Турищев Л.С. Строительная механика УМК Часть 1. Статически определимые системы, Новополоцк ПГУ 2005

Рис. 4.18

Так как первая составляющая нагрузки является взаимно уравновешенной системой сил, то опорные реакции в ферме не возникают VA′ =VB′ ≡ 0 , а все ненагруженные стержни являются нулевыми. Поэтому внутренние усилия возникают только в панели с внеузловой нагрузкой, и они равняются балочным внутренним усилиям M , Q, N .

От второй составляющей нагрузки в стержнях фермы возни-

кают только продольныесилы. Их можно найти с помощью одного изметодов определениявнутреннихусилийвпростыхфермахприузловойнагрузке.

Поскольку рассматриваемая ферма считается линейно деформируемой системой, то согласно принципу независимости действия сил внутренние усилия при действии внеузловой нагрузки получаются сложением соответствующих величин, полученных раздельно от расчета на каждую составляющую нагрузки.

4.2.4. Аналитическое определение внутренних усилий в сложных фермах при узловой нагрузке

В основе расчета сложных ферм лежит метод замены связей. Согласно этому методу осуществляется переход от заданной сложной фермы к некоторой заменяющей эквивалентной простой ферме. Заменяющая простая ферма получается удалением определенного числа стержней в одних местах сложной фермы и введением их в других местах. Для обеспечения эквивалентности полученной простой фермы к ней прикладываются в качестве дополнительных внешних воздействий неизвестные продольные силы удаленных стержней и вводятся условия обращения в нуль продольных сил в заменяющих стержнях.

Рассмотрим пример определения продольных сил в сложной ферме, показанной на рис. 4.19, а. Для образования заменяющей фермы удалим стержень, соединяющий узлы 1 и 4 заданной фермы, введем заменяющий стержень, соединяющий узлы 2 и 6 (рис. 4.19, б). Полученная ферма является простой, так как в ней имеется шарнирный треугольник, связываю-

91

щий узлы 1, 2, 6, а остальные узлы последовательно присоединяются к нему двумя стержнями каждый.

Рис. 4.19

Приложим как внешнее воздействие неизвестную продольную силу X1 удаленного стержня к узлам 1 и 4 (см. рис. 4.19, б) и приравняем нулю

продольную силу, возникающую в заменяющем стержне от действия X1 и заданной нагрузки

N зам( X	1	, P) = 0	(4.4)
1

Применяя к (4.4) принцип независимости действия сил, получим уравнение для определения X1

	nзамX	1	+ N зам = 0 ,
	11		1P
зам	– продольная сила в заменяющем стержне от действия			~	=1,	зам	–
где n11				X1		N1P

продольнаясилавзаменяющемстержнеотдействиязаданнойнагрузки. После решения (4.4) и определения X1 продольные силы N в осталь-

ных стержнях фермы можно найти по формуле

N = n1 X1 + NP ,

где n1 – единичные продольные силы в соответствующих стержнях заменяющей фермы; NP – продольные силы от нагрузки в соответствующих стержнях заменяющей фермы.

4.2.5. Матричная форма определения внутренних усилий в простых фермах при узловой нагрузке

Применение обоих вариантов матричной формы определения внутренних усилий покажем на примере фермы с трапецеидальным очертанием поясов, треугольной решеткой и дополнительной стойкой. Нагрузка в виде вертикальных сосредоточенных сил, каждая из которых равна P1 = P2 = P3 = P , приложена к узлам верхнего пояса (рис. 4.20).

92

Рис. 4.20

Использование матрицы влияния. Для формирования матрицы влияния продольных сил фермы последовательно загрузим узлы верхнего пояса вертикальными безразмерными силами, равными единице (рис. 4.21), и определим внутренние усилия в стержнях фермы.

