книги / Основы математической теории термовязкоупругости

формулам
3	=	2 +	4 - / г а ; = 2-	згГд*
1 + V*
V*	•	3 -	_ ЗП*Д* -	1	(17.9)
1 — V*		3 +	2Д*П* ~~ ЗП*Д* +	2	'

Как видно из (17.3), (17.4), (17.8), температура0 явно не входит в диффе­ ренциальные уравнения, она может входить только в граничные условия задачи.

Рассмотрим контактные граничные условия двух типов на поверхности тела 2, причем одни из них (первого типа) задаются на определенной не­ изменной во времени части 2 Х, другие — на Е2 (2Х+ Е 2 = 2).

Граничные условия 1-го типа в точке 2 Х: задаются три определенных взаимно ортогональных единичных вектора гх, г2, г3 и компоненты век­ тора перемещения и и вектора поверхностной силы 8

и*гт ==	щгт1 =	итг,	щ гт * = итГ1	(17.10)
8-Г^ =	3}Тп1 =	== Зп	=== Зпг^
где итГ1 З пг — заданные		величины, причем общее число заданных в точ­

ке величин итГ1 8пг равно 3, так что либо т = 1, 2, 3 и тогда 5пг не зада­

ны (задан вектор перемещения), либо п =			1, 2, 3 и тогда итГ не заданы
(задан вектор напряжения),	либотгг =	1,2,	п = 3, либо т =	1, п = 2, 3,
т. е. заданные части векторов и, 8 ортогональны.
Граничные условия 2-го	типа в точке 2 2: задаются гх, г2, г3 и связь
между 8 и и
5*гг — Е2и*гг =
~~~^2^0 ^и — N	(оц1]	щ) тц = N 1,		(17.11)

где N 1 — заданные величины, причем либо I = 1, 2, 3, так как заданы три условия (17.11), либо I = 1, 2 и тогда одно условие может быть типа (17.10) либо I = 1 и тогда два других условия — типа (17.10). В (17.10), (17.11) // — направляющие косинусы нормали, гк1 — направляющие косинусы векторов гк, Е2 — постоянная или функция координат, имеющая размер­ ность модуля, деленного на длину.

Полученные выше в изображениях дифференциальные уравнения, со­ отношения и граничные условия с точностью до обозначений совпадают с системой уравнений классической теории упругости.

Задачу при граничных условиях (17.10), (17.11) общего вида можно ре­ шать либо на основе уравнений (17.4), либо на основе (17.3), (17.8) с ис­ пользованием формул Коши (17.2) и соотношений (17.1). Для краткости мы часто будем иметь в виду первую постановку, как содержащую мень­ шее число дифференциальных уравнений (одно векторное уравнение Ляме для вектора иг), а напряжения аи будем считать выраженными через пере­ мещения по формулам

0	1+V*	(17.12)
	4 - 1 —2V*
где входящие операторы выражаются через основные
V*	1+V*

Граничные условия (17.10) на основании (17.12) в перемещениях при­ нимают вид

(«Уз + ! ^ 2 у~	= ГГ‘5"Г+ 1~2\*	(17.14)

а граничные условия (17.11) приводятся к виду

(е«г,- + т ^ г ^ г _ 7?2П*“ ') Гн ~ П^ 1+

«ОVI*. (17.15)

Коэффициент Пуассона V* выражается через основные операторы:

з - л пг зп д; —1

(17.16)

6 + Д*П* “ 6П*.Д* + 1

Усложнения, вносимые контактными граничными условиями (17.15), весьма существенные, определяются оператором, с точностью до множи­ теля совпадающим с П*

Г * = я 2п \	Г =	Я,П(0				(17.17)
и входящим коэффициентом при искомых функциях щ .
Задача теории	упругости получается путем				отбрасывания звездочек
в (17.4), (17.12), (17.14) и других, т. е. заменой
Е*->2С,	П*—>	1 -	’	V *—> V,	7	-+Г = Ш ,
		20
	тт*_*	1				(17.18)
*	111 ^	~К ’			*
	0* —»• 0,			&гз > 8^,		вц
1^1 ^ ,					ва

и обратно: первая и вторая задачи термовязко-упругости в изображениях получаются из задачи теории упругости заменой, обратной (17.18): 2(7

-►Я*, К -+ г -^ л Л ..

