книги / Общие вопросы теории граничных задач

§ 3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ ОПЕРАТОРОВ	41
собственных функций, образующая базис Рисса	в Ж.

Из сказанного в данной главе ясно, что для М-операторов особенно просто осуществимо построение операционного исчисления.

Бели для М-оператора L существует оператор LT1, то он снова является, очевидно, М-оператором; Но один из этих операторов может быть ограниченным, а другой — неограниченным. В то же время и, например, оператор умножения на константу является М-оператором (для него любой элемент — собственный).

Г Л А В А II

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ, ПОРОЖДАЕМЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ

§ 0. Вводные замечания

Настоящая глава посвящена обсуждению-Некоторых результатов общего характера, относящихся к дифферен­ циальным операциям с частными производными, рассмат­ риваемым в ограниченной области V «-мерного евклидова пространства IR” . В главе вводится необходимая термино­ логия и уточняется характер интересующих нас в дальней­ шем задач. Основным предметом обсуждения являются по существу способы сопоставления конкретным объектам классического анализа абстрактных объектов, описание которых составляло содержание гл. I.

В § 1 вводится основное для дальнейшего гильбертово пространство Н (У) комплексных функций с интегрируе­ мым квадратом модуля. Наряду с формальным определе­ нием приведен ряд дополнительных замечаний, имеющих своей целью сделать изложение более доступным для тех читателей, для которых интеграл Римана привычнее, чем интеграл Лебега. Эти замечания подчеркивают одновре­ менно те стороны лебеговской теории, использование ко­ торых существенно для проводимых построений.

Следующие два параграфа содержат определение и предварительное изучение основных понятий, относящихся к «общей теории» граничных задач. Дальнейшие парагра­ фы (которым предпослано введение в начале § 4) посвя­ щены различным аспектам определения сопряженного оператора, рассматриваемого в конкретной ситуации, и построению специального аппарата, позволяющего получать нужные результаты. Соответствующие кон­ струкции имеютсамостоятельный интерес и приведены с подробностью, превосходящей непосредственные нужды основных гл. IV—VII.

§ 1. ПРОСТРАНСТВО И (Л	43
§ 1. Пространство H(V)
Пусть V — ограниченная область евклидова	прост­

ранства [Rn с границей dV = S , состоящей из конечного числа кусков достаточно гладких (например, класса С2) (п — 1)-мерных поверхностей, пересекающихся под нену­ левым углом. Нижеследующие построения осуществимы и при значительно менее ограничительных предположе­ ниях, но некоторая регулярность границы V необходима. Характер минимальных требований, относящихся к F, при которых остаются справедливыми результаты данной главы, нас не интересует.

Основным функциональным пространством, в котором будут проводиться дальнейшие рассмотрения, является гильбертово пространство X2 (V) == !Н (V) = IH комплекс­ ных функций над V с интегрируемым по Лебегу квадратом модуля.

При определении пространства И (V) нам удобно рассуждать следующим образом. Пусть_ С (V) — множе­ ство непрерывных в замкнутой области V функций, обра­ зующих комплексное линейное пространство с обычными операциями поточечного сложения и умножения на ком­ плексные числа. Определив на С (V) скалярное произве­

дение равенством
(u, v) =	С uv dV,	и = и(х)у v = v(x),
	V	(1 )
dV =	dx, х Е= V,	dx = йхг . . . dxn,

превратим С (V) в предгильбертово пространство. Попол­ нив его по норме, порождаемой введенным скалярным про­ изведением, получим гильбертово пространство IH(V).

Изучение природы присоединяемых к С (V) в резуль­ тате абстрактной процедуры пополнения «идеальных, элементов» является предметом теории функций. Извест­ но, что каждый элемент построенного таким образом про­ странства И (V) может быть отождествлен с классом функ­ ций, интегрируемых по Лебегу и совпадающих почти всюду.

Если, понимая интеграл (1) в смысле Римана, желать оставаться в рамках римановской теории интегрирования, то следует" учитывать, что не всякий элемент (Н(V) пред­ ставим интегрируемой функцией. Тем не менее для любого

44	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
элемента	и е И (V) всегда определено, например, число

lim (ип, 1), .которое не зависит от выбора последователь-

Пг-+О0

ности Коши	{wn} е С (F), представляющей элемент и,
и может быть символически записано в виде		\ udV.
		V
В каждом конкретном случае проводимые ниже построе­
ния могут	быть оправданы и без обращения к	теории

Лебега, за счет дополнительных предельных переходов. Но осуществление соответствующей работы в полном объеме оказалось бы весьма неэкономным.

