книги / Общие вопросы теории граничных задач
..pdf§ 1. ОПЕРАТОР D t—А; СПЕКТР |
121 |
частей |
|
h = exp (is*-*), || /*|| 2 = (2я)"Ь. |
(5) |
Покажем, что норма решений ик задачи L — Г при правых частях вида (5) неограниченно растет при к —>■оо. Вид ик при правых частях (5) дается формулой
ик = ик(*) exp (isk-x), || ик ||2 == (2л)п|| ик (t) |||,
где ик (t) вычислено по формуле (11) § 2 гл. IV при X = = Ак, f = 1, т. е.
щ (*) = (р - еЬА* Г (р $ е«~х)АЧ х + ebA*J е«~х)АЫх) .
о t
Производя интегрирование и исключая из рассмотрения случай А* = 0 (что всегда возможно за счет перехода, если нужно, к соответствующей подпоследовательности), по лучим
* |
' р — е * |
> |
Если р = 1, то ик не зависит от t, |
| А* | ->• 0 в силу (4) |
|
и I Щ I -*• °° при к-*- оо, что и устанавливает неограничен |
||
ность L-1 в этом случае. |
достаточно |
больших к \ Ак | > |
Если р Ф 1, то для |
^ г\^> 0, член А*1 и множитель (р — 1) в (6) могут быть отброшены и достаточно показать, что неограниченно растут нормы функций
Vk = |
etA*(р— еЬАк)~1Ак1. |
|
|
Положим Ак = rk |
iqk, где rk, qk вещественны. Тогда |
||
ИМ« = |
е2Ьг* - i |
(7) |
|
2rk \Ak Pit1 — еЬАЩ2 |
|||
|
|
Если р = 0, то правая часть (7) превращается в
1
(8)
2гк <гк+ як)■'
122 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Теперь нужно заметить, что рост (при г — оо)числителя в (8) не может быть скомпенсирован ростом знаменателя
(за счет наличия в.нем слагаемого 2 гкдк), поскольку г, q — фиксированные полиномы. Но тогда || vk ||? —>■оо при
коо.
Случай р = оо может быть, очевидно, рассмотрен ана логично. Если же теперь [г Ф 0, 1, оо, то для достаточно больших к
|
О < Tli < I М I < % < |
о©- |
|
|
|
Тогда, отбрасывая в знаменателе (7) |
множитель |
|А * |2 |
|||
и |
замечая, что |
| rk | “1 | e2br* — 1 | > |
а |
0 (поскольку |
|
для достаточно |
больших к | е2Ъгь — 1 |
| > |
бх > 0, |
гк > |
|
> |
— N), видим, что|| vk ||f растет вместе с | |х — еЬА* |
|“2. Щ |
Из доказанных лемм 1—3 немедленно следует сформу лированная ранее теорема. Многочисленные применения доказанной теоремы будут рассмотрены нами в § 3 при изучении различных типов операторов L . Пока что ограни чимся некоторыми замечаниями, выясняющими особое положение для уравнения (L) задачи Копта. Как и выше,
мы без оговорок будем использовать запись р = |
оо для |
||||||||
обозначения граничного условия и |*=0 = |
0. |
и |
произ |
||||||
П р е д п о л о ж е н и е |
1. При р = |
0, оо |
|||||||
вольном П-оператореА точечный спектр оператора L пуст. |
|||||||||
Утверждение следует из того, что точки 0 , оо |
не могут |
||||||||
принадлежать Р&Т. Щ- |
|
|
|
|
|
|
|
||
Предложение 1 означает, что решение задачи Коши для |
|||||||||
уравнения (L) всегде единственно. |
0, оо либо все конеч |
||||||||
П р е д л о ж е н и е |
2. При р = |
||||||||
ные точки комплексной |
плоскости |
С принадлежат pL |
|||||||
{если 0 |
или оо |
принадлежат р Т ), либо все точки С принад |
|||||||
лежат |
Cali |
(если 0 или оо |
принадлежат |
С о Т ). |
|
|
|||
Утверждение следует из того, что принадлежность точ |
|||||||||
ки нуль (бесконечность) множеству р Т или |
С о Т |
не зави |
|||||||
сит от замены А {$) на A (s) + |
X. Щ |
|
|
является |
|||||
Таким образом, при |
р |
= |
0, оо оператор L |
^гС-оператором (п. 3.5 гл. I) всякий раз, когда оператор IT 1 ограничен. Очевидна так же связь предложения 2 с наличием для решений задачи Коши «энергетических неравенств» (п. 1.1 гл. III), справедливость которых не зависит от вида «младшей части».
