книги / Функции комплексного переменного и их приложения
..pdf
|
11 i 4 |
G) |
S A; |
4 |
4 = ~Q |
ih |
i |
|
|
|
|
о |
Sr |
i |
|
||
II |
|
|
Z = \|f($)
*•
H i co2 = — Lnz
n
Рис. 2.7
треугольником А!ХА2А!Ъ (см. рис. 2.7.). Следовательно, ветвь мно гозначной функции
yj(z) = — (Vz-1 - arctg yjz-l^j + ih |
(2.21) |
конформно и взаимно однозначно отображает верхнюю полу плоскость lmz>0 на область D в верхней полуплоскости Im£ > 0 При этом прообразами точек А(, А2 и Аъ будут точки
*,=(), х2 =1, х3 = со соответственно.
Требуемую ветвь многозначной функции (2.20) можно оп ределить из условия, что функция принимает минимальные зна чения /у, у> 0, если аргумент z пробегает часть действитель
ной оси правее точки z = 1. Тому же условию должен быть под чинен и выбор ветви функции (2.21). Функция z = ¥({;),
обратная к выбранной ветви функции (2.21), осуществляет кон формное отображение области D на верхнюю полуплоскость
lmz>0. |
Эту |
функцию |
не удается представить в явном виде. |
|||||||
Согласно [1], ветвь многозначной функции |
со, =Lnz отобража |
|||||||||
ет верхнюю |
полуплоскость |
на полосу 0 < 1т с о, < 7г, |
причем |
|||||||
(£>] = —- |
при |
z~i. |
Следовательно, |
функция |
со2 = |
- со1= |
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
=— Ln z |
отображает |
верхнюю |
полуплоскость |
на |
полосу |
|||||
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < Imco < Н шириной |
Н. При этом положительная и отрица |
|||||||||
тельная полуоси действительной оси |
Im z = 0 перейдут в дей |
|||||||||
ствительную |
ось Imco2 = 0 |
и в |
прямую |
Imco2 = Н |
соот |
|||||
ветственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суперпозиция отображений |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
И |
|
Н |
Н |
|
|
|
|
(2.22) |
|
со2 = — |
со, = — Lnz = — |
|
|
|
|||||
|
|
П |
|
Л |
|
К |
|
|
|
|
конформно отображает рассматриваемую область D в полу плоскости Im£, на полосу 0 < Imco2 < Н (см. рис. 2.7).
Заметим, что действительной оси 1т^ = 0, принятой в ка
честве нулевой линии тока со значением функции тока *Р{ = 0,
при этом отображении соответствует прямая Imco2 = # , |
а линии |
тока со значением Ч?'2 = -Q (при истечении жидкости из канала |
|
в водоем) - действительная ось Imco2 = 0. |
|
Сравнивая условия течения в полосе 0 < Imco2 < Я |
и в по |
лосе, изображенной на рис. 2.6, приходим к выводу, что эти ус ловия идентичны, поскольку \|/| -v|/2 = 0 -( -Q ) = Q = \\J2—vj/, Поэтому, используя (2.19) и учитывая (2.22), для комплексного потенциала, описывающего течение в области D, получаем
|
|
Щсо) = % - г &) = %- — Ьп'¥(£,) = 2-1л1'¥(£,). |
|||||||
|
|
|
|
|
Н |
|
Н |
К |
71 |
На |
рис. 2.8. представлены |
|
|||||||
линии |
тока |
'f,(z) =const |
|
со |
|
||||
стрелками, |
указывающими |
на |
|
||||||
правление |
движения |
жидкости |
|
||||||
при ее поступлении в водоем. |
|
|
|||||||
Из |
|
(2.21) |
следует, |
что |
|
||||
/['(1) = оо |
Это означает, что для |
|
|||||||
обратной |
|
функции |
z = |
(£) |
|
||||
в точке |
|
£ = ih, |
соответствую |
|
|||||
щей точке |
z = 1, конформность |
|
|||||||
отображения |
|
нарушена, |
по |
|
|||||
скольку |
|
хР'(/А) = 0 Как следст |
|
||||||
вие, из точки |
£, = ih |
выходят несколько линий равного потен |
циала, а скорость жидкости в окрестности этой точки не ограни чена по модулю. В действительности в силу вязкости реальной жидкости и образования вихрей при обтекании углов скорость будет ограничена, но достаточно велика, что приводит к размыванию устья канала.
Задача 3. Обтекание цилиндрического тела.
