книги / Общие вопросы теории граничных задач
..pdf§ 1. ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
131 |
В соответствии с обычным определением голоморфности для функции со значениями в Б-пространстве, функцию Ф (z), z G с , со значениями в О-пространстве 31, назовем голоморфной в открытом множестве Q c C , если она голо морфна в Q как функция со значениями в Б-пространстве 31* для некоторого фиксированного к .
Утверждение 1 позволяет установить стандартное свой
ство резольвенты: |
|
|
2. |
Во внутренних точках мно |
||||||
У т в е р ж д е н и е |
||||||||||
жества С \ |
Оъ (А) функция R \ (А) является голоморфной |
|||||||||
функцией "к со значениями фв |
31. |
Для |
Я0 принадлежащего |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|||||||||
внутренности множества С \ |
сг* (А) |
и Я достаточно близ |
||||||||
ких к Я0 можем воспользоваться тождеством |
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Хо— А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и ограниченностью |
в |
3t умножения, |
что дает существо |
|||||||
вание d/dXRx (А) |
в |
подходящем пространстве |
Щ. |
|||||||
Перейдем |
теперь к описанию некоторого достаточно |
|||||||||
широкого множества % = $(А) |
комплексных функций, |
|||||||||
обладающих |
тем |
свойством, |
что |
для |
<p (z) е |
^ опре |
||||
делена функция |
ф (А) €Е 3t. |
Как |
и |
следует |
ожидать, |
|||||
множество |
в свою очередь, является алгеброй. |
|||||||||
Пусть А |
3t и множество |
aq = |
oq (A) CZ С является |
^-спектральным для А при некотором фиксированном зна чении q. Пусть G— открытое множество в С и oq С Gg С cz G, где aq — замыкание <та, a Gg - множество внутрен них точек G, расстояние которых до границы Gбольше
е ]> 0. Не уменьшая общности, можем считать, что нуль |
|
не принадлежит Gи, следовательно, функция |
голомор |
фна в G. Область G, обладающую по отношению к А ука |
|
занными свойствами, назовем А-допустимой. |
линейное |
Для любого целого к обозначим через |
многообразие комплексных функций, голоморфных во внут ренних точках G, непрерывных в G и таких, что для ф ЕЕ 5*
| ф (z) I ^ М<р I z |* при Z E G. |
(3) |
Если определить теперь для ф Е ^ норму равенством
i< p,5ki= sup i2 s<p(z)i> zeG
182 |
ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
то |
превратится в 5-пространство. Объединение всех |
|
|
к = О, ± 1 , ± 2 , . . |
естественным образом оказывает |
ся алгеброй, обладающей дополнительно структурой О- пространства. Мы будем называть ее A -допустимой ал геброй % = % (G).
Каждый элемент <p (z) ЕЕ допускает некоторое кано ническое представление контурным интегралом. Опишем его. Пусть у — кривая (вообще говоря, неограниченная),
лежащая в G \ G e и являющаяся границей |
области Gy |
|||||||
такой, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CeC 6 vc G . |
|
|
|
|||
Если К г — круг |
\z | <; г, |
то |
уг — часть |
у, лежащая |
||||
в К г. Предполагается, что |
для |
любого г > |
0 кривая уг |
|||||
спрямляема и существует |
постоянная с |
0 |
такая, |
что |
||||
|
|
длина уг |
|
сг. |
|
|
|
|
Если уг (J Уг — граница области Gv>r = |
Gy f] Кп |
со |
||||||
стоящая из уг и соответствующих частей у'г |
окружности |
|||||||
| z | = |
г, то для любого z 6Е Gz f] Кг и любой функции |
|||||||
<р ЕЕ 5 |
при соответствующей |
ориентации |
кривых |
для |
||||
произвольного целого р справедливо представление |
|
|||||||
|
|
$ |
ф(£) |
|
|
|
||
|
я>(*) = |
SP( S - 2) < £.. |
|
|
(4) |
VrUYr
При (p e S fiH р 2^ & + 2 в правой части (4) можно перейти к пределу при г ->■ оо, получив
zp Г |
Ф(С) |
|
|
* (1>— Я Г } |
£>■(£-») |
^ |
<5> |
V |
|
|
|
поскольку интеграл по у'г |
заведомо |
стремится к |
нулю |
в силу быстрого убывания подынтегральной функции. Согласно утверждению 2, резольвента R*, (А) является
голоморфной функцией X со значениями в % для
в должным образом определенной области G d С. При этом отмеченная голоморфность R*, означает голоморф ность в некотором ^-пространстве и мы можем опериро вать с Rx соответствующим образом, рассмотрев, в част ности, интегралы, содержащие R>,, вдоль кривых,
§ i. ПОСТРОЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |
183 |
лежащих в G. Таким образом, формула |
|
* < a > = ^ S F « - A ) & ’ |
(6) |
V |
|
где интеграл понимается в том же смысле, что и интеграл в (5), и заведомо существует для достаточно больших р, определяет некоторый элемент 5L
Т е о р е м а * В сделанных предположениях формула (6) определяет линейный ограниченный гомоморфизм kA:
hA:%-+%; <p (s)-><p(A)
A -допустимой алгебры % комплексных функций в алгебру %; при этом
hA (z)= A; hA (1) = 1.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Линейность и ограничен ность гомоморфизма, определяемого формулой (6), доста точно очевидны. Проверим, что <р (А) в (6) не зависит от р для значений р достаточно больших.
