Турищев Л.С. Строительная механика УМК Часть 1. Статически определимые системы, Новополоцк ПГУ 2005

Рис. 4.38

Поскольку усилия в поясах такой фермы уменьшаются к средине пролета, то все основные стойки растянуты.

4.6. Резюме

Особенностью фермы является то, что она остается геометрически неизменяемой при условной замене жестких узлов шарнирами.

При узловой нагрузке в прямолинейных стержнях фермы не возникают изгибающие моменты и поперечные силы, а продольные силы постоянны по длине каждого стержня.

По способу образования геометрической структуры различают простые, сложные и составные фермы.

Определение внутренних усилий в стержнях простых ферм от действия узловой нагрузки может осуществляться методом вырезания узлов, методом рассечения на крупные части и комбинированным методом.

Расчет простых ферм на внеузловую нагрузку разбивается на два этапа. На первом этапе рассчитываются панели фермы на действие внеузловой нагрузки как простые балки. На втором этапе рассчитывается ферма на действие узловых сил, характеризующих влияние внеузловой нагрузки на всю ферму.

Воснове расчета сложных фермах лежит метод замены связей. Согласно этому методу осуществляется переход от заданной сложной фермы к некоторой заменяющей эквивалентной простой ферме.

Расчет составных ферм подобен расчету соответствующих простых ферм на действие внеузловой нагрузки и также проводится в два этапа.

Впростых фермах при узловой нагрузке можно без численного определения продольных сил, возникающих в элементах поясов и решеток, устанавливать знаки этих сил и закономерности в изменениях их величин.

111

4.7. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–ферма;

–расчетная схема фермы;

–основная теорема теории расчета ферм;

–терминология теории расчета ферм;

–классификация ферм;

–особенности работы ферм при узловой нагрузке;

–методы определения внутренних усилий в простых фермах при узловом нагружении;

–нулевые стержни;

–определение внутренних усилий в простых фермах при внеузловом нагружении;

–определение внутренних усилий в сложных фермах при узловом нагружении;

–определение внутренних усилий в составных фермах при узловом нагружении;

–методы анализа распределения продольных сил в стержнях простых ферм.

Проверьте, можете ли Вы вывести:

–формулы для определения внутренних усилий в простых фермах при действии внеузловой нагрузки.

Проверьте, как Вы умеете для простых ферм:

–определять “нулевые” стержни;

–определять внутренние усилия;

–строить линии влияния продольных сил.

112

М-5. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ АРОК

5.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

−рассмотрение понятия арки и ее разновидностей;

−сопоставление работы трехшарнирной арки и простой балки при действии неподвижной нагрузки;

−рассмотрение понятия рационального очертания оси арки;

−изучение закономерностей распределения внутренних усилий в трехшарнирной арке при действии неподвижной вертикальной нагрузки;

−построение линий влияния внутренних усилий трехшарнирной арки. Структура изучаемого модуля включает следующие учебные эле-

менты:

1.Общие сведения об арке.

2.Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке от неподвижной нагрузки.

3.Анализ распределения внутренних усилий в трехшарнирной арке от неподвижной вертикальной нагрузки.

4.Расчет трехшарнирной арки на подвижную нагрузку.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы – [1, c. 182 – 200]; [3, c. 89 – 112]; [4, c. 77 – 85, 158 – 166]; [5, c. 137 – 139, 142 – 151, 156 – 166].

5.1.Общие сведения об арке

5.1.1.Понятие об арке и ее разновидностях

Для перекрытия пролетов в зданиях различного назначения, наряду с рассмотренными ранее стержневыми конструкциями (балки, рамы, фермы), широко применяются арки. Арочные системы возникли еще до нашей

113

эры как архитектурно-строительные формы, применявшиеся при возведении акведуков и мостов, дворцов и соборов.

Арка представляет собой кривой брус, опертый на две опоры, исключающие горизонтальные перемещения опорных сечений. Особенностью таких опорных закреплений является возникновение в них при действии вертикальной нагрузки горизонтальных составляющих опорных реакций, именуемых распором. Таким образом, аркой называется распорная система, имеющая вид кривого бруса. При возведении строительных сооружений применяются следующие разновидности арок:

1. Бесшарнирная арка (рис. 5.1, а) представляет собой кривой брус, опирающийся на две защемляющие неподвижные опоры. Число степеней свободы у такой системы W = −3 и она является статически неопределимой системой.

Рис. 5.1

2.Двухшарнирная арка (рис. 5.1, б) представляет собой кривой брус, опирающийся на две шарнирно неподвижные опоры. Число степеней свободы у такой системы W = −1 и она тоже является статически неопределимой системой.