Для нас существенно, что IH(F) — полное (гильбер­ тово) пространство, в котором линейное многообразие С (V) по определению плотно. При обращении к вложе­ нию С (F) CZ Н (F) следует иметь в виду следующее за­ мечание. Утверждение «элемент иб=Н является непрерыв­ ной функцией» понимается в том смысле, что соответству­ ющий класс функций содержит непрерывную функцию и (ж), J G F (как очевидно, однозначно определенную), с которой во всех рассмотрениях можно этот класс отож­ дествлять. Соответствующие замечания справедливы и в отношении вложений линейных многообразий С* (F), С°° (F) (к раз дифференцируемых или бесконечно дифферен­

цируемых функций)	в Н (F).
З а м е ч а н и е .	Читателю, возможно, полезно будет

непосредственно проверить, что для элемента u G H ( 0 ,1), представимого функцией, равной единице на (0,у) и

нулю на	l), не существует представляющей его не­
прерывной	функции.

В соответствии с вышесказанным, в ряде случаев (на­ пример, в нижеследующей лемме) удобно, опираясь на результаты теории функций, говорить об элементах И (F) как о функциях (определенных и конечных почти всюду). Нам потребуется в дальнейшем одно свойство таких функций, называемое зачастую «непрерывностью

в среднем». ’	в (i) G Н (7)		определенной на всем
Будем считать
1R”, полагая и — 0 при		х ф. F,	и пусть
$ 6u =	sup (С I и (х 4- h) — и (х) Р tfcriГ
|ftK6 Ц)		'	>

	§ 1. ПРОСТРАНСТВО Н (V)		45
Здесь
х + h =	+ &х, • •	хп + hn), | h | 2 = Af +	. . . +
З а м е ч а н и е .		Приводя такое определение
мы опираемся на тот факт, что функция й (х),			определен­

ная в некоторой области V ZD V, совпадающая с и е IH(У) в V и равная нулю в V \ V, есть элемент IH(Г). Можно считать этот факт известным, а можно и доказать его, по­ строив (исходя из соответствующей последовательности для и (х)) последовательность функций {гг*}, непрерыв­

ных в замкнутой области V и таких, что гг* ->■ гг в Ш.

Л е м м а (о н е п р е р ы в н о с т и в с р е д н е м ) .

Для любого фиксированного	элемента и ЕЕ !Н (F ) число
ЗЗъи стремится к нулю при	б 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о .	Достаточно выяснить пове­

дение бЗь, например, при 6 < i . Пусть V CZ Vlt где Fx —

ограниченная область в	R" такая,	что I +	/г S ^	для
любого х е V при | h |	1. Пусть	й (я) GE Н (Fj)		есть
функция, совпадающая	с заданной	и (я) в	F и равная

нулю на Fj \ F (см. замечание). Пусть {йг (я)} — сходя­ щаяся к й (я) последовательность непрерывных функций.

При обусловленном в	определении		продолжении
и (я) нулем вне F и | h | ^		1 будем иметь
| и (я + h) — и (я) |2 <?я| ^		| й (я + К) — й (я) |2 dx| ,г
^ {51и (х ”Ь		(я -|- fe) |2 Зя|	+

+ | J | щ (х + к) — щ (я) |2 йя|’/г+ U | щ (я) — й (я) |2 dx| V‘.

Фиксировав е 0, можем выбрать номер г таким образом, что 1 -е и 3-е слагаемые в правой части не будут превосходить е/3 каждое, а затем выбрать 6 > 0 , так, что

| Ui[(x + h ) - U i ( x ) | 2 < е2 (9 mes F) - 1

при | h | ^ б (за счет равномерной в замкнутой области Fx непрерывности функций и,- (я)). Это влечет 8 при указанном выборе б.

46	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

§ 2. Дифференциальные операции и максимальный оператор

Над функцией и (х) G C m (F) обычным образом может быть определена линейная дифференциальная операция

L (D) и =		2	aaDau.	(1)
		|a|<m
Здесь а == (аь ..	ап) — целочисленный мультииндекс и
Da = D ? ...D«*,	2)» =	- А ,	|а | =	а ! + .

Коэффициенты аа могут быть либо комплексными числа­ ми, либо комплексными функциями aa = аа (я), принад­ лежащими по крайней мере С (V).

