книги / Общие вопросы теории граничных задач

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

204

получим для определения иг уравнение 4-го порядка. Запишем соответствующее характеристическое уравнение

[е2 ( | 2 — s2) -}- 2	е£ -f Uj (52 — &) = 0.- Корни его имеют
ВИД £х,2= zb	5з,4 = — e~1-Ь $.
Теперь непосредственное проведение элементарных

вычислений, позволяющих выяснить поведение семейства решений системы (22) в зависимости от $ Е= е > 0, уже несколько утомительно и удобнее воспользоваться резуль­ татами работы [4].

Упомянутые результаты позводяют утверждать, что

	поведение uByS полностью				определяется свойствами опре­
	делителя
	1	1	1	1		Р“ Iз + е(£з2 —s2)*
	$	— s	P	Q
	esb	e -sb		e ^		* — 6. + в(Ь# — <•)
	se*b	-s e ~ sb	pe^*b	gebb

(мы подставили в него значения | 1>2), являющегося опреде­ лителем системы уравнений, позволяющей найти постоян­ ные съ в представлении и = 2 с* ехр (£* х), исходя из граничных условий. Свойства этого определителя опреде­ ляются поведением корней к = 1, 2, 3, 4, и выбором граничных условий. При использовании резуль­ татов [4] мы должны сделать оговорку, что вхождение в граничные условия для we,s (я) (индуцированные условия­ ми (Г2) для i>8) параметров е, s, как нетрудно убедиться, не меняет изученных в [4] структурных свойств указанного определителя. Это позволяет установить теорему.

Т е о р е м а 4. При каждом фиксированном е задача Г1>2 для системы (9) поставлена правильно. В то же время при е —> 0 не существует равномерной по г оценки решений системы (22), соответствующей первому из неравенств (5).

Действительно, из результатов [4] следует, что равно­

мерная по е, s оценка вида || We,s || < С 2 | v£tS | для реше­ ний системы (2 2 ) (т. е. для решений соответствующих урав нений 4-го порядка) при выбранных граничных условиях (два условия при х = 0 и два условия при х = Ъ) имеет место тогда и только тогда, когда существуют постоянные М ъ М 2 такие, что корни характеристических у р а в н е н и й при любых 1 ^ г^> 0 удовлетворяют (при соот­ ветствующей нумерации) условиям

5(1), 5(2), s > - М * i(3), S>1(4и < М 2.

(23)

202 ДОПОЛНЕНИЕ

Условия (23) выполняются, очевидно, в нашем случае для любого фиксированного е ]> 0 , но ^в то же время при любом М г первое из условий (23) нарушается при достаточ­ но малых е ]> 0 .

Утверждение о правильности постановки задачи (Г3>2) при фиксированном е > 0 не исключает возможной нераз­ решимости при некоторых е (играющих роль спектрального параметра) и некоторых s ЕЕ & граничных задач для (22) из-за обращения в нуль основного определителя.

Теорема 4 дает интересовавший нас отрицательный результат для случая оператора К вида (10).

§ 3. Полная система

Перейдем к рассмотрению полной системы (1) — (2). Рассмотрим в первую очередь случай оператора К вида (10). В прежних обозначениях можем записать получаю­ щуюся из (1 ) —v(2) цепочку уравнений в виде

е D2Uz +	Duz — е s*Uz + isvz +	Dpz =	0,
s Dh)t +	Dvt — e s?ve — isuz -f	ispe =	0,	(24)
	Вщ, -j- isve =		0

(мы снова не указываем явно зависимость щ, ve, рг от s). К уравнениям (24) надо присоединить граничные условия (Г1э2). В целях упрощения выкладок положим

|х=о= 0» Ыг|х=Ъ = v (у)> |х=0 = ^8 |я=Ь == 0. (25)

Случай s = 0 снова требует отдельного рассмотрения, на этот раз несколько более внимательного. Наличие третьего из уравнений (24) порождает, как обычно, необ­ ходимость некоторых условий согласования, которые в данном случае сводятся к требованию v0 = 0 в разложении

v (у) =	S	Значение р 0уВ =	const остается произволь-
-	з		получим для иг уравне­
ным. При s Ф 0, исключив i;e,

ние 4-го порядка. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

Ге ( § 2 — ^) + 8 (g*-**) = 0 и обладает корнями

Si, 2 = + $, S3,4 = — Tg- (1 ±

+ 4s2s2).

