1.4. Примеры решения задач

Пример 1.

По двум бесконечно длинным прямолинейным проводникам, находящимся на расстоянии 10 см друг от друга, текут токи силой 5 А в каждом. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого токами в точке А, лежащей посередине между проводами в случаях: а) проводники параллельны (рис. 1.14) и токи текут в одном (а) или в разных (б) направлениях; в) проводники перпендикулярны, направления токов показаны на рис. 1.14 б). (Уровень 2).

Решение. Результирующая индукциямагнитного поля вданной точке равна векторнойсуммеиндукцийполей,создаваемыхкаждымтокомвотдельности:

		B B1 B2 ,			(1)
где B1 и B2 – индукции полей, создаваемых соответственно токами I1 и I2.
	B2
I1	I2	I	A	I	2
	A	1
	d
	B		B1	B2
	1
	а)	Рис. 1.14		б)

Если токи текут по параллельным проводникам в одном направлении (рис. 1.14 а), то, применив правило правого винта, определяем направления

B1 и B2 . Как видно из рис. 1.14 а B1 и B2 направлены в противоположные стороны, поэтому векторная сумма (1) в данном случае может быть

заменена суммой проекций. Выбрав			направление				B1 положительным,
получаем:
		B B1	B2 .				(2)
Индукция полей, создаваемых бесконечно длинными проводниками
B	0I1	;	B		0I2	,	(3)
	2 r
1			2		2 r
	1			2

121

где r1 и r2 – соответственно расстояния от проводников до точки, в которой определяется индукция магнитного поля.

Согласно условию задачи: r1 = r2 = r = d/2; I1 = I2.= I. Тогда:

а)B 0I 0I 0. 2 r 2 r

Если токи текут в противоположных направлениях, то очевидно, что

б)B B B 0I .

1

2

r

В случае, когда проводники

перпендикулярны (рис. 1. 14 (в)),

A,

d

результирующая индукция в точке

лежащей

посередине

между

B2

2

проводниками, равна

A

d

2

B

B2

B2

;

B1

I1

1

1

2

B

I

2

I

2

I

в)

B

0

0

0

2 ;

Рис. 1.14

2 r

2 r

2 r

в)B 12,56 Гн/м 5А 2

27,63 10 6 Тл 27,63 мкТл.

2 3,14 5 10 2 м

Ответ: а) B 0, б)

B 39,2 мкТл, в)B 27,63 мкТл.

Пример 2.

Прямолинейный проводник изогнут под прямым углом и образует две стороны квадрата длиной a 20 см. В плоскости угла помещен кольцевой проводник радиусом r0 10 см. Сила тока в проводнике I 2 А.

Найти индукцию в центре кольца рис. 1.15а. Влияние подводящих проводов не учитывать. (Уровень 4).

Решение. Индукция dB в точке поля от элемента проводника dl с током I (проводник имеет произвольную конфигурацию) определяется по закону Био – Савара – Лапласа:

	dB	0Idl sin	,	(1)
		4 r2

122

	где r – модуль радиус – вектора, проведенного из элемента в точку, где
		определяется индукция; – угол,
		составленный векторами			dl	и r ; 0 –
		магнитная постоянная.
	r0	Направление		вектора		индукции
		перпендикулярно плоскости,				содержащей
	a
	M	dl и r	(определяется правилом правого
	I
	I	винта). Например,		в центре окружности
		векторы	индукции	от	всех	элементов
	а)
	Рис. 1.15	перпендикулярны плоскости окружности
		и направлены на нас. Интегрируя
	центре окружности радиусом r0	выражение (1), получаем индукцию в

A

I r1
0	1

2 dl

B 2

б)

Рис. 1.15

	B	0I	.	(2)
	1	2r0
	Индукция, создаваемая в точке M			конечным
M	отрезком АВ прямого проводника на расстоянии r0 от
	него

B2 0I (cos 1 cos 2) . 4 r0

Эту формулу в некоторых случаях удобнее использовать в виде (выведите эту формулу самостоятельно, используя рис. 1.15 б)

