книги / Математические модели элементов интегральной электроники

Рис. 4.4. Зависимость величины обратной удельной малосигналыгой крутизны МДП-транзнстора от на­ пряжения затвора при 1= 17 мкм, Z=13,5 мкм, Uc= 50 мВ.

перимеитальные исследования, проведенные на МДП-транзи- сторах, «показали, что р,о со­ ставляет 40—60% от объемно­ го значения подвижности (Е1{х= (8—10) • 105 В/см, Еку= = (5—10)-104 В/см). Экспери­ ментальные данные, приведен­ ные на рис. 4.4, показывают, что линейная зависимость,

определяемая выражением (4.23). в рабочем интервале напряжений выполняется.

Поперечное поле в	инверсионном слое Ех связано
с полем в диэлектрике	следующим соотношением

(выражающим условие перехода вектора электрического поля через «границу двух сред):

Е х	= (вд/еп) Е х в . — (QIIOB/£O€H).		(4.24)
Учитывая, что	поле	в диэлектрике £*Д=	(С/3 —<рмдп —
— <р)/л'д, и используя		(4.21), (4.22), получаем
	Ex = (sJen)(U'> - ?)/хд.		(4.25)

Продольное поле Еу равно градиенту поверхностного потенциала qp

\Ey \= \d4ld<?\.

(4.26)

Подставляя (4.25) и (4.26) в (4.19) и проводя необхо­ димые преобразования, получаем уравнение, описываю­ щее процесс переноса дырок в инверсионных слоях р-

типа:

ду	1 +	Р*0	i {[1 +	(У'з -	U’з— о •— Вес У У
~dfz		Bcc/ ( 2 ] ^			V)/^«n« + W u*»>I U'/U[f и
	д Г		игзи-- оу-ВссУТо е			_________.it]}1? . (4.27)
~	ду [	[1 -f- (У'з -	v ) / ^ !	I1+		д?/ду 11 ду ■

191

где С/ка— Я д Е к ж еп /в д ; U K y = L E l{v — напряжения, соответ­ ствующие критическим полям.

В структуре транзистора рис. 4.1 можно условно вы­ делить две области: внутреннюю (активную) и внешнюю (паразитную). Внутренняя область представляет собой идеализированный МДП-транзистор, а внешняя вклю­ чает в себя паразитные сопротивления и емкости. Пол­ ная модель прибора получается в результате объедине­ ния моделей активной и паразитной областей. В даль­ нейшем напряжения истока и стока, токи и параметры, относящиеся к активной области, будем обозначать сим­ волами со штрихом.

Уравнение (4.27) можно упростить, если строить мо­ дель отдельно для крутой и пологой областей выходных характеристик транзистора. В крутой области диффу­ зионная составляющая тока во всех точках канала зна­ чительно меньше дрейфовой [8, 9], поэтому вторым чле­ ном в правой части этого уравнения можно пренебречь:

да	jxo	у
91 ~	1+ Вес/(2 У ¥)х
	Urз—9Вое^		} (4.28)
[1+(У'з-O/UKX)] [1+		(L/UK„) Iд9/ду	1

Граничными условиями для этого уравнения являются значения <р в точках канала, примыкающих к истоку и стоку: <p(0, t) = U ' п+фо, ф (Ь, О-Е/'с+фо. Напряжения Е/'и и U ' с отличаются от напряжений на выводах истока и стока вследствие падения напряжения на паразитных сопротивлениях диффузионных областей Rn и Rc. Поэто­ му граничные условия можно переписать в виде

9 (0,	/) =	Un ~1“ / яЕп - } - 9о t	(4 .2 9 )
<р (L,	i) =	Uc — / cRc 9о»

где /,т и /с — полные токи канала у истока и стока. Статический режим. Статическая модель МДП-транзи-

стора получается из уравнений (4.28), (4.29) при усло­ вии, что dy/dt=0. Запишем выражение для тока через канал

/ = — ZppsQpdyldy.

(4.30)

В статическом режиме через любое сечение канала про­ текает одинаковый ток /с, Подставим выражения для

т

}1Рэ и Qp в (4.30) и введем новую переменную С/=ф—<р0, равную напряжению канал — подложка; интегрируя по­ лученное выражение по длине канала от 0 до L и считая за положительное направление тока от стока к истоку (противоположное у)> получим [13]

Н		1+ ^	)	' <|'= '‘л г х
о
X	с U3-Uo + UB — U-Bcc V<?O+U dU
I .		1+ (£/з-£/о + £/д-60Д/к*
или			^оСяЦкхиKljZ
/с =					X
		Ц и к у +	U c	i/ll / с№ + /?и)]
с^с U3— Uo-hUB —U — BccV<to + U Л/.						(4.31)
х [		С/« + С/а — С/в-ЬС/д—t/
Uu+TcRa

