книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций
..pdf
|
u |
|
v |
0 |
2 w |
|
|
xy |
|
|
|
xy 2z |
|
, |
|
y |
x |
x y |
|||||
|
|
|
|
где 0x , 0y и 0xy – компоненты тензора деформации срединной
поверхности (тензор мембранной деформации). Так как рассматривается гибкая пластина и значения функции прогиба w(x,y) соизмеримы с характерным размером пластины, то неприемлема гипотеза малых деформаций, применяемая часто в теории упругости, для деформаций срединной поверхности. Поэтому для установления связи между тензором мембранных деформаций и вектором перемещений нельзя использовать тензор малых деформаций – тензор Коши – и соответствующие геометрические соотношения. Необходимо использовать нелинейные геометрические соотношения – тензор деформаций Грина:
ij |
1 |
uij u ji ukiukj . |
(3.8.7) |
|
2 |
|
|
Используем эти соотношения для компонентов тензора мембранной деформации
0 |
|
u0 |
|
1 |
|
w 2 |
|
x |
x |
2 |
|
, |
|
||
|
|
|
|
x |
|
||
0y |
v |
|
1 |
|
w 2 |
(3.8.8) |
|
0 |
2 |
|
, |
||||
|
|
y |
|
|
y |
|
0 u0 v0 w w ; xy y x x y
окончательный видгеометрических соотношений гибкойпластины
x |
u0 |
|
1 |
|
w 2 |
z |
2 w |
, |
|
|
x |
2 |
|
|
x |
2 |
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
y |
v |
|
1 |
|
w 2 |
z |
2 w |
, |
(3.8.9) |
|
0 |
2 |
|
|
y |
2 |
|||||
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
131
0xy |
u |
|
|
v |
|
w w |
2z |
2 w |
, |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|||||
|
x |
y |
x y |
|||||||
|
y |
|
x |
|
|
|
z xz yz 0.
Компоненты тензора деформации определяются тремя функциями w,u0 ,v0 . Соотношения нелинейные относительно частных
производных неизвестных функций.
2. Внутренние усилия в гибкой пластине. Для определения компонент тензора напряжений воспользуемся обобщенным законом Гука:
x C11 x C12 y ,
|
|
y C12 x C22 y , |
|
|
|
|
|
|
|
(3.8.10) |
|||||||
xy C66 xy и, подставляя |
компоненты |
тензора |
|
|
деформаций, |
||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x C11 0x C12 |
0y |
|
|
|
2 |
w2 |
C12 |
|
2 |
w2 |
|
, |
|
||||
z C11 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
||||
y C12 0x |
C22 |
0y |
|
|
|
2 |
w2 |
C22 |
|
2 |
w2 |
|
, |
(3.8.11) |
|||
z C12 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
||||
|
|
C |
|
|
0 |
2xC |
|
2 w |
. |
|
|
|
|
|
|
||
xy |
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
66 |
|
|
66 x y |
|
|
|
|
|
|
|
По аналогии с тензором мембранных деформаций ij0 , удобно ввести тензор мембранных напряжений ij0 , тогда соотношения примут вид
x 0x |
|
2 |
w2 |
C12 |
2 |
w2 |
|
, |
z C11 |
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
y |
|
|
132
y 0y |
|
|
2 |
w2 |
C22 |
|
2 |
w2 |
|
, |
(3.8.12) |
|||
z C12 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
2zC |
|
2 w |
. |
|
|
|
|
|
|
xy |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
66 x y |
|
|
|
|
|
|
Исследуем внутренние усилия, возникающие в гибкой пластине. Рассмотрим элемент dxdy (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Внутренние усилия в гибкой пластине
Усилие
Nx |
h/2 |
x dz 0x z |h/h2/ 2 |
|
2 |
w2 |
C12 |
2 |
w2 |
|
h/2 |
zdz 0x h (3.8.13) |
|
C11 |
|
|
|
|
||||||
h/ 2 |
|
|
x |
|
y |
|
h/2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
создается мембранными напряжениями, поэтому его называют мембранным усилием; аналогично мембранное усилие
Ny h/2 |
y dz 0y h, |
(3.8.14) |
h/ 2 |
|
|
133
мембранное сдвиговое усилие |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Sxy |
h/2 |
xy dz 0xy h, |
(3.8.15) |
|||||||||
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
изгибающий момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M x |
|
|
x zdz 0x h/2 zdz |
|||||||||
|
h/ 2 |
|
|
|
|
|
h/ 2 |
(3.8.16) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
w2 C12 |
|
2 |
w2 |
|
|
h/2 |
|||
|
z2dz, |
|||||||||||
C11 |
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
y |
|
h/ 2 |
|
окончательное выражение
|
11 |
2 w |
12 |
2 w |
(3.8.17) |
|||||
M x |
x |
2 |
y |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
совпадает с полученным по технической теории изгиба, где |
||||||||||
|
C |
|
h3 |
, |
|
|
|
(3.8.18) |
||
|
12 |
|
|
|
||||||
|
11 |
|
11 |
|
|
|
|
|
||
|
C |
|
h3 |
, |
|
|
|
|
||
|
12 |
|
|
|
|
|||||
аналогично |
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
2 w |
22 |
2 w |
(3.8.19) |
|||||
M y |
x |
2 |
y |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
крутящий момент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
xy |
2 |
|
2 w |
. |
(3.8.20) |
|
66 |
x y |
||||||
|
|
|
|
Таким образом, элементарная гибкая пластина находится под действием продольных мембранных усилий Nx, Ny, сдвигового мембранного усилия Sxy, изгибающих моментов Mx, My , крутящего момента Mxy и перерезывающих усилий Sx ,Sy .