Рис. 4.21

Для первой схемы нагружения, показанной на рис. 4.21, а, единичные продольные силы будут равны

o11 = −1,06; o21 = −0,5; o31 = −0,5; o41 = −0,354; u11 = 0,75; u21 = 0,25;

d11 = −0,354; v11 = 0; d21 = 0,354 .

Для обозначения единичных продольных сил использованы строчные латинские буквы, соответствующие введенной ранее системе обозначений элементов фермы. Второй индекс указывает номер схемы нагружения фермы.

Для второй схемы нагружения, показанной на рис. 4.21, б, единичные продольные силы будут равны

o12 = −0,71; o22 = −1; o32 = −1; o42 = −0,71; u12 = 0,5; u22 = 0,5;

d12 = 0,71; v12 = −1; d22 = 0,71.

93

Для третьей схемы нагружения, показанной на рис. 4.21, в, единичные продольные силы будут равны

o13 = −0,354; o23 = −0,5; o33 = −0,5; o43 = −1,06; u13 = 0,25; u23 = 0,75;

d13 = 0,354; v13 = 0; d23 = −0,354 .

Для определения продольных сил от заданной нагрузки сформируем по столбцам из найденных единичных продольных сил матрицу влияния

−1,06

−0,71

−0,354

−0,5

−1

−0,5

−0,5

−1

−0,5

−0,354

−0,71

−1,06

0,75

0,5

0,25

LN =

0,25

0,5

0,75

−0,354

0,71

0,354

0

−1

0

0,354

0,71

−0,354

и вектор нагрузки

P

P = P .

P

Тогда вектор продольных сил будет равен

−2,124

−2

−2

−2,124

= L

= P

1,5

.

N

P

N

1,5

0,71

−1

0,71

Использование матрицы коэффициентов уравнений равновесия.

Для получения требуемой матрицы коэффициентов рассмотрим равновесие узлов фермы (рис. 4.22).

94

Рис. 4.22

Сначала составим уравнения проекций сил на координатные оси y и x для внутренних узлов фермы C, D, E, F и уравнение проекций на ось x для опорного узла B

∑yC = 0; −0,71O1 −0,71D1 − P = 0;

∑xC = 0; −0,71O1 +O2 + 0,71D1 = 0;

∑yD = 0; −V1 − P = 0;

∑xD = 0; −O2 +O3 = 0;

∑yE = 0; −0,71O4 −0,71D2 − P = 0;

∑xE = 0; −O3 + 0,71O4 −0,71D2 = 0;

∑yF = 0; 0,71D1 +V1 + 0,71D2 = 0;

∑xF = 0; −U1 +U2 −0,71D1 + 0,71D2 = 0;

∑xB = 0; −0,71O4 −U2 = 0.

Решая эти уравнения можно определить все неизвестные продольные силы фермы O1, O2 , O3, O4 , U1, U2 , D1,V1, D2 .

Запишем полученные уравнения в матричной форме

A N + P = 0 ,

где

	−0,71		0	0	0	0	0	−0,71	0	0					O						− P
		−0,71	1	0	0	0	0	0,71	0	0						1					0
															O2
		0	0	0	0	0	0	0	−1	0					O						− P
		0	−1 1		0	0	0	0	0	0						3
															O						0
																4
A =		0	0	0	−0,71	0	0	0	0			N =						P =
										−0,71 ,					U1		,				− P .
		0	0	−1	0,71	0	0	0	0	−0,71					U2						0
		0	0	0	0	0	0	0,71	1	0,71						D					0
																1
		0	0	0	0	−1	1	−0,71	0	0,71					V						0
		0	0	0	−0,71	0	−1	0	0	0						1					0
															D2
								95

Элементами матрицы A являются коэффициенты при неизвестных продольных силах в уравнениях равновесия узлов, и они зависят только от геометрии фермы. Элементы вектора нагрузки берутся положительными, если направления сил, приложенных к узлам фермы, совпадают с положительными направлениями соответствующих координатных осей. В противном случае они берутся отрицательными. Если к узлу по направлениям координатных осей не приложены силы, то соответствующий элемент вектора нагрузки считается равным нулю.

