книги / Математические модели элементов интегральной электроники

ра. Это соотношение получено путем интегрирования уравнений переноса тока и непрерывности без аппрокси­ маций низкого уровня инжекции. Благодаря тому, что в модели используется интегральный параметр —заряд в базе, удается учесть эффект модуляции проводимости базы, эффект Эрли, зависимость параметров р2у и /г от режима и ряд других эффектов.

Рис. 3.9. Структура	мтегрального транзистора с изолирующим
р—«-переходом.
Модель IBIS	является развитием модели Эберса —

Молла для двумерны,х транзисторных структур. Модель позволяет учесть эффекты вытеснения тока эмиттера, бо­ ковой инжекции эмиттера, поверхностные явления и влияние пассивных областей базы и коллектора.

В заключение следует сказать, что, по-видимому, наи­ более успешно для машинного проектирования совре­ менных ИС использование моделей Гуммеля — Пуна и IBIS; в то же время ни одна из известных моделей не решает проблему полностью, поэтому непрерывные по­ иски в этом направлении и в будущем неизбежны.

Модифицированная модель Эберса — Молла. Рассмо­

трим	интегральный	транзистор	(рис. 3.9). В его струк­
туре	можно выделить два		транзистора: основной
п—р—и-транзистор		и паразитный р—п—р-транзистор.

Эмиттерным переходом паразитного транзистора являет­ ся коллекторный переход основного транзистора, а кол­ лекторным служит изолирующий р—д-переход.

Поскольку изолирующий переход смещен в обратном направлении, активному режиму работы основного п—р—/i-транзистора соответствует режим отсечки пара­ зитного и влиянием последнего молено пренебречь. Когда основной транзистор находится в режиме насыщения, паразитный транзистор работает в активном режиме и его надо учитывать.

I l l

В настоящее время имеются две распространенные разновидности модели Эберса—Молла: инжекционная и передаточная. С математической точки зрения обе они идентичны. Разница состоит в том, какие токи выбраны в качестве основных (через основные токи выражаются все другие токи прибора). Ниже будет показано, что благодаря более удачному выбору основных токов пере­ даточная разновидность модели является более простой с точки зрения использования в программах анализа

ИС.

Инжекционная модель представляет собой общеизве­ стную модель Эберса—Молла, в которой основными то­ ками являются токи диодов, моделирующих р—л-пере- ходы. Токи, инжектируемые р—л-переходами, являются экспоненциальными функциями напряжений на перехо­ дах

/ '| =	/ь [е х р (Ц /т^ )--1 ].	(3.22)
где £=Э, /(, /7;	— обратный тепловой ток соответст­
вующего перехода;	/л^— масштабный	коэффициент,

учитывающий отклонение вольт-амперной характеристи­ ки р—л-перехода от идеального закона. Как правило,

[24].

В режиме переключения через каждый р—л-переход помимо статических токов протекают токи, обусловлен­ ные барьерной и диффузионной емкостями. Барьерная емкость нелинейно зависит от напряжения и прибли­ женно описывается выражением

(3.23)

где С0 бар— барьерная емкость р— л-перехода при нуле­ вом смещении {U—0); С0, 0 — параметры, определяемые из условия наилучшего согласования экспериментальной зависимости Ccap=f(U) с величинами емкостей, рассчи­ танными по формуле (3.23). Диффузионная емкость за­ висит от тока 1\, инжектируемого р—л-переходом.

В случае, если коэффициент передачи по току аппрокси­

мируется однополюсной функцией частоты а —Гдгтттт--,

выражение для диффузионной емкости имеет вид
сЕа„ф= 1\ 1т у М * >	(3.24)

где fa—характеристическая частота, связанная о пре­

дельной частотой прибора.

В матричном виде система уравнений, описывающих

токи через	выводы		интегрального				транзистора,		имеет
вид							0
	I э		1		- и/			1'э
In — 1к		=	— a.v		I		— V	/'к	+
- I n			0		— *PN		1	V п
Сэ	о	0	JilUs		*7э	0	о	Us
			dt
+ 0	Ск	0	dUK		0	Лу!< о		и*	(3.25)
			dt	+
0	0	Сп	dUu		0	0	iCl	Un
			dt
переходов			Сэ,	Ci^ и	Сц	в	]

представляют собой суммы барьерных и диффузионных составляющих.

Эквивалентная электрическая схема, соответствую­ щая системе уравнений (3.25), приведена на рис. 3.10.