Поясним смысл использованного термина «операция». В сделанных предположениях можно, конечно, сразу рас­ сматривать L (.D) как оператор L: Н (F) И (F), задан­ ный на линейном многообразии С™(F) CZ Н (V) (еще раз подчеркнем, что и непрерывность и дифференцируемость мы всегда подразумеваем в замкнутой области F). Но, во-первых, в качестве оператора мы всегда будем рассмат­ ривать лишь замыкание в И введенной операции, а, вовторых, с одной и той же операцией — выражением вида (1 ) — мы будем связывать, как правило, целое семейство

различных операторов, действующих	из И (F) в !Н (F).
Покажем на простейшем примере незамкнутость в И
операции вида (1 ) при ее «классическом» понимании.
П р и м е р 1. Пусть V = (0, 1)	интервал вещест­

венной оси и операция L (D) = Dx рассматривается как

оператор	Dx: И ->• !Н с областью				определения — линей­
ным многообразием			С1 всех непрерывно дифференциру­
емых на	[0, 1] функций.			Определенный			таким образом
оператор Dx незамкнут.				Действительно,			если
	■ ч	Г	я	при	0< S < V * ,
	и (х) =	1 .	— х	при	,	^	^ .
		{ 1			V2	< х < 1 ,

то нетрудно построить последовательность гладких функ­ ций щ ->■ и при к оо (сходимость в Н) таких, что

в!Н), но при этом и ф С1, т. е. не принадле­

§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ

47

(сходимость жит © (Dx).

Считая область V фиксированной, не будем в дальней­ шем явно указывать ее в обозначениях. При рассмотре­ нии замыкания операции L (D) в ОНбезразлично, считать ди ее первоначально заданной на С™, или на С0", и обычно выбирают последнее.

Замыкание в И операции L (Z>), определенной перво­ начально на С°°, называется максимальным оператором,

L; И	IH, порождаемым	L (/)).
Подробная расшифровка этого определения заклю­
чается в следующем. Элемент и ЕЕ И считается			принадле­
жащим	© (L), если	существует последовательность
{и*} ЕЕ С°° такая, что
	щ - + и ,	L (D) U jr> /E lH	(2)

(сходимость в И) *).

Эпитет «максимальный», отнесенный к оператору L, указывает, что среди операторов L: IH->• 1Н, связы­

ваемых обычно с операцией (2), оператор L обладает наиболее широкой в определенном смысле областью

определения © (L). При рассмотрении замыкания того или иного оператора надо, конечно, быть уверенным в корректности соответствующей процедуры. Другими словами, надо быть уверенным, что для данного опера­

тора Т: И	Н не могут существовать две различные по­
следовательности		и,	U}z —> и такие,	что Ти* ->■ f ,
Тui -*■ f	(сходимость в IH), причем f ф			/".
П р и м е р 2.		Пусть	V = (0, 1) — интервал вещест­
венной оси, оператор Т: И			И определен так, что © (Т) =
= С а !Н,	и для любого элемента и ЕЕ С элемент / = Ти
определен	равенством / (х) = const = и (1/2). Существу­

ют, очевидно, последовательности {щ}, {щ} непрерывных функций, сходящихся в И, например, к функции и0 (х) = = 1, такие, что Тщ = О, Тщ = 2 (при любых к). Та­

*) Другой стандартный способ определения замыкания — через введение графика оператора (см. [5]). Замыкание графика дает замыкание оператора.

48	ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ким образом, введенный оператор Т не допускает замы­ кания.

Из приводимых ниже рассмотрений будет следовать, что в сделанных нами предположениях операция L (D) всегда допускает замыкание. Мы не станем пока останав­ ливаться на этом факте. Он будет отмечен в соответству­ ющем месте.

Во всех дальнейших рассмотрениях центральную роль будут играть операции L (.D) с постоянными коэффициен­

тами аа. В этом случае ядро N(L) максимального опера­ тора при т 1 заведомо отлично от нуля, т. е. решение уравнения

	Lи = /		(3)
(равенство в 1Н; оператор		L понимается	в соответствии
с (2))	не единственно.	Элементами, принадлежащими
ядру,	будут, например, функции

соответствующем подборе постоянных с*.

Удобно сформулировать это замечание в следующей

форме.	1. Если L (D) — операция с по­
У т в е р ж д е н и е
стоянными коэффициентами, т >		1 , то точечный спектр
соответствующего оператора L:		И 1Н заполняет всю
комплексную плоскость	С.

