книги / Строительная механика, динамика и устойчивость композитных конструкций
..pdfДифференцирование (4.1.10) по s приводит к формуле
|
|
|
kv |
d 2r |
|
r d 2 |
|
|
2r d d |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ds2 |
ds2 |
|
|
2 ds ds |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2r |
d d |
|
r d 2 |
|
|
|
2 r |
|
d d |
|
|
|||||||||||||
|
ds |
ds |
ds2 |
ds |
|
ds |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2r d d |
|
r d 2 |
|
r d 2 |
2r d 2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds ds |
|
ds |
ds |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2r |
d d |
|
|
2r d 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ds d |
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
(4.1.12) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
Домножив левую и правую части этого уравнения на единичный вектор n, нормальный к координатной поверхности.
|
|
r d 2 |
|
|
r d 2 |
|
|
2 r d 2 |
|||||||||
kvn |
|
|
|
2 |
n |
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
ds |
ds |
|
|
2 |
ds |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 r |
|
d d |
|
|
2r d |
2 |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
ds |
d |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
или
k cos nr d 2 2nr d d nr d 2 , ds2
(4.1.13)
(4.1.14)
где φ – угол между векторами v , n ; если рассматривать дуги C , полученные сечением координатной поверхности плоскостью, в которой лежит нормаль, тогда 0 , а cos 1. Обозначим через
kn кривизну поверхности в нормальном сечении:
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kn |
|
nr d 2 2nr d d nr d 2 |
. |
(4.1.15) |
||||||||
R |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
r d |
|
r d |
|
|
|
|
|
Кривизна kn будет изменяться при вращении нормального сечения относительно нормали. Если сечения отнесены к главным линиям кривизн, то r 0 , а кривизны вдоль линий
(dβ = O) и р (d = 0) определяются соотношениями:
151
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
nr , |
(4.1.16) |
|||||||||
|
|
||||||||||||
1 |
|
R1 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
r |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
k2 |
|
|
nr2 . |
(4.1.17) |
|||||||||
|
R2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
Кривизны k1, k2 называют главными кривизнами, a R1, R2 главными радиусами соответствующих кривизн оболочки. Произведение кривизн k1k2 называют гауссовой кривизной, а абсолютное значение гауссовой кривизны показывает степень искривленности поверхности в окрестности точки; знак минус характеризует форму (рис. 4.3).
Рис. 4.3. Примеры поверхностей с различными гауссовыми кривизнами
Полу сумму главных кривизн 12 k1 k2 называют средней
кривизной поверхности.
Таким образом, для описания формы координатной поверхности оболочки в системе координат α, β необходимо знать главные кривизны или главные радиусы кривизн поверхности.
2. Геометрические соотношения (рис. 4.4). Для построения геометрических соотношений примем кинематическую модель С.П. Тимошенко, тогда смещение произвольной точки оболочки определится в виде:
152
uz , , z u , z 1 , , |
|
vz , , z v , z 2 , , |
(4.1.18) |
z , , z , . |
|
где u, v тангенциальные перемещения точек координатной поверхности, w нормальное перемещение точки координатной поверхности (прогиб), γ1 и γ2 углы поворота нормали в плоскостях αz и βz соответственно.
Рис. 4.4. Элемент оболочки
Далее воспользуемся соотношениями для компонент тензора малых деформаций в криволинейных ортогональных координатах α, β, γ.
