательно, чем более жесткая стойка (при прочих равных условиях), тем больше должно быть значение критической силы. Отсюда делаем вывод, что не учет влияния поперечной силы увеличивает значения критической силы, то есть такое допущение идет не в запас прочности. По этой причине важно оценить влияние действия поперечной силы на величину критической нагрузки.

2.5.4.1.Стойки сплошного поперечного сечения

Кним относятся сечения, изображенные на рис. 2.60.

Рис. 2.60. Некоторые виды сплошных поперечных сечений стойки

Продифференцируем уравнение (2.62) два раза:
y′′ = y′′	+ y′′ .				(2.63)
Q	M
В равенстве (2.63) по-прежнему: y′′		=	M	, и с учетом того, что M = −Py , перепишем его в ви-
	M		EJ
де:
EJy′′ − EJy′′	+ Py = 0 .				(2.64)
Q

Выразим теперь y′′ через перемещение у. Очевидно, угол сдвига за счет действия поперечной

Q

силы, используя известные равенства из курса сопротивления материалов, может быть выражен в виде:

yQ′ = −γ = −	τ	= −k	Q	.	(2.65)
	G
			GA

Знак «–» объясняется тем обстоятельством, что в рассматриваемом сечении (рис. 2.58) Q > 0, а угол сдвига — отрицательный. Коэффициент k известен из курса сопротивления материалов и учитывает неравномерность распределения касательных напряжений по высоте сечения в зависимости от его вида. В справочниках приводятся значения этого коэффициента:

–круглое сечение: k = 1,11;

–прямоугольное сечение: k = 1,20;

–сечение в виде двутавра: k = 2,50 и т.д. Обозначим

γ =

k

,

(2.66)

0 GA

тогда соотношение (2.65) примет вид:

84

yQ′ = −γ0Q

или

y′′ = −γ Q′ ,

Q 0

но M ′ = Q , следовательно,

y′′	= −γ	0	M ′′ = −γ				0	(− Py)″ .
Q
И окончательно,
	y′′			= γ	0	Py′′ .			(2.67)
		Q

Выясним теперь физический смысл коэффициента γ0. Если в соотношении (2.65) принять Q = 1, то получим формулу (2.66). Таким образом, γ0 — это угол сдвига элемента стойки при действии на него единичной поперечной силы.

С учетом выражения (2.67), дифференциальное уравнение (2.64) запишем в виде:

EJy′′ − EJγ0Py′′ + Py = 0

или

EJ(1− γ0P)y′′ + Py = 0. Вводя обозначение:

n2 =		P		,	(2.68)
	(1− γ	0	P)EJ

приводим это дифференциальное уравнение к известному типу:

y′′ + n2 y = 0 ,

общее решение которого имеет вид:

y = Acos(nx)+ Bsin(nx).

Используя граничные условия: y(0)= y(l)= 0 (см. рис. 2.58), получаем систему линейных однородных уравнений:

A 1+ B 0 = 0

cos( )+ sin( )= 0

A nl B nl

Отсюда: А = 0, и, следовательно, sin(nl)= 0 , то есть nl = mπ (m — это целое положительное число). Таким образом,

n2 = π2m2 ,

l2

или с учетом соотношения (2.68), это равенство приобретает вид:

P

=

π2m2

l2 .

(1− γ

0

P)EJ

Далее, принимая во внимание, что P = Pкр, приходим к выражению:

P =

π2EJ

m2

(1− γ

P ).

кр

l2

0

кр

Обозначив P =

π2EJ

как минимальную критическую силу по Эйлеру (m = 1), полученную без

э

l2

учета действия поперечной силы, после преобразований находим значение критической силы:

Pкр =

Pэ

.

(2.69)

1+ γ

Р

0

э

Равенство (2.69) справедливо и при других условиях опирания стойки.

85

Оценим теперь влияние сдвигов на значение критической силы. Рассмотрим стальную стойку, выполненную из двутаврового профиля, максимально допустимые напряжения в которой не должны превосходить 250 МПа. Тогда:

γ Р =	k	P	=		k	σ		≈	2.50		250 106 = 0,0075 << 1.
									8 1010
0 э	GA э				G		э
Следовательно:
	Pкр		=				Pэ			0,9925Рэ Рэ .
					1+ 0,0075

Погрешность округления меньше 1 %. Поэтому при расчете сплошных стержней влиянием действия поперечной силы пренебрегают. Однако существуют стержни, не имеющие сплошного поперечного сечения. К ним относятся конструкции башенных кранов, опор линий электропередач и т.п. Для таких стержней коэффициент k в (2.65) не имеет смысла. Критическая сила, полученная в виде (2.69), может быть использована, если будет определено значение γ0 из других соображений, чем из формулы (2.66).