В обозначениях, использованных в формуле (4), при некотором г 0 можем записать цепочку равенств
А р С _ j P |
j £ L |
_ d |
£ _ A p +a1i C= |
|
|
|
|
9(0' |
|
" £Г а(£-—А A) |
* |
J |
£р+1( £ - А ) |
|
Yr |
|
yr |
|
|
|
|
|
vr Uvr |
Vr |
= - A > $
На последнем шаге мы воспользовались тем, что пер вый из интегралов в круглых скобках равен нулю в силу голоморфности ф( £) £~р“1 в соответствующей области. Переходя теперь к пределу при г —► оо и замечая, что интеграл по у? обращается при этом в нуль, получим окончательно
|
9(0 |
dt = A v+1^ |
9(0 |
dt. |
(7) |
v |
£Р(£-А ) |
£p+1 ( £ - А) |
|||
а ’ $ |
|
|
|
|
i8 4 |
ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
||
Из |
(7) |
следуют |
равенства ftA(zcp) = АЛА(ф), А- 1 = |
= hA(z~1). |
Проверка |
соотношения |
hA<д>!Фа) = йА(Фх)^л(фа)
проводится стандартным способом, использующим пред ставление фх, ф2 интегралами вида (6) по соответствующим кривымух>Тг и тождество Гильберта (см. [5), стр. 609). Ц З а м е ч а н и е 5. При исследовании сходимости входящих в рассмотрения контурных интегралов бывает иногда полезно использовать инверсию: £ —►1 / £, считая (это всегда допустимо), что у не проходит через нуль.
Тогда образ у — ограниченная кривая.
З а м е ч а н и е 6 . Достаточно очевидна возможность распространения приведенных рассмотрений на совокуп ность Ах,..., Ада коммутирующих операторов (см. [С 16]). Более сложную задачу определения операторной функ ции вида ф (t, А), где t — дополнительный параметр, мы рассмотрим в следующем параграфе при анализе конкретного примера.
§ 2. Некоторые примеры
Рассмотрим возможности применения построенного исчисления к интересующим нас операторным уравнениям. Как обычно, сосредоточим внимание на простейших примерах, выясняющих принципиальную сторону во проса.