'Выражение (4.31) является неявным уравнением вольт-амперных характеристик МДП-транзистора. При заданных управляющих напряжениях значение тока / с можно определить только численными методами. Инте­ грал С/ в правой части уравнения (4.31) выражается через элементарные функции:

J =	J , - Д 0СГ/2,
Cf\ = U'c — t/'H— £/KJCIn		tfa-t/o + tfe-t/'H + t/к*
		C/3-£ /0 + £/fl-£/'c + l/|«
= 2 (Zi — z2) — a In (g + 22) (g—zQ
		(g — Z2) ( g + Z ,) ’
где
z ^ V f . + y',;		z, = ]/* + £ /'« ;		(4.32)
Я — 1/t/a —	о — ^ д “I-		—1~ С/KJC.
Для вычисления тока / с	можно предложить следующий				алго­
ритм. Обозначим -правую часть уравнения			(4.31) через f ( /0)	я	пере­
пишем это уравнение в виде
К М - /о = о ,					(4.33)

№

Используя итерационный метод Ньютона, очередное приближение вычислимпо формуле

/(«+!>_/Ся)__

/(/<'■>)-/<п>

(4.34)

жс

' с

(Э//9/с)(">—1

Значение -& ■

(л)

на п-мшаге

итерации

определяется

из

(4.31).

Учитывая, что

f (Ic) =f(Uc-IcRc, UB+

IcRn) = /

( t / ' c . U'H) .

полу-

чаем

r d f

dlc

___±d -

Rc

(4.35)

+

Я/'н

« •

dU’c

R

Производные dfldU'c иdfJdU'n

определяются

дифференцированием

(4.31):

v

. Г

а

,

9с/'с

(Уку + у'с; - у'и)» +

____________1______________ У 3- У

. + ив - V с — В о с У у о Ж У ' с

1

У к у “Ь У ГС

У ' И

У з — У о + , UQ— U*С + У к * ]

J ’

л _

.

г

I

( у Ку)2 +

. у

(4.36)

д У ' н

' с : - у ' н

I

У , - У , + У в - У 'н - В о е K f o + У 'й 1

У к у + У ' с - У ' »

У з — У « + У д - У ' н + У к »

j 0 j j ‘

=[ХоСдС/кхС/Ky2/L,

Вкачестве начального приближения выбирается /<°1С=0. Далее определяется i/'c и С/'иизатем, используя (4.34)—(4.36), вычис­ ляется очередное приближение. При увеличении /с кривая f(I0) мо-

Яис. «#.5. Зависимость f(/<.)—/с, характеризующая итерацион­ ный процесс вычисления тока.

нотонно падает и при / с = / с к р = ( С ^ с —Uu)l(Rc-lrRn)	значение
f(Jc)= 0 (рис. 4.5). Для упрощения блока программы, в котором вы­
числяется ток, «иобеспечения сходимости численного решения жела­
тельно в процессе итераций не допускать попадания	в область,

гДе / с> /в нрПоэтому окончательная формула для				определения
/^л+1) следующая		113]:
/<Л+,) =	/<п+1)	вычисление по (4.31)	npnl<n+l) <	/ с'кр,
				(4.37)
	^ " +1)/2		при /<я+1> ^ /с к Р.

Уравнение (4.31) описывает характеристики МДПтранзистора в крутой области. Переход из крутой обла­ сти в пологую наступает при отсечке канала у стока. Напряжениеотсечки U0TC для U3>U0 определяется из (4.20) как напряжение канала £/=ср—<р0, при котором заряд в инверсионном слое Qp= 0:

и„С = из - и, - Вж [V (к ? . + Вое/ 2)’ + ^	- tf. -
-(V b + B o J 2 )).	(4.38)

Выражение (4.38) определяет условие запирания МДП-транзистора по истоку UU>Uотс, и условие пере­ хода из крутой области характеристик в пологую U'с = = Uti—/с^с=С/отс. МДП-транзистор находится в крутой области, описываемой уравнением (4.31), если напряже­ ния на его электродах удовлетворяют неравенствам

ив< ит , ис- IcRc< Uorc

(4.39)

С увеличением напряжения £/с концентрация дырок

вобласти канала, примыкающей к стоку, уменьшается

ипри UC=U0тс становится равной нулю. В этирс усло-

Исток Затвор Стон

Рис. 4.6. Влияние поля сто­			Рис. 4.7.	Уменьшение	эффективной
ка через	высокоомную	под­	длины канала вследствие расширения
ложку на	проводимость	ка­	обедненной	области отсечки; распре­
нала.			деление полей в области		отсечки.