2.5.4.2. Составные стойки

Все составные стойки подразделяются на два основных типа:

–стойки со связной решеткой (рис. 2.61);

–стойки со связной планкой (рис. 2.62).

Отличие между этими стержнями в том, что первый из них по характеру работы приближен к ферме, второй — к раме. При расчете составных стержней воспользуемся формулой (2.69), но прежде следует определить значение параметра γ0. Отметим, что расчет стоек как со связной решеткой, так и со связанной планкой подобны, поэтому для примера рассмотрим стержни второго типа (рис. 2.62). Стойка состоит из двух швеллеров (ветвей), имеющих моменты инерции относительно собственных осей Jz и Jy0 (рис. 2.63). Центры тяжести швеллеров отнесены на расстояние b

таким образом, что при потере устойчивости стойка изгибается относительно оси y. Момент инерции относительно оси y0 будем называть «момент инерции ветви». Швеллеры удерживаются на расстоянии b при помощи жестко приваренных планок размерами (b × δ × hпл). Планки установлены с шагом d.

Рис. 2.61.	Рис. 2.62.	Рис. 2.63. Вид стойки со связной
Стойка со	Стойка со	планкой в возмущенном состоянии
связной	связной
решеткой	планкой

Осевой момент инерции планки, относительно которой происходит ее изгиб, составляет (см. рис. 2.63):

J		=	δh3
	пл		пл .
			12

Чтобы определить величину γ0, необходимо приложить к стержню боковую единичную силу i = 1 и определить угол сдвига решетки от действия этой силы (рис. 2.64). Выделим далее из стержня блок высотой, равной шагу планок d, содержащий одну планку. Расчетная схема этого блока представлена на рис. 2.65. Угол сдвига стойки, учитывая малость перемещений, запишем в виде:

86

γ	0	= δ11 .	(2.70)
		d

В центрах ветвей и в центрах панелей имеем точки перегиба (рис. 2.64 и 2.65). В этих местах значения изгибающих моментов равно нулю. Поэтому в эти точки можно поставить шарниры, и при расчете в силу симметрии рассматривать только половину расчетной схемы (рис. 2.66).

Рис. 2.64. Составная стойка,	Рис. 2.65. Расчетная схема части
нагруженная единичной силой	составной стойки, нагруженной
	единичной силой

Рис. 2.66. Эпюры изгибающих моментов от грузовой и единичной нагрузки

Перемещение δ11 определим путем сопряжения эпюры от заданной (которая равна 0,5 (эп. МР)), и единичной (эп. М1) нагрузок (см. рис. 2.66):

δ = {М

М }= 2

d 2

d

d

+ 4

d

d

+

b 2

d

d + 4

d

d

=

Р

11

1

6EJB 4 2

4 8

6EJпл 2

4 8

d3

bd2

d3

b

J

в

=

+

=

1+ 2

.

24EJв

12EJпл

24EJв

d Jпл

С учетом этого соотношение (2.70) приобретает вид:

γ

=

d2

+ 2

b J

в

1

.

0

24EJв

d Jпл

Здесь обозначено

Jв

= J0

— момент инерции ветви. Тогда (см. равенство (2.69)) критическая

сила:

Pкр

=

Pэ

.

(2.71)

P d2

b

J

в

1+

э

1+

2

24EJ

в

d

Jпл

Выражение (2.71)

можно

упростить,

если учесть,

что Jпл >> Jв , а d > b. Поэтому значение

2

b

Jв

<<1. Это слагаемое отбросим, и тогда критическая сила может быть записана в виде:

d Jпл

87

	Pкр	Pэ	.	(2.72)
		P d2

1+	э

24EJв

Приведем дальнейшее упрощение формулы (2.72), выразив критическую силу через характеристики гибкости ветви относительно оси у0 и стойки в целом относительно оси y (рис. 2.63):

λ

= µl , i2

=

Jy

, λ

= µd , i2

=

2Jв

,

у

i

у

A

в

i

в

A

у

в

где λу — гибкость стойки относительно главной центральной оси сечения y; iy — радиус инер-

ции поперечного сечения стойки; l — длина стойки; Jy — момент инерции стойки относительно оси y; А — площадь двух швеллеров, образующих поперечное сечение стойки; λв — гибкость ветви; µ =1 — коэффициент приведенной длины.

