книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций
..pdfСледует отметить, что компоненты тензора деформаций не являются независимыми. Для координатной поверхности должно выполняться уравнение совместности деформаций:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
2 y |
|
|
|
2 |
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
x2 |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
u |
|
w |
|
|
|
2 |
|
v |
|
|
|
w |
|
2 |
|
u |
|
v |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
2 |
x |
|
x |
2 |
y |
|
|
|
|
|
y |
(4.3.11) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
R2 |
x y |
|
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 w |
|
|
1 |
2 w |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
y2 |
|
R x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1ky k2 kx .
3.Физические соотношения. Физические соотношения не отличаются от общего случая – предположим, что координатная поверхность является срединной:
Nx A11 x A12 y , |
(4.3.12) |
|
Ny A12 x A22 y , |
||
|
||
Sxy A66 xy |
|
|
Qx A55e13 , |
(4.3.13) |
|
Qy A44e23 , |
|
|
M x 11 x 12 y , |
|
|
M y 12 x 22 y , |
(4.3.14) |
|
M xy 66 xy , |
|
где Aij , Dij обобщенные жесткости оболочки.
4. Уравнения равновесия. Рассмотрим фрагмент пологой оболочки размерами dx, dy (рис. 4.12).
Проецируем усилия на ось х:
N |
x dxdy |
Sxy |
dydx 0 |
(4.3.15) |
|
y |
|||
x |
|
|
171
или
Nx Sxy 0;x y
сумма моментов относительно оси x:
M y dydx M xy dxdy Qy dxdy 0
y x
или
M y M xy Qy 0;y x
аналогично для оси y:
Ny Sxy 0,y x
M x M xy Qx 0.x y
Рис. 4.12. Усилия и моменты, действующие на элемент пологой оболочки
(4.3.16)
(4.3.17)
(4.3.18)
(4.3.19)
(4.3.20)
172
Проекция усилий на нормаль z к площадке (рис. 4.13):
Q |
Qy |
|
|
|
|
N |
x |
|
|
|
Ny |
|
|
||
x dxdy |
|
dydx qdxdy |
|
|
|
dxdy |
|
dydx 0 |
(4.3.21) |
||||||
y |
R |
|
R |
||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
Qy |
|
N |
x |
|
|
|
Ny |
q. |
|
|
||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.22) |
||||
|
|
y |
R |
|
R |
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Рис. 4.13. Элемент оболочки
Подставим выражения (4.3.18) и (4.3.20) в уравнение (4.3.22), исключив перерезывающие усилия:
2 M |
x 2 |
2 M xy |
|
2 M y |
|
N |
x |
|
Ny |
q; |
(4.3.23) |
x2 |
x y |
y2 |
R |
|
R |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
это уравнение равновесия не будет независимым, так как независимых уравнений только пять. Если в уравнения равновесия (4.3.16)–(4.3.22) последовательно подставить физические и геометрические соотношения, то получим систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно пяти неиз-
вестных функций u,v,w и 1, 2 .
