книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций

T wi , xi , yi , wj , xj , yj , wk , xk , yk , wl , xl , yl . (5.3.2)

Для построения аппроксимации воспользуемся степенным полиномом:

w(x, y) 1 2 x 3 y 4 x2 5 xy 6 y2 7 x3 (5.3.3)

8 x2 y 9 xy2 10 y3 11x3 y 12 xy3.

Рис. 5.12. Узловые обобщённые перемещения конечного элемента

Данный полином обеспечивает равенство прогибов на границе смежных элементов, так как при фиксировании координаты х или у полином становится полиномом третьей степени, однозначно определяемым двумя узловыми прогибами и углами поворота. Из теории пластин известно, что углы поворота и прогиб связаны через производную

x			w		,	(5.3.4)
			y
y	w			.		(5.3.5)
		x

Коэффициенты i определяется с использованием соотношений

191

w			1	x	y
	i			i	i
xi			0	0	1
yi			0	1	0
			.
			.

..

.

.

.

.

.

или

x2	y x	y2	. . . . . .
i	i i	i			1
0 xi		2 yi		2
2xi	yi	0		3
				4
				5
							(5.3.6)
				6
				7
					8
				9
			10
			11
			12

e C ,

(5.6.7)

где [С] – матрица 12 12 , зависящая от узловых координат; обратное соотношение

		C 1 e .														(5.3.8)
Прогиб в любой точке конечного элемента
w P P C 1 e ,																(5.3.9)
где вектор строка
	2	, xy, y	2	3	, x	2	y, yx	2	, y	3	, x	3	y, xy	3		(5.3.10)
P l, x, y, x				, x											.

Связь между аппроксимацией и узловыми значениями функций устанавливается через матрицу базисных функций в виде

w N e ,	(5.3.11)
следовательно,
N P C 1 .	(5.3.12)

192

Деформация конечного элемента. Обобщенными деформа-

циями при изгибе пластины является вектор кривизны срединной поверхности

																		2 w
																		x2
											k							2 w												(5.3.13)
																		y					2	.
																		2 w
													2
																	x y
	Аппроксимируя (5.1.1), получим
					2											2
								N													P
					x2											x2
					2						e					2									1		e
	k							N													P C
					y	2										y			2
					2													2
	2								N			2										P
			x y											x y
0	0 0 2				0 0					6x		2 y							0					0		6xy		0		(5.3.14)
0	0 0 0				0			2			0	0					2x							6 y		0		6xy
											0	4x						4 y						0		6x2
0 0 0 0 2 0																												6 y2
											C 1 e ;
таким образом,
											k Q C 1 e .																			(5.3.15)

С другой стороны, используя общие соотношения метода конечных элементов, зависимость между обобщенными деформациями конечного элемента и обобщенными узловыми перемещениями:

k B e ,

(5.3.16)

193

следовательно,

B Q C 1 .

(5.3.17)

Соотношения между обобщенными деформациями и обоб-

щенными напряжениями. Обобщенный закон Гука для пластины имеет вид

M x
		k ,	(5.3.18)
M y
M xy

где [ ] – матрица изгибных эффективных жесткостей. Компо-

ненты матрицы определяются структурой слоистого композита.

Матрица жесткости конечного элемента. По общей в ме-

тоде конечных элементов формула

	k B T B dxdy.							(5.3.19)
		e
В нашем случае
k	C 1					C 1	;	(5.3.20)
				Q T Q dxdy
			e

интеграл обычно берут с использованием квадратурной формулы Гаусса, таккакподынтегральнаяфункция– полиномчетвертойстепени. Суммируя по элементам, формируем глобальную матрицу жесткости традиционнымдляметодаконечныхэлементовспособом:

K F .			(5.3.21)
Вектор обобщенных нагрузок (рис. 5.13, а) имеет вид
.
.
Fi		;	(5.3.22)
F M xi
M
	yi
.
.

194

придействиинормальнойраспределеннойнагрузкиq (рис. 5.13, б)

F eq	N T qdxdy.	(5.3.23)
	e

Рис. 5.13. Узловые усилия (а) и распределенная нагрузка, действующая на конечный элемент (б)

Учет граничных условий. Например, для шарнирного опирания задаются значения wi , в узлах, для жесткой заделки – значе-

ния wi , xi , yi .

Дискретизация треугольными элементами (рис. 5.14).