С учетом этого преобразуем второе слагаемого знаменателя формулы (2.72):

P d2

π2EJy

d2

π2 Jyd2

π2 d2 Jy 2A

э

=

= 24

=

=

24EJв

l2

24EJв

Jвl2

24

l2

2A

Jв

π2 d2 iy2

π2 d

2

iy

2

π2 λ2в

= 24 l2 i2 2 =

12

i

l

= 12 λ2 .

в

в

y

Приняв значение

π2

≈1, получим:

12

=

Р

Р

=

λ2у

P

э

э

Р

.

кр

1+

π2

λ2в

1+

λ2в

э

λ2у + λ2в

12 λ2у

λ2у

Обозначив приведенную гибкость составной стойки λпр = λ2у + λ2в , получаем известное выражение критической силы

		Р		= Р	λ2у	,				(2.73)
			кр	э λ2пр
	Заметим, что допущение величины 2						b		Jв	≈ 0 давало завышенное значение критической силы,
							d Jпл
		π2
	а допущение величины		≈1, занижало значение Ркр. Таким образом, эти два допущения частич-
		12

но взаимно компенсировали друг друга.

Оценим влияние поперечной силы на значение критической силы составной стойки. Примем λВ = 30 (это значение обычно задается), а гибкость всего стержня λу = 60. Тогда

P	Рэ			=		Рэ		= 0 8Р .
кр		λ2в			1+		1	э
1+
		λ2у			4

На данном примере видно, что значение критической силы составного стержня с учетом сдвиговых деформаций на 20 % меньше значения эйлеровой критической силы. Следовательно, не учет влияния деформации сдвига приводит к завышению расчетного значения критической силы по сравнению с реальной. Эта ситуация является опасной.

2.5.5.Устойчивость стержней

супруго закрепленными концами

Вранее рассмотренных примерах при расчете стоек на устойчивость предполагалось, что их опирание — абсолютно жесткое. Однако в инженерной практике встречаются случаи, когда нельзя

88

пренебрегать упругостью опорных устройств. Рассмотрим несколько примеров, в которых сформулированы подходы исследования устойчивости сжатых стоек с упруго закрепленными концами.

2.5.5.1. Расчет стойки, опертой на упругую заделку

Чаще всего этот случай встречается при расчете стоек, опертых на фундамент, помещенный в податливый грунт. Известно, что реальные грунты, за исключением скальных, не являются абсолютно жесткими. Под действием внешних нагрузок (веса зданий и сооружений) происходит упругое деформирование грунтов и тем самым изменение граничных условий опирания стоек (рис. 2.67).

Решать задачу будем при следующих допущениях:

1.Жесткое смещение стойки не влияет на значение критической силы; поэтому считаем, что вертикальное и горизонтальное смещение фундамента равно нулю;

2.Грунт — упругий, для которого справедлива гипотеза Винклера;

3.Фундамент — мелкого заложения, поэтому боковой нагрузкой со стороны грунта на фундамент пренебрегаем.

С учетом сказанного, расчетная схема рис. 2.68: в центральной части непосредзакреплен шарнирно неподвижной опорой, гими элементами. Введем характеристику

угол, на который повернется заделка, при го единице.

Пример.

Пусть фундамент шириной а опирает- с коэффициентом постели β. При повороцелого на угол ϕ грунт будет воздействоделенной по треугольному закону этой нагрузки относительно центра:

Рис. 2.68. Возмущенное состояние стойки, опертой на упругое основание

стойки представлена на ственно под стойкой фундамент а его поворот ограничен упружесткости грунта: ϕ — это действии на нее момента, равно-

ся на винклеровское основание те фундамента как жесткого вать на него нагрузкой, распре- (рис. 2.69). Запишем момент

M =	1		a 2			a =	q a2	=	βa2			=	βa2	2a
		q					0			y
	2	0 2 3					6		6		0		6	2a

Рис. 2.69. Нагрузки, действующие на фундамент при его повороте

Здесь учтено, что

ϕ = 2y0 . a

Если М = 1, то ϕ = ϕ и, следовательно,

ϕ = 12 .

βa3

Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси стойки (см. рис. 2.68).

у′′ = M = P(δ − y) ,

EJ		EJ
у′′ +	P	y =	Pδ	,
	EJ		EJ
обозначив

89