5. Функция напряжений. Другой способ получения разрешающих соотношении связан с использованием функции напряжений. Вводим функцию напряжений F соотношениями:
Nx 2 F ,
y2
173
|
|
|
|
|
N |
|
|
2 F |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.3.24) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 F |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Sxy |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
автоматически |
|
удовлетворяем уравнениям |
равновесия |
(4.3.16) |
||||||||||||
и (4.3.19). Далее |
преобразуем |
|
уравнения |
(4.3.18), |
(4.3.20) |
|||||||||||
и (4.3.23), представляя (4.3.23) в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 M |
x |
2 |
2 M xy |
|
2 M y |
|
k |
|
2 F |
k |
|
2 F |
q |
(4.3.25) |
||
x2 |
x y |
y2 |
|
|
y2 |
|
x2 |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
и подставляя последовательно в уравнение равновесия физические и геометрические соотношения, получаем систему трех дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций F, w, 1, 2 . Так как три уравнения содержат четыре неизвест-
ные функции, поэтому необходимо найти четвертое уравнение из уравнения совместности деформаций. Для этого выразим тангенциальные деформации через усилия:
|
|
|
x |
A |
N |
x |
A |
N |
y |
, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y |
A |
N |
x |
A |
N |
y |
, |
|
|
(4.3.26) |
|||||
|
|
|
|
12 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
xy |
A S |
xy |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
* |
– компоненты матрицы податливости |
* |
A |
1 |
. Под- |
||||||||||||
Aij |
A |
|
ставляя эти соотношения в уравнение совместности деформации и учитывая связь усилий Nx , N y и Sxy с функцией F, получим
A11 |
4 F |
A66 |
2A12 |
|
4 F |
A22 |
4 F |
|
|
y4 |
x2 y2 |
x4 |
|||||||
|
|
|
2W |
|
|
2W . |
|
(4.3.27) |
|
|
|
k |
k |
|
|
||||
|
|
1 y2 |
|
|
2 x2 |
|
|
|
Дополняя полученную систему уравнений соответствующими граничными условиями, имеем постановку краевой задачи.
174
Глава 5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
5.1. Расчет пластин в условиях плоского напряженного состояния методом конечных элементов
Пусть дана пластина S (рис. 5.1) с границей Г Г1 Г2 , на границе Г1 заданы краевые условия в перемещениях, на Г2 –
в напряжениях (усилиях). Задача сводится к необходимости отыскания функций перемещений u, v, напряжений x , y , xy и де-
формаций x , y , xy . При этом должны удовлетворяться гранич-
ные условия и уравнения равновесия, геометрические и физические уравнения.
Рис. 5.1. Пластина под действием нагрузки
Метод конечных элементов (МКЭ) – приближенный метод решения задач механики, включает в себя несколько этапов.
1. Дискретизация исследуемой области. На исследуемую об-
ласть наносится сетка (рис. 5.2, а): ячейки сетки образуют конечные элементы, например, треугольной (рис. 5.2, б) или прямоугольной формы; вершины конечных элементов – узлы, положение узла характеризуется координатами Xi ,Yi , где i – номер узла.
175
Для описания геометрии сетки знания координат узлов недостаточно, по меньшей мере необходимо для каждого элемента знать количество и список соответствующих номеров вершин
(табл. 5.1).
Рис. 5.2. Дискретизация исследуемой области (а) на конечные элементы (б)
Таблица 5 . 1
Параметры геометрии сетки
Номера |
|
|
|
Номера элементов |
|
|
||
узлов |
1 |
2 |
3 |
4 |
… |
n – 2 |
n – 1 |
n |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
В более сложных случаях необходимой может быть дополнительная информация: а) топология элементов, если сетка содержит конечные элементы различного вида; б) список дополнительных узлов – узлов на ребрах конечного элемента; в) свойства материала конечного элемента для материалов с неоднородной структурой.
Методы дискретизации: 1) вручную, 2) использование преобразований (рис. 5.3), 3) прямое построение, 4) геометрическая модификация.
176
Рис. 5.3. Дискретизация области с использованием преобразования
2. Функция перемещений элемента. Конечный элемент (рис. 5.4) определяется узлами i, j, k. Перемещение элемента определяет вектор-столбец.