3.Двухшарнирная арка с затяжкой (рис. 5.1, в) представляет собой кривой брус с присоединенным к нему горизонтальным стержнем, опирающийся на шарнирно неподвижную и шарнирно подвижную опоры. Присоединенный горизонтальный стержень называется затяжкой, и она может располагаться как в уровне опорных сечений, так и выше. Число

114

степеней свободы у такой системы W = −1 и она, как и обычная двухшарнирная арка, является статически неопределимой системой.

4.Трехшарнирная арка (рис. 5.1, г) представляет собой два кривых бруса, соединенных шарниром и опирающихся на две шарнирно неподвижные опоры. Число степеней свободы у такой системы W = 0 и она является статически определимой системой.

5.Трехшарнирная арка с затяжкой (рис. 5.1, д) представляет собой два кривых бруса, соединенных шарниром и затяжкой и опирающихся на шарнирно неподвижную и шарнирно подвижную опоры. Число степеней свободы у такой системы W = 0 и она тоже является статически определимой системой.

Современные реальные арки бывают железобетонными, деревянными и металлическими. По конструктивной форме они могут быть сплошными массивными, сплошными тонкостенными и решетчатыми.

5.1.2.Терминология и система координат

При расчете арок используется ряд сложившихся терминов и обозначений. Рассмотрим основные термины и обозначения на примере бесшарнирной арки (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Опорные сечения арки A и B принято называть пятовыми сечениями или пятами арки. Наиболее удаленное сечение кривого бруса C от линии, соединяющей центры опор, называется замковым сечением или замком арки. В случае если в названных сечениях располагаются шарниры, то они, соответственно, называются пятовыми и замковыми шарнирами.

Расстояние между пятами арки называется пролетом арки и обозначено на рис. 5.2 как 2l . Расстояние между пятой и замком арки называется стрелой подъема арки и обозначено как f. Важной характеристикой арки

115

является соотношение f 2l , которое зависит от назначения сооружения и

может изменяться в широких пределах. В зависимости от его величины различают пологие, обычные и крутые арки.

При расчете арки, кроме пролета и стрелы подъема, требуется знание закона очертания оси. По очертанию оси реальные арки бывают, например, круговыми, параболическими, синусоидальными. Для задания закона очертания оси арки в виде некоторой явной функции y = f ( x ) будем ис-

пользовать координатную систему с началом в замке арки. Положение произвольного сечения арки характеризуется двумя координатами x и y, а также углом наклона касательной к оси арки ϕ.

5.2. Определение внутренних усилий в трехшарнирной арке от неподвижной нагрузки

Будем рассматривать трехшарнирную арку с опорами в одном уровне и имеющую некоторое симметричное очертание согласно заданному за-

кону y = f ( x ) (рис. 5.3, а).

Рис. 5.3

На арку действует произвольная неподвижная вертикальная нагрузка, показанная на рис. 5.3, а условно как совокупность сосредоточенных сил. Трехшарнирные арки симметричного очертания с опорами в одном

116

уровне имеют широкое распространение в строительной практике, а действующие на них реальные неподвижные нагрузки, как правило, являются вертикальными.

От действия неподвижной нагрузки в опорах трехшарнирной арки возникают реакции, которые характеризуются вертикальными VA , VB и горизон-

тальными H A , H B составляющими. В произвольном сечении K возникает изгибающиймомент M K , поперечная сила QK ипродольнаясила NK .

Для определения опорных реакций и внутренних усилий используем статический метод. Одновременно будем рассматривать балку, имеющую одинаковые с аркой пролет и схему нагружения (рис. 5.3, б).

5.2.1. Определение опорных реакций
Для	определения составляющих	опорных	реакций	арки
VA , VB , H A ,	H B и сопоставления их с	опорными	реакциями	балки

VA0 , VB0 , составим для каждой конструкции уравнения моментов относительно их правых опор

∑M Bа = 0; VA 2l − ∑Pi (2l − ai ) = 0;

i

∑M Bб = 0; VA0 2l − ∑Pi (2l − ai ) = 0,

i

и относительно левых опор

∑M Aа = 0; -VB 2l +∑Pi ai = 0;

i

∑M Aб = 0; -VA0 2l +∑Pi ai = 0.

i
Из этих уравнений следует, что
VA =VA0 , VB =VB0 .	(5.1)

Таким образом, вертикальные составляющие опорных реакций трехшарнирной арки равны опорным реакциям соответствующей балки. Соотношения (5.1) справедливы только для вертикальной нагрузки. Это объясняется следующим образом. Появление горизонтальных составляющих нагрузки порождает в арке дополнительный момент внешних сил относительно ее опор. В балке такой момент не возникает, так как линии действия этих составляющих будут направлены вдоль ее оси.

Составим для арки сумму проекций сил на ось x

∑x = 0; − H A + H B = 0 .