Для уравнения
hu = (Dt — A)u = f, t e |
[0, |
6 ], |
(1) |
|
возьмем формулу, дающую |
решение |
(в |
случае, |
когда |
А — число) задачи Коши: |
|
|
|
|
t |
|
|
|
(2 ) |
= |
dx. |
|
|
|
О |
|
|
|
|
Рассматривая как параметр и желая придать формуле (2 ) смысл в рамках операционного исчисления, содержа щего функции от оператора А, мы должны, прежде всего, рассмотреть функцию <p (z) = еР2, где rj е [0, Ь]. Но для такой <р оценка вида (3) § 1 выполняется (при любом к)
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ |
185 |
лишь в полуплоскости Re z ^ М , где М — любое число. Следовательно, если мы хотим, чтобы <р принадлежала
A-допустимой алгебре %, множеством, ^-спектральным |
||||||
для А |
при некотором к, должна быть полуплоскость |
|||||
Re z > |
N, где N — опять-таки любое число. При выпол |
|||||
нении этого |
условия |
функция |
ф (А) = |
е<<-т>А определяет |
||
некоторый |
элемент |
алгебры ЭД и для |
любой функции |
|||
/ G S 5, |
интегрируемой |
по т, |
формула (2 ) определяет |
|||
элемент |
и £ 3 5, являющийся |
решением уравнения (1 ). |
||||
Действительно, интегрирование по параметру т (или |
||||||
дифференцирование по t |
при |
проверке |
того факта, что |
|||
и (t) — решение уравнения (1 )) |
осуществляется обычным |
образом, как для функций числового параметра со зна чениями в некотором 5 -пространстве. Если оператор А (или, точнее, его резольвента) обладает тем свойством,
что из принадлежности / |
пространству |
следует |
«ЯА/ GE ®*+г, то и элемент |
и (t), задаваемый |
формулой |
(2 ), будет принадлежать ЗИы- Решение уравнения (1), построенное за счет исполь
зования операционного исчисления, назовем О-решением,. Поскольку проведенные построения обеспечивают на
личие неравенства |
|
N « < < 4 1 /1 1 |
(3) |
(где слева — норма в Ht <g) S*+z, а справа —■в |
1Н* (g) $*) |
построенное решение в соответствующем смысле единст венно.
З а м е ч а н и е . Если при сделанных предположе ниях пространство 330 есть наше стандартное простран ство Нс, а достаточно гладкой правой части / соответ ствует классическое (достаточно гладкое) решение урав нения (1 ), то построенное О-решение будет сильным ре шением в смысле определений гл. II. Действительно, построение гладких аппроксимаций {/*} правой части всегда возможно, а тогда при сделанных предположениях, согласно (3), сходящейся последовательности f будет соответствовать сходящаяся последовательность гладких решений щ —> и.
Если обратиться теперь к конкретным дифференциаль ным операторам, пригодным для подстановки в формулы
(2) в качестве оператора А, потребовав дополнительно, чтобы эти операторы не были М-операторами, т. е. чтобы
186 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
выход за рамки построений гл. V, VI был действительно необходим, сразу становится ясной чрезвычайная жест кость наложенных на А ограничений. Так, если х 10,Ь],
то в качестве оператора А оператор a Dx, рассматрива емый в !НХ при условиях Коши: и \х=0 = и'х |х==0 = О, не годится ни при каком а Ф 0 (вещественном или ком плексном). Оператор a Dx, задаваемый условием и |х==0 =0, годится лишь при вещественном а 0. Правда, при вы полнении последнего условия можно зато взять вместо aDx любой оператор вида
А = aDx -f- В,
где В — М-оператор, расположение спектра которого на комплексной плоскости подчинено соответствующим ограничениям.
Мы рассмотрим подробно указанный оператор, огра ничившись случаем В = 0. Использование при В ф 0 операционного исчисления в сочетании с конструкциями гл. V предлагается в качестве упражнения (можно взять, например, в роли В П-оператор, порождаемый операцией
- D ; - D J). |
Их |
Итак, если А порождается в пространстве® = ®0= |
|
операцией аД*, аф 0 , и условием и |ж=0 = 0 , то |
|
R* (A) g = (А — X)'1 g = ar1$ еГЪ -Qbg (gj <£. |
(4) |
о |
|
Отсюда и из сформулированных выше требований на спектральные множества А, немедленно вытекает условие бГ>0. Из (4) следует также, что в рассматриваемом случае (А—Х)~г действует ограниченным образом из ® 0 в ®_i. Тогда оператор ечА, задаваемый, согласно (5) § 1, формулой
V
где у — некоторая вертикальная прямая, действует ог раниченным образом из ® 0 в ® 0 (или, что то же самое, из 1НЖв Нж) и формула (2) дает решение уравнения (1). Нормы неравенства (3) в этом случае суть нормы в Й, и, как нетрудно убедиться (см. замечание к неравенству
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ |
Д87 |
(3)), О-решение является сильным решением, а соответ ствующий оператор L: И —> И — правильным оператором.