B		0I	(sin	sin	2	) .	(3)
2		1
		4 r0

Вектор индукции B2 в				точке М перпендикулярен плоскости, в
которой лежат проводник АВ и r0, и совпадает по направлению с B1.
По условию задачи				2		45 . Индукция от двух сторон угла
	1
	0I								0 I						0 I			.
B					2							2				2			(4)
3	4 r0		2						4 r0	2					4 r0

Так как направления создаваемых проводниками векторов индукции полей совпадают, то результирующая индукция B B1 B3 в центре кольца равна сумме

123

I

2

B B B

0

1

;

1

3

2r0

2

12,56 10 7 Гн/м 2

А

2

B

1

15,32 10 6 Тл 15,32 мкТл.

2 0,1 м

2 3,14

Ответ: B 15,32 мкТл

Пример 3.

Два круговых витка с токами I1

и

I2

лежат в одной плоскости и

имеют общий центр. Радиус большего витка 12 см, а меньшего 2 см. Напряженность поля в центре витков равна 50 А/м, если токи текут в одном направлении, и равна нулю, если в противоположных. Определить силы тока в витках. (Уровень 2).

I1	H2
	I1
I2	I2 r2
r
2	r1
r1
H1	H
	1

H2

а) б)

Рис. 1.16

Решение.

Напряженность H магнитного поля, создаваемого кольцевым проводником радиусом r с током I , в центре кольца (см. рис. 1.16) определяется

по формуле H I .

2r

По условию, когда токи имеют одинаковое направление (рис. 1.16 а)

H			I1				I2		; если направление				токов разное (рис. 1.16), то
		2r
1						2r
	1			2
H2			I1				I2		.
			2r1 2r2
Составляем систему уравнений и, решая их совместно, получаем
										I			I	2
										1						50
										2 0,12			2 0,02
										I			I	2
										1						0
										2 0,12			2 0,02

124

	I1			I2		50
							I	6I		12
	0,24	0,04
											I2 1A.
	I1		I2				1		2	I1 6A;
						0	I1 6I2 0
	0,24	0,04

Ответ: I1 6A; I2 1A

Пример 4.

Пройдя ускоряющую разность потенциалов 3,52 кВ, электрон влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция поля 0,01 Тл, радиус траектории r = 2 см. Определить удельный заряд электрона. (Уровень 3).

Решение. Удельным зарядом частицы называется величина, равная отношению заряда к массе, т.е. e/m.

В магнитном поле с индукцией B на заряд, движущийся со скоростью перпендикулярно линиям индукции, действует сила Лоренца FЛ e B . Под действием этой силы заряд перемещается по дуге окружности. Так как при этом сила Лоренца вызывает центростремительное ускорение, то согласно второму закону Ньютона

e B m 2 . r

За счет работы A сил электрического поля (A eU ) электрон

приобретает кинетическую энергию, равную m 2 , поэтому

2

m 2 eU . 2

Исключив из этих соотношений скорость, получим формулу для определения удельного заряда электрона

				e		2U			;
				m B2r2
e		2 3,52	103 B					1,76 1011Кл/кг.
m		10 4 Тл2 4	10 4 м2

Ответ: e 1,76 1011Кл/кг m

125

Пример 5.

Момент импульса протона в однородном магнитном поле напряженностью 20 кА/м равен 6,6 10-23кг·м2/с. Найти кинетическую энергию протона, если он движется перпендикулярно линиям индукции магнитного поля. (Уровень 3).

	Решение. Кинетическая энергия равна K	m 2
			. Протон движется
		2

по окружности радиуса r под действием силы Лоренца FЛ q B , которая

численно равна центростремительной силе, тогда e B m 2 . r

Домножив левую и правую части на 1 , получим

2

K m 2 e Br , 2 2

где K - кинетическая энергия электрона

Из выражения для момента импульса L m r , получим произведение r и, учитывая B 0H , для кинетической энергии запишем

K eBL e 0HL . 2m 2m

K 1,6 10 19 1 12,56 10 7 2 104 6,6 10 23 8 10 17 Дж. 2 1,67 10 27

Ответ: K 8 10 17 Дж

Пример 6.

