715

Считая далее угол γ малым, примем							γ			γ		γ
						sin					. И тогда δ 2l			=
							2			2		2
венство (2.8) примет вид
П = −Р		lγ	2		.
2
Запишем изменение потенциальной энергии пружины (рис. 2.22):
U =	RC yC			.							(2.9)
2

lγ2 . С учетом этого ра- 2

	Рис. 2.20. Исходное	Рис. 2.21. Возмущенное
	(невозмущенное)		Рис. 2.22. Система сил,
		положение абсолютно
	положение абсолютно		действующая на
		жесткого стержня
	жесткого стержня		стержень в возмущенном
		с установленным
	с установленным		равновесном состоянии
		грузом Р
	грузом Р

Двойка в знаменателе равенства (2.9) объясняется тем обстоятельством, что в процессе нагружения пружины и увеличения осадки уС увеличивается и реакция RC (рис. 2.23). Потенциальная энергия, запасенная в пружине, равна работе силы, потраченной на ее растяжение, которая, в свою очередь, равна площади заштрихованного треугольника на рис. 2.23. Вместе с тем, при записи соотношения (2.8) учтено, что при опускании груза на любое расстояние δ его вес Р не изменяется. По этой причине здесь двойка отсутствует.

Заметим далее, что RC = cyC , с учетом этого равенство (2.9) перепишем в виде:

U = cyC2 = cγ2a2 .

22

Здесь учтено, что для малых углов tg(γ) γ , поэтому yC = atg(γ) aγ .

В итоге изменение полной потенциальной энергии системы в безразличном состоянии запишется следующим выражением:

	lγ		2			cγ		2a2
П + U = −P					+				= 0.
		2						2
Откуда значение критической силы равно
Р = Р		=		са2			.	(2.10)
кр					l

Равенство (2.10) совпадает с соотношением (2.1), полученным для той же задачи статическим методом.

В отличие от абсолютно жестких систем (шарик на плоскости), при исследовании устойчивости упругих систем полная потенциальная энергия складывается из двух частей. Первая очевидна: это

— энергия упругого деформирования системы U. Вторая: потенциальная энергия груза, который располагается на конце сжимаемого стержня П (см. рис. 2.24),

Э = U + П.

Приращение полной потенциальной энергии при переводе системы из исходного прямолинейного в возмущенное деформированное состояние равно нулю:

Э = U + П = 0,

(2.11)

60

где U — изменение потенциальной энергии деформирования стержня.

И поскольку исходное состояние стержня прямолинейное, то U определяется только изогнутым состоянием стержня (при этом U > 0, так как при изгибе потенциальная энергия стержня увеличивается),

П = −Pδ ;

где δ — это расстояние, на которое опустится груз за счет изгиба стержня (рис. 2.24).

Энергия, связанная с деформацией сжатия, в момент потери устойчивости не изменяется, и поэтому в равенстве (2.11) она не фигурирует. С учетом этого условие (2.11) перепишем в виде:

U = Pδ .

(2.12)

Рассмотрим слагаемые, входящие в (2.11). Изменение потенциальной энергии изгиба стержня известно из курсов сопротивления материалов и строительной механики:

U= 1 ∫l М (х)2 dx , 2 0 EJ

но EJy′′ = M (x), тогда выражение для							U примет вид
	1	l	(EJy	′′ 2		1	l
U =		∫		)	dx =		∫EJ(y′′)2 dx .	(2.13)
			EJ
2		0			2		0

Опускание верхнего шарнира связано только с изгибом стержня. Чтобы оценить это перемещение, рассмотрим опускание сечение стержня x за счет поворота элемента стойки бесконечно малой длины ds (рис. 2.25):

δdx = dx − dxcosγ = (1− cosγ)dx = 2sin	2	γ
			dx .
			2

Рис. 2.24. Изменение положения	Рис. 2.25. Опускание произвольного
груза при его переходе из	сечения стойки за счет поворота
исходного положения	бесконечно малого элемента стойки
в возмущенное

γ		≈	γ		. Учтем также, что	γ tg γ = y′ . И тогда
Для малых углов γ: sin
	2			2

2

γ

γ 2

γ2

tg2

(γ)

(y′)2

δdx = 2sin

dx 2

dx =

dx

dx =

dx.