Модификация приведенных построений при переходе
к обратной задаче Коши по t (и |i=sb =0) |
очевидны: полу |
||||||
плоскости |
Re z ^ c |
и R e z !> c |
меняются*ролями. |
||||
Перейдем—теперь к |
тому |
случаю, когда |
опера |
||||
тор Dt: Н* —> IH* в |
уравнении |
(1) задается |
условиями |
||||
|
|
иН=о —» |<=ь = 0 . |
|
|
(IV) |
||
Решение и соответствующей задачи (при числовом |
|||||||
параметре А) дается теперь формулой |
(11) |
§ 2 |
гл. III |
||||
(с заменой X на А). Если мы не желаем налагать на опе |
|||||||
ратор А |
ограничений, |
аналогичных |
использованным |
в задаче Коши, то отдельное рассмотрение экспоненты
ё*А невыгодно- (см. оценки, |
использованные при дока |
|||
зательстве леммы 2, § 1 гл. |
V) и нужны некоторые |
ви |
||
доизменения приведенной в |
§ 1 конструкции. |
|
||
Пусть <p(z, t | /) при некотором фиксированном эле |
||||
менте / Е Е 35 есть |
голоморфная при %ЕЕ Q CZ С функция |
|||
z со значениями |
в 35, зависящая от t ЕЕ [0, Ъ] как от па |
|||
раметра. Если, |
кроме |
тоге, |
при zEz Q выполнено |
не |
равенство |
II ф |
| | < |
с<р I Z р\ |
(5) |
|
где слева — норма в 35 (т. е. в соответствующем 5-про странстве 33к), то для ф как функции от z существует каноническое представление, аналогичное использован ному в § 1 :
где 4 > р + 2 и контур у (вообще говоря, неограничен ный) удовлетворяет соответствующим требованиям. По скольку прй соответствующих предположениях относи тельно спектральных множеств оператора А (аналогич ных использованным в § 1 ) при будет определен оператор (С—А)" 1 = 5 ;(А), формула (6) позволяет оп ределить элемент 35 вида
(6')
Приведенные рассуждения мы хотим применить'к случаю,
188 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
<р (г, 11/) = (ц — ebz)~' (ц $ e« -^f (x)dx + |
ebzj e ^ f ( x ) dx) . |
||||||
|
|
|
0 |
|
* |
|
( 7) |
В предположении, что | \i — ebz | > |
б > |
|
|||||
0, рассмотре |
|||||||
ния! 1 гл. V немедленно дают оценку вида |
(5). Если обо |
||||||
значить |
через |
М а |
множество |
нулей |
функции |
[г—еЬг: |
|
М 0 = |
ir ^ ln j |
(А | + |
i(a rg p + |
2 к п ) , к |
= 0 ,4 h l, |
± 2 ,..., |
то очевидны требования на контур у, входящий в опре деления (6), (6'), и результаты наших построений могут быть сформулированы в виде теоремы.
Т е о р е м а . Если при некотором фиксированном [I и фиксированном б > 0 множество точек {z: d(z, М а) ^ 6} принадлежит к-резольвентному множеству оператора А, то формула (6 '), в которой <p(z, t | /) определена равен ством (7), определяет О-решение уравнения (1) при ус ловиях
Дополнительные рассмотрения типа приведенных в случае задачи Коши позволяют установить, что при соответствующих предположениях относительно резоль венты А 0-решение является сильным решением.
Проведенное нами с «операционной» точки зрения изучение формул (2) и (7) еще раз подчеркивает глубокое различие между задачей Коши и нелокальной задачей (Гй). Задача Коши, когда она определяет правильный оператор, чрезвычайно «устойчива» по отношению к оп ределенному классу возмущений, но задача (Г^) позво ляет использовать в качестве А значительно более широ кий класс операторов.
Разобранными простейшими примерами мы и огра
ничимся. |
Способ использования предложенной |
схемы |
в случае |
уравнений и задач, рассмотренных в |
гл. VI, |
достаточно ясен,* но трудности анализа конкретных фор мул, естественно, возрастают.