Следовательно, и решение нашей задачи в изображениях получается из решения задачи теории упругости путем восстановления звездочек, т. е. обратной заменой (17.18). Будем считать, что задача теории упруго­ сти решена, т. е. будем пользоваться многочисленными результатами, полученными в статической теории упругости и строительной механике упругих систем.

Вместо коэффициента Пуассона V и оператора V* введем более удобный

параметр со0 и оператор со* формулами
«0	20	1 —2\	»	®	1	*-*Т	1	1 —2V*	X
	3 тг	4_!_ *,			з		отт* г,*	4 !
	3К	1 + V	’						(17.19)
	1 — соо				И — со*		со*д* =	1.
		*
	2+ооо				2 +	со* *

Тогда коэффициенты, входящие в дифференциальные уравнения (17.4),

(17.8) и граничные условия				(17.11),		(17.14),		(17.15), запишутся		в виде^
1	__ 2 +	со*		3	_	о ,	*	V*	1 — со*
1 — 2V*	Зсо*		8	1 + V*			Ю ’	1 — V*	1 + 2со*	2
V*	1 1	— со*		1 + V *	_	1		-	---------	(1 7 .2 0 )
1 — 2V*	3	со*	8	1 - ^ *		со*	2	Т* =	ЕгП \

	а сами уравнения и граничные условия — в виде
	2 + ю*	<	г	Щ, уу — -2 р П * ^ ;		(17.21)
	Зсо*	1
	*		р?1;			(17.22)
	У= •-				/1 — со*
	^гУ, кк +		(2	СО) 0, гз ~		Рг, к&из -Ь Рз, кбм^;
					Р \1 + 2(0* Рц, к&Ц +
		И'тгч*				(17.23)
	и\гтХ=					(17.24)

+Гпг — П 8 п г +' —03* ®%Гпй

(®1^У *Ь	-	гн = П’ЛГ, +	-?-гЪ%гп...	(17.25)
Последние два граничных условия при у* =			0 (т. е. Е2 — 0) совпадают

с точностью до обозначений и потому для целей дальнейшего анализа важ­

но только	первое условие	(17.24),	не	вытекающее из (17.25),	и	условие
(17.25). у*	существенно	входит	в	левую часть уравнения		(17.25),
как и со*. Выражение напряжений через перемещения (17.12)					примет вид
О* = в* (4- +		е*а„ -	± г <>*««).			(17.26)

Рассмотрим задачу теории упругости на основе уравнений Ляме (17.21) и граничных условий (17.24), (17.25), воспользовавшись линейностью си­

стемы и принципом суперпозиции. Вектор перемещения щ в некоторой точке х тела является линейным функционалом правых частей перечис­ ленных уравнений; коэффициенты входящих в них слагаемых П*, ай^/со*

не зависят от координат и потому и*				будет линейной функцией этих коэф­
фициентов,	причем неоднородной,			так как в	первое условие (17.24) в
правой части входит коэффициент 1.
Значит, общее решение задачи всегда будет иметь вид
Щ = / г + П фг +		фТгФ	,
в ц =■	В * 1 а + ф?у 4 ' З а 7 ? 1ф т’г7'в’* +
-ь [(1 — «о д ;/;, *			+	Ф; , , + а	д ;ф« . *<>•] ^ -
— За#;Г6*,-.					(17.27)
Все функции	/* и ф* будут	зависеть только от «упругих характеристик»

со*, у* и координат и будут линейными функционалами по координатам

«нагрузок» и*тг, 8 пг,*	Оператор	со* входит в левые части уравнений
Ляме и граничных условий только в комбинациях
2 + со*	1 — со"		(17.28)
Зсо* ’	Зсо

Вид формулы (17.27) для компонент напряжений вытекает из вида щ, формул (17.2) и выражения (17.26), причем все двухиндексные коэффициен­ ты выражаются через Я , Ф? , фт! оператором «деформация», т. е.

