Турищев Л.С. Строительная механика УМК Часть 1. Статически определимые системы, Новополоцк ПГУ 2005

ции координат сечений отдельных стержней. Имея такие функции, можно вычислять внутренние усилия в произвольном месте конструкции.

Матричная форма расчета позволяет вычислять внутренние усилия в определенных, заранее установленных местах конструкции. При расчете статически определимых стержневых конструкций возможно применение двух вариантов матричной формы определения внутренних усилий. В первом варианте для определения внутренних усилий используются матрицы влияния этих усилий. Второй вариант матричной формы основан на использовании матрицы коэффициентов уравнений равновесия узлов и стержней рассчитываемой конструкции.

Применение аппарата матричной алгебры и получение конечного множества искомых величин внутренних усилий основано на использовании приемов дискретизации расчетной схемы конструкции и заданной нагрузки.

2.3.1. Дискретизация расчетной схемы конструкции и заданной нагрузки

Дискретизация расчетной схемы стержневой конструкции предполагает ее разбиение на отдельные элементы, введение мест их соединения и выделение расчетных сечений конструкции.

Отдельными элементами могут служить как стержни конструкции, так и их участки, на которые они могут разбиваться с целью повышения точности результатов расчета конструкции. Пусть их число равняется r.

Места соединения отдельных элементов, полученных при образовании дискретной расчетной схемы, называются ее узлами. Пусть их число равняется f.

Расчетными сечениями конструкции являются концевые сечения отдельных элементов, примыкающих к узлам дискретной расчетной схемы.

Дискретизация нагрузки заключается в замене заданной нагрузки статически эквивалентной системой сосредоточенных сил, приложенных в узлах дискретной расчетной схемы. Это позволяет описать нагрузку в виде вектора

G1

G = GM2 .G f

51

В случае действия на конструкцию некоторого сочетания k нагрузок они описываются с помощью матрицы

	G			G		K G
		11		12		1k
	G21			G22		K G2k
	G =	L		L		L L		.
				G		K G
	G		f 1		f 2
							fk

Каждый столбец матрицы описывает эквивалентную систему сосредоточенных сил, соответствующую одной из заданных нагрузок

Пример дискретизации расчетной схемы и нагрузки балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, показан на рис. 2.12. Дискретная расчетная схема балки включает четыре элемента и три узла. Узловая нагрузка

G = gl (i =1,2,3) . В общем случае число

i

4

сосредоточенных узловых сил, заме-

няющих заданную нагрузку, должно

обеспечивать достаточную точность ре-

Рис. 2.12

зультатов расчета конструкции.

2.3.2. Определение внутренних усилий с помощью матриц влияния

Применение матриц влия-

ния к определению внутренних

усилий рассмотрим на примере

определения

изгибающих мо-

ментов

однопролетной балки

(рис. 2.13, а). Построим единич-

ные эпюры изгибающих момен-

mn1

mi1

тов mi

(рис. 2.13, б), получае-

m11

мых при последовательном при-

mni

m1i

ложении к балке сил

mii

~

Gi =1

(i =1,..., n) .

m1n

min

Изгибающие моменты в

mnn

расчетных сечениях от действия

Рис. 2.13

52

системы сосредоточенных сил, согласно принципу независимости действия сил, можно представить как суммы моментов от действия каждой силы в отдельности

M1	= M1G	+ M1G	2	+... + M1G		n
	1
M2	= M2G	+ M2G		2	+... + M2G		n .	(2.6)
	1
..............................................
Mn	= MnG	+ MnG		2	+... + MnG		n
	1

Здесь MiGk (i, k =1,..., n) – изгибающий момент, возникающий в i-том

расчетном сечении балки от действия силы Gk . деформируемой системы он равен

MiGk = mikGk .

Подставляя (2.7) в выражения (2.6), получим

M1 = m11G1 + m12G2 +... + m1nGn

M 2 = m21G1 + m22G2 +... + m2nGn

.....................................................

M n = mn1G1 + mn2G2 +... + mnnGn

Матричная форма линейных соотношений (2.8) имеет вид

M = LM G .

Входящая в (2.9) матрица

		m		m	K m
			11	12	1n
L	=	m21		m22	K m2n
M			L	L	L L
				mn2
		mn1			K mnn

Для линейно-

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

осуществляет линейное преобразование вектора нагрузки G в искомый вектор балочных изгибающих моментов

M1 M = MM2

M n

53

и называется матрицей влияния изгибающих моментов. Каждый столбец такой матрицы образован ординатами единичной эпюры изгибающих моментов, номер которой совпадает с номером столбца.

В случае действия на балку сочетания нагрузок, описываемых матрицей G , зависимость (2.9) примет вид

M = LM G

(2.11)

и позволит получить матрицу изгибающих моментов

	M11		M12	K M1k
			M 22
	M 21			K M 2k
	M =	L	L	L L	.
			M n2
	M n1			K M nk

Каждый столбец такой матрицы описывает балочные изгибающие моменты, соответствующие одной из нагрузок заданного сочетания.

