книги / Функции комплексного переменного и их приложения
..pdfФункцию W(z) = <b(x:,у) + №(х,у), составленную из по тенциальной функции Ф(х,у) и функции тока плоского лапласова векторного поля /(z ), называют комплексным по
тенциалом |
этого векторного поля. Комплексный потенциал |
и векторное |
поле связаны соотношением: W'(z) = f ( z ), т.е. |
плоское лапласово векторное поле описывается функцией ком плексного переменного /(z ), комплексно сопряженной с ана литической функцией W\z).
Верно и обратное, т.е. если функция /(z ) аналитична, то плоское векторное поле, заданное функцией / ( z ) , является ла-
пласовым. Функцию |
комплексного переменного /(z ) = |
|||
= U(x,y) + iV(x,y) |
можно рассматривать как векторную функ |
|||
цию (U(x,y), V(x,y)) |
двух переменных х и у. С этой точки |
|||
зрения, |
|
|
|
|
- , (2) = a®(i 2 ) + .a®(f ; jo = |
||||
|
|
|
дх |
ду |
ГдФ(х,у) |
дФ(х,у)^ |
gradO(x,j). |
||
^ |
дх |
’ |
ду , |
|
Линии равного потенциала (эквипотенциальные линии) представляют собой линии уровня потенциальной функции Ф(х,>'), а линии уровня функции тока ^(*,>0, известны как
линии тока (силовые линии). Линии равного потенциала и ли нии тока в области D описываются соответственно уравнениями
Ф(д:,у) = const, |
1Р(д:,>’) = const, |
(J:J |
)6 D . |
(2.14) |
Если в точке z е D |
функция f ( z ) |
не |
равна |
нулю, то |
W'(z) = /(z ) * 0 . В этом случае линия равного потенциала и ли ния тока, проходящего через эту точку, взаимно перпендику лярны. Если функция /( z ) задает лапласово поле в однознач
ной |
области D на комплексной плоскости (Z), то функция |
/(z ) |
является аналитической в D и, по теореме Коши для од |
носвязной области, комплексный интеграл от этой функции по замкнутому контуру у с D равен нулю. Но действительная часть этого интеграла есть циркуляция векторного поля по контуру у, а мнимая часть есть поток векторного поля через кри вую у. Таким образом, утверждение теоремы Коши означает,
что циркуляция лапласова поля по замкнутому контуру и поток лапласова поля через замкнутую кривую равны нулю. Первое утверждение верно для всех потенциальных полей, а второе - для всех соленоидальных полей [8].
Пример 2.1. Выяснить, какое векторное поле описывает комплексный потенциал
W(z) = z2 = х2 - у2 + 2ixy.
Эта функция является аналитической во всей комплексной плоскости и потому определяет в этой плоскости лапласово по
ле, которое описывается функцией f(z) = W'(z) = 2z. Потенци альная функция и функция тока этого поля имеют вид
Ф(Х>0 = Re t V ( z ) = х 2 - у 2, |
= ImW ( z ) = 2 ху. |
На рис. 2.2 сплошными линиями изображены линии равного потенциала, а штрихо выми - линии тока. Оба семейства содержат равнобоч ные гиперболы, но, кроме того, линиями равного потенциала являются биссектрисы коорди натных углов, а линиями тока - координатные оси. В точке
Рис. 2.2 |
z = 0 имеем |
PF'(0) = 0 |
и нуле |
вой вектор |
/(0 ) = 0 |
Именно |
в этой точке нарушено условие взаимной перпендикулярности линий равного потенциала и ли ний тока. Рассматриваемое векторное поле описывает, напри мер, течение жидкости в пространстве, разделенном двумя пер пендикулярными стенками.
Пример 2.2. Пусть в точках z - - h и z = О помещены ис точники интенсивностью Q и -Q соответственно. Найти ком плексный потенциал этого поля. Возникающее плоское вектор ное поле будет суммой векторных полей этих источников, а его комплексный потенциал в силу аддитивности интеграла можно представить в виде
W(z) = Ln(z + И) - |
Ln z + cx+ ic2, |
(2.15) |
271 |
27С |
|
где символ Ln - комплексный логарифм z.