3. Параметры Ламе и радиусы кривизны эквизистантной по-
верхности. Пусть H , Hz параметры Ламе, а R1, R2 – радиусы кри-
визн координатной поверхности. Рассмотрим эквидистантную поверхность, удаленную на расстояние z от координатной. Опреде-
лим параметры Ламе H z , H z и радиусы кривизн R1z , R2z . Очевидно,
153
|
R1z |
R1 z R1 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|||
|
R2z |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
||||
|
R2 z R2 1 |
|
|
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
||||
для параметров Ламе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H d |
|
H z d |
H |
z |
H |
|
|
z |
|
||||||
R |
|
R z |
|
|
1 |
|
. |
||||||||
|
|
R |
|||||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
H |
H 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4. Кинематические соотношения имеют вид:
e 1 H
e H
H
u |
|
u |
|
|
u |
|
H |
|
u |
,...; |
||||||
|
|
|
H H |
|
|
|
H H |
|||||||||
|
|
u |
|
H |
|
|
u |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
H |
|
|
Ha |
|
H |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(4.1.19)
(4.1.20)
(4.1.21)
(4.1.22)
Запишем эти соотношения для некоторой эквидистантной величины поверхности z = const:
e |
1 uz |
H z |
vz |
H z |
z |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
. |
(4.1.23) |
|
H z |
H z |
H z |
H z |
H z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иучтём, что z h , гдетолщина оболочки h
|
|
z |
|
|
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1. |
|||
|
R2 |
||||||||
|
|
R1 |
|
|
|
|
R1 и R2 , тогда
(4.1.24)
И следовательно, |
H z |
H |
|
, H z |
H |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H z |
|
|
|
|
|
z |
|
||
z |
|
|
H 1 |
|
|
|
|||
z |
R |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
кроме того, |
|
||
|
H |
. |
(4.1.25) |
|
|||
|
R |
|
|
|
1 |
|
|
154
И |
H z 1, так как ось z прямолинейная. Таким образом, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
1 |
|
uz |
|
1 |
|
H |
v |
z |
|
wz |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(4.1.26) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
H |
|
|
|
H H |
|
|
|
R1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Аналогичным образом получим выражение: |
|
|
||||||||||||||
|
e |
1 |
|
vz |
|
1 |
|
H |
uz |
wz |
; |
(4.1.27) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
H |
|
|
H H |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ez z 0,z
т е. длина нормали постоянна; для сдвиговых деформаций
e |
H |
|
u |
z |
|
|
H |
|
|
|
v |
z |
, |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
H |
|
H |
H |
|
(4.1.28)
(4.1.29)
e z |
H |
|
|
|
u |
z |
|
|
1 |
|
|
z |
, |
(4.1.30) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
H |
|
|||||||||||||
|
|
|
z |
H |
|
|
|
|
||||||||||
e |
H |
|
|
vz |
|
|
|
1 |
|
z |
. |
(4.1.31) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
H |
|
|
H |
|
|
|
|
||||||||
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим в соотношения (4.1.26)–(4.1.31) выражения кинематической модели С.П. Тимошенко
e |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
H |
v |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(4.1.32) |
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk |
, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
e |
|
|
1 |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
H |
|
u |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(4.1.33) |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zk , |
||||||||||||
H |
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155
|
e |
|
|
H |
|
|
|
uz |
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
vz |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
H H |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2zk , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
H |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
H |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
e z H |
|
u |
1 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
H |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1H (u 1 z) |
Ha |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
H |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
R |
1 R |
H |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аналогично получаем
(4.1.34)
(4.1.35)
e |
|
2 |
|
1 |
|
v |
|
z |
. |
(4.1.36) |
|
|
|||||||||
z |
|
|
H |
|
R2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Величины , , , z , z |
характеризуют равномерную по |
толщине оболочки деформацию и называются тангенциальными деформациями. Величины , , характеризуют линейно из-
меняющуюся по толщине деформацию оболочки, связанную с изгибом и скручиванием оболочки, и называются компонентами изгибной деформации.
Для построения геометрических соотношений использована модель С.П. Тимошенко; если использовать классическую теорию тонких оболочек Кирхгофа – Лява, следует положить
e z z 0, |
(4.1.37) |
156
тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1.38) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
при |
|
этом |
|
|
компоненты тангенциальной |
деформации |
оболоч- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ки , , |
останутся |
без |
|
|
изменений, |
|
изгибные |
деформации |
||||||||||||||||||||||||||||
примут вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
k |
|
|
1 |
|
|
|
u |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
H |
|
v |
|
1 |
(4.1.39) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
H |
|
|
|
R |
H |
|
|
H |
|
H |
|
|
|
|
|
R |
H |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
ит.д. для , .