Имея матрицу коэффициентов уравнений равновесия внутренних узлов фермы, можно найти вектор продольных сил

					− 2,124
					− 2
					− 2
					− 2,124
		= −A−1		= P	1,5	.
	N		P
					1,5
					0,71
					−1
					0,71

Для определения в матричной форме опорных реакций фермы составим уравнения проекций сил на координатные оси y и x для опорного узла A и уравнение проекций на ось y для опорного узла B

∑yA = 0; VA + 0,71O1 = 0;

∑xA = 0; H A + 0,71O1 +U1 = 0;

∑xB = 0; VB +U2 = 0.

Матричная запись полученных уравнений имеет вид

							+ AR			= 0 ,
						R			N
		V			0,71			0	0		0	0	0	0	0	0
			A		0,71			0	0		0	1	0	0	0	0		,
R = H A ,				AR =
					0			0	0		0	0	1	0	0	0
		VB

где R – вектор опорных реакций фермы, AR – матрица коэффициентов уравнений равновесия для опорных узлов фермы.

96

Имея матрицу AR и вектор продольных сил N , можно найти вектор опорных реакций фермы

1,5 R = −AR N = P 0 .

1,5

4.3.Аналитическое определение внутренних усилий

всоставных фермах от неподвижной нагрузки

Как уже отмечалось, составные фермы применяют при больших значениях внеузловой нагрузки. Делается это с целью исключения изгибающих моментов в стержнях главной фермы и снижения ее веса. Различают две разновидности составных ферм. В одном случае главная и вспомогательные фермы не имеют объединенных элементов (рис. 4.23), во втором – такие элементы есть (рис. 4.25). Составные фермы второго вида называются шпренгельными фермами, а вспомогательные фермы в этом случае называют шпренгелями.

Расчет составных ферм обоих видов подобен расчету соответствующих простых ферм на действие внеузловой нагрузки и состоит из двух этапов. Суть этих этапов и их особенности покажем на отдельных примерах.

4.3.1. Определение внутренних усилий в составных фермах первого вида

Рассмотрим составную ферму, образованную заменой сплошного стержня второй панели верхнего пояса вспомогательной фермой, не имеющей с главной фермой объединенных элементов (рис. 4.23, а). На ферму действует нагрузка, приложенная как к узлам вспомогательной, так и главной ферм. Расчет фермы, как и в случае ее расчета на действие внеузловой нагрузки, разбивается на два этапа. Обоснование правомерности такого подхода к расчету аналогично сделанному в 4.2.3.

Рис. 4.23

97

На первом этапе вспомогательная ферма, заменяющая стержень второй панели верхнего пояса, рассчитывается как самостоятельная простая ферма на действие собственной узловой нагрузки (рис. 4.23, б). Возникающие продольные силы в ее стержнях обозначим Ni′ (i =1,...,13) и назо-

вем внутренними усилиями первого рода. При этом продольные силы в стержнях главной фермы равны нулю, так как ее схема нагружения, соответствующая этому этапу расчета, представляет собой взаимно уравновешенную систему сил аналогичную рассмотренной в 4.2.3.

На втором этапе рассчитывается главная ферма на действие собственной узловой нагрузки и узловых сил, характеризующих влияние нагружения вспомогательной фермы на главную ферму и приложенных в местах их примыкания (рис. 4.24, а). Такие силы равны по величине опорным реакциям вспомогательной фермы и противоположны им по направлению.

Рис. 4.24

При выполнении второго этапа расчета условно заменим вспомогательную ферму во второй панели верхнего пояса сплошным прямолинейным стержнем, показанным на рис. 4.24, а пунктирной линией. Возникающие продольные силы в стержнях главной фермы, включая условный заменяющий стержень, обозначим N′j′ ( j =1,...,11) и назовем внутренними

усилиями второго рода.