Виток радиусом 2 см, по которому течет ток силой 10 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией 1,5 Тл. Линии индукции перпендикулярны плоскости витка. Определите работу, совершаемую внешними силами при повороте витка на угол 90 вокруг оси, совпадающей с диаметром витка. Считать, что при повороте витка силы тока в нем поддерживается неизменной. (Уровень 4).

Решение. На виток с током, помещенный в магнитное поле, действует вращающий момент

M pmBsin ,

(1)

где pm IS I r2 – магнитный момент витка; В – индукция магнитного поля; – угол между векторами pm и B .

126

В начальном положении согласно условию задачи виток свободно установился в магнитном поле. Следовательно, векторы pm и B совпадают по направлению, т.е. = 0 и М = 0.

При действии внешних сил виток выходит из положения равновесия, при этом возникает момент сил, определяемых формулой (1). Момент сил стремится возвратить виток в исходное положение. При повороте витка внешние силы совершают работу против этого момента, который является переменным и зависит от угла поворота :

dA Md ;

dA I r2Bsin d .

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу, совершаемую при повороте витка на конечный угол:

	/ 2	/ 2			0 / 2
A		I r2Bsin d I r2B	sin d I r2B( cos )
	0	0

I r2B( cos cos0) I r2B ; 2

A 10 А 3,14 4 10 4м2 1,5 Тл 18,84 10 3Дж 0,02 Дж.

Ответ: A 18,84 10 3Дж 0,02 Дж

Пример 7.

Квадратная рамка со стороной 4 см содержит 100 витков и помещена в однородное магнитное поле напряженностью 100 А/м. Направление поля составляет с нормалью к рамке угол 30 . Какая работа совершается при повороте рамки на 30 в одну и в другую сторону, если сила тока в ней 1А?

(Уровень 3).

Решение. При повороте рамки на 30 по часовой стрелке угол между

B и n равен 1 0 , т.е. рамка расположится перпендикулярно полю. При повороте рамки на 30 в другую сторону угол между B и n равен 2 60 .

Работа при повороте рамки

A I ФN ,

где I – сила тока; N – количество витков; Ф Ф Ф0 – изменение магнитного потока, пронизывающего плоскость рамки, Ф BScos ,

S a2 – площадь рамки, B 0H – индукция магнитного поля, H –

напряженность.

127

Ф0 BScos 0 ; Ф1 BScos 1 ; Ф2 BScos 2 .

В первом случае, когда 1 0 , тогда A1 I 0HSN cos cos 0 .

A1 I 0Ha2N cos0 cos30 .

Подставив значания, получим

						3
	A 1 12,56 10 7	104	42	10 4	1		2,7 10 4 Дж.
	1					2

Для второго случая, когда 2 60

A2 I 0Ha2N cos60 cos30 и

A2 1 12,56 10 7 104 42 10 4 0,5 0,866 7,4 10 4 Дж Ответ: A1 2,7 10 4 Дж, A2 7,4 10 4 Дж

Пример 8.

Ток I течет по стержню диаметром R. Определите зависимость В магнитного поля, создаваемого током, от расстояния, измеряемого от центра стержня, если магнитная проницаемость материала стержня . (Уровень 4).

			Решение. При решении этой задачи
	I		целесообразно воспользоваться законом полного
			тока (теоремой о циркуляции) Bldl 0 I .
	R	r
			Так как сечение проводника – круг, контур
	1

2циркуляции целесообразно взять в виде окружности.

Рис. 1.17 Область пространства (рис. 1.17) относительно центра проводника делится на две части: 1 – первая r R –

в ней течет ток; 2 – вторая r R – в ней ток не течет.

Для первой области: длина произвольно выбранной окружности равна

2 r, в каждой точке ее B направлен по касательной и лежит в плоскости окружности. Поэтому

Bl dl B r 2 r .

Ток, охватываемый контуром, равен

I r j r2

и закон полного тока запишется в виде:

128

B r 2 r 0 j r2 .