4.Физические соотношения. Рассмотрим физические соотношения упругого анизотропного материала. Пусть материал является ортотропным и оси ортотропии совпадают с осями α, β, z, тогда соотношения Гука будут иметь вид:
C11e C12e C11 zk C12 zk , |
|
|||||||||
C12e C22e C12 |
zk C22 zk , |
(4.1.40) |
||||||||
C55e z C55 z , |
|
|
||||||||
|
C |
44 |
e |
C |
44 |
|
z |
. |
|
|
z |
|
z |
|
|
|
|
|
|||
Определим внутренние усилия: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Г2 |
|
|
|
|
|
|
|
N dz |
|
|
|
|
||||||
|
|
Г1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г2 |
|
|
|
|
|
|
Г2 |
|
|
C11h k C11 |
zdz C12h k C12 |
zdz |
(4.1.41) |
|||||||
|
Г1 |
|
|
|
|
|
|
Г1 |
|
|
A11 A12 B11k B12k , |
|
|
||||||||
N A12 A22 B12 k B22 k , |
|
(4.1.42) |
157
|
|
S A66 B66 k , |
|
|
(4.1.43) |
|||
|
|
Г2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
zdz |
|
|
|
||
|
|
Г1 |
|
|
|
|
|
|
|
Г2 |
Г2 |
|
|
Г2 |
Г2 |
|
|
C11 |
|
zdz k C11 z2 dz C12 |
zdz k C12 |
|
z2dz |
(4.1.44) |
||
|
Г1 |
Г1 |
|
|
Г1 |
Г1 |
|
|
|
|
B11 B12 D11k D12k , |
|
|
|
|||
|
|
M B12 B22 11k 22 k , |
|
(4.1.45) |
||||
|
|
M B66 66 k , |
|
|
(4.1.46) |
|||
|
|
Q C55h z , |
|
|
(4.1.47) |
|||
|
|
Q |
C44 h z . |
|
|
(4.1.48) |
||
Если координатная поверхность является срединной, то |
||||||||
|
|
|
|
Bij 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
h3 , |
|
|
(4.1.49) |
|
|
|
ij |
ij |
12 |
|
|
|
и физические уравнения относительно внутренних усилий примут вид
N |
|
|
A11 |
||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|||
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
||||
|
|
||||
M |
|
|
|||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
A12 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||||||
A22 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A66 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
11 |
12 |
0 |
0 |
0 |
|
k |
|
|
|
|||
|
|
|
, |
(4.1.50) |
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
sim. |
|
|
|
|
66 |
0 |
0 |
k |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
A |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
55 |
A |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
158
если использовать гипотезу Кирхгофа – Лява, то два последних уравнения надо отбросить. В общем случае анизотропии материала вся матрица [А] заполнена коэффициентами жесткости.
5. Уравнения равновесия. Рассмотрим элемент срединной поверхности оболочки (рис. 4.5).
Рис. 4.5. Элемент срединной поверхности оболочки
Выполняются соотношения:
|
|
|
d 1 |
H |
d |
k1H d |
, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
R1 |
|
|
(4.1.51) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d 2 k2 H d , |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
H |
d d |
|
1 |
H |
|
|
||||
d 1 |
tg d 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d , |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
H d |
|
|
H d |
|
H |
|
(4.1.52) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
d 2 |
|
1 |
|
|
H |
|
d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
159
Рассмотрим проекции сил на оси α, β, z (рис. 4.6).
Рис. 4.6. Усилия и моменты, действующие на элемент срединной поверхности оболочки
Проекции сил на ось α: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
H N |
d d |
H S |
|
d d |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
H S d d 1 H S d d 2 Q H d d 1 0, |
||||||||||||
|
|
|
H N |
|
|
|
H S |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
H |
|
|
||||||
S |
H |
|
N |
k1H H Q 0; |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
на ось β: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H N |
|
|
H S |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
H |
N |
H |
k2 H H Q 0; |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.1.53)
(4.1.54)
(4.1.55)
160