виях выражение (4.31) становится неприменимым, так как в области отсечки из-за большого перепада концен­ трации носителей диффузионная составляющая тока мо-

Жет стать сравнимой с дрейфовой [8]. В пологой областй наблюдается насыщение тока. Незначительное увеличе­ ние тока при дальнейшем увеличении Ua может быть объяснено двумя физическими механизмами [6]. Первый механизм преобладает в высокоомных подложках при малых длинах канала (если ширина обедненной области стокового р—/г-перехода сравнима с L). В этом случае поле стока распространяется на всю активную область МДП-транзистора (рис. 4.6) и стоковый переход дейст­ вует как второй затвор. Другой механизм связан с рас­ ширением обедненной области отсечки при увеличении стокового напряжения, что приводит к уменьшению эф­ фективной длины канала и к возрастанию тока. Этот механизм характерен для большинства реальных прибо­ ров, поэтому именно он должен быть учтен в модели МДП-транзистора.

Считая, что любое изменение тока в пологой области связано только с изменением длины канала, можно запи­ сать следующее выражение для тока стока [6]:

/с(£Л>> £Л)тс) —/*с/(1—/отс/£)»

(4.40)

где /отс — ширина обедненной области отсечки; /*с=* =/с(^с=^отс) — значение тока в точке перехода из кру­ той области характеристик в пологую. Ширина обеднен­ ной области определяется разностью напряжений между стоком и конечной точкой канала и средней величиной продольного поля в области отсечки ЕсР:

/оТС= (^ 7С ^ОТс)/£ср‘

(4.41)

Точное значение £ Ср может быть определено только с по­ мощью численного решения двумерного уравнения Пуас­ сона для этой области. Качественная картина распреде­ ления поля в области отсечки приведена на рис. 4.7. Чтобы получить аналитическое выражение для Е0р, вве­ дем несколько аппроксимаций [6]. Из рис. 4.7 видно, что в продольном поле можно выделить три составляющие: Ei — поле, обусловленное неподвижным зарядом обратносмещенного стокового перехода; Е2— поле, обуслов­ ленное напряжением затвор — сток; £ 3 — поле, вызван­ ное разностью потенциалов между затвором и крайней точкой канала. В итоге запишем

Еср==Et -J- Е% Еж.

(4.42)

Значение Е{ определяется обычной формулой для усред­ ненного поля резкого р-п-первхода

Е, = (и'с-и'^)1к, k = [2e„в./(?ЛГд)],/*.

(4.43)

Для продольных составляющих электрических полей Е2 и Е3 введем аппроксимацию, согласно которой они при­ нимаются пропорциональными соответствующим попе­ речным составляющим полей в диэлектрике:

Е2 =	БДЦ'С—Ц'Э	б д	t / ' a - t W	(4.44)
	БП *Д	Ег = Ь—	* д
		еП

где а и Ъ— коэффициенты, характеризующие связь меж­ ду нормальными составляющими в граничных точках (у стока и в крайней точке канала) и усредненными продольными составляющими Е2, Е3 в обедненной стоко­ вой области отсечки; —Un3—U3—U0+UB + фо.

Экспериментальные исследования показали, что коэф­ фициенты а и b примерно одинаковы для все^х МДПтранзисторов, т. е. их значения практически не зависят от структурных параметров и напряжения на электродах [14]. Наилучшее согласие теории с экспериментом полу­

чено при следующих значениях коэффициентов:				а= 0,2;
Ь = 0,6.	Подставляя выражения (4.42) —(4.44) в			(4.41),
получаем следующее выражение для /отс:
1 _	1	. ■ ед	g{U'c - U ' 3) + b(U'3 -U « rc)
/отс	k(Urc — Uarc)112	еп*д	//'с — UOTC	*
				(4.45)

которое при подстановке в (4:40) определяет ток МДПтранзистора в пологой области.

Температурная зависимость характеристик прибора определяется зависимостями подвижности и поверхност­ ного потенциала от температуры, которые в интервале от —85 до +125°С хорошо аппроксимируются следующими выражениями:

(J4) =	р»о ( Т 0) Т 0/ Т ,
<Ро= *?Р. 9р =	ikTjq) In (NJm),	(4.46)

я* = 1/1,5- 1033Г3 exp[— 1,21ql(kT)].

Перейдем к методам определения параметров стати­ ческой модели. К числу этих параметров относятся: элек­ трофизические параметры 7УД, Nn0B, цо, Екх, Еку\ толщи-

Нй Диэлектрика затвора *д; геометрические размерь! канала L, Z\ паразитные сопротивления Rn, i?c.