Так как j	4I	, получим	B r	4 0Ir	2 0I	r	,
				2 d 2		d2
	d 2
где r – текущая координата, причем r R .
Для второй области (на			рис. 1.17):		контур	циркуляции также

выбираем в виде окружности и, как и для первой области, циркуляция запишется в виде Bl dl B r 2 r . Но какой бы радиус r контура

l

циркуляции не был взят для этой зоны, они будут охватывать весь ток I. Поэтому посколько 1 вне стержня

B r 2 r 0I .

Отсюда

B r 0I , при r R . 2 r

B
BR
R	r
Рис. 1.18

Строим зависимость В от r . Величину индукции на поверхности определим в соответствии с соотношениями (1) и (2), подставляя вместо r величину радиуса проводника

R	d	. Согласно		(1)		при r R слева
2
(изнутри проводника)получаем
				d
			2 0I					0I
		B		2					,
1			d 2					d

а согласно (2) при r R справа (снаружи проводника) имеем

B	0I				0I	.
2	2	d			d
		2

Видим, что функция В от r на границе проводника терпит разрыв, определяемый величиной .

	Ответ: при r R	B(r)	2 0 Ir	, при r R	B(r)	0 I
			d 2			2 r

129

	Пример 9.
	Тонкий стержень длиной l, заряженный с линейной плотностью
	заряда , вращается с угловой скоростью						.	Ось		вращения
	перпендикулярна стержню и проходит на расстоянии а от одного из его
	концов. Определить индукцию магнитного поля в точке А и создаваемый
	стержнем магнитный момент (см. рис. 1.19). (Уровень 5).
		r	Решение.		Каждый	элемент			несет		заряд
			dq dl .	Вследствие вращения стержня заряд dq
	dB	dq	движется	по окружности			радиуса		r	и	создает
			эквивалентный круговой ток				dIэ
		dl dr
			Так как dI dq , то dI				dq dl ,
	a	l				э
					dt		T		T
		Рис. 1.19	поскольку за период Т в				воображаемой цепи
			эквивалентного тока проходит заряд dq. Заменяя dl
			на dr, можно записать

dB 0dq 0 dr . 2rT 2T r

Так как 2 , выражение для dB запишется в виде

T

dB(r) 0 dr . 4 r

Чтобы учесть весь заряд стержня и определить индукцию BA в точке

A, проинтегрируем в пределах, выбор которых следует из рис. 1.19

l a

0

l a

0

l a

BA

dB(r)

ln r

ln

.

a

4

a

4

a

Магнитный момент замкнутого эквивалентного тока равен

r2

dpm SdIэ,

Поэтому dp

dq

r2

dr .

m

T

2

Интегрируя, находим pm , создаваемый стержнем

p l a dp

l a r2dr

r3

l a

(l a)3

a3

.

m

m

2

6

6

a

a

a

Ответ: B

A

0

ln

l a

, p

(l a)3 a3 .

4

a

m

6

130

Пример 10.

Проводник длиной 0,3 м, сила тока в котором 1 А, равномерно вращается вокруг оси, проходящей через его конец, в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля напряженностью 1 кА/м. За 1 мин вращения совершается работа 0,1 Дж. Определить угловую скорость вращения проводника. (Уровень 3).

Решение. Работа, совершаемая силами магнитного поля при перемещении проводника с током I , равна: A I Ф, где Ф B S – изменение магнитного потока, т.е. магнитный поток, пересекаемый проводником при его вращении, B 0H – индукция, Н – напряженность. Площадь S , которую «заметает» проводник при повороте на угол , определим как площадь сектора

S l2

2

или с учетом того, что проводник вращается равномерно, т.е. t

S l2 t , 2

где l - длина проводника.

A I Ф IB S I 0H l2 t, 2

отсюда
		2A		;
		HI 0l2t
После подстановки числовых значений, получаем
		2 10 1				29,5c 1 .
	1 12,56 10 7 103
					0,09 60

Ответ: 29,5c 1

Пример 11.

На расстоянии 5 см параллельно прямолинейному длинному проводнику движется электрон с кинетической энергией 1 кэВ. Рассчитайте силу, которая действует на электрон в момент включения в проводнике тока 1 А? (1 эВ = 1,6·10 19 Дж) (Уровень 2).

131