Продольная сила N2′′, возникающая в условном заменяющем стержне

второй панели верхнего пояса главной фермы, в действительности воспринимается вспомогательной фермой. Следовательно, вспомогательная ферма подвергается дополнительному действию двух противоположных сил N2′′, приложенных по ее концам (рис. 4.24, б). Их действие приводит к

возникновению в стержнях вспомогательной фермы внутренних усилий второго рода Ni′′ (i =1,...,13) .

Таким образом, продольные силы в стержнях вспомогательной фермы, согласно принципу независимости действия сил, получаются сложени-

98

ем соответствующих продольных сил первого и второго рода, полученных раздельно на каждом этапе расчета

Ni = Ni′ + Ni′′, (i =1,...,13) .

Продольные силы в стержнях главной фермы равны продольным силам, полученным при выполнении второго этапа расчета

N j = N′j′ , ( j =1,...,10) .

4.3.2. Определение внутренних усилий в шпренгельных фермах

Рассмотрим составную ферму, во второй панели верхнего пояса которой включен шпренгель. Объединенными элементами являются элементы верхнего пояса шпренгеля и второй элемент верхнего пояса главной фермы, а также первый и четвертый элементы нижнего пояса шпренгеля, объединенные, соответственно, с первым и вторым раскосами главной фермы. На ферму действует нагрузка, приложенная как к узлам шпренгеля, так и главной фермы (рис. 4.25, а).

Рис. 4.25

Первый этап расчета шпренгельной фермы ничем не отличается от выполненного выше аналогичного этапа расчета составной фермы первого вида (рис. 4.25, б). Конечным результатом расчета также являются внутренние усилия первого рода Ni′ (i =1,...,13) .

Выполнение второго этапа, связанного с расчетом главной фермы на действие узловой нагрузки, включающей узловые силы, которые характеризуют влияние нагружения шпренгеля (рис. 4.26, а), имеет две особенности.

Прежде всего, увеличивается число условных сплошных стержней, заменяющих шпренгель при расчете главной фермы. Оно равно числу объединенных элементов главной фермы. В нашем случае такими элементами являются стержни O2 , D1, D2 , показанные на рис. 4.26, а пунктирными

линиями.

99

Рис. 4.26

Возникающие в заменяющих стержнях продольные силы второго рода O2′′, D1′′, D2′′, одновременно воспринимаются и соответствующими

элементами шпренгеля (рис. 4.26, б). Следовательно, другая особенность второго этапа расчета заключается в том, что шпренгель подвергается дополнительному воздействию нескольких групп равных и противоположных продольных сил, возникающих в объединенных стержнях. Поэтому внутренние усилия второго рода в стержнях шпренгеля получаются сложением величин, найденных от действия каждой группы в отдельности.

4.4.Построение линий влияния внутренних усилий

встержнях простых ферм

Необходимость построения линий влияния в фермах вызывается тем, что они могут подвергаться действию как подвижной, так и временной нагрузок. Учитывая узловой характер передачи таких нагрузок на реальные фермы, построение линий влияния в фермах связано только с продольными силами, возникающими в их стержнях. Поскольку линии влияния опорных реакций простой фермы имеют такое же очертание, как и для аналогичной балки, то их построение не рассматривается.

Линии влияния продольных сил в фермах обычно строятся статическим методом. При построении линии влияния заданной продольной силы выбирается та его разновидность, которая наиболее целесообразна для отыскания этой продольной силы. Применение разновидностей статического метода к построениюлинийвлияниявфермахпокажемнаконкретныхпримерах.

4.4.1. Применение для построения линий влияния метода рассечения на крупные части

Рассмотрим ферму трапециевидного очертания с треугольной решеткой и тремя дополнительными стойками. Движение сосредоточенного вертикального груза, равного единице, может происходить по нижнему

100