Средние значения цо, Екх, Еку, # ПОв зависят от ис­ пользуемой технологии обработки поверхности. Для ста­ бильного технологического процесса эти параметры вы­ держиваются в определенных пределах; их значения можно определить с помощью измерений на тестовых транзисторных структурах.

ll/2,MHA1/2

Рис. 4.8. Схемы измерения и способы определения параметров моде­ ли МДП-транзистора:

а — схема	измерения	порогового	напряжения и	зависимости	для определе­
ния £ ос;	б — схема	измерения	малоснгнальноЯ	проводимости	и зависимость

для определения £ 1(ж; в —зависимость для определения £ ку.

Для измерений необходимы два типа структур, изго­ товленных на одной подложке: с большими размерами канала (L « Z « 50 мкм), которые позволяют по фото­ шаблону определить L и Z с высокой относительной точ­ ностью и со средней длиной канала (L< 10 мкм) для определения продольного критического поля Еку. Кроме этого, необходимо знать концентрацию примеси в под­ ложке Nn, которая определяется маркой исходного крем­ ния и может быть уточнена по результатам прямого измерения, и толщину диэлектрика хд, которая контро-

198

лируется в процессе изготовления и может быть уточне­ на по результатам измерения емкости МДП-структуры большой площади.

Методика определения Екх, Еку, Мпов следующая. Измеряя напряжение на затворе (рис. 4.8,а), при кото­ ром в цепи стока протекает малый ток (величина этого тока должна быть значительно меньше рабочего тока МДП-транзистора, но больше обратного тока р—п-пере- хода), не превышающий нескольких микроампер, опре­ делим величину порогового напряжения U0. Используя (4.22), вычислим Nuou

Nпоп = ((/о — ?М п — ив)С*1Я»

(4-47)

где значение <рмдп известно, а <р0 и UB вычисляются зара­

нее по известным Nn и дгд. Если значения Мд или хд нуждаются в уточнении, то на этой же схеме следует снять зависимость порогового напряжения С/0+Д£/о от смещения на истоке. Согласно (4.20) при Qp=0 и ср = —Ф+£/и канал отсекается у истока при напряжении за­ твора, равном

U „ =t/„ + t/„ + B0C[(<p0+t/„),/2 _ ?0]|/2.

(4.48)

В соответствии с этим выражением зависимость АС/0= = £/э0—£/о—ии является линейной функцией от [(фо+ +.Un)ilz—фо1/й] с тангенсом угла наклона, равным Вос (рис. 4.8,а).

Значения р0 и Evx определяются из измерения зави­ симости малосигнальной проводимости стока gco (при £/с= Ю—50 мВ) от напряжения на затворе (рис. 4.8,6). Эти измерения следует проводить на МДП-транзисторе с большими значениями L и Z и малыми паразитными сопротивлениями Rc^Rn~0- Дифференцируя при таких условиях (4.31), получаем

	„ _д/с |		_г»сликхг	и3— ио	(4.49)
	gco “ dU c	|с/с=о	L	Us - U o + B B + U KX
	Тогда зависимости
	Us—Uo				(4.50)
	gco	V^CI ZUM (Ua ~ и ° + и в + UKX)

соответствует прямая линия с наклоном tg e,= I/(fcC AZtfK,)

и при С/3=С/0 из (4.50)

г = L(UB-\- UKX)I {\boCflZUKX).

(4.51)

Из выражений (4.49) —(4.51) определяются р0 и Екх:

r(Ua = Uо) tg в»

L	(4.52)
~~ tg biCbZUxx

Значение Еиу определяется из измерения тока стока в не­ скольких точках пологой области характеристик МДПтранзистора с 10 мкм. -Предварительно по выраже­ нию (4.31) вычисляются значения /**с без учета зависи­ мости p.pa(£j/). В соответствии с (4.31) зависимость

/ ”/ / с - 1 = (£/с - Un)l(EKyL)

(4.53)

является уравнением прямой линии с наклоном tg02= = 1IUKy (рис. 4.8,в); поэтому

£ KI/= l/(L tg 0 2).

(4.54)

В действительности наклон экспериментальных кривых незначительно зависит от напряжения затвора. Это. объ­ ясняется тем, что зависимость црэ(£.г., Еу) имеет более сложный характер. Однако для расчета схем приведен­ ная аппроксимация (4.23) обеспечивает достаточную точность. Статистические данные по электрофизическим параметрам, полученные в результате измерения партии, состоящей из 80 МДП-транзисторов (L= 17 мкм, Z=

= 13,5 мкм, хд=1100	А, # д=5-1015		см-3), приведены
в табл. 4.1.
			Т а б л и ц а		4.1
Параметр	Но.	Екх*	р	^пов*
			^ку»
	сма/В*с	10» В/см	10* В/см	10»	см’*
Математическое ожидание	180	11	7,5		8
Среднеквадратичное откло­	17,5	1,3	0,96	0,8
нение

Геометрические размеры канала конкретного МДПтранзистора определяются по топологическому чертежу ИС (рис. 4.9) с использованием следующих формул, учи-

200