Ток между любыми соседними выводами эквива­ лентной схемы складывается из токов диода, модели­ рующего инжекцию р—«-перехода; генератора, управ­ ляемого напряжениями на соседних р—«-перехода^; нелинейной емкости, шунтирующей переход; утечки.

Б передаточной модели Эберса — Молла в качестве основных токов используются токи, собираемые р—«-пе­ реходами. Эти токи в эквивалентной схеме моделируют­ ся генераторами тока *).

Ток, который передается из эмиттера в базу и соби­ рается коллектором, описывается следующим выраже­

нием:
/ „ = / s [exp(t/s/?r) - l ] .	(3.26)

Аналогично записывается выражение для тока, который передается из коллектора через базу в эмиттер:

/, = / 5[ехр(£/к/?г) - 1 ] ,

(3.27)

где Is — ток «отсечки».

В дальнейшем рассматривается обычная п—р—«-транзистор­ ная структура. В случае необходимости приведенны выражения мо­ гут быть распространенына интегральнуюп—р—п—р-структуру.

Из (3.26) и (3.27) видно, что основные токи переда­ точной модели описываются выражениями с одним па­ раметром /5, требующим измерений. Для описания основных токов инжекционной разновидности модели необходимо измерить четыре параметра /оо» Л<о, т э>

Рис. 3.10. Эквивалентная схема интегрального транзистора с изоли­ рующим р—«-переходом для режима большого сигнала.

В цепь базы транзистора ответвляется ток

	л=(/*/РдЖ УР/).	(3.28)
где	и (3/ — нормальный и инверсный	коэффициенты

передачи в схеме включения с общим эмиттером. Токи через выводы эмиттера и коллектора имеют вид

/э = - ( ! + ! / № - К / .	(3.29)
(1 + 1/[5;) /г	(3.30)

Эквивалентная схема передаточной модели Эберса—

Молла,	соответствующая уравнениям	(3.26) —(3.30),
приведена на рис. 3.11.		р—л-перехо-
В динамическом режиме параллельно
дам в	эквивалентную схему рис. 3.11	подключаются

114

барьерные и диффузионные емкости. Барьерные емко­ сти зависят от напряжений на переходах по формуле (3.23) и по сравнению с инжекционным вариантом мо­ дели и не имеют никаких отличий.

Диффузионные емкости зависят от основных токов по следующим формулам:

п	X, v № v + A s )	п	xl ( f l + l s )	,
Оэдиф —	----------- ~ ----------	I Ькдиф —	----------”

где хN, хI — диффузионные постоянные времени в нор­ мальном и инверсном включении.

Рис. 3.11. Эквивалентная схема передаточной модели Эберса— Молла.

Отметим, что постоянные времени tjv и tj характери­ зуют инерционность процессов передачи зарядов неос­ новных носителей от одного перехода к другому, в то время как постоянные времени t aN и *са/ инжекционно-

го варианта характеризуют инерционность не только процессов передачи носителей заряда, но и процессов их рекомбинации у соответствующих переходов.

Сравнивая инжекциониый и передаточный варианты модели Эберса —Молла, можно сделать вывод, что пе­ редаточная модель более удобна для использования

впрограммах анализа ИС по следующим причинам.

1.Вольт-амперные характеристики нелинейных эле­ ментов передаточного варианта модели описываются меньшим числом параметров, для определения которых

требуется меньшее количество измерений.

2. Использование постоянных времени TV и т7 при анализе динамических режимов является более предпочти-

тельным, чем TaV,xe/f поскольку, как показали экспери­

ментальные исследования [45], параметры тN, tj, во-пер- рых, зависят от режима в гораздо меньшей степени, чем

?aV > \ i > и, во-вторых, имеют гораздо меньший раз­ брос значений от прибора к прибору, что повышает до­ стоверность результатов измерений.

В ряде случаев модель Эберса — Молла нуждается в усовершенствовании. Оказывается необходимым учи­ тывать сопротивления диффузионных областей гээ, Гбб, гКн, /пп. сопротивления утечки обратиосмещенных р—л- переходов Л у э, Лук, Л уп, токовые и частотные зависи­ мости коэффициентов усиления по току, модуляцию ши­ рины базы, лавинное умножение носителей в р—«-пере­ ходе, влияние внешних воздействующих факторов (температуры, радиации, рентгеновского излучения и др.) В инжекционном и передаточном вариантах мо­ дели перечисленные эффекты учитываются одинаково. Сопротивления диффузионных областей и утечек р—л- переходов учитываются подключением соответствующих

соппотивлений	в эквивалентную схему, а	остальные
эффекты — с	помощью аппроксимирующих	зависимо­
стей.