I 2. ОПЕРАТОР D t - А: ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ |
123 |
В соответствии с замечанием, приведенным после фор мулировки основной теоремы, отметим, что при р, ф 0, 6о множество Pah может быть описано формулой
— A (s) + |
Ъ“1 [In | р | + |
i arg р + |
2 kni\, |
|
s |
* к = |
0, ± |
1, ± 2 , ... |
|
При этом |
|
|
|
|
oL.= PCL, |
COL = |
oL \ PoL. |
|
|
§ 2. Оператор |
Dt — A; |
|
|
|
специальные граничные условия |
|
|||
Прежде чем использовать результаты § |
1 для анализа |
свойств тех или иных конкретных операций с частными производными (что мы сделаем в § 3), рассмотрим некото рые вопросы общего характера. Сохраним обозначения и предположения § 1.
Из основной теоремы § 1 немедленно следует, что вся кий раз, когда резольвентное множество оператора Т = = ехр ЪА (А — П-оператор; Т: 1НХ !НХ) непусто, су ществуют правильные операторы, порождаемые операцией
L (D) = |
D t - А (— ф ) |
(1) |
|
и граничными условиями по t вида |
|
|
|
fi и I t=0 — и I t=b = |
0. |
' (2) |
|
Но, во аналогии с утверждением 4, § 2 гл. IV, нетрудно |
|||
установить следующий факт. |
1 |
множество рТ |
|
У т в е р ж д'е н и е |
1. При п = |
всегда непусто; при п^> 1 существуют операторы А такие, что оТ заполняет всю комплексную плоскость С.
Д о к а з а т е л ь с т в о . При п = 1 утверждение тривиально. Для доказательства второй части утвержде ния достаточно заметить, что спектр Т заведомо заполняет всю плоскость С, если этим свойством обладает спектр А. В то же время множество значений функции exp 6 А ($), s £Е , и функции от s и к:
exp [6A(s) -+ i2nk], |
s.EE сЛ |
(3) |
||
к = 0, |
i 1, |
dfc 2, |
* . . , |
|
очевидно, совпадают. Но |
для |
|
|
|
Ы2л A (s) = s1 + |
as2 + i$$l |
|
124 ГЛ. У. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
(а, р — иррациональные) множество значений функции
6А (5) + 2клi = 2я £-7^- A ($) + ikJ
(значения $и к — как в формуле (3)) плотно на С> как это следует из доказательства утверждения 4, § 2 гл. IV. Щ Итак, при п > 2 существуют П-операторы А такие, что при любом выборе jx в условиях (2) каждая точка комп лексной плоскости принадлежит либо точечному, либо
непрерывному |
спектру соответствующего |
оператора L: |
И IH. Тем |
не менее, обращаясь к |
рассуждениям, |
использованным в § 3 гл. II, нетрудно убедиться, что при любом П-операторе А должны существовать такие гранич
ные условия по t (т. е. условия на и (я, t) |
при t = О, Ь), |
||||||||
что |
определяемый |
ими |
оператор L: IH |
IH— правиль |
|||||
ный. Проведем соответствующее рассмотрение. |
|
||||||||
У т в е р ж д е н и е |
2. |
При любом П-операторе А |
|||||||
для |
оператора |
L0: !Н |
1Н, |
определяемого операцией |
|||||
L (D) вида (1) |
и-условиями |
по t: |
|
|
|||||
|
|
|
« |
I t=o = и |
I t=* = 0? |
|
(4) |
||
существует ограниченный обратный оператор Lo1. |
что |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
Достаточно |
заметить, |
||||||
при |
условиях |
(4) |
для |
и ЕЕ 2) (L0), удовлетворяющей |
|||||
уравнению L 0u = |
/, при определении us (t) в представле |
||||||||
нии (2) § 1 можно |
воспользоваться любым |
из равенств: |
|||||||
|
|
t |
|
|
|
|
ь |
|
|
|
о |
e(l~x)A*fsd%, |
и$= — §e('-T)A*/s dx. |
(5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
Из первого равенства |
следует, что |
|
|
(6)
о
и аналогичную оценку можно записать, исходя из второго равенства (5). Таким образом, пользуясь первым из ра
венств (5) при Re As 0 и вторым при Re As |
0, немед |
|
ленно убеждаемся в равномерном по s €Е |
выполнении |
|
неравенств (Ф8) § |
1, что и влечет существование ограничен |
|
ного оператора |
L®1. В |
|
§ 2. ОПЕРАТОР D t—А; ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ |
125 |
Нетрудно теперь догадаться, что «^-минимальный» оператор L0, определенный в утверждении 2, должен иг рать роль минимального оператора из § 3 гл. И. В качест
ве «^-максимального» оператора мы возьмем оператор L, порождаемый операцией L (D) на функциях, свободных от каких-либо условий по t. Поскольку в рассматриваемой ситуации заведомо имеет место эквивалентность слабого и
сильного определений операторов L0, L, пользуясь конст рукциями § 3 гл. И, немедленно получаем
У т в е р ж д е н и е |
3. |
Справедливо равенство |
|
R (L) = Н. |
Щ |
4. Существует правильный опера |
|
У т в е р ж д е н и е |
|||
тор L такой, что L0 СИ L d |
L. Щ |
||
Теперь, однако, в отличие от общей ситуации гл. II, мы |
|||
сможем при |
любом „П-операторе А явно описать класс |
граничных условий по t, определяющих L. Прежде чем переходить к такому описанию, отметим два утверждения, вытекающие из результатов § 1 гл. III и § 1 настоящей главы.