/ «	=	(/Ь- +	/5.0/2,	ф& = ( ф Ь - + ф * ,; ) /2 ,
ф Т У	=	(фТг,з	+ Ф Г з ,г ) //2 ,

а — обычная дивергенция.

Поскольку мы считаем задачу теории упругости уже решенной, зна­

чит в (17.27), в		случае, если решение дано в перемещениях, векторы /; ,
ф* ,	фхч известны, а в случае, если решение дано в напряжениях, тензоры
Я м	фг*, ФЬ->	и скаляры Яд Ф ц и фЬд известны как функции

координат и, что особенно важно, операторов со*, у* на основе обратной замены (17.18).

Отметим, что вектор /| в (17.27) возник в связи с заданием на границе вектора перемещения итг, согласно первой формуле (17.24), и он будет равен нулю, если все итг не заданы или равны нулю, вектор ф; возник в связи с заданием хотя бы одной из сил Рг (17.21), д5пг (17.24), N I (17.25) и он обращается в нуль, если массовые силы Рг равны нулю и не задано ни

одной из сил	8пг, N I, т. е. заданы только граничные условия в переме­
щениях; вектор	фу* возник в связи с заданием граничных условий в напря­

жениях (17.24) или контактных (17.25) и он становится несущественным только при ф = 0.

Чтобы подчеркнуть связь функций /, ф, фг с заданными внешними пе­

ремещениями,	силами и температурой, переобозначим векторы
0*’= /! ,							т 1 ^ ? ^ гч>т1				(17.30)
введем новые	обозначения						для тензрров
тт*	и*	|	1	ю* ,*			о
и а =\/у -!— з^т—а						, кОц,
Рц — ФV Н			3^		ф/с, А л
/71*	*		,1 -- (0*			•	л				(17*31)
1 и ~	Фта		^— з^*--фтк,
которые в отличие от (17.29) выражаются									через векторы	(7;,	Р;, Т* опе­
ратором «напряжение», что видно из (17.26);
							Зсо*
р*. — _ Г Р * . л, р*						л	1 —со*	Рк, А л
							Зсо*
ЪЗ—	о	'	г>]	‘	^ 1’	1/			г?’
т'и=	4 - ( К } +						3— Тн,кЬц.				(17.32)
					г,!.Р) + Ц # - г * . л
Система равенств				(17.32)			определяет тензоры С/;*-, Р;;*,			2#,	если из­
вестны перемещения (17.27), т. е. функции									(7;, Р*, Т\ в формулах
Т]\ +			П*Рг +								(17.33)
при этом напряжения а% находятся по формулам (17.27)]
=	К'1Г*} +			р Ъ +			3 аЯ1 2^#* .				(17.34)

Напротив, если известны напряжения (17.27), т. е. тензоры, входящие в правые части (17.34), то перемещения и* выражаются формулами (17.33), причем должна быть решена известная система дифференциальных урав­ нений

4 - К з + 2*. О = 2*; - (1 - со*) 2*аи,

Г = 4 - %А) = 4 - 2кк

при	однородных граничных условиях, исключающих движение тела,
как абсолютно твердого; это решение имеет вид
	^		=	2* -	(1 -	со*)	2Г,		(17.36)
где	'*		"М	— известные линейные				интегральные операторы	по коор­
	2,1 ,	2ъ
динатам		от 2ц, 2*. Уравнения (17.35) и решения (17.36) справедливы для
любого из			векторов		С/*, Р*,
	VI		=	и'* -	(1 -	со*)	С/Г,
	Р\ = Р? -				(1 -	со*)	Р?9		(17.37)
		Т\ =		Т1 -	(1 -	со*)	Т\\
Если заданы 11ц,					Р*ц,	Тц,	значит	заданы и входящие в (17.37) векторы
со штрихом и двумя штрихами, и зависимость последних от со*									опреде­

ляется только зависимостью соответствующих первых от со* {II{ , —

от 17ц и т. д.)