117

Из полученного уравнения следует, что H A = H B = H . Горизонтальная со-

ставляющая H опорныхреакцийтрехшарнирнойаркиназываетсяеераспором. Для определения распора трехшарнирной арки рассматривается равновесие одной из полуарок и используется уравнение моментов относительно замкового шарнира. Составим такое уравнение для левой полуарки

∑MCл.ч. = 0; − H f + MC0 = 0 ,

где MC0 =VAl − ∑Pi (l − ai ) – изгибающий момент в сечении балки под зам-

i

ковым шарниром арки. Тогда распор арки определяется по формуле

H =	M C0	.	(5.2)
	f

Из (5.2) следует, что величина распора трехшарнирной арки не зависит от очертания оси. При заданной нагрузке его величина зависит только от взаимного расположения пятовых и замкового шарниров.

5.2.2. Определение внутренних усилий

Для определения изгибающего момента, поперечной и продольной сил в произвольном сечении K разделим арку и балку в этом сечении на две части (рис. 5.4).

Рис. 5.4

118

Приведем внешние силы левой части арки к центру тяжести поперечного сечения правой части. Вычисляя с учетом (5.1) главный момент внешних сил, найдем изгибающий момент арки в сечении K

		M K = M K0 − H ( f − yK ) ,	(5.3)
где M K0	=VA0	л.ч.
		(l − xK ) − ∑Pi (l −ai − xK ) – изгибающий момент в сечении

i

балки под рассматриваемым сечением арки (рис. 5.4, б). Второй член в правой части (5.3) характеризует влияние распора на величину изгибающего момента арки.

Вычисляя с учетом (5.1) проекцию главного вектора внешних сил на нормаль n-n к оси арки в сечении K (рис. 5.4, а), найдем поперечную силу арки в этом сечении

QK = QK0 cos ϕK − H sin ϕK ,

(5.4)

л.ч.

где QK0 =VA0 − ∑Pi – поперечная сила в сечении балки под рассматривае-

i

мым сечением арки (рис. 5.4, б). Слагаемые алгебраической суммы в правой части (5.4) характеризуют влияние заданной нагрузки и распора на величину поперечной силы арки.

Вычисляя с учетом (5.1) проекцию главного вектора внешних сил на касательную τ-τ к оси арки в сечении K (рис. 5.4, а), найдем продольную силу арки в этом сечении

NK = −QK0 sin ϕK − H cos ϕK ,

(5.5)

Согласно (5.5) продольная сила арки складывается из двух частей, учитывающих влияние заданной вертикальной нагрузки и распора арки на величину продольной силы.

5.2.3.Сопоставление арки с балкой

Вполученных формулах (5.1) – (5.5) арочные опорные реакции и внутренние усилия выражены через соответствующие балочные величины. Это позволяет сопоставить работу двух конструкций при одинаковых пролетах и схемах нагружения и выяснить преимущества и недостатки каждой из них.

119

Сравним величины изгибающих моментов и поперечных сил, возникающих в арке и в балке. Поскольку слагаемые алгебраических сумм, стоящих в правых частях формул (5.3) и (5.4), будут при действии вертикальной нагрузки всегда иметь разные знаки, то изгибающие моменты и поперечные силы в арке меньше изгибающих моментов и поперечных сил в балке.

Наиболее заметно уменьшаются изгибающие моменты арки в средней части пролета, где балочные изгибающие моменты обычно имеют наибольшие значения. Вследствие этого в арке резко уменьшаются нормальные изгибные напряжения. Как известно, возникновение именно таких напряжений, из-за неравномерности их распределения в поперечном сечении и наличия среди них растягивающих напряжений, существенно влияет на увеличение размеров поперечного сечения.

Вместе с тем уменьшение изгибающих моментов и поперечных сил в арке сопровождается возникновением значительных сжимающих продольных сил, которые отсутствуют в балке при действии вертикальной нагрузки. Следовательно, в поперечных сечениях арки дополнительно возникают нормальные напряжения. Однако эти напряжения имеют равномерный характер распределения в поперечном сечении и они сжимающие. Поэтому их появление приводит не к увеличению, а, наоборот, к уменьшению размеров поперечных сечений арки по сравнению с аналогичной балкой, что является преимуществом арки.

Но зато возникновение распора в арке требует более массивных опорных конструкций, которые должны его воспринять. А это является уже недостатком арки по сравнению с аналогичной балкой и его нужно учитывать при сравнении арки и балки.

5.2.4. Особенности расчета трехшарнирной арки с затяжкой

Разновидности затяжек – сплошная и шарнирно-стержневая, в уровне пятовых сечений и в произвольном уровне.

Рассмотрим трехшарнирную арку с затяжкой в уровне пятовых сечений, находящуюся под действием произвольной вертикальной нагрузки (рис. 5.5, а). При действии такой нагрузки в ее опорных закреплениях возникают вертикальные реакции и, в отличие от обычной трехшарнирной арки, не возникает распор. Но зато в этом случае в затяжке возникает растягивающая продольная сила.

120