Таким образом, из аддитивности интеграла следует свойст во аддитивности комплексного потенциала. Потенциал (2.15) определен при условиях z + h * 0, и z^O , или при
(z + И) • z ^ 0. Выделяя |
в комплексном потенциале действитель |
|
ную и мнимую части, |
приходим к уравнениям линий равного |
|
потенциала и линий тока |
|
|
|
ln-Z.+.— = const, |
(2.16) |
|
\z\ |
|
Arg(z + К) - Arg z = const.
После упрощения эти уравнения принимают вид
z + h |
А |
z + h |
------= const, |
Arg |
------- = const. |
z |
|
z |
Линиями тока рассматриваемого векторного поля являются дуги окружностей, соединяющие точки - И и 0. Линиями равно го потенциала также будут окружности, которые разделяют точ ки z + h и 0 и перпендикулярны линиям тока.
Действительно, полагая z - x + iy и принимая для опреде ленности h > 0, из (2.16) находим соответственно
^{x + h f + y 1 = кт>0, arctg— ---- arctg— = е R (2.17)
4 ^ 7 |
v |
x + h |
х |
|
|
|
|
|
х - |
|
|
к2-h2 |
|
h |
|
|
|
|
+ у 2 = * |
- I |
х ч— |
|
||||
|
|
k l - 1 |
|
к - 1)21 |
|
2 |
|
||
|
|
|
И |
, |
Y |
к2 |
, |
|
|
|
|
|
y + --ctgk |
= . |
2 |
|
|||
|
|
|
2 |
|
) |
4sin |
|
k tl |
|
|
Эти формулы определяют радиусы |
|
к |
• h |
|||||
|
7?ф= р^— г и центры |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\к._ |
1 |
z = |
линии |
равного |
потенциала, |
а также радиусы |
|||||
/? |
h |
|
|
h |
,h |
|
|
|
|
= —j------ г |
и центры z = ------ 1 —ctg кщ линии тока. |
||||||||
|
2 sin |
I |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Центры линий равного потенциала лежат на действитель- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
ной оси, а центры линии тока - на прямой Rez = - —, перпенди |
кулярной действительной оси и равноудаленной от точек z + h
и О (рис. 2.3). Эти окружности взаимно перпендикулярны, а плоское векторное поле симметрично относительно действи тельной оси, на которой расположены линии тока, соответст вующие дугам окружности бесконечно большого радиуса при
h
кЦ1-> 0 . Прямая Rez = - — будет одной из линий равного по
тенциала (окружностью бесконечно большого радиуса при &ф-> 1). Линии равного потенциала левее этой прямой соответ
ствуют значениям &фе ( 0,1), |
а правее - к >\ Полученные |
|
геометрические соотношения, |
исключив из них параметры к(? |
|
и к , можно привести к двум равенствам |
|
|
rf2+ V =/L |
и d 2 + l l v = K > |
(2.18) |
|
где d = — , lR^ - расстояние от |
|
|||||
точки |
z = — |
до |
центра ок |
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
ружности |
0(z) = const |
радиуса |
|
|||
Ry , a lR4l |
- расстояние от этой |
|
||||
точки |
до |
центра |
окружности |
|
||
*Р(г) = const |
радиуса Ryv |
|
||||
Рассматриваемое |
вектор |
|
||||
ное поле |
порождается, |
напри |
Рис. 2.3 |
мер, электростатическим полем двух разноименно заряженных тонких прямолинейных провод
ников, параллельных друг другу и расположенных друг от друга на расстоянии И. Интенсивность Q> О будет соответствовать
положительному заряду, приходящемуся на единицу длины проводника.
