Турищев Л.С. Строительная механика УМК Часть 1. Статически определимые системы, Новополоцк ПГУ 2005

Согласно этой формуле линия влияния арочного изгибающего момента в заданном сечении может быть получена наложением линии влияния балочного момента M 0 (рис. 5.12, а) и линии влияния распора, ординаты которой умножены на f − yK (рис. 5.12, б). Отрезки прямых между очертаниями двух наложенных линий влияния являются ординатами линии влияния арочного изгибающего момента. Очертание линии влияния М, построенной на горизонтальной оси, показано на рис. 5.12, в.

Рис. 5.12

При наложении линии влияния балочного изгибающего момента и распора арки пересекаются в некоторой точке. Точка пересечения соответствует положению единичного груза, при котором арочный момент в сечении K равен нулю, и называется нулевой точкой линии влияния M K . Для

отыскания положения нулевой точки поступают следующим образом. При действии единичного груза в опорных закреплениях арки возни-

кают две уравновешивающие его наклонные опорные реакции RA и RB (рис. 5.13). Арочный момент M K будет равняться нулю, если линия дейст-

131

вия реакции RA пройдет через сечение K, а линия действия реакции RB

пройдет через шарнир С. Тогда из условия равновесия трех сил следует, что единичный груз должен находиться в точке пересечения указанных направлений опорных реакций RA и RB .

Рис. 5.13

5.4.3. Линия влияния поперечной силы

В основе построения линии влияния поперечной силы лежит использование формулы для определения поперечной силы в произвольном сечении K от действия вертикальной нагрузки

QK = QK0 cos ϕK − H sin ϕK .

Согласно этой формуле линия влияния арочной поперечной силы в заданном сечении может быть получена наложением линии влияния балочной поперечной силы QK0 , ординаты которой умножены на cos ϕK (рис. 5.14, а), и линии влияния распора, ординаты которой умножены на sin ϕK (рис. 5.14, б).

Отрезки прямых между очертаниями двух наложенных линий влияния являются ординатам линии влияния арочной поперечной силы. Очертание линии влияния QK , построенной на горизонтальной оси, показано на рис. 5.14, в.

При построении линии влияния арочной поперечной силы накладываемые графики также пересекаются в некоторой точке. Точка пересечения соответствует положению единичного груза, при котором арочная поперечная сила в сечении K равна нулю. Она называется нулевой точкой линии влияния QK . Для отыскания ее положения поступают следующим образом.

132

Рис. 5.14

Арочная поперечная сила QK будет равняться нулю, если линия действия реакции RA пройдет параллельно касательной к оси арки в сечении K, а линия действия реакции RB по-прежнему пройдет через шарнир С. Точка пересечения указанных направлений опорных реакций RA и RB является искомой нулевой точкой линии влияния QK (рис. 5.15, а).

Рис. 5.15

Начиная с определенного положения сечения K в окрестности замкового шарнира, нулевая точка линии влияния QK становится фиктивной

133

(рис. 5.15, б). Это означает, что линии действия опорных реакций RA и RB

пересекаются под правой полуаркой и, следовательно, при любых положениях единичного груза на арке QK ≠ 0 .

5.4.3.Линия влияния продольной силы

Воснове построения линии влияния продольной силы лежит использование формулы для определения продольной силы в произвольном сечении K от действия вертикальной нагрузки

NK = −QK0 sin ϕK − H cos ϕK .

Согласно этой формуле линия влияния арочной продольной силы в заданном сечении может быть получена сложением линии влияния балочной попереч-

ной силы QK0 , ординаты которой умножены на −sin ϕK (рис. 5.16, а), и линии влияния распора, ординаты которой умножены на −cos ϕK (рис. 5.16, б).

Отрезки прямых между очертаниями двух сложенных линий влияния являются ординатами линии влияния арочной продольной силы. Очертание линии влияния NK , построенной на горизонтальной оси, показано на

рис. 5.16, в.

Рис. 5.16

Нулевая точка линии влияния NK является фиктивной (рис. 5.17).

134

Рис. 5.17

Положение груза, при котором арочная продольная сила в сечении K равна нулю, лежит за пределами арки. Для отыскания этого положения направим линию действия реакции RA параллельно нормали к оси арки в сечении K, а линию действия реакции RB – через шарнир С. Полученная точка пересечения и определяет положение нулевой точки, но попасть в нее единичный груз может, только двигаясь по жесткой фиктивной консоли MO.