В сопротивлении материалов и строительной механике определяются некоторые величины V типа прогиба (прогиб, перемещение, угол поворота, деформация, искривление ...) и величины <5 типа напряжения (напряжение, перерезывающая и сжимающая силы, реакции, изгибающий и крутящий

моменты, ...) по	заданной системе величин Р типа сил (внешние силы
и моменты, давление,		вес, квазистатические силы инерции и коэффициен­
ты перегрузки,...), величин V типа перемещения (перемещения, углы по­
ворота, выбираемые		зазоры в опорах и креплениях,...) и температуре#,
которая в первых	двух типах задач равна нулю или одинаково изменяется

по времени во всех точках конструкции. Решение, т. е. формулы для вы­ ражений V, 5 через II, Р, # , всегда имеет вид

V = IIу +	Ру + &ТV Ф,
«У= 2Сг118 + Р8 + ЗаК		(17.33)

где а — коэффициент линейного расширения; С — модуль сдвига; К — модуль объемного сжатия; 17у, 88 — некоторые известные линейные функ­ ции от Л и коэффициента Пуассона V; Ру, Р8 — то же от Ри V, и Т8 — от V, причем все они, конечно, зависят от геометрических характеристик тела и от положения точки в конструкции, для которой находятся V к 8.

Чаще вместо модулей О и			К в	(17.38) входят модуль Е и V, т. е.
1 р	_ 1	п	р	_	т + 7 -
~2С	- - ё	Ч у,	^	-
20118 = Е У 8,				^ 8 =	( И ^ ) Г 8,
ЗК Тв = Е в в,			Т 8 = (1 — 2у) е 8.

В изображениях, следовательно, получаем соотношения вида (17.33), 17.34)

V* =	Пу +	П*Ру +		лТ*уЪ*,
я* =	К*и1	+	+	З а Я ^ Г ,	(17.39)

лям и коэффициенту Пуассона и переходом к со* (17.19), (17.20), причем

		р 'у= ( 4 - + 4-ю*^ (?*у,			^	V	I
		3	3				2 + со*
		Зсо*	©з				(17.40)
		т: = 2 + со*
	Все трудности обращения соотношений (17.33), (17.34), (17.39) связаны
только с тем, насколько				сложно зависят входящие в них функции				{/%
Р\	Т*	от коэффициента		Пуассона,		т. е. от оператора со% и от у* (в слу­
чае контактных граничных условий 2-го тина).
§ 18.		Обращение некоторых операторов
§ *	Теорема свертки:		даны изображения				двух функций времени	(р),
	(р) и дано уравнение, определяющее изображение искомой функции
/(*)		Г(р) = л ”0(р)Г (р).					(18.1)
Тогда функция / (*) определяется в виде
				х
		/(() = ж0(0)^ (I) +			{I — т)^Жо(т) = § (0)Жв(ОЧ-.
		X		О
		+ $Ж0( г - т ) ^ ( т ) .					(18.2)
		О

Тождественность двух последних выражений вытекает из интегрирования

по частям, что	предполагается допустимым для §				и ЛГ0. Из симметрии
(18.2) относительно $ и		Ж	следует, что операторы Ж*, — коммути­
рующие, т. е. выражения
•^о(р)^ *(/>) = Зг*(р)^'1(р)					(18.3>
дают изображение одной и той же функции.
Применяя (18.1), (18.2)		к	функции	со * = Я* Пх/3, находим два выра­
жения оригинала со (О			х
Зсо (I) =	К (0) Пх {I) +		^ Пх {I — т) йЯ (т) = Пх (0) Я (I) +
	х		о
+
	— т)<ш1(т).				(18.4)
	о
Обратная функция л* =			1/со* = ЗП*7?Химеет оригинал
			х
4 - я (0 = П (0) Л, (0 + \ Дх (* -				X) <Щ (т) =	Л, (0) П ({) +
	X		о
	+ 1иЦ — х)<1Л1(х).				(18.5)
	о

Как уже отмечалось, операторы (/?*, 1Г) и (Ни Пх) являются по­ парно взаимно обратными

Д*П* =		Г Г Д * = 1,			— . = п*,			=	.
