книги / Функции комплексного переменного и их приложения

которая конформно отображает верхнюю половину плоскости

(Z) на прямоугольник R плоскости (Q ).

Можно показать, что при аналитическом продолжении функции и по принципу симметрии Римана-Шварца [2, 6], можно получать все новые и новые прямоугольники, которые в пределе покроют всю плоскость (Q ). Так как прямоугольни­

ки, в плоскости (Q) не перекрываются, то каждому значению и

отвечает вполне определенное значение z , то есть однозначная функция от и .

Д. 2.5. Эллиптические интегралы и функции

При решении прикладных задач теории функций ком­ плексного переменного приходится пользоваться понятиями эл­ липтических интегралов и эллиптических функций. Подробное изложение этих вопросов можно найти в работах [6, 12]. В рам­ ках предлагаемого учебного пособия остановимся лишь на про­ стейших понятиях и свойствах узкого класса эллиптических ин­ тегралов и функций, которые понадобятся при решении кон­ кретных прикладных задач.

Определение 1. Эллиптическим интегралом называется ин­

теграл вида
	p?(z,co)dz	(2.69)
где R	- рациональная функция двух	своих аргументов,
а со2 -	P[z) , где P(z) - многочлен третьей или четвертой сте­
пени без кратных нулей.
Интегралы

dt	(2.70)

1 - k 2t 2 l - t 2

dt

(2.72)

называют неполными эллиптическими интегралами первого, второго и третьего родов в нормальной форме Лежандра.

Если положить z = sirup,	t = sin\\j,	(p = (px+i(p2,	=
= ¥ j + W 2, то получим интегралы в		тригонометрической
форме
			(2.73)
Е (ф, к) =)Vl-/fc2sin24 'd4',			(2.74)
'Г	dT		(2.75)
П(ф,п,А:) = J-	- к 2sin2 т )
o(l + «sin2

Если ввести функцию [12], то получим

(2.76)

^о Vl - £ 2sin2vE

Число к называется модулем интегралов, число п - пара­ метром интеграла третьего рода. Для краткости положим

Д(¥,&) = \/l-& 2sin2 'Р ,

(2.77)

причем Д('ЕД) = 1 в начале ¥ = 0 пути интегрирования, и оп­ ределим величину

к' = ^ \ - к 2

(2.78)

где Л' назовём дополнительным модулем.

Замечание 1. Если в формулах (2.73)-(2.75) принять верх-

71

нии предел интегрирования ф = —, то получим полные эллипти­

ческие интегралы в нормальной форме. Их обычно обозначают:

я

		(2.79)
	2	I / 1 2 - 2 , 2
Е(к) = Е	= j A ( 4 ' , k ) d V = U — r dt, (2.80)
	о	о V 1~‘

Z k

	oJA(4P,*)
1	df	(2.81)
= J
х / м	н ^ й

Нормальная форма полных интегралов (2.79)-(2.81), соот­ ветствующих дополнительному модулю к' (2.78), обознача­ ется так:

к'(к) = к(к'), Е'(к) = Е(к').

Всякий эллиптический интеграл может быть представлен как линейная комбинация элементарных функций и интегралов (2.70)-(2.72) в нормальной форме Лежандра.

Если преобразовать действительный эллиптический интеграл

$R^x,^a0x 4 +ахх ъ +а2х 2 +аъх + аАjdx

(2.82)

подходящим образом выбранной подстановкой

: = - +<^( (если а0 * 0 ) или x = t 2 - г (если а0 =0) 1 +t

к виду
p?* ^ ± ( t 2- x ) ( t 2- i i ) y t ,	(2.83)

то во многих случаях можно привести его к нормальной форме с помощью вспомогательных таблиц. Эти таблицы приведены

в работе [12].

Определение 2. Эллиптическими функциями называются функции, обратные эллиптическим интегралам. Эллиптическая функция является двоякопериодической мероморфной функци­ ей комплексного переменного. Все её периоды можно предста­ вить в виде 2/Ж0] + 2 л с о 2 (т, п - целые числа), где 2©j, 2со2 называются парой основных периодов. Отношение основных

©2	*
периодов т = —-	является комплексной величиной, поэтому оу-
©1
дем считать, что Imx > 0.
Замечание 2.	Начиная из произвольной точки и0 можно

покрыть всю комплексную плоскость комплексного аргумента сеткой параллелограммов периодов, вершинами которого будут точки и0 + 2/77©! + 2/7©2 (/77, п - целые числа). В силу своей двоякопериодичности функция принимает одно и то же значение в соответствующих (гомологических) точках всех параллельных параллелограммов периодов.