5.5. Резюме

Арка представляет собой кривой брус, опертый на две опоры, исключающие горизонтальные перемещения опорных сечений. Особенностью таких опорных закреплений является возникновение в них при действии вертикальной нагрузки горизонтальных составляющих опорных реакций, именуемых распором.

При одинаковых пролетах и схемах нагружения вертикальной нагрузкой поперечные сечения арки существенно меньше балочных. Но зато возникновение распора в арке требует более массивных опорных конструкций, которые должны его воспринять.

Использование затяжки позволяет разгрузить опорные конструкции арки и, следовательно, избавиться от ее недостатка.

135

Для трехшарнирной арки с опорами на одном уровне при действии произвольной неподвижной вертикальной нагрузки можно без расчетов установить некоторые закономерности в изменениях величин изгибающих моментов и продольных сил.

В основе расчета трехшарнирной арки на действие подвижной нагрузки лежит использование линий влияния.

5.6. Материалы для самоконтроля

Проверьте, как Вы усвоили следующие понятия, определения, алгоритмы и формулы:

–арка;

–терминология теории расчета арки;

–распор;

–затяжка;

–классификация арок;

–формулы для определения опорных реакций при действии вертикальной нагрузки;

–формулы для определения M, Q, N при действии вертикальной нагрузки;

–формулы для определения усилия в затяжке при действии вертикальной нагрузки;

–преимущества и недостатки арки в сравнении с простой балкой;

–особенности расчета арки с затяжкой;

–рациональное очертание оси арки;

–особенности расчета арки при действии произвольных нагрузок;

–закономерности в изменении продольных сил арки при действии вертикальной нагрузки;

Проверьте, можете ли Вы вывести:

–формулы для определения опорных реакций трехшарнирной арки при действии вертикальной нагрузки;

–формулы для определения M, Q, N в трехшарнирной арке при действии вертикальной нагрузки;

–формулы для определения R, M, Q, N в трехшарнирной арке с затяжкой при действии вертикальной нагрузки.

Проверьте, как Вы умеете для трехшарнирной арки:

–находить рациональное очертание оси арки;

–получать качественное очертание эпюры М;

–строить линии влияния M, Q, N.

136

М-6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЯХ

6.0. Введение в модуль

Основными целями модуля являются:

−рассмотрение понятия деформации конструкции и ее количественных характеристик;

−рассмотрение понятий полных, частичных и единичных переме-

щений;

−рассмотрение понятий обобщенной силы и обобщенного переме-

щения;

−получение формулы для вычисления работы внутренних сил плоской стержневой конструкции;

−получение формул для определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от нагрузки, температуры и осадки опор;

Структура изучаемого модуля включает следующие учебные элементы:

1. Общие сведения о перемещениях.

2. Связь между внешними силами и перемещениями в линейнодеформируемых системах.

3. Работа внешних сил линейно-деформируемой конструкции.

4. Работа внутренних сил линейно-деформируемой конструкции.

5. Аналитическая форма определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от произвольных внешних воздействий.

6. Матричная форма определения перемещений в плоских стержневых конструкциях от нагрузки.

7. Некоторые теоремы о перемещениях в линейно-деформируемых конструкциях.

При изучении учебных элементов рекомендуется использование сле-

дующей литературы: [1, c. 201 – 220, 226 – 237, 248 – 260]; [3, c. 214 – 234, 263 – 268]; [4, c. 203 – 224, 232 – 244]; [5, c. 191 – 201, 207 – 218].

137

6.1.Общие сведения о перемещениях

6.1.1.Понятие деформации конструкции

Конструкции при приложении к ним внешних воздействий изменяют свою форму и размеры. Эти изменения называются деформацией конструкции. Деформация сопровождается переходом конструкции из начального недеформированного состояния в некоторое деформированное состояние.

Взависимости от способности конструкции сохранять деформацию различают упругие и упруго-пластические деформации. В первом случае конструкция после снятия внешних воздействий полностью восстановит свою форму и размеры и возвратится в начальное недеформированное состояние. Во втором случае происходит частичное восстановление формы и размеров конструкции, и после снятия внешних воздействий она не возвратится в начальное недеформированное состояние.