Пусть Ls: И* 1Н*, t £Е (0, 6), — некоторый опера тор, порождаемый обыкновенной дифференциальной опе
рацией D t — A (s). Набор таких |
операторов при $ ЕЕ & |
||||
порождает, очевидно, |
оператор |
L: Н —^ ОН (с соответст |
|||
вующей |
областью определения), |
если условиться, что |
|||
Lu = |
2 |
l*sus (t) е™х, где для |
и |
использовано представ- |
|
ление |
s<=£> |
|
|
|
|
(2) § 1. |
5. В |
используемых предположе |
|||
У т в е р ж д е н и е |
ниях всякое правильное сужение оператора L определяется набором {Ls}, s ЕЕ £f, правильных сужений максимальных
операторов L5, порождаемых на (О, Ъ) обыкновенными диф ференциальными операциями D t — A (s).
Набор правильных сужений {Ls}, 5 Е ^ , определяет правильное сужение L оператора L тогда и только тогда, когда нормы операторов L711Нt IH* равномерно по S E <^ ограничены.
У т в е р ж д е н и е 6. Утверждение 5 сохраняет силу при замене слов травильное сужение» на слова травильный оператор». Щ
Укажем теперь способ задания граничных условий по t, порождающих правильный оператор L: 1Н ->■ IH при
126 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
произвольном П-операторе А. Для заданного А разобьем У на два подмножества <У+, <§Р“, полагая
s е= |
если Re A (s) |
0; |
s E=Jf+, |
если |
Re A (s) |
0. |
|||||
|
Это |
разбиение |
индуцирует |
разбиение |
И* |
на |
сум |
||||
му |
ортогональных |
подпространств: |
Нж = |
Н* ф Нж, |
где |
||||||
1НЖ(Нж) |
— замкнутая |
линейная оболочка |
векторов |
||||||||
exp is-x, |
s e ^ |
+ |
( « 6 ^ ) . |
Обозначим через |
рГ, |
ц+ |
|||||
операторы проектирования |
в |
1НЖ, |
1НЖ соответственно. |
||||||||
L |
Т е.о р е м а . |
Задание области определения оператора |
|||||||||
условиями |
|
|t=0 — p+u |*=ь = 0 |
|
|
(7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
определяет правильный оператор L: 1Н-+■И при любом |
|||||||||||
П-операторе А. |
|
|
|
Достаточно |
заметить, |
что |
|||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
условия (7) эквивалентны требованию определения us (t) (при решении уравнения Lu = f) по первой из формул (5)
при |
и по второй — при s ЕЕ &+- В силу наличия |
оценок вида |
(6) это обеспечивает равномерное по $ ЕЕ & |
выполнение неравенств ( Ф 8) § 1, откуда и следует утверж
дение теоремы. |
у |
З а м е ч а н и е . |
Условия (7) дают простейший пример |
использования так называемого псевдодифференциального оператора (нулевого порядка) для описания граничной задачи. Одним из первых примеров условий такого типа были предложенные в [С7] при рассмотрении граничной задачи в полупространстве для ультрагиперболического оператора. Как будет отмечено в гл. VI (при рассмотрении операторных уравнений второго порядка), в случае ультрагиперболического оператора можно обойтись и обычными условиями типа условий (2). В то же время, как это следует из приведенных построений, в некоторых слу чаях неизбежно использование «специальных» условий типа (7).
