2. Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

1.2.1. Перевод целых чисел

Пусть - целое число, записанное в системе счисления с основанием .

Пусть - основание другой системы счисления, записанное в исходной -ичной системе счисления, причем .

Требуется перевести число из системы счисления с основанием в систему счисления с основанием .

Предположим, что изображение числа в -ичной системе счисления найдено и имеет следующий вид:

, (1.1)

где - цифры -ичной системы, а 10 – основание этой системы, т.е. .

С учетом того, что , а , заменим в правой части равенства (1.1) числа и 10 их -ичными изображениями и . Тогда получим:

. (1.2)

Деля обе части равенства (1.2) на , имеем:

, (1.3)

где представляет собой правильную дробь, поскольку .

Из равенства (1.3) видно, что при делении числа на остаток равен , а частным будет

.

Если теперь частное разделить на , то получим в остатке , а в новом частном

.

Выполняя этот процесс деления раз, можно последовательно найти все числа , причем последнее частное будет иметь вид

.

Из сказанного вытекает следующее общее правило перевода целых чисел из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований и .

Правило перевода. Путем последовательного деления числа и его частных на получают в виде остатков деления -ичные записи -ичных цифр (начиная с младшей), необходимые для изображения числа в -ичной системе счисления. Последовательное деление производится до тех пор, пока не получится частное, меньшее чем . Это последнее частное является старшей -ичной цифрой числа . Деление выполняется в исходной, т.е. в -ичной системе счисления.

Пример.

Пусть .

Требуется перевести десятичное число в двоичную систему счисления, т.е. найти число .

Операция Частное Остаток

189 : 2 = 94 + 1

94 : 2 = 47 + 0

47 : 2 = 23 + 1

23 : 2 = 11 + 1

11 : 2 = 5 + 1

5 : 2 = 2 + 1

2 : 2 = 1 + 0

1

Таким образом, двоичная запись десятичного числа имеет следующий вид: .

Проверка правильности перевода:

.

Пример.

Пусть .

Требуется перевести десятичное число в восьмеричную систему счисления, т.е. найти число .

Операция Частное Остаток

189 : 8 = 23 + 5

23 : 8 = 2 + 7

2

Таким образом, восьмеричная запись числа имеет следующий вид: .

Проверка правильности перевода:

.

1.2.2. Перевод правильных дробей

Пусть - правильная дробь, записанная в системе счисления с основанием . Пусть - основание другой системы счисления, записанное в исходной -ичной системе счисления, причем .

Требуется перевести правильную дробь из системы счисления с основанием в систему счисления с основанием , т.е. .

Предположим, что изображение правильной дроби в -ичной системе счисления найдено и имеет следующий вид:

, (1.4)

где -ичные цифры, а 10 - основание системы счисления, т.е. .

Заменяя входящие в правую часть равенства (1.4) числа и 10 их -ичными изображениями и , получим

. (1.5)

Умножая обе части равенства (1.5) на , имеем

. (1.6)

Целая часть числа (1.6) равна , а его дробной частью является

.

Умножая новую дробь на , получим число, целая часть которого равна , а дробная часть имеет вид

.

Повторяя описанный процесс умножения нужное количество раз, легко найти одну за другой (в -ичной записи) -ичные цифры, начиная со старшей, необходимые для изображения числа с заданной точностью.

Из сказанного следует общее правило перевода правильных дробей из одной позиционной системы счисления в другую для любых оснований и .

Правило перевода. Путем последовательного умножения числа и дробных частей образующихся произведений на получают в виде целых частей этих произведений -ичные записи -ичных цифр (начиная со старшей), необходимых для изображения правильной дроби в системе счисления с основанием . Умножение выполняется в исходной, т.е. в -ичной системе счисления до тех пор, пока не будет получена заданная точность перевода, либо дробная часть произведения не станет равной нулю.

Пример.

Пусть .

Требуется перевести правильную десятичную дробь в двоичную систему счисления, т.е. найти число .

Целая Дробная

часть часть

0,	х 6875 2
1,	х 3750 2
0,	х 7500 2
1,	х 5000 2
1,	0000

Двоичная запись десятичной правильной дроби имеет следующий вид: .

Проверка правильности перевода:

.

Пример.

Пусть .

Требуется перевести десятичную дробь в восьмеричную систему счисления, т.е. найти число .

Целая Дробная

часть часть

0,	х 6875 8
5,	х 5000 8
4,	0000

Восьмеричная запись десятичной правильной дроби имеет следующий вид: .

Проверка правильности перевода:

.