2

2

2

2

2

Таким образом, опускание верхнего шарнира может быть представлено в виде:

	l	1	l
	δ = ∫δdx =		∫(y′)2 dx .	(2.14)
		2
	0		0

С учетом условий (2.13) и (2.14), равенство (2.12) приобретает вид

	1	l	P	l
		∫EJ(y′′)2 dx =		∫(y′)2 dx .
	2		2
		0		0

Так как рассматриваемое возмущенное состояние стойки соответствует безразличному равновесию, сила входящая в равенство (2.12), Р = Ркр. Окончательно получаем

61

l

∫EJ(y′′)2 dx

P =	0		.	(2.15)
кр		l
		∫(y′)2 dx
		0

Эта формула получена С.П. Тимошенко. Основная проблема в ее использовании состоит в том, что неизвестно уравнение линии прогибов y = y(х). Аналогичная ситуация возникала при анализе собственных частот с использованием метода Рэлея. Как и прежде, в этом случае следует задаться функцией прогибов. Причем, чем точнее это сделаем, тем точнее получим критическое значение сжимающей силы. Заметим, что приближенное значение критической силы, полученное таким образом, всегда имеет завышенное значение по отношение к точному. Однако практическое использование формулы Тимошенко показывает, что достаточно хорошие результаты получаются, если форма прогибов задается таким образом, что выполняются два условия:

–линия прогибов должна соответствовать кинематическим граничным условиям стойки;

–линия прогибов должна иметь минимальное число точек перегиба.

При выполнении этих условий разные формы прогибов, будучи подставленные в формулу (2.15), дают результаты, близкие друг другу, что практически применимо для инженера. Недостаток метода: требование от инженера высокой квалификации и необходимости догадываться о форме прогибов. Однако и в этом случае имеется возможность дать общие рекомендации.

1.Стойку заменяют балкой, нагруженной поперечной нагрузкой, направленной в одну сторону. Затем решается задача изгиба такой балки методами сопротивления материалов. Или готовое решение можно взять из справочника: уравнение линии прогибов балки от заданной нагрузки.

2.Иногда сложно выбрать форму линии прогибов. В этом случае надо задаться несколькими формами и по формуле (2.15) просчитать значения критической силы, из которых окончательно выбрать ту, которая дает наименьшую величину Ркр как наиболее близкому к истинному значению.

Пример

Рассмотрим стержень, шарнирно опертый по концам (см. рис. 2.24). Для такого стержня уравнение

	πx
y(х)= Asin
	l

удовлетворяет вышеперечисленным требованиям для кривой прогиба. Далее вычисляем:

l

2

l

π2

πx

2

A2 π4

∫(y′′)

dx = ∫ A

2 sin

dx =

3 ,

l

l

2

l

0

0

l

2

l

π

πx

2

A2

π2

∫(y′)

dx = ∫

A

cos

dx =

.

0

0

l

l

2

l

Из равенства (2.15) получаем значение критической силы:

Р = EJ	A2	π4		2l	=	π2EJ	.
кр	2l3			A2π2		l2

Получили формулу критической силы, известную из курса сопротивления материалов, потому что точно задали форму прогиба, которую примет стойка в момент потери устойчивости.

62

2.3.Устойчивость стержня, помещенного в упругую среду

Вкачестве примеров эффективности расчета конструкций с использованием энергетического метода можно привести задачи: об устойчивости сваи, забитой

вгрунт; устойчивости плети бесстыкового железнодорожного пути, нагруженного в летний период температурными сжимающими усилиями; устойчивости верхнего пояса открытого моста и т.п.