(26)

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

203

Основной определитель (системы уравнений, позволяющих найти v5, исходя из граничных условий) имеет вид

1	i	1	1
$	—s	u	U
е$ъ	e-Sb			(27)
sesb	-se"86		V *

Покажем, что для достаточно малых е > 0, s Ф 0 (что влечет | s J ^ 1 ) D (s, е) Ф 0, откуда следует однозначная

разрешимость всех уравнений (24). Удобно считать

1 .

Раскрыв определитель по первой строке и заметив, что

сумма отрицательных членов имеет вид (мы считаем					1 )
dx =	2 s (53 — I4) (1 + е~ь/£),	а	среди	положительных
членов содержится член вида		=	(£3 +	$) (£* — $) e<84+s>b,
получим
+	1 + 4eV — 2ts)е* — 2 / 1			+ 4e2s2 х

Х ( 1 + г * / * ) Ь

что й доказывает наше утверждение при s ^ t . Остается заметить, что при замене $ на — s определитель меняет знак.

Одновременно распределение знаков корней £* (два положительных и два отрицательных при всех s Ф 0, 8 > 0) гарантирует, согласно [4], равномерное по s, 8 выполнение при условиях (25) первого из неравенств (6).

Переходя к невозмущенной системе (получающейся из (24) при е = 0) и снова исключая v, р, присоединим к получающемуся уравнению 3-го порядка для us: D (D2 —

— s2) и$ = 0 условия

Щ I о =

us |ь = vs, us |b = 0 .

(28)

Нужный нам определитель, позволяющий найти Me, получается из (27) при I4 = 0 вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца и отличен от нуля при s Ф 0 .

Проводя .соответствующие рассуждения, заключаем, что для системы (1 ) — (2 ) и невозмущенной системы вы­ полнено основное предположение. Остается проверить, что при каждом фиксированном s задача (25) регулярно вырож­ дается при 8 —>0 в задачу (26). Это можно установить, воспользовавшись результатами [3], или проверить не­ посредственно. В результате получим теорему.

204	ДОПОЛНЕНИЕ

Т е о р е м а 5. Решения системы (1) — (2), где К —

оператор Коши — Римана, рассматриваемой при гранич­ ных условиях (25), регулярно вырождаются при е —> 0 в решения невозмущенной системы, рассматриваемой при условиях и |0 = 0, и \ь = v, v |ь = 0.

В случае, когда К — расщепленный гиперболический оператор, справедлива аналогичная теорема, устанавли­ ваемая значительно проще.

ЛИТЕРАТУРА

I. М о н о г р а ф и я

[1] А х и е з е р Н. И., Г л а з м а н И. М. Теория линей­ ных операторов в гильбертовом пространстве.— М.: Наука, 1966.

[2]Б е р е з а н с к и й Ю. М. Разложение по собственным функ­ циям самосопряженных операторов.—Киев: Наукова Думка, 1965.

[3J Б е с о в О. В.,			И л ь и н			В. П. ,		Н и к о л ь с к и й			С. М.
	Интегральные представления функций и теоремы вложения.—
[4]	М.: Наука, 1975.		Задача Коши для					гиперболических уравне­
	Г о р д и н г	Л .
	н и й .- М.: ИЛ,		1961.				Дж. Т.		Линейные	операторы,
[5] Д а н ф о р д		Н .,		Ш в а р ц
	т. I. Общая теория.— М.: ИЛ, 1962.								Линейные	операторы,
[6] Д а н ф о р д		Н .,		Ш в а р ц			Дж . Т.
[7]	т. II. Спектральная теория.—.М.: Мир, 1966.									Мир,	1967.
	И о с и д а К.		Функциональный анализ.— М.:
[8J К а н т о р о в и ч				Л . В .,		А к и л о в			Г. П. Функциональный
	анализ. — М.: Наука,				1976.
[9] К а с с е л е		Дж.		Введение в терто диофантовых прибли­
[10]	жений.— М.: ИЛ, 1962.					Ф о м и н С . В. Элементы тео­
	К о л м о г о р о в			А.	Н. ,
	рии функций	и		функционального					анализа.— М.:		Наука,
	1972.