Обобщая полученные соотношения для любого внутреннего усилия S, возникающего в произвольной плоской стержневой конструкции, получим следующие формулы:

S = LS G

и

S = LS G .

Здесь S , S – соответственно, вектор и матрица внутреннего усилия S, а LS – матрица влияния этого усилия. Элементами этой матрицы явля-

ются внутренние усилия в расчетных сечениях конструкции, возникающие от единичных сил, последовательно прикладываемых к ее узлам.

2.4. Резюме

Отличительной особенностью расчета статически определимых стержневых конструкций является независимость определения опорных реакций и внутренних усилий от перемещений, возникающих в конструкции, и размеров поперечных сечений ее конструктивных элементов.

Все статически определимые стержневые конструкции обладают рядом общих свойств, существенно отличающих их от статически неопределимых стержневых конструкций.

Аналитическая форма определения внутренних усилий в статически определимых стержневых конструкциях при действии произвольной нагрузки

54

основана на использовании уравнений равновесия и позволяет находить внутренниеусилиякакфункциикоординатсеченийотдельныхстержней.

Матричная форма расчета позволяет вычислять внутренние усилия в определенных, заранее установленных местах конструкции и основана на использовании приемов дискретизации расчетной схемы конструкции и заданной нагрузки.

2.5. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–внутренние силы;

–метод сечений;

–интегральные характеристики внутренних сил;

–изгибающий момент;

–поперечная сила;

–продольная сила;

–этапы определения внутренних усилий;

–особенности статически определимых систем;

–виды статически определимых систем;

–свойства статически определимых систем;

–формы определения внутренних усилий;

–дискретизация расчетной схемы;

–узел;

–конечный элемент;

–расчетное сечение;

–дискретизация внешней нагрузки;

–вектор нагрузки;

–матрица нагрузок;

–вектор внутренних усилий;

–матрица внутренних усилий;

–матрица влияния внутренних усилий;

–способы формирования матриц влияния.

Проверьте, как Вы умеете для статически определимых стержневых конструкций:

–строить эпюры M, Q, N;

–проводить дискретизацию расчетной схемы;

–проводить дискретизацию внешней нагрузки;

–формировать матрицу влияния внутренних усилий.

55

М-3. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ОТ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ

В ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

3.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

−рассмотрениепонятияподвижнойнагрузкииееопасногоположения;

−рассмотрение понятия линии влияния;

−изучение способов построения линий влияния внутренних усилий;

−применение линий влияния для определения внутренних усилий от неподвижной нагрузки;

−отысканиеопасногоположенияразличныхвидовподвижныхнагрузок;

−отыскание опасного положения временной нагрузки;

−рассмотрение связи понятий линии влияния и матрицы влияния. Структураизучаемогомодулявключаетследующиеучебныеэлементы: 1. Особенности расчета конструкций на подвижную нагрузку.

2. Статический способ построения линий влияния.

3. Кинематический способ построения линий влияния.

4. Применение линий влияния к определению внутренних усилий. При изучении учебных элементов рекомендуется использование следую-

щейлитературы: [1, c. 120 – 144]; [3, c. 206 – 213]; [4, c. 42 – 64]; [5, c. 54 – 83].

3.1.Особенности расчета конструкций на подвижную нагрузку

3.1.1.Понятие о подвижной нагрузке

Подвижная нагрузка характеризуется непрерывным изменением места приложения вследствие перемещения по конструкции с некоторой конечной скоростью. Примером такой нагрузки может служить движущийся мостовой кран.

56

Реальные подвижные нагрузки в расчетах конструкций схематизируются и заменяются их моделями. Будем различать следующие виды таких моделей:

1. Двухосная подвижная нагрузка (рис. 3.1), моделирующая различные виды движущихся двухосных механических экипажей (мостовые краны общего назначения, кары, автомобили).

Положение такой нагрузки на конструкции описывается абсциссой x . Сама нагрузка состоит из двух параллельных вертикальных сил Pi (i =1,2) , характеризующих вели-

	чины давления на каждое колесо.
	Расстояние a между силами при
	движении сохраняется неизменным.
	2. Многоосная подвижная на-
	грузка (рис. 3.2), моделирующая од-
	новременное движение	нескольких
	двухосных механических экипажей		Рис. 3.1
	или различные виды	движущихся

многоосных механических экипажей (тяжелые мостовые краны, автомобильные колонны, многоосные автомобили, железнодорожные составы).

	Такая нагрузка состоит из системы параллельных вертикальных сил
Pi	(i =1,..., n) , между которыми сохраняются неизменные расстояния
a j	( j =1,..., n −1) , а ее положение также описывается абсциссой x .

3. Гусеничная подвижная нагрузка, моделирующая различные виды движущихся механических экипажей на гусеничном ходу (тракторы, вездеходы) (рис. 3.3).