Казалось бы, можно все выполнить, как и для прямоугольного элемента, но T содержит лишь 9 обобщенных перемещений,

в то время как полный полином третьей степени имеет 10 коэффициентов. Наиболее простой способ ввести дополнительное условие, например, 8 9 , но в этом случае матрица [C] при опреде-

ленной ориентации граней становится сингулярной (рис. 5.15). Введем так называемую треугольную систему координат

P Li , Lj , Lk (рис. 5.16), где

L		S Pjk	,...;	(5.3.24)
i		S ijk

новая система координат связана с декартовой соотношениями:

x Li xi Lj xj Lk xk , y Li yi	Lj yj Lk yk ,
1 Li Lj Lk ,	(5.3.25)

195

следовательно, разрешив эти уравнения относительноLi , Lj , Lk , получим

L ai bi x ci y ,											(5.3.26)
	i			2
где
	ai xi yk				xk y j ,
	bi y j					yk ,					(5.3.27)
	ci xk					xj ,
1 det			1	xi		yi
			1	x	j	y	j	S	ijk	.	(5.3.28)
2
			1	xk		yk

Рис. 5.14. Конечный	Рис. 5.15. Пример ориентации
элемент	сторон конечного элемента

Рис. 5.16. Треугольная система координат

196

Выражения для Lj , Lk могут быть найдены на основе циклической перестановки индексов i j k.

Воспользуемся полиномиальной аппроксимацией в L координатах. Полный линейный полином

				1Li	2 Lj	3 Lk ,					(5.3.29)
квадратичный
L2			L2	L2	L L		j		L L L L .		(5.3.30)
1	i	2	j	3 k	4 i			5	j k	6 i k

Нам необходим полином третьей степени. Этот полином будет состоять из 10 слагаемых, пропорциональных величинам:

	L3	, L3	, L3	,
	i	j	k
L2 L	, L2 L		, L2 L ,...,		(5.3.31)
i j		j k	k	i

Li Lj Lk .

Последняя функция Li , Lj , Lk – внутренняя форма, она не за-

висит от значений прогибов и углов поворотов в узлах, поэтому ее можно безболезненно приплюсовать к любой из функций с некоторым весовым коэффициентом; дополнительные исследования показали, что его значения 1/ 2 , если суммировать со 2-й группой функций. Окончательно получим:

3	3	3			2	Lj	1	Li Lj Lk
w 1Li	2 Lj 3 Lk 4			Li			2
		2	Lk	1	Li			,
	9 Li			2		Lj Lk

после подстановки узловых значений с учетом

x w , y dwy x

....

(5.3.32)

(5.3.33)

определим постоянные i , а значит, и функцию формы. Дифференцированиепо декартовымкоординатамосуществляем, имея ввиду

197

L

Lj

L

L

(5.3.34)

x

x L

x

x

L .

i

k

i

j

k

Окончательно матрица функций формы запишется как

L3 L2 L

j

L2 L

L L2 L L3

i

i

i

k

i j

i

j

L2 L

1 L L L

L L2 1 L L L

b

j

b

j

k

i

2

i

j

k

k i

2

i

j

k

T

N

2

Lj

1

Li Lj

2

1

Li

Lj

.

ck Li

2

Lk

ck Lk Li

2

Lk

.........

.........

Матрицу [B] определяем из соотношения

2

N

x2

B

2

N

.

y

2

2

2

N

x y

(5.3.35)

(5.3.36)

Остальные преобразования аналогичны реализации метода конечных элементов для прямоугольных конечных элементов.

5.4. Расчет тонкостенных оболочек

Пусть z z(x, y) срединная поверхность оболочки

(рис. 5.17). Толщина оболочки много меньше остальных характерных размеров конструкции. Определяющие соотношения теории оболочек достаточно сложны, разные предположения, например гипотезы Кирхгофа – Лява или С.П. Тимошенко, приводят к различным соотношениям. В рамках метода конечных элементов оболочка представляется в виде совокупности

198

плоских трехили четырехугольных элементов (рис. 5.18). Дискретизация состоит в задании координат узлов и матрицы инцидентности

Рис. 5.17. Срединная поверхность оболочки

Рис. 5.18. Дискретизация оболочки

Дискретизацию можно провести для проекции оболочки на плоскость XY, сформировав матрицу инцидентности i, j, k

и определив ординаты узлов Xi ,Yi , координата Zi Z(Xi ,Yi ) . Рассмотрим типичный плоский элемент (рис. 5.19).

199

	Рис. 5.19. Конечный элемент
	Узловые обобщённые перемещения
		Ui
		v
			i
	i	wi				,	(5.4.1)
		xi
		yi
	ui ,vi – перемещения в			zi
где		плоскости конечного					элемента;
wi	– перемещения вдоль оси Z, xi , yi – углы поворота нормали.
	Обобщенные узловые усилия
		Ui
			V
			i
	F	Wi				,	(5.4.2)
	i
		Mxi
		M
				yi
		M
				zi
200