Пример 2.3. Для плоского векторного поля задан комплекс ный потенциал W(z) = z + lnz . Найти потенциальную функцию
Ф(х,у), функцию тока линии тока и линии равного
потенциала, а также критические точки поля (точки, в которых векторное поле обращается в нуль). Потенциальная функция и функция тока являются действительной и мнимой частями комплексного потенциала. Отсюда
Ф(х, у) = Re W(z) = Re z + Re(ln z) =
= X + InJX2 4-у2 = X+ i In[x2 + y 2) ,
W(x,y) = Im W(z) = Im z + Im In z = у + arg z = cp(x, y) + y,
где cp(x,y) - функция argz, записанная в переменных x и у,
и равная полярному углу точки с координатами (х;у).
Линии равного потенциала задаются уравнением Ф(х, у) =
1 |
7 |
2 |
= С, или X 4-—1п(х |
+ у ) = С. |
Линии равного потенциала описываются уравнением
'¥(x,y) = C 9vum у + <р(х,у) = С
Вполярных координатах г и ср на плоскости (Z) уравнения
линий равного потенциала и линий тока имеют вид
г cos ср -ь Inг = С, г sin ср + ср = С.
Так как векторное по
ле описывается |
функцией |
f(z) = W \z ) = 1 + —, |
критиче- |
Z |
|
ские точки являются решением |
|
уравнения 1 + —= 0, |
которое |
z |
|
имеет единственное |
решение |
z ——1. То есть векторное поле |
|
имеет единственную |
критиче |
скую точку z - ~ 1. |
|
Рассматриваемое векторное поле представляет собой ком |
позицию плоского векторного поля, рассмотренную в приме ре 2.1, и поля источника интенсивности 271, помещенного в точку z = 0 .
Вид линий тока этого поля изображен на рис. 2.4.
2.3.Задачи, связанные с понятием комплексного потенциала
2.3.1.Задачи гидромеханики
Задача 1. Течение жидкости в каналах.
Под каналом в комплексной плоскости (Z) будем понимать область D, ограниченную кривыми и у2, пересекающимися
лишь в бесконечно удаленной точке z = оо (рис. 2.5).
Плоское векторное поле скорости в таком канале описыва ет течение жидкости между двумя непроницаемыми цилин дрическими поверхностями, образующие которых перпен дикулярны плоскости (Z), а направляющими являются кривые
Yi и У2 •
У2 z2 |
(Z) |
V1=0 |
|
о |
> |
* |
Рис. 2.5
Эти кривые будут линиями тока, так что мнимая часть комплексного потенциала W(z) течения в канале должна быть постоянной на каждом из этих кривых, т.е.
Будем считать, что в области D отсутствуют источники
ивихри. Тогда поток Q векторного поля через любую кривую
ус произвольной начальной z, е у, и конечной z2 е у2 точками будет постоянным, причем Q = '¥ 2 - 'F , . При выборе *Р, = 0 по лучим 'Т2=<3 Отметим, что для жидкости, вытекающей из об ласти, для которой кривая у является участком границы, поток имеет положительное значение: Q> 0 (см. рис. 2.5). Условие постоянства *Р(г) на кривых у, и у2, а также известное значе ние потока жидкости Q не является достаточным для одно
значного определения комплексного потенциала течения жид кости в канале. Поясним это. Рассмотрим в качестве канала по лосу 0 < Im z < Н , в которой течение имеет заданное значение потока Q >0 (рис. 2.6). Функция [7]
зависящая от параметров X е R и п е Z , имеет мнимую часть
Оу |
л "1Г |
• п п У |
, |
Im w(z) = — |
+ Xe н |
-sm— |
ЯЯ
которая при любых значениях А, и я принимает на границах
lmz = 0 |
и Im z = Я полосы |
постоянные значения 4 ^ = 0 |
||
и |
= S |
Однако скорость жидкости |
|
|
|
|
О |
«я |
Н |
|
|
^'(z) — + — |
|
|
|
|
Я |
Я |
|
зависит от выбора значений X и и .