134
3. Энергия упругого деформирования гибкой пластины. Энер-
гия упругого деформирования U необходима для вариационной постановки краевой задачи изгиба пластины:
U Um (u0 ,v0 , w) Ui (w), |
(3.8.21) |
энергия мембранного деформирования
Um 12 V 0x 0x 0y 0y 0xy 0xy dV |
|
12 S 0x 0x 0y 0y |
(3.8.22) |
0xy 0xy hdxdy, |
где S – площадь, ограниченная контуром пластины; энергия изгибания Ui совпадает с выражением энергии для технической теории (см. раздел 3.7). Таким образом, функционал энергии упругого деформирования гибкой пластины Um равен сумме двух функционалов функций u0 ,v0 , w , а второй – Ui – функционалом
только функции прогиба w.
4. Уравнения равновесия гибкой пластины. Рассмотрим рав-
новесие бесконечно малого элемента пластины (рис. 3.12).
Рис. 3.12. Усилия и моменты, действующие на элемент гибкой пластины
135
Проекция сил на ось x: |
|
|
|
|
Nx dy |
|
|
Nx |
|
Nx |
x |
|||
|
|
|
||
|
|
Sxy |
||
Sxy |
|
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
Или окончательно в виде
|
|
|
dx dy Sxy dx |
|
|
|
(3.8.23) |
|
|
||
|
||
dy dx 0. |
|
|
|
|
N |
x |
Sxy |
0. |
(3.8.24) |
|
y |
|||
x |
|
|
Проекция сил на ось y:
|
|
|
|
|
Ny |
|
Sxy |
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проекция сил на ось z (рис. 3.13): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Q dy |
Q |
Qx x |
dy Q |
dx |
Q |
|
|
Qy |
dy dx |
|||||||||||||||
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x |
|
|
x |
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Nx dy |
w |
|
|
Nx |
|
|
|
w |
|
2 w |
|
|
|
|
||||||||||
x |
Nx |
|
x |
dx dy |
x |
x |
2 |
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ny dx |
w |
|
|
Ny |
|
|
|
w |
|
|
2 w |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Ny |
|
|
|
|
|
dy dx |
|
|
|
|
2 |
dy |
|
|||||||||
y |
|
y |
y |
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
w |
|
Sxy |
|
|
|
w |
|
|
2 w |
|
|
|
|
|||||||||
Sxy dx |
|
|
Sxy |
|
|
|
|
|
dy |
dx |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
||||||
x |
|
y |
x |
x y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
w |
|
Sxy |
|
|
|
w |
|
|
2 w |
|
|
|
|
|||||||||
Sxy dy |
|
|
Sxy |
|
|
|
|
|
dx |
dy |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||||||
y |
|
x |
y |
x y |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qdxdy 0.
(3.8.25)
(3.8.26)
136
Рис. 3.13. Проекционные углы для усилий деформированного элемента гибкой пластины
Раскроем скобки, пренебрегая слагаемыми выше второго порядка малости и сокращая dxdy, получим
Q |
|
Qy |
N |
2 w |
|
N |
|
w |
N |
2 w |
|
Ny w |
|
||||||||
x |
|
|
x x2 |
|
|
x |
|
y y2 |
|
|
|||||||||||
y |
|
|
|
y y |
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|||||||||||
S |
|
2 w |
|
Sxy w |
S |
|
|
2 w |
|
Sxy w |
q 0, |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xy |
x y |
|
y |
x |
xy x y |
x y |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или с учётом (3.8.24) и (3.8.25)
Q |
Qy |
N |
2 w |
N |
2 w |
2S |
|
2 w |
q 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
y |
x x2 |
y y2 |
xy x y |
|||||||
x |
|
|
|
|
(3.8.27)
(3.8.28)
Уравнения равновесия для моментов относительно осей x, y полностью совпадают с уравнениями тонкой пластины:
M |
x |
M xy |
Q |
, |
(3.8.29) |
||
|
|
||||||
x |
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M y |
|
|
M xy |
Qy , |
|
||
|
|
x |
|
||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137 |
используя эти соотношения, исключим перерезывающие усилия из уравнения (3.8.28)
2 M |
x 2 |
2 M xy |
|
|
2 M y |
|
N |
2 w |
|
|||||
x2 |
|
x y |
|
|
y2 |
x x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8.30) |
||||||
|
|
|
|
2 w |
|
|
|
|
2 w |
|
|
|||
|
S |
|
|
N |
q. |
|
||||||||
|
xy x y |
y y2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения (3.8.24), (3.8.25) и (3.8.30) образуют систему уравнений равновесия пластины.