Рассмотрим расчетную схему сваи, помещенной в грунт, для которого спра-

ведлива гипотеза Винклера с коэффициентом постели β (рис. 2.26). Решать задачу будем энергетическим методом. Условие критического состояния описывается соотношением (2.11). Изменение потенциальной энергии силы (груза весом Р), как и ранее (см. равенство (2.14)), запишем в виде:

		Р	l
	П = −δР = −		∫(y′)2 dx .	(2.16)
	2

Смежная форма равновесия сваи представлена на рис. 2.26 в виде трех полуволн синусоиды. В этом случае со стороны грунта на стержень действует отпор, пропорциональный величине прогиба стержня: q = βy . Изменение упругой

Рис. 2.26. Потеря устойчивости сваи, помещенной в упругий грунт

энергии системы при этом складывается из двух слагаемых: изменение потенциальной энергии стержня и изменение потенциальной энергии грунта:

U = Uст + Uгр .

Изменение потенциальной энергии сваи с учетом равенства (2.13) представим в виде:

	U =	EJ	l	(y′′)2 dx .	(2.17)
		2
	ст		∫0

Изменение потенциальной энергии грунта равна работе, совершаемой силой отпора грунта qdx на боковых перемещениях у:

l

l

l

Uгр =

1

∫0

yqdx =

1

∫0

yβydx =

β2 ∫0

y2dx .

(2.18)

2

2

С учетом равенств (2.16)–(2.18), условие (2.11) запишется в виде:

l

l

l

P

∫(y′)2 dx =

EJ

∫(y′′)2 dx + β

∫ y2dx .

(2.19)

2

0

2

0

2

0

Зададимся теперь формой прогиба. Пусть

y = Asin

mπx

,

l

где А — некоторая константа; m — целое число.

С учетом того, что

mπ

mπx

mπ

2

mπx

y′

= A

cos

,

y′′ = −A

sin

l

l

l

l

и

l

2

l

2

2

mπx

A2 l

mπx

∫ y

dx =

∫

A

sin

dx =

∫ 1− cos

dx =

0

0

l

2

0

l

A2

l

mπx

A2

l

2πm

A2

=

l − ∫cos

dx =

l −

sint

0

=

l,

2

2

0

l

2

2mπ

l

2

2 m2

π2 l

2 mπx

A2

m2π2 l

mπx

∫(y′) dx =

A

∫cos

dx =

∫

1

+ cos

dx = ...

2

2

2

0

l

0

l

l

0

l

63

=

A2

m2π2

l,

2

l2

l

2

A2

m4π4

∫(y′′)

dx = ... =

l

2

l

4

0

соотношение (2.19) приобретает вид:

P

A2 m2π2

l = EJ

A2 m4π4

l + β

2

l2

2

l4

Откуда

l2

π4m4

π2EJ

P =

EJ

+ β

=

m2

+

π2m2

l4

l2

Обозначив

P =

π2EJ

,

Э

l2

окончательно получаем:

A2 l . 2

βl4

π4m2EJ .

			l2		π4m4				βEJ
	Pкр	=		EJ		+ β	= РЭ m2	+		.	(2.20)
			π2m2		l4				m2PЭ2

Таким образом, значение критической силы зависит не только от жесткости, длины стержня и коэффициента постели, которые постоянны для данной системы, но и от числа m. Это число определяет количество полуволн, которое имеет стержень в возмущенном состоянии. Каждому значению числа m соответствует свое значение критической силы. Из всех возможных значений этой силы в расчет следует взять ее минимальное значение. Чтобы определить этот минимум, возьмем производную от Ркр по параметру m и приравняем ее нулю:

∂Ркр = 0, ∂m

откуда

βEJ

Э= 0 .

