Билет №15. Постулаты специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна. Относительность одновременности и преобразования Лоренца.

Историческая справка

Анализ ситуации, сложившейся с обнаружением неинвариантности преобразований Галилея относительно явлений, связанных с распространением света, привел Эйнштейна к пересмотру исходных

положений классической̆физики,механикипреждележитвсего представленийположение оо существованиивойствах некото пространства и времени. Эйнштейн обратил внимание на то, что представления о неизменности размеров тел и промежутков времени в разных системах отсчета возникли в результате изучения движения тел с малыми

скоростями. Поэтому их экстраполяция в область больших скоростей̆ничмеханикине лежит оправдана. Только опыт может дать ответ на вопрос, каковы их истинные свойства. В результате в 1905 г. Эйнштейном была создана специальная теория относительности, которая включает классическую механику Ньютона и преобразования Галилея, как частный̆случайзакондвижениясложениятел со скоростями малыми по сравнению со скоростью света. Теория относительности правильно описывает движение тел как с малыми, так и с большими скоростями по сравнению со скоростью света.

Постулаты Эйнштейна формулируются так:

1. Никакими опытами (а не только механическими, как в принципе относительности Галилея), выполненными в любой̆инерциальной̆системе,системе, нельзя решить, двигается эта система или покоится. Все инерциальные системы эквивалентны и законы природы не изменяются (инвариантны) при

переходе из одной̆инерциальной̆системысистеме,в другую. й̆ инерциальной̆ си 2. Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах

отсчета и не зависит от скорости движения источника света.

Первый̆постулмеханикит похожлежитпо формеположениена классическио существованиипринцип некоторых

относительности Галилея. Но в классическом принципе относительности речь шла только о законах механики, Эйнштейн же распространил этот принцип на

все без исключения физические явления. Кроме того, в классической̆физикемеханики лежит требовалась инвариантность законов относительно преобразований Галилея, а в теории относительности Эйнштейна считается, что все законы должны быть инвариантны относительно преобразований, в которые преобразования

Галилея должны входить как частный̆случаймеханикидвижениялежиттел с помалымиожение о существован скоростями.

Второй̆постулмеханикит простолежитконстатируетположениеэксп риментальныо существованииф кт некоторых постоянства скорости света во всех инерциальных системах координат и независимость скорости света от движения источника.

Преобразования Лоренца

Как и при выводе преобразований Галилея, рассмотрим (рис.50) две инерциальных системы отсчета – система K(x, y, z) и система K’(x', y’, z’) . Будем считать, что система K условно неподвижна, а система K’ движется

равномерно со скоростью v вдоль осиx. Конечно, можно было считать, что, наоборот, система Kнеподвижна,асистемаKдвижется,ноэтоничегоне неподвижна, а система K движется, но это ничего не меняет в дальнейших выводах. Допустим, что в начальный момент времени системы отсчета совпадали и в этот начальный момент времени в начале их систем координат начал излучать свет некоторый источник. Тогда за время t в системе K фронт световой волны переместится в точку

x=ct

(1)

а в системе K’ в точку:

x'=ct '

(2)

Скорость света в обеих системах отсчета одинакова, но время отсчитывается по своим часам.Будем искать необходимые преобразования с учетом написанных соотношений и по форме похожими на преобразования Галилея. Для этого введем в преобразования Галилея некоторый коэффициентav, зависящий от скорости:

x'=av( x−vt )

(3)

x=av (x'+vt')

(4)

Коэффициент av должен при стремлении скорости к нулю стремиться к

единице, что обеспечит переход искомых преобразований в преобразования Галилея при малых скоростях движения тел. Обратим внимание на то, что коэффициенты av должны быть одинаковыми как для прямого, так и для

обратного преобразования, что обеспечивает равноправность систем K и K’.