§ 3. Необходимость ограничений на резольвенту
Характерной чертой рассмотрений гл. V, VI, где в операторные уравнения входили П-операторы (или М-опе- раторы) А*, являлась окончательность результатов в
§ 3. НЕОБХОДИМОСТЬ ОГРАНИЧЕНИЙ НА РЕЗОЛЬВЕНТУ |
189 |
смысле необходимости и достаточности требований |
(по |
крайней мере — в основной массе случаев) на резоль венты А* (на структуру их точечного спектра), обеспе чивавших правильность оператора, описываемого теми или иными граничными усл^в^ями по t.
Как нетрудно заметить-, применение операционного исчисления позволяет построить О-решение операторного уравнения при тех или иных предположениях относи тельно оператора А (или операторов А*), являющихся достаточными. Но использованная конструкция не дает непосредственно метода выяснения необходимости на ложенных на А ограничений для существования (или единственности), например, сильного решения изучаемой задачи. Даже в случае простейшего уравнения (1) § 2, когда в нашем распоряжении имеется такой классический результат, как теорема Хилле — Иосида (см. [7]) (да ющая необходимые и достаточные условия на резоль венту А, обеспечивающие существование ограниченного в соответствующем смысле оператора S t, дающего реше ние и (£) = S tu0 задачи hu = 0, и |<==0 = и0), попытка непо средственно использовать этот результат в нашей ситуации наталкивается на затруднения.
Не располагая каким-либо общим методом изучения поставленного вопроса, ограничимся рассмотрением не
которых |
простых примеров. |
Пусть |
|
|
|||
|
L (D) = |
Df |
-}- я£)х, |
|
|
||
где а — комплексное |
число и, как |
обычно, |
t ЕЕ [0, 6], |
||||
х ЕЕ [0, |
2л]. Оператор |
D x: 1НХ —* 1НХ задается |
теперь |
||||
условием Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |х=о = |
0 . |
|
|
( 1 ) |
|
Если |
D*: IH* -> Ht |
определить, |
исходя |
из |
условия |
||
|
\m \t=Q— u |*=ь = |
0 , |
|
|
то при |х Ф 0 , оо правильность (в широком смысле) со ответствующего оператора L: Н >Н при любом а немед ленно будет следовать из рассмотрений гл.чУ, если пе ременные х и t поменять ролями. Интересен для нас сей час, следовательно, лишь случай р — 0, оо. Возьмем, для
190 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
определенности, условия |
(2) |
и |
|
Тогда из результатов .§ 2 . следует,, что соответствующий |
|
оператор L правилед прп^ а.]> 0 (это условие |
обеспечи |
вает нужные свойства резольвенты оператора А = —aDx). Покажем. . необходимость этого . требования, установив, что его нарушениё щриводит к ’неограниченности опера тора IT 1: Н —» Й.
Так же, как из рассмотрений § 2 следовало, что при а }> 0 осуществляется характерная для условий Коши картина: pL = С, из приводимых ниже построений будет следовать, что при нарушении этого условия непрерывный спектр Coh заполняет всю комплексную плоскость С,
Итак, в уравнении
L(Z>)» = /,
рассматриваемом при условиях (1 ), (2 ), возьмем семей ство правых частей /v вида
Ы *, *) = |
(Зу |
|
Соответствующее семейство решений uv имеет вид |
|
|
= |
4 — е4** (ev x - l) . |
(4) |
Интересующее нас |
соотношение |
|
||W vl|/i|Lu v ll = l l « v l | / | | < v l | - ОО |
|
|
для некоторой последовательности значений |
►оо, |
заведомо будет иметь хсесто> если для некоторых фикси рованных значенийx,t(z^> 0 , t ^> 0) выполняется условие
, voc |
-avkt t |
|
|
|
|||
|е * е |
I |
&| |
. |
оо |
(5) |
||
voc § I |
|
||||||
* |
* 1 + |
|
1* |
к | |
|
|
|
при к —> оо . Пусть а = |
а' |
+ |
га", |
vfc = |
vs + |
ivk. Тогда |
|
evkx e(-o'Vfc+a'vk)t |
|
|
|||||
% = ---- г-----------;---- |
|
|
|||||
еП* |
e<““Vk+a'v*)« |
|
|
Посколькудля нужногонам соотношения <5 ) необх<* димо, чтобы обе экспоненты стремились к 4 -оо пои к =-*- оо^