Врезультате получаем количество полуволн синусоидыР 2m 3 2m PЭ− 2

m = 4 βEJ .			(2.21)
	Р2
	Э

Обычно из формулы (2.21) m получается как дробное число. Однако очевидно: количество полуволн синусоиды должно быть целым числом. Чтобы определить Ркр, величину m округляют до большего и меньшего значения. Затем каждое из этих двух целых чисел подставляют в уравнение (2.20), и из двух полученных таким образом значений силы Р определяют меньшее.

2.4. Метод перемещений в расчете рамных систем на устойчивость

При анализе рамных систем на устойчивость возможно применение как метода сил, так и метода перемещений. В нашем курсе используется метод перемещений, так как он позволяет рассчитывать на устойчивость как статически определимые, так и статически неопределимые рамы. В отличие от метода сил, который позволяет исследовать на устойчивость только статически неопределимые рамы.

2.4.1.Основные допущения при расчете рам на устойчивость

1.Рассматривается узловое приложение нагрузки, которое не вызывает в докритическом состоянии поперечного изгиба рамы. Если нагрузка P не является узловой (рис. 2.27), то ее заменяют статически эквивалентной системой сил P1 и P2, приложенных в узлах рамы (рис. 2.28).

64

Рис. 2.27. Неузловое нагружение рамы	Рис. 2.28. Узловое статически
	эквивалентное нагружение рамы

	P = P	l2	,	P = P	l1	.	(2.22)
	1	l		2	l
2.	Деформации растяжения-сжатия пренебрежимо малы по сравнению с деформацией изгиба.
3.	Расстояния между узлами хотя и изменяются, но в расчете не учитываются.

4. При вычислении перемещений от изгиба учитывается влияние продольных сил на изгибающие моменты.

5. Не учитывается изменение поперечных сил за счет изгиба стержня.

2.4.2. Таблица схем балок и реакций

Рассмотрим консольно защемленный стержень длиной l, обладающий изгибной жесткостью EJ, который нагружен продольной сжимающей силой Р, как это показано на рис. 2.29. Решим задачу об устойчивости этого стержня статическим методом с использованием метода перемещений, известного из курса классической строительной механики. Рассматриваемый стержень один раз кинематически неопределим. Выберем основную систему метода перемещений, для чего введем дополнительную линейную связь (рис. 2.30). Придадим системе малые возмущения. Для этого переместим дополнительную связь на расстояние z1 (рис. 2.31). В результате чего в этой связи возникнет реакция R1. Однако если продольная сила P является критической, то система находится в состоянии безразличного равновесия, тогда выполняется условие R1(Ркр, z1) = 0. (Если Р = Ркр, то для поддержания системы в возмущенном состоянии не нужно никаких дополнительных связей (см. рис. 2.6), значит R1 = 0). Вычислим реакцию R1. Изгибающий момент в сечении x (см. рис. 2.31):

M (x)= −Py − R1x ,
тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси:
y′′ =	M (x)	= −		Py + R1x				,
	EJ					EJ
откуда
y′′ + n2 y = −						R1	x ,		(2.23)
					EJ
здесь обозначено:
	n2 =		P			.			(2.24)
			EJ

Рис. 2.29. Стержень, нагру-	Рис. 2.30. Основная си-
женный	стема
продольной сжимающей силой	метода перемещений

65

Рис. 2.31. Возмущенное состояние основной системы

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.23) состоит из двух частей: общего решения однородного дифференциального уравнения и частного решения неоднородного дифференциального уравнения:

y(x)= C1 cos(nx)+ C2 sin(nx)− R1 x . P

Для определения неизвестных запишем граничные условия:

х= 0 : у(0) = 0,

x = l : у( l ) = z1, y′(l)= 0 .

Первое условие дает:
y(0)= C1 = 0 .	(2.25)

Тогда с учетом соотношения (2.25) два последних граничных условия принимают вид:

	y(l)= C		sin(nl)−	R1		l = z
		2
				P		1
					R1
	y′(l)= C2ncos(nl)−						= 0.
						P

Решение полученной системы линейных уравнений:

С2 = sin(nl)− (zn1l)cos(nl) ,

Pn

R1 = tg(nl)− nl z1 .