Из всего многообразия эллиптических функций (функции Якоби, функции Вейерштрасса, тете-функции) остановимся подробнее на эллиптических функциях Вейерштрасса [6].

Определение 3. Нормальной формой Вейерштрасса эллип­ тического интеграла первого рода (2.73) называется интеграл

(2.84)

где S - 4 s 2 - g 2s - g 3 - 4 ( s - e l) ( s - e 2) ( s - e 3), g 2, g 3 - инварианты.

Обратная функция называется эллиптической функцией Вейерштрасса и обращается

S = %u = x{u,g\,g2)-

Она является двоякопериодической комплексного аргумен­ та u = ul +iu2 с основными периодами 2со, 2со', которые для

действительных чисел е] > е2 > е3 задаются равенствами:
2co = 2 j - ^ ,	2©'=	}-р=--.	(2.85)
Величины g 2 и g 3 называются инвариантными функция­
ми. Инварианты g 2, g 3, нули	el9 е2,	е3 многочлена S	и пе­
риоды со, со' связаны соотношениями [12]
g 2 = ~4(е2е3+ е3е, + е,е2) = 60£ * -т,
		СО
<g 3 = 4е,е2е3 = 140£			(2.86)
в| =x(w), е2 =х(со + со'),		е3 =х(ю')’
^1 + ^2 ^3 = О*

В (2.86) YJ * означает суммирование по всем отличным от нуля периодам со = 2гясо+ 2жо' [т9п - 0,±1,...).

Рассмотрим некоторые частные случаи (2.86):

Яг

,£з_. .

2 ' Яз

гн I

= е \ ,

(0 = 00,

, Я/

СО= ~ ~ г = ', %и = - 2 е { + 3^ • cth2 \ ityj3e~ij,

М

(2.87)

-•

Яг IIСП

2

.Яз :- e l

ГЧ

II 3

[jo ^

со' = 00,

	->	f	1 Г ~ 1
	XM= e|+ ^ e ,-ctg 2
		(uv	i e , ' uу5

et =e2 =e3 = 0: g 2 = g 3 =0,				© = co' = °°,	%u = — .
При	g 2 =0,	g 2=\	получаем	£	e2	1
				е{= -щ,		= - щ = 0,6300,
е, = -Б= ,	где 1,	е, е9 -	кубические корни		из	единицы. Из
V4
е2 =усо2,	определяется		действительный полупериод оз2 =

=1,52995.

Взаключение этого пункта остановимся на дифферен­ цированных уравнениях, приводящих к функциям Вейершграссе [12]:

	^du)		= 4* 3 _ £2*“ £ з> * = х («;£2>£з)>					(2.88)
( dx:>	9 /	\ 2		а	27 /м л I		64	1
dи )	= * ( * - * )		Л = 2 + ТбХ1 2 ;0,,?3/			ё з = ~729		’(2'89)
| т 1 = ( ^ - 2 a x 2+3x)J				* =	;	£з	27	(2-90)
dw					а-Зх'(и;0,^3) ’	3
			dw У	3				(2.91)

2	g 2 = - ( a -b).
^ = 6x2(w;g250 ) - i;

3. ЗАДАЧИ КИНЕТИКИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ

3.1. Кинетика химических реакций. Общие замечания

В главе 2 была введена комплексная функция F{x,y,z,t),

которую записывали в виде суммы двух функций: статической и динамической составляющих Fx(x,y,z,t) и F2(x,y,z,t) силового поля. Случай, когда

F(x,y) = Fl(x,y),

соответствовал классу задач, связанных с комплексным потен­ циалом плоского векторного поля, и подробно рассмотрен в главе 2.

Остановимся теперь на случае, когда

		F(x,y,z,t) = F2{x,y,z,t),
что соответствует		динамическим	процессам,	протекающим
в системах.	Если	в дальнейшем	считать,	что	функция
F2(x,y,z,t)	рассматривается в некотором скалярном				поле, то

к таким динамическим задачам можно отнести, например, зада­ чи, связанные с кинетикой химических реакций. Остановимся на них. Введём предварительно основные понятия химической ки­ нетики [15].

В химической реакции не всегда происходит непосредст­ венное превращение исходных молекул в молекулы продуктов реакции. В большинстве случаев реакция протекает в несколько стадий. Совокупность стадий, из которых состоит химическая реакция, называется механизмом химической реакции. Наибо­ лее простым является механизм реакции, которая протекает в одну стадию (прямой переход реагирующих частиц в продук­ ты реакции). Такие реакции называются элементарными.