5. Разрешающие уравнения гибкой пластины. Для получения разрешающих соотношений в перемещениях достаточно подставить в систему (3.8.24), (3.8.25) и (3.8.30) соответствующие выражения для внутренних силовых факторов M x , M y , M xy , Nx ,
N y , Sxy . Получим нелинейную систему трёх дифференциальных
уравнений в частных производных относительно трёх неизвестных функций u0 ,v0 , w . Однако часто удобнее использовать функцию напряжений Ф(x,y), определив её как
Nx 2 ,y2
N |
|
|
2 |
, |
(3.8.31) |
|
y |
x2 |
|||||
|
|
|
|
Sxy 2 ,
x y
при этом уравнения (3.8.24) и (3.8.25) удовлетворяются тождественно, а уравнение (3.8.30) преобразуется к виду
|
|
4 w |
|
|
|
|
4 w |
|
|
|
4 w |
|
|
2 2 w |
|
||||||
|
11 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
22 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||
x |
2 |
y |
2 |
y |
y |
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8.32) |
|||||||
|
|
|
|
|
2 2 w |
|
|
2 2 w |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
q, |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x y x y |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
где
|
|
|
|
|
2 12 2 66 , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
или окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 w |
|
|
4 w |
|
|
|
|
2 w |
|
|
|
||||||||||
|
11 |
x4 |
|
|
x2 y2 |
22 |
|
y4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 2 w |
|
|
2 2 w |
|
|
2 |
2 w |
q. |
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|||
y |
x |
x y x y |
x |
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8.33)
(3.8.34)
Таким образом, получили одно уравнение с двумя неизвестными функциями w, Ф. Дополнительное уравнение можно найти из условия совместности деформаций на серединной поверхности
2 0 |
|
2 0y |
|
2 0xy |
0. |
(3.8.35) |
|
x |
|
|
|||||
x2 |
x y |
||||||
y2 |
|
|
|
|
Подставляя в которое геометрические соотношения для срединной поверхности – тензорконечных деформаций Грина, имеем
2 0 |
|
2 0y |
|
2 0xy |
|
2 w 2 |
|
2 w 2 w |
|
|
||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
0. |
(3.8.36) |
y |
x |
2 |
x y |
|
x |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
Сдругой стороны, тензор мембранных деформаций связан
стензором мембранных напряжений соотношениями
0 |
С* |
0 |
С* |
0 |
, |
|
|
x |
11 |
x |
12 |
|
y |
|
|
0 |
С* |
0 |
С* |
|
0 |
, |
(3.8.37) |
y |
12 |
x |
22 |
y |
|
|
|
0 |
С* |
0 , |
|
|
xy |
66 |
xy |
|
где C* |
– компоненты тензора податливости. |
|
||
ij |
|
|
|
|
Учитывая обозначения |
|
|
|
|
|
|
Nx 0x h, |
|
|
|
|
Ny 0y h, |
(3.8.38) |
|
|
|
Sxy 0xy h, |
|
139
через функцию напряжения Ф
0 |
|
С* |
2Ф |
|
С* |
2Ф |
, |
|
|||
11 |
y2 |
|
12 |
x2 |
|
||||||
x |
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|||
0 |
|
С* |
2Ф |
|
С* |
2Ф |
, |
(3.8.39) |
|||
12 |
y2 |
|
22 |
x2 |
|||||||
y |
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|||
0xy |
С* |
2Ф |
|
. |
|
|
|
||||
|
66 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x y |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
Подставим полученные соотношения в условие совместности деформаций
2 0 |
|
2 0y |
|
2 0xy |
|
С* |
4Ф |
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
11 |
|
|
||||||
|
x2 |
x y |
y |
|
||||||||||
y2 |
|
|
|
|
|
h |
4 |
(3.8.40) |
||||||
|
2С* |
С* |
|
|
|
4Ф |
|
С* |
4 |
Ф |
||||
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
12 |
66 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|||||
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
||||||||
|
|
|
h |
|
|
|
h x4 |
|
Сопоставляя (3.8.36) и (3.8.40), получим уравнение совместности деформаций относительно функции напряжений и функции прогибов
|
С* |
|
4Ф |
|
2С* |
С* |
|
|
4Ф |
|
|
|||||||
|
11 |
|
|
|
12 |
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
h y4 |
|
|
h |
|
|
|
x2 y2 |
||||||||||
|
С* |
4Ф |
|
|
2 w 2 |
|
2 w 2 w |
(3.8.41) |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
22 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
y |
2 |
0. |
||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
h x |
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
Таким образом, система двух нелинейных уравнений в частных производных (3.8.34) и (3.8.41) является системой разрешающих уравнений гибкой пластины относительно функции напряжений Ф и функции прогиба w (уравнение Кармана).
6. Расчёт тонкой пластины под действием внешних нагру-
зок. Пусть на пластину действуют произвольным образом ориентированные нагрузки q, p – соответственно составляющие нормальная и действующая в плоскости пластины. Построение теории можно провести аналогично построению теории гибких пластин, но, учитывая малый прогиб, геометрические соотношения –
140