1. Десятичная позиционная система счисления

Основание системы счисления (число десять). Для изображения десяти различных цифр используются знаки (арабские цифры) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Последовательность десятичных цифр, например 257 75, представляет собой число

.

Сложение, вычитание, умножение и деление в десятичной системе счисления выполняются в соответствии с хорошо всем известными правилами, которые представляются в виде таблиц.

2. Двоичная позиционная система счисления

В двоичной системе счисления для записи произвольных чисел используются всего две цифры: 0,1. Основание этой системы счисления (число два) записывается двумя цифрами в виде . Остальные любые двоичные числа представляются в виде последовательности нулей и единиц.

Например, десятичное число 237,75 в двоичной системе счисления будет выглядеть так:

(здесь 10 означает число два).

Показатели степени у основания системы счисления также записаны в двоичной системе счисления.

Для удобства чтения записи представим изображения десятичных чисел от нуля до девяти в двоичной системе:

0;	1;	2;	3;	4;	5;	6;	7;	8;	9.
0;	1;	10;	11;	100;	101;	110;	111;	1000;	1001.

Легко проверить теперь правильность двоичной записи числа двести тридцать семь целых семьдесят пять сотых в двоичной системе, переписав правую часть последнего равенства в десятичной системе счисления:

Из приведенных примеров следует, что весовые коэффициенты цифр двоичного числа являются числами, кратными целой степени (положительной или отрицательной) цифры два. При этом для целой части двоичного числа, начиная от младшего разряда к старшему, они равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 и т.д., а для дробной части двоичного числа от старшего разряда к младшему весовые коэффициенты цифр имеют значения и т.д.

Таблицы сложения, вычитания и умножения двоичных цифр, лежащие в основе двоичной арифметики, содержат всего четыре строки (табл. 1.1; 1.2; 1.3).

Таблица 1.1		Таблица 1.2		Таблица 1.3
0 + 0 = 0		0 - 0 = 0		0 ∙ 0 = 0
0 + 1 = 1		1 - 0 = 1		0 ∙ 1 = 0
1 + 0 = 1		1 - 1 = 0		1 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 10		10 - 1 = 1		1 ∙ 1 = 1
Двоичная таблица сложения		Двоичная таблица вычитания		Двоичная таблица умножения

С помощью приведенных таблиц арифметические операции сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.

Пример:

Сложение Вычитание

+

11001011,101 11010101,1101

1110101,111 10001110,1111

101000001,100 1000110,1110

Умножение Деление

1001

–

х

10110111,011 11011101101

11,101 1001 11000101

+

–

10110111011 1001

10110111011 1001

–

10110111011 1011

10110111011 1001

–

1010011000101111 1001

1001

0000

Используя приведенные выше определения и приемы записи, легко построить позиционную систему счисления с любым основанием .