[11]К р е й н С. Г. Линейные уравнения в банаховом простран­ стве.— М.: Наука, 1971.

[12] Л ю с т е р н и к Л. А., С о б о л е в В. И. Элементы функцио­

[13]	нального анализа.— М.: Наука, 1969.
	Н а й м а р к	М. А. Линейные дифференциальные операторы. —
[14]	М^ Наука,	1969.
	Н а г у м о М. Лекции по современной теории уравнений

в частных производных.— М.: Мир, 1967.

[15]Н и к о л ь с к и й С. М. Приближение функций многих пере­ менных и теоремы вложения.—М.: Наука, 1960.

[16]С о б о л е в С. Л. Некоторые приложения функционального анализа в математической физике.— Л.: ЛГУ, 1950.

[17] Х а л м о ш П.		Конечномерные векторные пространства.—
[18]	М.: Физматгиз,	1963.
	X е р и а н д е р	Л. К теории общих дифференциальных опе­
[19]	раторов в частных производных.— М.: ИЛ, 1959.
	X ё р м а н д е р	Л. Линейные дифференциальные операторы
	с частными производными.—М.: Мир, 1965.

206				ЛИТЕРАТУРА
[20]	L i o n s	J . L .	E q u a tio n s d iffe re n tie lle s-op e ra tion e lle s				et p ro -
	blem es a u x lim ite s .—			B e rlin , S p rin g e r V e rla g , 1961.
[21]	L o r c h	E . R .	Sp ectral		th e o ry .— N . Y . : O x fo rd U n iv .		Press,
	1962.
	И . С т а т ь и
[1]	В и ш и к	М. И. Об		общих краевых задачах для эллиптиче­
	ских дифференциальных				уравнений.— Труды	Моек.	Матем-
[2]	Общества, т. 1 (1952), с. 187—246.					«Математика»,
	Г р о т е н д и к		А.	Теория Фредгольма, сб.

т. 2, '№ 5 (1958), с. 51—104.

[3]Д е з и н А. А. Граничные задачи для некоторых симметричных

линейных	систем	первого	порядка.— Матемам. сб., т. 49 (91)
№ 3 (1959), с. 459—484.			существования и единственности
[4] Д е з и н	А. А.	Теоремы
решений граничных задач для уравнений с частными произ­
водными	в функциональных пространствах.— УМН, т. 14,

№3 (1959), с. 21—73.

[5]Д е з и н А. А. Простейшие разрешаемые расширения для ультрагиперболического и псевдопараболического операторов.— Докл. АН СССР, т. 148, № 5 (1963), с. 1013-1016.

[6]Д е з и н А. А. Операторы с первой производной по «времени»

инелокальные граничные условия.— Изв. АН СССР, сер. матем., т. 31, № 1 (1967), с. 61—86.

[7]Д и к о п о л о в Г. В., Ш и л о в Г. Е. О корректных задачах для уравнений в частных производных в полупространстве.— Изв. Ан СССР, cejp. матем., т. 24, № 4 (1960), с. 369—380.

[8]Д у б и н с к и й Ю. А. О некоторых дифференциально-опера­ торных уравнениях произвольного порядка.— Матем. сб., т. 90

(132), № 1 (1973), с. 3 - 2 2 .

[9]Л е р е Ж. Собственные значения и собственные векторы вполне непрерывного эндоморфизма векторного пространства с выпук­

лыми окрестностями.— Сб. «Математика», т. 4, № 5 (I960),

с.73—83.