При работе транзистора в режиме большого сигнала имеет место сильная нелинейная токовая зависимость коэффициентов передачи тока в схеме с общим эмиттером (5, а следовательно, и коэффициен­ тов а. входящих в матричное уравнение {рис. 3.12). В модифициро­ ванных моделях Эберса — Молла используются эмпирические зави­ симости коэффициентов р от тока, представленные в той или иной форме.

Так, в модели, которая применяется в программе анализа элек­ тронных схем общего назначения NET-1 [25]. выбран степенной ряд относительно напряжений на р—и-переходах:

Pyv =

4 “

4 -

*4* Яз£/Зэ» Р/ = Ьо

bit/к 4~ М /* * 4~ Ьз1/*к .

(3.31)

В программе ПАРИС [26] в модели транзистора 'используются значе­ ния р, выраженные через токи:

Р - Ро \ d 0 4 - <*,/' 4 - d 2 (/')* 4 - di ( / ') 8 4 - d , (/')4 j,

( з .32)

В модели транзистора для программы SYSCAP [27] значение 6^ вы­ числяется по формуле

h = BN №	/'э)< 4" В г (log /'д)8 4- В з (log / ' э)г +
	+ B*(lo*/'.) + AL	(3.33)

где В я — максимальное значение Р у .

В модели интегрального транзистора, описанной в [28, 29], используется аппроксимация экспериментально снятых зависимостей

от тока функциями вида

Р (/г) = A (J’)°exp (С1‘).

(3.34)

где /' — ток, инжектируемый соответствующим р -п -переходом. Коэффициенты усиления но току в схеме включения с ОБ в мо­

дели фирмы Маркони [30] аппроксимируются эмпирическими выра­ жениями

*/V =	+	aJ= И / + &I	V'KfCj)]~K
			(3.35)

Рис. 3.12. Зависимость коэффициентов передачи по току интеграль­ ного транзистора от величины токов через соответствующие р—/t-пе­ реходы:

------------ результаты аппроксимации функциями вида Р~Л (/')в ехр(С/').

Выражения (3.31)— (3.35) обеспечивают примерно одинаковую точность аппроксимации коэффициентов 0. Параметры этих выра­ жений определяются в результате обработки экспериментальных дан­ ных по методу наименьших квадратов. В некоторые модели, напри­ мер CIRCUS [31], зависимости от тока вводятся в виде таблиц, по­ лученных при измерениях.

Модуляция ширины базы обусловливает зависимость коэффи­ циента а Л- от напряжения на коллекторном р—л-переходе, след­ ствием чего являются дополнительная конечная проводимость, вно­ симая в выходную цепь транзистора, что влияет на форму выходных характеристик (рис. 3.13), и отрицательная обратная связь между выходной и входной цепями транзистора, определяющая сдвиг вы­ ходных характеристик. Для транзисторов с достаточно тонкой базой

Рис. 3.13. Выходные характеристики		интегрального транзистора, смо­
делированные	на ЭЦВМ с учетом (	--------- ) и без учета (-----------	)
зависимости	от напряжения на коллекторном переходе.
Кружками обозначены результаты эксперимента.

зависимость коэффициента а^г от напряжения на коллекторном пе­ реходе учитывается в виде [28, 29]

	аЛГ(^к) = aN(^к) £1+ рдг (£/к)	^	J •	(3-36)
где	= (<pr/№) {dWfdUK); № — ширина базы;	UK— напряжение на
коллекторном переходе, при котором измеряется			коэффициент сцу.

118

Отрицательная обратная связь между выходной и входной цепями транзистора учитывается в эквивалентной схеме рис. ЗЛО включением генератора напряжения pcct/к* Фактор обратной связи м<с =

dUs

dUK /9=const определяется соотношени

Нос——ЯкШэ.

Достаточно простой способ учета эффекта Эрлн предложен в ра­

боте [32]:
= Р И 0 ) + lUufUN),	(3.37)

где pjv (0) — коэффициент усиления по току при нулевом напряжении на переходе коллектор — база; £/л* — постоянная величина, не зави­ сящая от тока, напряжения или температуры. Методика измерении этой величины изложена в § 3.4.