Взависимости от изменения деформаций конструкции во времени при постоянных внешних воздействиях различают постоянные и переменные во времени деформации. Деформация конструкции переменная во времени включают в себя две составляющие. Первая составляющая характеризует изменения формы и размеров конструкции, возникающие вслед за приложением внешнего воздействия, и называется мгновенной деформацией. Вторая составляющая характеризует происходящие во времени изменения мгновенной деформации вследствие ползучести конструкционного материала и называется запаздывающей деформацией.

6.1.2.Количественные характеристики деформированного состояния конструкции

Изменения формы и размеров стержневой конструкции складываются из деформаций ее отдельных стержней. В свою очередь изменения формы и размеров отдельного стержня складываются из деформаций элементарных объемов сплошной гипотетической среды, моделирующей конструкционный материал. Поэтому для количественного описания деформированного состояния конструкции используются две разновидности величин – дифференциальные и интегральные характеристики.

Дифференциальные характеристики описывают происшедшие изменения формы и размеров конструкции в окрестности ее произвольной точ-

138

ки. Ими, как известно из курса сопротивления материалов, являются относительные числовые величины ε и γ.

С помощью величины ε описывается изменение линейных размеров элементарного параллелепипеда, и она называется относительной линейной деформацией. Другая величина γ используется для описания изменения формы элементарного параллелепипеда за счет сдвига его граней, и она называется сдвиговой деформацией или углом сдвига.

Интегральные характеристики описывают происшедшие изменения формы и размеров конструкции в целом. Ими являются линейное и угловое перемещения. Рассмотрим в недеформированном состоянии некоторой конструкции две точки A и B и соединяющий их отрезок прямой (рис. 6.1, а). При деформировании конструкции от действия, например, нагрузки эти точки займут новые положения A1 и B1. Линейные перемещения этих точек характеризуются длинами отрезков прямых A A1 и B B1, соединяющих положения точек в недеформированном и деформированном состояниях конструкции (рис. 6.1, б). Угловое перемещение характеризуется величиной угла поворота φ отрезка прямой AB при переходе конструкции из недеформированного в деформированное состояние (рис. 6.1, б).

Рис. 6.1

6.1.3. Существующие подходы к определению перемещений

Умение определять перемещения необходимо для оценки пригодности конструкций к нормальной эксплуатации. Такая пригодность конструкции, как отмечалось ранее, характеризуется ее жесткостью. Понятием противоположным жесткости конструкции является податливость конструкции. И, следовательно, податливость характеризует способность конструкции допускать возникновение в ней перемещений. Таким образом, же-

139

сткость и податливость являются характеристиками деформативности конструкции.

Жесткость конструкции зависит от применяемого конструкционного материала, жесткости конструктивных элементов и способов соединения этих элементов между собой.

Влияние конструкционного материала на жесткость конструкции описывается двумя модулями – E и G . Модуль упругости E характеризует способность материала сопротивляться возникновению упругих линейных деформаций, а модуль сдвига G – угловых деформаций.

Жесткость конструктивного элемента зависит от жесткости его поперечного сечения и длины элемента. Жесткость поперечного сечения описывается тремя величинами:

−изгибной жесткостью EI , где I – момент инерции поперечного сечения относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба;

−продольной жесткостью EA , где A – площадь поперечного се-

чения;

−сдвиговой жесткостью GA .

Жесткость конструктивного элемента характеризуется отношением жесткости поперечного сечения к длине элемента и называется, соответственно, его погонной жесткостью при изгибе, растяжении-сжатии или сдвиге.

Взависимости от жесткости конструкции возможны два подхода к определению перемещений.

Один подход связан с определением малых перемещений, и он справедлив для жестких конструкций. Такие конструкции обычно относятся к линейно-деформируемым системам. Согласно этому подходу определяются перемещения, которые малы по сравнению с размерами самой конструкции.

Второй подход позволяет определять большие перемещения, и он справедлив для гибких конструкций. Такие конструкции обычно относятся

кгеометрически нелинейным системам. Согласно этому подходу определяются перемещения, которые не малы по сравнению с размерами самой конструкции.

Вдальнейшем рассматриваются малые перемещения, возникающие при упругой деформации стержневых конструкций от внешних воздействий – нагрузки, температуры и осадки опор. Для их определения будем использовать аналитическую и матричную формы.

140