[10]М а м я н А. X . Построение разрешимых расширений в парал­ лелепипеде для линейных дифференциальных операторов с по­ стоянными коэффициентами.— Дифференциальные уравнения,

т.6, № 2 (1970), с. 358 —370.

[11]	М и х а й л о в В. П. О базисах					Рисса в		L2 (0,	1).— Докл*
	АН СССР, т. 144, № 5 (1962), с. 9 8 1 -984 .
[12]	Р о м а н к о В . К.		К	теории	операторов			вида	d m
										— А .—
	Дифференциальные		уравнения,		т. 3,		№ 11 (1967),			с. 1957—
[13]	1970.	В. К.	Однозначная			разрешимость			граничных
	Р о м а н к о
	задач для некоторых дифференциально-операторных урав­
	нений.— Дифференциальные уравнения,							т. 13,	№ 2 (1977),
[14]	с. 3 2 4 -3 3 5 .	В. К.	О	граничных		задачах		для	дифференци­
	Р о м а н к о
	альных уравнений,		не	разрешенных			относительно			старшей

	ЛИТЕРАТУРА					207
производной.— Докл. АН		СССР, т. 235,		№ 5 (1977), с. 1030—
1033.		Ж. О некоторых классах локально
[15J С е б а ш т ь я н - и - С и л в а
выпуклых пространств, важных в приложениях.— Сб. «Мате­
матика», т. 1, № 1 (1957), с. 60—77.
[16J С е б а ш т ь я н - и - С и л в а			Ж. О символическом исчислении
перестановочных операторов с пустым или деорганиченным^.
спектром.— Сб. «Математика»,			т. 8, №	13 (?964),		с.'136—79.
[17J Х ё р м а н д е р	Л. Дифференциальные			операторы		главного
типа.— Сб. «Математика», т. 5,			№ 5 (1961), с. 89—114.
[18] F r e i d r i c h s	К. О. The	identity of weak and			strong exten­
sions of differential operators.— Trans.				Amer.	Math. .Soc.,

t.55 (1944), p. 132 -151 .

[19]H o r m a n d e r L . Weak and strong extensions of differential operators.— Commun. Pure Appl. Math., t. 14 (1961), p. 371— 379.

[20]	L a x	P. D ., P h i l l i p s		R. S.	Local		boundary		conditions
	for dissipative symmetric linear differential operators.— Com­
	mun. Pure Appl. Math., t. 13 (1960),					p. 427—455.
	Л и т е р а т у р а к д о п о л н е н и ю
[1]	Д e з и н А. А. О некоторых системах уравнений, содержащих
	малый	параметр.— Матем.		сб.,	т.	111	(153),	№	3	(1980),
[2]	с. 3 2 3 -3 3 3 .		К и б е л ь	И. А.,		Р о з е Н. В.			Теоретиче­
	К о ч и н Н. Е.,
[3]	ская гидромеханика.— М.:			Физматгиз,			1963.			вырож­
	В и ш и к М. И.,		Л ю с т е р н и к		Л. А.		Регулярное
	дение и пограничный слой для линейных дифференциальных
	уравнений с малым параметром.— УМН, т. X II,							№ 5		(1957),

с. 3—122.

[4]Р о м а н к о В. К. Граничные задачи для одного класса диф­ ференциальных операторов.—Дифференциальные уравнения, т. 10, № 1 (1974), с. 117 -131 .

Алексей Алексеевич Дезин

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ

М., 1980 г., 208 стр.

Редактор В. В , Абгарян Техн. редактор Е , В. Морозова Корректор О. М . Кривенко

ИБ № 1163&

Сдано в набор 18.02.80. Подписано к печати 15.07.80. Т-13088. Бумага 84Х108у#2, тип. № 1. Обыкновенная гар­ нитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 10,92. Уч.-изд. л. 10,7. Тираж 5800 экз. Заказ № 2967. Цена книги 1 р. 30 к.

Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы

117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

12-я типография издательства «Наука», 121099, Москва, Г-99, Шубивский пер., 10