У т в е р ж д е н и е 7. В используемых предположени ях для правильного оператора L, определяемого условиями (7), каждая точка %(конечная) комплексной плоскости С
принадлежит pL. |
Если, кроме |
того, | Re A (s) | -> оо |
при 151—> о о , то оператор L-1 — волыперров. |
||
Действительно, |
переход от |
оператора А к А + А, |
при любом фиксированном конечном К приведет лишь к
|
s з ОПЕРАТОР Dt—A; КЛАССИФИКАЦИЯ |
127 |
||
замене |
неравенства Re A (s) |
0 (при « Е У~) на нера |
||
венство Re A (s) < |
М или к аналогичному «сдвигу» в нера |
|||
венстве |
Re A (s) |
0. Это, |
очевидно, не отразится |
на |
справедливости оценок вида (6).
Выполнение условий второй части утверждения приве дет к убыванию || us || t, обеспечивающему полную непре рывность оператора L-1 (ср. доказательство утверждения 5, § 2 гл. IV). ■
Таким образом, определяемая условиями (7) задача близка в некотором смысле па своим свойствам к задаче Коши (подробно рассмотренной в заключительной части § 1). Соответствующий оператор L является (в терминоло
гии п. 3.5 гл. I) |
дС-оператором. |
§ 3. Оператор |
2>( — А; классификация |
Мы продолжаем сохранять обозначения и определения § 1. Различия в свойствах рассматриваемых операторов L проистекают, естественно, из различия свойств входящих в их определение П-операторов А. В п. 2.2 гл. IV были пере числены некоторые основные типы операторов А, и настоя щий параграф непосредственно примыкает к этому пункту. Однако при переходе к операции L (D) на первый план выступает различие ролей вещественной R (а) и мнимой Q (s) частей полинома A (s) = R + iQ.
Напомним, что мы условились вещественный полином R (s) называть обладающим С-свойством, если существует
TTTIATTAJr
lim |R (s) | = оо, |
(С) |
и обладающим В-свойспгвом, если выполнено одно из нера венств
infR (s)> — М^> — оо, |
supR(s)<^М < + оо. (BV |
s&T |
s&T |
Полином R (s) обладает сильным С-свойством (В-свойст- вом), если (С) (одно из соотношений (В)) выполняется при произвольном s €= IR”. Приведенные определения были прокомментированы в п. 2.2 гл. IV.
Называя уравнение (L):
Ьи == (Dt — А) и = /, |
(L) |
128 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
рассматриваемое вместе с условиями (Г):
|
[ш Ь=0 — и |t=b = О, |
(Г) |
|
«задачей L — Г», условимся называть эту задачу регуляр |
|||
ной, если соответствующий оператор |
L — правильный |
||
(т. е. О е |
рL или р е |
рТ). |
|
Полиномам R (s), Q ($) однозначно соответствуют не |
|||
которые самосопряженные П-операторы R, Q, и мы можем |
|||
говорить |
о спектрах |
oR, crQ и т. д. Наличие у R (s) В- |
|
свойства |
обеспечивает |
расположение oR на луче вещест |
венной прямой (или расположение оА в соответствующей полуплоскости) и является необходимым и достаточным условием регулярности либо прямой, либо обратной задачи Коши для (L). Отсутствие при этом у R сильного В-свой- ства говорит о некорректности задачи Коши в некомпакт ном случае (т. е. при замене ТпнаКл), соответствующем
непрерывному спектру (полином s* (s2 + |
а)2 + h при неце |
лом а обладает В-свойством, но не |
обладает сильным |
В-свойством). |
|
Дополнительное наличие С-свойства является необхо димым условием устойчивости регулярной задачи относи тельно возмущений оператора А. Если R обладает Clсвойством, не обладая В-свойством, можно всегда гаранти ровать наличие достаточного запаса регулярных значений р €= рТ, р, Ф 0, оо. Отсутствие при этом сильного Clсвойства говорит о специфичности соответствующей задачи для компактного случая. Наконец, отсутствие у R обоих свойств В, С может привести к ситуации, в которой pL пусто.
Переходя к рассмотрениям, включающим кососиммет рическую часть Q оператора А, условимся называть регулярную задачу L — Г устойчивой относительно возму
щений оператором А0 = R0 + JQ0, если существует б |
О |
|
такое, что для любого оператора вида |
|
|
Dt — (А + eR0 + H]Q0) |
|
|
задача L — Г остается регулярной при 1е | + |
| ц 1 |
б |
(в отличие от п. 2.2 гл. IV, теперь удобнее |
различать |
возмущения R и возмущения Q).