Обозначим:

v = nl .

Сдругой стороны (см. равенство (2.24)),

v2 = n2l2 = P l2 ,

EJ

то есть

v = l P . EJ

(2.26)

(2.27)

(2.28)

(2.29)

Если известно значение v, то можно определить величину критической силы (поэтому v называют параметром критической силы):

P = v2	EJ		.	(2.30)
кр	l	2

С другой стороны, значение критической силы известно из решения Эйлера задачи устойчивости прямолинейного стержня:

= π2EJ

Pкр (µl)2 ,

где — коэффициент, учитывающий закрепление стержня.

Сравнивая два последних равенства, получаем еще одну запись для параметра критической силы:

66

	v =	π	.	(2.31)
		µ

С учетом введенного параметра v решения (2.26), перепишем (2.27) в виде:

С2 =	z1		R1 =	Pn
		, а			z1 .
	sin(v)− vcos(v)			tg(v)− v

Отметим, что реакция R1 линейно зависит от перемещения z1. Поэтому часто эту реакцию представляют в виде:

r11(P)z1 = R1 .

Здесь r11(P) имеет тот же смысл, что и в методе перемещений классической строительной механики — это реакция, которая возникает в первой дополнительной связи при ее перемещении на величину z1 = 1. С учетом этого, последнее уравнение может быть переписано

r11(P)= R1 = (Pn)− . tg v v

Как уже отмечалось выше, стержень будет находиться в безразличном положении, а сжимающая сила будет равна критической, если реакция R1 = 0. Это возможно, если tg(v)= ∞ . Следовательно,

v = nl = k π , k = 1, 2, 3, ..., n . 2

Минимальное значение силы Р является критической. Это возможно, если k = 1:

nl =

π

n2l2 =

π2

P

l2 =

π2

P =

π2EJ

.

,

,

,

(2l)2

2

4

EJ

4

кр

Этот результат совпадает с классическим решением Эйлера для стержня, изображенного на рис. 2.29.

Найдем теперь опорные реакции стержня: RA и МА (см. рис. 2.31). Реакцию RA определим, составив сумму проекций сил на ось у:

Pn

RA = R1 = tg(v)− v z1 .

С учетом того, что (см. равенство (2.30))

	Pn = v2			EJ	n = v2	EJ		nl	=	v3EJ
				l2		l2 l				l3
и обозначив z = , а		EJ		= i , получаем:
1		l

RA = R1 =

v3EJ

z

3

=

3EJ

1

l3

tg(v)− v

3

l3

=

3i

v3

.

l2

3[tg(v)− v]

Или

R

=

3i

η

(v),

A

l

2

1

здесь обозначено:

η1(v)= 3[tg(vv3)− v].

v3

3[tg(v)− v] =

(2.32)

(2.33)

В соотношении (2.32) первый сомножитель соответствует значению реакции в заделке при линейном перемещении дополнительной связи на величину в случае, если на этот стержень не действует продольная сила P. Такое значение реакции получено в классическом курсе строитель-

67

ной механики при разработке теоретических основ метода перемещений. Второй сомножитель η1(v) учитывает влияние продольной силы.

Реактивный момент МА определяем из равенства нулю моментов всех силовых факторов относительно заделки (см. рис. (2.31)):

M A	= −P − R1l = −P −	Pn	l = −P		+	v		=
				1
		tg(v)− v
						tg(v)− v

tg(v)

EJ

tg(v)

= −P

= − v2

=

tg(v)− v

l2

tg(v)− v

3EJ

v2 tg(v)

3i

v2 tg(v)

= −

= −

.

l2

3[tg(v)− v]

l

3[tg(v)− v]

Откуда:

M		= −	3i	ϕ (v),
	A
			l	1

где

ϕ (v)= v2 tg(v) .
1	3[tg(v)− v]

(2.34)

(2.35)

Рассматривая изгибающий момент в произвольном сечении стержня (см. рис. 2.31), запишем уравнение:

M (x)= −Py − R1x = −Py − 3i2 η1(v)x ,

l

из которого следует, что, во-первых, изгибающий момент зависит от значения продольной силы P, а, во-вторых, (и в этом отличие от классической строительной механики) эпюра моментов изменяется по некоторому нелинейному закону (см. таблицу балок и реакций).