|
|
ui |
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
e |
u j |
, |
(5.1.1) |
|
|
|
|
|||
|
|
vj |
|
|
|
|
|
u |
|
|
Рис. 5.4. Конечный элемент |
|
|
|
k |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
k |
|
|
Перемещение произвольной точки элемента обусловливает
u
вектор-столбец, и связь с узловыми перемещениями может
v
быть записана в виде
|
|
|
|
|
e , |
|
u |
|
|
N |
|
(5.1.2) |
|
v |
|
|
|
|
|
|
где [N] – матрица координатных функций. Для треугольного конечного элемента перемещения u, v в пределах элемента аппроксимируем линейными полиномами
u 1 2 x 3 y, |
(5.1.3) |
177
v 4 5 x 6 y; |
(5.1.4) |
коэффициенты 1, 2 , , 6 определяем из системы линейных алгебраических уравнений
|
|
ui |
1 2 xi |
3 yi |
|
|
|
||||||||||
|
|
v |
|
4 |
|
x |
|
6 |
y |
|
|
|
|||||
|
|
i |
|
|
5 |
i |
|
|
i |
|
|
|
|||||
|
|
u j 1 2 xj |
3 y j |
, |
(5.1.5) |
||||||||||||
|
|
|
4 5 xj |
6 y j |
|||||||||||||
|
|
vj |
|
|
|||||||||||||
|
|
u |
|
2 |
x |
|
3 |
y |
k |
|
|
||||||
|
|
k |
|
1 |
|
k |
|
|
|
|
|||||||
|
|
v |
4 |
5 |
x |
6 |
y |
k |
|
|
|||||||
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u |
1 |
ai bi x ci y ui |
|
aj bj x cj y u j |
|
||||||||||||
2 |
(5.1.6) |
||||||||||||||||
|
ak bk x ck y uk , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai xi yk |
|
xk y j , |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
bi |
|
y j |
yk , |
|
|
|
|
|
(5.1.7) |
|||||
|
|
|
ci |
xk |
xj , |
|
|
|
|
|
|
– площадь треугольника. Аналогичное выражение может быть получено для v, тогда
N INi ; INk ; INk , |
(5.1.8) |
|||
где базисные функции |
|
|
|
|
Ni ai bi x ci y |
, |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
N j |
aj bj x cj |
y |
, |
(5.1.9) |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
Nk ak bk x ck y |
, |
|
||
|
2 |
|
|
|
178
единичная матрица
1 |
0 |
(5.1.10) |
I |
. |
|
0 |
1 |
|
3. Связь между перемещениями и деформациями. Соотношения Кошидля малыхупругихдеформацийплоской задачи имеют вид
|
x |
|
u |
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
y |
v |
(5.1.11) |
|
|
||||
|
|
|
y |
|
|
|
u |
v |
|
xy |
||||
|
|
y |
x |
Используем связь перемещений с узловыми перемещениями и в результате получим формулу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
B |
e |
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ni |
|
|
0 |
|
|
|
N j |
|
|
|
0 |
|
|
|
Nk |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N j |
|
|
|
|
N |
|
|
||||
B |
0 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||
|
N |
|
|
N |
|
|
|
N j |
|
|
|
N j |
|
N |
|
|
N |
|
|
||||||
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
y |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
y |
|
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или для треугольного конечного элемента |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
b |
|
0 |
|
|
b |
|
0 |
|
b |
|
0 |
|
|
|
||||||
B |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
ci |
|
|
|
0 cj |
|
0 ck |
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
c |
|
b |
|
|
c |
|
b |
|
|
c |
|
b |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
(5.1.12)
(5.1.13)
(5.1.14)
179
4. Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука
x |
|
C11 |
|
|
|
y |
C21 |
|
|
|
|
xy |
C61 |
или
C12 |
C16 |
|
x |
|
|
C22 |
C26 |
|
|
|
(5.1.15) |
|
y |
||||
C62 |
C66 |
|
|
|
|
xy |
|
C , |
(5.1.16) |
где [C] матрица эффективных жесткостей пластины.
5. Разрешающие соотношения. Полная энергия U складыва-
ется из энергии упругого деформирования A1 и работы внешних сил A2 . Истинное поле перемещений соответствует минимуму
полной энергии, по сравнению с любыми другими кинематически возможными полями перемещений:
A1 T dV T tdS, |
(5.1.17) |
|
V |
S |
|
следовательно, |
|
|
|
n |
|
A1 A1i , |
|
|
|
i 1 |
|
где п – число конечных элементов, |
|
|
A1i T tdS T t |
(5.1.18) |
|
Si |
|
|
или через узловые перемещения |
|
|
A1i iT |
k i i t , |
(5.1.19) |
где матрица жесткости конечного элемента. |
|
|
k i B T C B . |
(5.1.20) |
180