При выяснении влияния свойств Q на спектр Т осо бую роль играют окружности 0 8:
Oso — {z : | г | = exp R (s0), s0 e £?}•
§ 3. ОПЕРАТОР D t—А; КЛАССИФИКАЦИЯ |
129 |
Спектр РоТ принадлежит, очевидно, объединение 0& окружностей Os. Среди Os естественно выделить окружно сти неустойчивости 0 SJ обладающие тем свойством, что сумма кратностей точек Pol, лежащих на 0$, бесконечна.
При р ф 0& задача L — Г заведомо регулярна и, более того, устойчива относительно произвольных возмущений Q. При jLi ее рТ, р ее 0 $, где 0 $не является окружностью неустойчивости, задача устойчива относительно достаточно малых возмущений Q. Если же регулярная задача соответ ствует значению р е 0 9, то заведомо сколь угодно малым возмущением оператора Q можно получить оператор, для которого р Е: РоТ (модель ситуации: «задача Дирихле для волнового уравнения»; см. ниже).
При наличии у R С-свойства вопрос об устойчивости задачи, для которой р 0#>, сводится к вопросу об устой чивости спектра R, рассмотренному нами в п. 2.2 гл. IV. Далее, как и в указанном пункте, весьма существенно
соотношение между группами переменных |
и <$?*, от |
которых зависят R (s), Q (s) соответственно. |
|
Следует заметить, что различие между частичной зави симостью Q и независимостью (п. 2.2 гл. IV) несущественно для дальнейшего и мы будем называть Q независимым в любом из этих случаев. Для характеризации свойств L достаточно различать три типа полиномов Q:
1. |
Q = |
0; |
|
2. |
Q ф |
0, |
Q вполне зависит от R; |
3. |
Q ф |
0, |
Q является независимым. |
Полезно отметить, что при наличии у R свойства (С) окружности неустойчивости существуют лишь у операто ров с независимой кососимметрической частью Q.
Учитывая все вышесказанное, можно было бы расклас сифицировать операторы А (и, следовательно, L), сопостав ляя каждому А пару символов (X, Y) и считая, что первый символ характеризует свойства R , а второй — свойства Q. Построенная по такому принципу полная таблица содер жала бы более 20 типов операторов А. Представляется, однако, более целесообразным ограничиться разбром серии наиболее характерных примеров.
Удобно сосредоточить внимание на сильных С- и 13свойствах. Условимся поэтому писать в паре (X, Y) вместо X символ С (или В), если R обладает сильным С-свойством (сильным В-свойством), символ если для R не выполне
130 ГЛ. У. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
но ни одно из свойств В, С, и нуль при R = 0. Символы 0,3, Н на месте Y будут означать соответственно операторы Q, тождественно равные нулю, зависимые от R или неза висимые.
Т |
и п (С, 0); |
1. Простейший пример соответствую |
щего |
оператора порождается операцией |
L 0 ) = Z > , ± ( Z > ; + Z > 5 ) ,
являющейся с классической точки зрения параболической. Оператор А — самосопряженный, со спектром на луче вещественной оси, имеющим единственную предельную
точку, оо |
или —оо. |
Оператор А”1 вполне непрерывен. |
Среди задач L — Г всегда регулярна либо прямая, либо |
||
обратная |
задача Коши. |
|
Т и п |
(С, 0); п = |
1. Этот случай является в некотором |
смысле особым, поскольку при п — 1 нет импликации С =г> В. Классический пример, иллюстрирующий возника ющую ситуацию, дает
L (D) = D t + iDx
(оператор Коши — Римана). И прямая и обратная задачи Коши нерегулярны. Регулярные задачи устойчивы.
Т и п (С, 3). Простейший пример:
L( D ) = D t ± D * + D * H1._
Вобщем случае, если спектр R расположен на положи тельной полуоси, то спектр А — в правой полуплоскости, причем в каждой конечной области С число точек спектра конечно.
Ти п (С, Н). Простейший пример:
L ( D ) = D t ± D l + D 2.
Спектр А снова в некоторой полуплоскости, но может оказаться плотным на некоторых вертикальных прямых. Вее окружности 0 $ являются окружностями неустойчиво сти. При этом, если множество точек РсгТ на $$ конечно, то каждая имеет бесконечную кратность; если же кратно сти конечны, то точки РсгТ плотны на 0 $. Один случай может переходить в другой при сколь угодно малых воз мущениях Q или параметра Ъ.