Если в качестве операции L (D) в (1) брать «классиче­ ские» операции (оператор Лапласа; операторы, входящие в волновое уравнение или в уравнение теплопроводности) или их простейшие обобщения, то уравнение (3 ) соответ­ ствует рассмотрению в V классических уравнений без каких-либо дополнительных граничных условий. Тогда, кроме утверждения о неединственности решения, можно утверждать еще и разрешимость уравнения (3) при любой правой части / Е1Н.

Оказывается, при постоянстве коэффициентов в опе­ рации (1 ) аналогичное утверждение (о разрешимости (3) при любой / е IH) остается справедливым и в случае про­ извольной операции L (D). Но доказательство его не яв­ ляется тривиальным. Оно будет нами получено после ряда дополнительных построений.

§ 3. ПРАВИЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

49

§ 3. Минимальный оператор

иправильные операторы

3.1.Минимальный оператор. Обозначим через С~ линейное многообразие функций из С00, подчиненных до­

полнительному требованию обращения в нуль, вместе

спроизводными всех порядков на S — границе V.

Сточки зрения теории граничных задач самый «узкий» или так называемый минимальный оператор, связанный

соперацией (1 ), может быть получен путем выбора в ка­ честве первоначальной области определения для L (D)

многообразия С™. Точнее, минимальным оператором, связанным с операцией L (/)), называется оператор L0: И И, определяемый как замыкание в Н операции

L (D), заданной первоначально на С£.

Мы не будем в дальнейшем каждый раз останавливать­ ся на подробном описании процедуры замыкания (или области определения соответствующего оператора), ис­ пользующем предельный переход, аналогичный указанно­ му в (2 ) § 2 .

Из наших определений немедленно следует включение

L0 d L, т. е. максимальный оператор является расшире­ нием минимального.

Если обратиться теперь к операциям с постоянными ко­ эффициентами и рассмотреть, подобно тому, как мы рас­ смотрели уравнение (3) § 2 , уравнение

Loи = /,

(1 )

естественно ожидать, что решение его всегда единственно* но существует далеко не при всех правых частях / £= IH.

Действительно, как мы увидим, в сделанных3предпо­ ложениях эти факты в точности эквивалентны утвержде­ нию о разрешимости уравнения (3) § 2 при любой / £= IH и о неединственности соответствующего решения.

Отмеченные свойства уравнения (1), будучи сформули­ рованы в терминах спектральной теории, влекут утвер­

ждение:	Если L (.D) — операция с по­
У т в е р ж д е н и е 1.
стоянными коэффициентами, т > 1,		то остаточный
спектр соответствующего	оператора	L0: IH И запол­
няет всю плоскость С*

50ГЛ. II. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

3.2.Транспонированные операции и сопряженны операторы. Приведенные выше замечания о связи между свойствами уравнений (3) § 2 и (1 ) напоминают классиче­ скую теорию Фредгольма (п. 3.2 гл. I), и не удивительно, что доказательство соответствующих утверждении осно­ вывается на привлечении к рассмотрениям сопряженных

кL, L0 операторов.

Если в (1) § 2 коэффициенты аа операции L (D) при­ надлежат классу С™, то однозначно определена транспо­ нированная (или формально сопряженная с L (.D)) опера­ ция L* (£>), связанная с L (D) соотношением

(L ф ) u, v) = (и, V ф ) v),

которое должно выполняться для любых и, v d Пере­ ход от L (.D) к I} (D) осуществляется интегрированием по частям. Последнее всегда осуществимо при достаточной гладкости коэффициентов аа.

В то же время для операторов L, L0, связанных с L(/?), обычным образом (п. 1.3 гл. I) могут быть определены со­

пряженные (в смысле теории операторов) операторы L*,L*:

Н -> Н (область определения операторов L, L0, очевидно, плотна в И). При этом в ряде важнейших случаев оказы­ ваются справедливыми равенства

L =	(l4)*,	LO=(L*)*	(2)
L ‘=	L ;	I 4 = L *	(3)

Первое из равенств (2) лежит в основе конструкций следующего пункта этого параграфа. Доказательство его приведено в § 6.

Пока что мы заметим следующее. Включение L d

d (LQ)*	очевидно.	Действительно, если	(L),
у Е Э (LQ),	то достаточно записать равенство
	(L (D) щ,	vk) = 0щ, L* (D) ик)

для элементов ии vk аппроксимирующих последовательно­ стей, входящих в соответствующие определения, и перей­ ти к пределу при г, к -+• оо. Нетривиальным является

доказательство включения (LQ)* CZ L> требующее исполь­