Реакции, в элементарном акте которых участвуют одна, две или три частицы, называются соответственно мономолекулярными, бимолекулярными и тримолекулярными. Реакции более высокой молекулярности практически не встречаются. При от­ сутствии прямой связи между стехиометрическими и кинетиче-

скими уравнениями реакции являются неэлементарными и их стехиометрические уравнения не отвечают истинному механиз­ му химического превращения [15]. По количеству стехиометри­ ческих уравнений, необходимых для описания химического превращения, различают простые и сложные реакции.

Если для описания протекания данной реакции достаточно одного стехиометрического уравнения, то ее относят к простым реакциям, если несколько стехиометрических и кинетических уравнений, то ее относят к сложным реакциям.

Приведём примеры простых элементарных реакций и соот­

ветствующие ИхМкинетические уравнения:
A - J ^ S ,	^		= -кСА;
	d т
A + B - ^ S , Щ± = -кС А-Св -,
	dx
2A —*->S,			2 e
	dx		А 9
A + B + D - * - > £		^ А =-кСА;		(3.1)
			dx
2А + В к	^	± = - k C 1A-CB;
	d x
пА к	* £ ± = - k c nA,
	dx

где к - константа скорости реакции, которая отвечает за компо­ ненту А (для первой, второй и четвертой реакций к соответствует также константе скорости реакции); СА, Су —концентрации соответствующих реагентов реакции.

Если в простой элементарной реакции участвует одинако­ вое число молекул различных компонентов, то константы ско­ рости реакции, соответствующие любому компоненту, будут иметь равные численные значения, то есть кА = кв = = ks [17]. Если же в реакции участвует неодинаковое число молекул раз-

личных компонентов, то кинетические уравнения нельзя считать достаточно определенными и нужно указывать компонент, ко­ торому отвечает константа скорости реакции. Константы скоро­ стей, отвечающие соответствующим компонентам, и стехиомет­ рические коэффициенты реакции связаны в общем случае соот­ ношением

	кА	кв		(3.2)
	пА	П В
где кА, кв,	ks - константы		скорости	реакции, отвечающие
компонентам А, В, ..., S; пА, пв, ..., ns -				стехиометрические ко­
эффициенты реакции; к -		константа скорости реакции стадии.
Большинство химических реакций, рассматриваемых в хи­
мической	кинетике, являются		сложными, то есть протекают

в несколько стадий и при этом могут иметь прямое и обратное направление [15]. При составлении кинетических уравнений сложной реакции ее представляют состоящей из нескольких не­ зависимо протекающих элементарных реакций и для описания каждой из них используют кинетические закономерности эле­ ментарного акта химического превращения [16].

Полное изменение концентрации /-го компонента сложной реакции будет алгебраической суммой скоростей его образова­ ния или расходования на всех элементарных стадиях, где участ­ вует этот компонент. Сложные реакции математически описы­ ваются системами дифференциальных уравнений, количество которых определяется числом реагирующих веществ.

Примеры некоторых сложных химических реакций и со­ ответствующие им кинетические уравнения приведены ниже:

последовательная реакция
d £А _	кхСа,
-
dx
^ - = k f A - k 2Cs ,		(3.3)
dx

dС1L—- л,в2Г j dx

параллельная реакция

dC, ' —~{k\ + k2 )CA,

	dx
А — - —>S dCs__ ь n			(3.4)
A - b - + R	dx	- K\ ^ A ’
	dCK - lr Г
	dx	—*2^ A’
смешанная реакция
		dC4 - - - k	C

A —^ - > S — +C-+R A — —^—* 6

dx

dC—= £, CA - k 2Cs - k 3Cs,

dx	(3.5)
	dC
	IL - к C

dx

dCg = k^Cs, dx

где Аг|Д 2 - константы скоростей реакции; CA,CS,CR,CQ - кон­

центрации соответствующих реагентов реакции.

Реакции типов (3.3)-(3.5) описываются системами линей­ ных дифференциальных уравнений первого порядка. Теоретиче­ ские основы их построения и методы решений подробно рас­ смотрены нами в работе [17].

В кинетике сложных химических реакций часто встречают­ ся реакции, которые описываются системами нелинейных диф­ ференциальных уравнений. Найти аналитические решения таких систем чрезвычайно сложно. В этом случае применяют методы приближенного численного интегрирования. В силу громоздко­ сти и большого объема вычислительной работы эти методы, как правило, реализуется на ЭВМ.

Ниже остановимся лишь на классе нелинейных систем дифференциальных уравнений первого порядка, для которых могут быть получены аналитические решения [5, 14].