Лавинное умножение носителей тока учитывается в модели

дением коэффициентов умножения MN и Mj\
«N № ) = aviWlV, в/ (Us) = aJMJ.	(3.38)

Зависимость коэффициентов Mjv н Mj от приложенных напряжений Uu а и Uс о описывается простыми полуэмпирическнми соотноше­ ниями

MN	«iV	1---(l/б э /и э прсб) J4	(3.39)
1 (i/к Э/ и к прсб)

где п# и tit — показатели, зависящие от материала, градиентов кон­

центрации примеси	и	конфигураций	р—/i-переходов и лежащие
в пределах от 1,5 до	7 [33].
При малых временах переключения, соизмеримых с постоянной
времени транзистора та,		существенную	роль играет собственная за­

держка переходных характеристик коэффициентов передачи по то­ ку /3. Эта задержка может быть учтена в модели, если коэффициен­ ты а в системе уравнений (3.25) определяются в процессе интегри­ рования дифференциального уравнения вида [40]

da-tt	, (	\ ,	1	<Юъ\	°/у(0)		(3.40)
di	Д	hu +	т#т	dt j “" ~
что эквивалентно	использованию			двухполюсн		аппроксимации
в комплексной частотной области.
При временах переключения, удовлетворяющих условию *>та
величину задержки /злкоэффициента aN(t)					можно	считать	почти
неизменной и интегрировать			(3.40)	не нужно.	Выражение для		доли

тока коллектора, обусловленной передачей тока, инжектированного эмиттером через базу, преобразуется к виду

0	при t <	t3N,
V »		(3.41)
{ аы(0) /э. ( ъ л ( т	— 1) при / >	Д .

В комплексной частотной области выражение (3.41) соответствует аппроксимации коэффициента а*? выражением (3.2).

Выражения вида	(3.40) и (3.41) могут быть записаны	не только для
a JV(/), но и для	всех других коэффициентов передачи	по току, вхо­

дящих в систему уравнений (3.25). Значения параметров модели могут существенно изменяться при воздействии на транзистор темпе­

ратуры или радиации.	и температурного по­
Изменения обратного теплового тока

тенциала фт р—л-перехода в зависимости от температуры Г учиты­ ваются по следующим формулам:

't o Р 7> =	't o (7-.) ( - Й Т ^ Р		[ i r	( 7 7 - 7 7 ) ] ’	<3 42)
«Ро Vi) =	«р0 (Го) -	/Сф (Г/ -	Го),	*r = kTi/q,	(3.43)
где /с = 1.37-10- 23	Дж/град — постоянная			Больцмана; q =	1,6 X
ХЮ-|9 К — заряд электрона;		Го= 2 7 3	К — температура абсолютного

нуля; фс(Г0) — ширина запрещенной зоны при температуре абсолют­

ного нуля	(1,11 В для кремния и 0,67 В		для германия);		— темпе­
ратурный	коэффициент, равный	3-10	-4 В/град	для	кремния и
4-10"4 В/град для германия; Г3-— температура р—л-перехода, К.
Температура р—л-перехода		Tj складывается		из	температуры

окружающей среды Г и температуры нагрева р—л-перехода за счет рассеяния мощности в транзисторе:

Г/ = Г + (£ /э/э + г/к/к) BT h

где 0Tj- — тепловое сопротивление между р—л-переходом и окру­ жающей средой. Для кремниевых л—р—л-транзнсторов 0rj= 2O — 400 град/Вт.

Зависимость коэффициентов передачи по току р от температуры аппроксимируется эмпирическими зависимостями. В программе SLIC [2], например, используется выражение

PATW S , и к , T ) = t N (/'э, с/к,. Го) [1 + у ,Д Г + > (АТ1)2]-

Типичные значения температурных коэффициентов для кремниевых

интегральных		транзисторов yi = 6,7-10”3		1/град;	у2 =	— 3,6 X
Х10-5 1/град2.
	Зависимость барьерной емкости р—л-перехода от температуры
описывается следующей формулой [64]:
где	q	(Uv Т) =с6 (£/6.Г.)(Г /Г .)\хр [Ьг [Т _г„)].
Ь,	У о И - t / о* (7.)		л
	иг + и<ь1Го)		Ьг = д( 1 — В^);	е = ( 2 —	3 ) ‘ 1 0 - 4	1 / г р а д
			V *

для Si и Ge. U0^ и 0^ имеют тот же смысл, что и в формуле (3.23).

Воздействие радиации вызывает изменение таких параметров мо­ дели транзистора, как обратные тепловые токи / 0^‘ коэффициенты

передачи по току tp, омические сопротивления диффузионных слоев r ^t постоянные времени транзистора та#