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Она описывается участком заданной длины l равномерно распределенной нагрузки постоянной интенсивности q . Положение такой нагрузки на конструкции по-прежнему описывается абсциссой x .

57

Любая подвижная нагрузка порождает в конструкции внутренние усилия и перемещения, зависящие от ее положения x . А поскольку подвижная нагрузка по своей природе является динамической, то эти величины зависят и от времени t .

При статическом расчете конструкций на действие подвижной нагрузки, порождаемые ею динамические эффекты (колебания и силы инерции), не учитываются. С этой целью полагают, что нагрузка изменяет свое положение на конструкции с бесконечно малой скоростью. В этом случае возникающие в конструкции внутренние усилия зависят только от положения нагрузки.

К нагрузкам, которые могут изменять свое положение на конструкции и которые учитываются при статическом расчете конструкций, относится и ряд временных нагрузок. В их числе, например, снеговая нагрузка, вес оборудования, вес людей.

Особенностью временной вертикальной нагрузки является ее непостоянное действие на конструкцию. Такая нагрузка схематизируется и задается в виде равномерно распределенной нагрузки интенсивности q , которая может занимать произвольные положения на одном или нескольких участках конструкции. Поэтому временную вертикальную нагрузку условно можно рассматривать как специфичную разновидность подвижной нагрузки.

3.1.2. Опасное положение подвижной нагрузки

Для статического расчета конструкций на прочность и жесткость требуются наибольшие величины возникающих в них внутренних усилий

иперемещений. Поэтому расчет на действие подвижной нагрузки связан с определением ее положений, при которых требуемые величины принимают экстремальные значения. Такие положения подвижной нагрузки называются опасными положениями, а соответствующие им величины определяемых внутренних усилий или перемещений являются расчетными значениями. Возможны два подхода к определению опасного положения подвижной нагрузки.

Первый подход основан на получении аналитических выражений, определяющих непрерывные изменения искомых величин в зависимости от положения подвижной нагрузки на конструкции. Исследуя полученные функции методами математического анализа, можно найти их наибольшие

инаименьшие значения.

58

Рис. 3.4

Такой подход является общим для отыскания расчетных положений подвижной нагрузки как для линейно, так и нелинейно деформируемых систем. Однако практически его можно осуществить только в простых частных случаях.

Второй подход основан на понятии линии влияния. Он справедлив только для линейно деформируемых систем, но дает для них общий метод отыскания опасных положений любых подвижных нагрузок.

3.1.3. Понятие о линии влияния

Для линейно деформируемых систем рассматривается простейшая подвижная нагрузка – сосредоточенный груз, равный единице, который перемещается по конструкции и сохраняет неизменное направление (как правило, вертикальное) (рис. 3.4, а). При движении такой простейшей нагрузки любая величина Z (внутреннее усилие или перемещение), возникающая в конструкции, зависит только от абсциссы x и описывается некоторой функцией Z = f ( x ) .

Линией влияния некоторой величины Z , возникающей в определенном месте конструкции, называется график (рис. 3.4, б), описывающий изменение этой величины в зависимости от положения движущегося по конструкции вертикального сосредоточенного единичного груза. Каждая ордината линии влияния указывает значение величины Z при расположении единичного груза на конструкции над этой ординатой.

Линии влияния внутренних усилий по сравнению с эпюрами аналогичных внутренних усилий имеют два существенных отличия.

Во-первых, эпюра некоторого внутреннего усилия описывает его изменение по длине всей конструкции, а линия влияния описывает изменение этого внутреннего усилия в одном определенном месте конструкции (опора, сечение, стержень).

Во-вторых, если эпюра внутренних усилий связана с действием реальной неподвижной нагрузки, заданной в одном определенном положении, то линия влияния порождается действием искусственной подвижной нагрузки, которая может занимать различные положения на конструкции.

59

Рассмотрим способы построения линий влияния внутренних усилий в плоских статически определимых стержневых конструкциях. Существует два способа их построения – статический и кинематический.

3.2. Статический способ построения линий влияния

Статический способ основан на составлении уравнений равновесия для конструкции, нагруженной в произвольном месте с абсциссой x неподвижным единичным грузом, и определении из этих уравнений внутреннего усилия как некоторой функции от x . График такой функции, по определению, является линией влияния этого внутреннего усилия.

Применение статического способа к построению линий влияния рассмотрим на примере двухконсольной балки. Для такой балки построим линии влияния опорных реакций, изгибающих моментов и поперечных сил.

3.2.1. Линии влияния опорных реакций

Нагрузим двухконсольную балку в произвольном сечении с абсциссой x неподвижным единичным грузом (рис. 3.5, а). Тогда в опорных закреплениях возникнут переменные опорные реакции, зависящие от абсциссы x . Составив два уравнения равновесия

∑M B = 0; VA (x) l −1 (l − x) = 0;

∑M A = 0; -VB (x) l +1 x = 0,

найдем эти опорные реакции

VA (x) = l − x			;
	x	l	(3.1)
VB (x) =		.
	l

Рис. 3.5

60