Рассмотрим поперечное обтекание кругового цилиндра ра диуса R потоком идеальной (несжимаемой) жидкости, имею
щей вдали от цилиндра скорость >О. Такое обтекание опи сывается векторным полем, определенным во внешности ок ружности радиуса R, центр которой совмещен с началом коор динат. Тогда контур L есть окружность \z\ = R, а область D за дается неравенством |z|>/?. Комплексный потенциал
рассматриваемого векторного поля отображает внешность окружности L на внешность отрезка [-г;г].
|
($ + -О |
|
|
|
|
V £J |
|
|
|
Известно, что функция со = - —-—- Жуковского отобража |
||||
ет внешность окружности |
|£| = 1 |
на внешность отрезка |
[—1; 1] |
|
действительной оси (см. |
п. Д. 2.4). Линейным |
отображением |
||
— переведем внешность окружности |z| = 7? |
во внешность |
|||
R |
|
|
|
|
окружности |^| = 1. Тогда суперпозиция отображений |
|
|||
|
-1 |
R |
|
(2.23) |
|
1 |
|
||
|
|
z |
|
|
конформно отобразит область D |
на внешность отрезка |
[—1; 1] |
действительной оси. Следовательно, искомый комплексный по тенциал должен иметь вид W0 (z) = гсо (z). Коэффициент г е R
определяется |
условием |
W0(со) = Vx . |
Вычислим |
|
^ ) = - |
1 |
R , найдем W'(co) = — = Vn , откуда г = 2RVm. |
||
|
.R |
z2j |
2R |
|
Тогда комплексный потенциал рассматриваемого вектор |
||||
ного поля имеет вид |
R,2 \ |
|
||
|
|
W0(z) = VK |
(2.24) |
|
|
|
z + • |
||
Так как векторное поле V0(z) и его комплексный потенци |
||||
ал W0(z) |
связаны соотношением |
V0(Z) = WQ(Z), то для скорости |
||
жидкости получаем |
|
|
V0(z) = Vm 1- |
(2.25) |
Точки z - - R и z = R , в которых скорость жидкости равна нулю, называют точками разветвления и схода потока соответ ственно. Объединим их общим названием критические точки потока. В первой из них линия тока разветвляется на две: одна обходит окружность \z\ = R сверху, а другая снизу. Во второй
точке разветвленная линия тока соединяется. Из (2.25) следует, что в точках z —±iR скорость жидкости достигает наибольшего по модулю значения на контуре L, равного 2VX.
Полагая z = р- е'ф, из представления (2.24) с учетом форму лы Эйлера находим
,Ф Л -
W0(pe-») = Va ре ф+ — е
Р
R2) |
coscp + Z^ ( |
r 2 ) |
|
Р+ — |
J |
||
Р |
1 |
Р J |
Следовательно, потенциальная функция (или потенциал скоростей) и функция тока в полярных координатах имеют сле дующий вид:
R2 А
р+- coscp,
'R2^
р — sin ср.
|
|
р |
|
|
|
Линии тока со стрелками, ука |
|
||||
зывающими |
направление |
течения, |
|
||
и штриховые |
линии |
равного потен |
|
||
циала рассматриваемого |
плоского |
Рис. 2.9 |
|||
векторного |
поля |
изображены на |
|||
|
рис. 2.9.
Отметим, что если в бесконечно удаленной точке z = оо скорость жидкости направлена под углом а к действитель
ной оси [Vao=F0(oo) = Vmeta), то картину течения жидкости
(см. рис. 2.9) следует повернуть на этот угол против хода часо вой стрелки. Тогда прямолинейная часть нулевой линии тока
вне окружности \z\ = R тоже будет составлять с действительной
осью lmz = 0 |
угол а . Этот поворот осуществляется линейным |
||
отображением |
z = eiaz{. Суперпозиция линейного отображения |
||
с функцией W0(z) даст комплексный потенциал Wa(z), |
удовле |
||
творяющий поставленному условию: |
|
|
|
К |
(*) = V j f ^ z + V j a •— |
= V„z + Vw — . |
(2.26) |
|
z |
z |
|
Для построения комплексного потенциала циркуляционно го обтекания тела с циркуляцией Г > 0 поместим в точку z = О вихрь интенсивности Г Линии тока, создаваемого таким вих рем векторного поля будут окружностями [7], в том числе одна из линий тока совпадет с окружностью |z| = R .