Покажем, что единственность комплексного потенциала для заданной полосы можно обеспечить, дополнительно потре бовав, чтобы скорость в бесконечно удаленной точке была огра ниченной. Пусть аналитически функции IV,(z) и W2(z) в полосе О< Im z < 0, представляющей канал, удовлетворяют всем усло виям: их мнимые части постоянны на кривых Im z = О и Im z = Н, ограничивающих канал, а соответствующие вектор
ные поля |
v,(z) |
и |
v2(z) ограничены в D и имеют одинаковое |
значение |
потока |
Q Тогда аналитическая функция W(z) = |
|
= W,(z)-W2(z) |
описывает векторное поле, которое ограничено |
в D , имеет нулевое значение потока, а мнимая часть T^z) =
= Im W(z) этой функции обращается в нуль на прямых Imz = О и Imz = Н.
Дополнительное условие означает, что функция W\z) ог раничена в рассматриваемой полосе. Так как ImW(z) = const на
прямых Imz^O и Imz = # , то 1тЖ'(^) = const на этих пря мых. Тогда гармоническая функция ImH^'(z) ограничена в рас
сматриваемой полосе, а на ее границе обращается в нуль. По этому ImfV’(z) = 0 всюду в полосе, а функция W \ z ), имеющая
нулевую мнимую часть, постоянна в полосе
W'(z) = ae R, 0 < I m z < #
По производной восстанавливаем комплексный потенциал (опуская несущественную в данном случае постоянную интег
рирования) |
W{z) = az , 0 < Imz < Н Но тогда |
функция тока |
имеет вид T'(z) = ImW(z) = ay , где y = Imz. |
|
|
Если на прямой Imz = 0 принять 4^(z) = |
= 0, то на пря |
|
мой Imz = # |
получим xV { z ) - xV1 - Q - a H , т.е. |
а = — .Таким |
н
образом, комплексный потенциал течения в данной полосе имеет вид W(z) = Qj-z и определен однозначно.
Замечание. В общем случае области D в плоскости (£>) 5
ограниченной кривыми у1 и у2, комплексный потенциал можно
построить так: задать комфортное отображение z = g(£,) облас
ти D на полосу 0 < l m z < # Тогда комплексный потенциал те чения жидкости в канале D имеет вид
W (0= ■ §•«(!;)• |
(2-19) |
и |
|
Задача 2. Найти комплексный потенциал истечения жидко сти из канала в водоем (или при вытекании жидкости из водоема в канал), используя схему рис. 2.7.
Область в комплексной плоскости (£;) будем рассматри
вать как водоем достаточно больших размеров с подведенным к нему каналом шириной 2h . Глубину водоема и канала примем равными единице. Пусть по каналу в водоем поступает жид кость с объемным расходом 2Q >0, т.е. в единицу времени че рез канал проходит объем жидкости, равный 2Q.
В силу симметрии области D относительно действитель ной оси 1т^ = 0 течение в канале и водоеме достаточно рас сматривать лишь в области D , расположенной в верхней полу плоскости 1т£,>0 и представляющей собой внутренность не
ограниченного треугольника АхА!2А!ъ (см. рис. 2.7). При этом
через канал, образованный прямыми А[А2 и А[А2, в водоем бу дет поступать жидкость с расходом Q > 0, а действительная ось
Im ^ = 0 как граница области D станет одной из линий тока. Если считать эту линию нулевой, т.е. принять на ней для
функции тока значение i|/[ = 0, то на линии тока, соответст вующей границе А[А2Аг области D , будем иметь ц/2 = -Q при
истечении жидкости из канала в водоем (при вытекании жидко сти из водоема на этой линии тока \\J2 =Q>0, поскольку жид кость вытекает из области, для которой любая кривая с началь ной точкой на действительной оси Im£, = 0 и конечной на пря мой А[А2 будет частью границы, обходимой в положительном направлении). Чтобы построить функцию, которая конформно
отображает область D на полосу O d m z < H |
шириной Я, |
воспользуемся [7] |
|
/(z ) = — (Vz-1 -arctgV z-1 j . |
(2.20) |
Ветвь этой многозначной функции конформно отображает верхнюю полуплоскость Im £, > 0 на внутренность неограничен
ного треугольника АХА2АЪ в плоскости Q. Этот треугольник па
раллельным переносом на расстояние h вдоль положительного направления мнимой оси можно совместить с неограниченным