Аналогично, решая задачу устойчивости стойки с другими условиями закрепления концов, можно получить значения реакций, которые сведены в табл. 2.1.

Заметим, что в отличие от классического метода перемещений, который не учитывает влияние продольной силы на эпюру изгибающих моментов и величины опорных реакций, в задачах теории устойчивости рамных конструкций пользоваться таблицей реакций довольно сложно. Для расчета функций ϕ1(v), ϕ2 (v), η1(v), η2 (v) и т.д. следует либо использовать специализированные расчетные комплексы типа MathCAD и т.п., либо использовать специальные таблицы, в которых эти функции просчитаны для различных значений параметра сжимающей силы v (табл. 2.2).

68

Таблица 2.1

Значения опорных реакций и виды эпюр изгибающих моментов при единичных смещениях дополнительных связей

R

= R

=

3i

η

(v); η (v)=

v3

.

А

B

3[tg(v)− v]

l2

1

1

M

= −

3i

ϕ (v);

ϕ (v)

=

v2 tg(v)

.

3[tg(v)− v]

A

l

1

1

= R

=

12i

η

(v); η

(v)= η

v

R

А

B

2

,

l2

2

1

2

M

= M

=

6i

ϕ

(v); ϕ

(v)= ϕ

v

.

A

B

4

4

1

l

2

R

= R

=

3i

ϕ

(v).

A

B

l

1

М А = 3iϕ1(v).

R

= R

=

6i

η

(v); η3 (v)= ϕ4 (v).

А

B

l

3

М А = 4iϕ2 (v); М B = 2iϕ3 (v).

1−

v

v

−1 .

tg(v)

ϕ

(v)

=

, ϕ

(v)=

sin(v)

2

8

v

v

3

4

v

v

−

−

tg

tg

v

2

2

v

2

2

Таблица 2.2

Значения функций ϕ1(v), ϕ 2 (v ), ϕ3 (v), ϕ4 (v),η1(v), η2 (v)

в зависимости от величины параметра сжимающей силы

v	ϕ1	ϕ2	ϕ3	ϕ4	η1	η2
0,00	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000
0,20	0,9973	0,9986	1,0009	0,9992	0,9840	0,9959
0,40	0,9895	0,9945	1,0026	0,9973	0,9362	0,9840
0,60	0,9756	0,9881	1,0061	0,9941	0,8556	0,9641
0,80	0,9567	0,9787	1,0111	0,9895	0,7434	0,9362
1,00	0,9313	0,9662	1,0172	0,9832	0,5980	0,8999
1,10	0,9164	0,9590	1,0209	0,9788	0,5131	0,8790
1,20	0,8998	0,9511	1,0251	0,9756	0,4198	0,8556
1,30	0,8814	0,9424	1,0296	0,9714	0,3181	0,8306
1,40	0,8613	0,9329	1,0348	0,9669	0,2080	0,8025
1,50	0,8393	0,9226	1,0403	0,9620	0,0893	0,7745
π 2	0,8225	0,9149	1,0445	0,9581	0	0,7525
1,60	0,8153	0,9116	1,0463	0,9567	–0,0380	0,7434
1,70	0,7891	0,8998	1,0529	0,9510	–0,1742	0,7102
1,80	0,7609	0,8871	1,0600	0,9449	–0,3191	0,6749
1,90	0,7297	0,8735	1,0676	0,9383	–0,4736	0,6375
2,00	0,6961	0,8590	1,0760	0,9313	–0,6372	0,5980
2,10	0,6597	0,8437	1,0850	0,9260	–0,8103	0,5565

69