Подставляя соотношения (1) и (2) в (3) и (4) и перемножая левые и правые части полученных выражений, получим c2 t t'=a2v (c −v )(c +v )координаты x. Откуда v после сокращений легко получить

	av=	√1	1
			v2
			− c2

При скорости v, стремящейся к нулю, коэффициент av стремится к единице, т.е. при малых скоростях будут выполняться преобразования Галилея.

С другой стороны, при выводе выражения для avбыли использованы постулаты Эйнштейна, что автоматически обеспечивает справедливость преобразований при скоростях, близких и даже равных скорости света. Впервые эти преобразования получил Лоренц, и они носят его имя. Сравним преобразования Галилея и Лоренца:

Из сравнения этих формул видно, что при v << c преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Таким образом, еще раз отметим, что при малых скоростях теория относительности Эйнштейна совпадает с классической теорией. Т.е. законы классической физики входят в теорию относительности как предельный частный случай при v << c.

Скорости, при которых следует пользоваться теорией относительности, называются релятивистскими скоростями, а механика, изучающая движение тел с такими скоростями, называется релятивистской механикой.

В теории относительности такие абсолютные понятия с точки зрения классической механики как длина, время, масса становятся относительными.

Нарушение одновременности удаленных событий

Пусть в системе K (условно неподвижной̆) в мехточканиких с оординалежитамиположениеx 1 x 2 о существо происходят одновременно два события в момент времени t 1=t 2=t 0. Тогда для наблюдателя, находящегося в системе K’, движущейся со скоростью v

относительно системы K, время t'1и t'2будет разным:

t0− vcx21

t'1= √1− v2 c2

t0 − vcx22

t'2= √1− v2 c2

Из этих формул видно, что t'1 ≠ t'2

Однако если x 1=x 2, то и t'1=t'2, т.е. события, происходящие одновременно в

одном и том же месте в системе K, будут совпадать в пространстве и времени и в системе K’. Следовательно, для удаленных точек одновременность нарушается.

Билет №16. Парадоксы релятивистской кинематики: сокращение длины и замедление времени в движущихся системах отсчета.

Замедление времени

Длительность событий в разных системах. Предположим, что в системе K в точке, координата которой x не изменяется, происходит некоторое событие,

длительность которого

где t1 и t2 – моменты начала и окончания события соответственно. Длительность этого события для наблюдателя, находящегося в системе K

Отсюда видно, что длительность события, происходящего в некоторой точке пространства, минимальна в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна.

Время отсчитанное по часам, находящимся в той системе, относительно которой точка неподвижна (такое время называют собственным

временем события). Как видно из полученной формулы , собственное время события всегда меньше, чем время, отсчитанное по часам в движущейся системе отсчета.

Пример: Рассмотрим наблюдателя (рис.6.4). Ему путь светового луча от одного края часов до другого будет представляться более длинным, чем в часах (световой импульс относительно наблюдателя движется по диагонали со скоростью света ). Следовательно, с точки зрения наблюдателя световому импульсу в часах

понадобится больше времени для того, чтобы достичь верхнего зеркала, чем световому импульсу в часах . Обозначим этот больший промежуток времени

, тогда длина диагонали равна , и по теореме Пифагора , отсюда

.

Вследствие релятивистского эффекта замедления времени и на космическом корабле течение времени должно замедляться. Поэтому длительность космического полета по часам космонавтов будет меньше длительности этого полета, измеренного по часам на Земле. Но этот эффект может оказаться значительным и наблюдаемым только если удастся осуществить полеты космических кораблей со скоростями, близкими к скорости света.

Сокращение длины

Длина тел в разных системах. Предположим, что некоторый стержень, находящийся в условно неподвижной системе K, расположен вдоль оси x и имеет в этой системе длину

Длина этого стержня в системе K , движущейся относительно стержня со скоростью v в направлении оси x

Координаты x x 2 1 и надо измерять в один и тот же момент времени t , определяемый в системе K . Для этого выразим x через x по преобразованиям

Лоренца

Вычитая левые и правые части равенств, получим

но

поэтому

Стержень в координатной системе, движущейся относительно его, короче, чем в системе, где стержень покоится .