Если |
к комплексному потенциалу W0(z) |
добавить ком- |
плексный |
Г |
этого вихря, |
потенциал W(z) = -----Ln z + сх+ ic2 |
||
|
2ni |
|
опустив при этом постоянные слагаемые, то в итоге получим
R 2 \
W.(z) = Vx Z н—
г . |
(2.27) |
+ -----Inz |
2ni
Ясно, что для течения жидкости, описываемого комплекс ным потенциалом W,(z), окружность |z| = R является частью линии тока, как и для комплексного потенциала W0(z). Поэтому
этот потенциал описывает циркуляционное обтекание цилинд рического тела со значением циркуляции Г Скорость этого по тока находим по известному комплексному потенциалу
R |
2 \ |
г |
V.(z) = W.\z) = Vn |
|
|
|
(2.28) |
2ni z
На |
поверхности цилиндра, |
полагая z = Re'v, с помощью |
|
формул Эйлера получим: |
|
|
|
|
/Те"р |
Г |
^ |
|
K(R) = K,( 1 -е 2'*) + |
- 2Vmsin cp |
|
|
2nR |
2nR |
J |
причем модуль скорости на поверхности цилиндра равен |
|||
|
Г |
-2VKsin(p |
(2.29) |
|
|К(*)| = 2nR |
|
|
Из |
представления (2.28) следует, что |
критические точ |
ки рассматриваемого потока удовлетворяют квадратному урав нению
z2----—— iz - R2 = 0 .
2лУ„
Следовательно, критическими точками являются
„ , - J L |
4%VX |
4лК„ ]j{4nVooJ |
Если |г| = 4%VXR , то обе критические точки совпадают, причем
z, 2 = iR
Линии тока для этого случая изображены на рис. 2.10.
В случае |г] > 4nVxR обе критические точки также чисто
мнимые, причем из условия zi -z2 = - R 2 следует, что
|z,| < R <|z2| , т.е. только точка z2 лежит вне окружности |z| = R
(рис. 2.11). |
|
|
|
|
|
При |г|< 4лК 007? |
|
критические точки |
различны, |
причем |
|
|zi| = |-^21= R > т-е- |
эти |
точки лежат на |
окружности |
|z| = R |
|
(рис. 2.12). |
|
|
|
|
|
Аргументы ф, |
и |
ф2 критических точек можно найти, ис |
пользуя представление (2.29), которое приводит к уравнению
где р - плотность жидкости, g - ускорение свободного паде ния, h - высота, отсчитываемая от некоторого условного уровня.
Пренебрегая изменением давления, вызванным изменением высоты частиц жидкости, запишем
Р |
(2.31) |
Поскольку сила давления жидкости, действующая на эле мент dz контура L цилиндра, направлена внутрь его по норма ли к контуру, то с учетом (2.31), двигаясь по L против хода ча совой стрелки, для равнодействующей сил со стороны потока жидкости получим
Р ~ fypdz = icj |
dz = - ^ j V 2d z, |
(2.32) |
|
2 L |
|
T.K. интеграл по замкнутому контуру от постоянной iA равен
нулю. Для окружности, заданной уравнением z = Re"9, имеем
dz - iRe'^dq = R(i cos (p - sin cp)d<p
К = |в д |= |к .(Я е * )|,
так что, используя (2.29) и (2.32), найдем
|
dz = - l- f |
2л |
Г -2FMsmcp •./?(/cos ф - sin (p)d(p = |
Z / |
I |
||
Z |
о 2%R |
||
|
|
j- |
2я |
|
= “ ф •2V — |
J sin2cpdtp = -ip V^T, |
|
|
2 |
2n о |
|
поскольку |
J sin2 cpdcp = я |
и |
|
|
о |
|
2л |
|
2л |
|
J sin3 cpdcp = Jsin2cpcoscpd(p =
о0
2 K |
2 K |
2 K |
= J sin фcos cpdcp = J sin cpdcp = Jcoscpdcp = 0.
Таким образом, сила, действующая со стороны потока на цилиндр единичной длины, по отношению к направлению ско рости Vn жидкости в бесконечно удаленной точке повернута на
71
угол — в сторону, противоположную направлению движения
жидкости в вихре, т.е. при Г > 0 - по |
часовой стрелке, а при |
Г < 0 - против часовой стрелки. При Г |
= 0 имеем р = 0 (Пара |
докс Даламбера).
2.3.2. Задачи теплопроводности, теплопередачи
Задача 1.
Пусть труба радиуса R заложена в грунте на глубине Н от его горизонтальной поверхности (рис. 2.13). Примем, что пере
пад между температурами наружной поверхности |
трубы Тт? |
|||
и поверхности грунта |
Т0 |
равен |
||
А Т , а |
коэффициент |
теплопро |
||
водности X. По закону Фурье, |
||||
вектор |
q |
плотности |
теплового |
|
потока |
(в |
неподвижной среде), |
||
пропорционален градиенту |
тем |
|||
пературы Г, причем |
|
|
||
|
|
q =-Х grad Т , |
|
|
отсюда векторное поле q |
явля |
|||
ется потенциальным. |
|
|
Рис. 2.13 |
В силу (2.2) потенциальная |
|
функция имеет вид |
||
|
O(z) = -XT
Поскольку в грунте отсутствуют источники (или стоки) те плоты, то векторное поле является соленоидальным:
divg = 0,
поэтому установившееся распределение температуры Т в нем удовлетворяет уравнению Лапласа