						А		' Л
А + ВП*		_ АВ* +		В	__ АП.* + ДП*2
с + шГ — ев* + Д _						СП* + шГ2
и аналогично для Ни П^. Далее имеем
АП* +	ЯП* ^		А +	з# д / _		Л п * +	зВ
СП* +	ЯП*		С +	ЗЯсо* ~~ Ся* +			ЗЯ
и вообще с операторами						со*,	я* можно обращаться как с числами

ипроизводить различные алгебраические действия над функциями опе­ раторов.

Взадачах теории термовязко-упругости наряду с ядрами ползучести

ирелаксации рассматриваются еще только известные функции ср (хк1 *)

типа нагрузок (перемещений, температуры), которые обращаются в нуль

в начальный момент ср (хк, 0) =		0, а также суммы выражений			(хк,
для которых известны только изображения
/* = Ж’оФ*,					(18.6)
где Жо — оператор-функция из		основных	К* (или	П*) и со*. Если обра­
щение Жо*, т. е. Ж0(2) — известно, то
	г		I	дФ (*. в X)	к
	С		г*		,
/ (*». 0 = 5 *^0 (ХЛ>* — т) <*Р (®». =			5-^0 (**. * — *) — ^ —		* •
	о		о		(18.7)
В соответствии с § 17 мы представим Жо в виде
	Жо = Ж*Ф* (со*, г*),				(18.8)
где ж *	— один из операторов,
а	Ж* = (1, Н \ П*,Л1Пх)				(18.9)
	Т* = еП*,				(18.10)
причем	е — независимый числовой параметр. Уравнение (18.6) имеет вид
	/* = ;\Гф*ф\				(18.11)

Излагаемый ниже (§ 19) метод аппроксимаций [28], [35] для решения за­ дач вязко-упругости основан на аппроксимации Ф* некоторыми простейши­

ми операторами, в первую очередь — степенями со*, я*.		Ф* предста­
1* Обращение	степеней со*, я*. Пусть у* = 0, (е = 0) и
влено суммой
п2
ф * = 2	ф » (в>т.	(18.12)
71= —	П \

где фп — постоянные (или функции координат хк). Для обращения

(18.11)		необходимо знать обращение функций
	ч* = лг (ш*)" ф\						(18.13)
так	как	тогда
			П2				(18.14)
	1 =		2	ф пЧп-
		п=—п1
	Из (18.13) имеем рекуррентные формулы
	фп = СО* фп-1 =						(18.15)
	Поскольку ф0 легко определяется
					х		(18.16)
	фо =			,	Ф0(0 = 5N {I — т) Ар (т),
					о
то для положительных степеней						1 из (18.15) имеем
					х
	ф1 =		®*ф0, Ф1(0 = ^ © (* — Т) Йф0(Т),
					о
					X
	фп =		(0*Ф^-Ъ		фп(() = § (О(I — т) Лрп_! (т).		(18.17)
					о
Для отрицательных степеней п <						0 из (18.15) имеем
					х
	ф^Х^Я'фо,				ф-1 (<) = $ « ( < — ^Ф оСО .
					О		(18.18)
						г
	ф-п = Я*ф1„+1)				Ф_„ ( I ) =	5 Я ( I —Т) ^ф_п+1 (г).
						6
На	основании			(18.14)	находим
			х				(18.19)
	/		(	о	т) ^ф (т).
			о
где ядро		Л^0 (2) получается суммированием итерированных ядер
	^0 (0 =			Ф0ЛГ (() + Ф, [ЛГ (0) О) (I) 4-
				X			(18.20)
			4- § ю (* — т) <1М(т)] 4 - ... 4- Ф—1 [ЛГ (0) я (0 4-

4- ^ я (I— т) сЩ(т)] 4 - . . .

где N (I), со (0-, я (0 известны. Выписанные явно выражения в (18.20) относятся к сумме трех членов

_Ф_:	(18.21)
ТТ' ”Ь Фо 4~ Ф 1О*.
со'

При N = № = 1, пг — щ = 1, т. е. для уравнения

/* = ( - ^ " + Фо + ф 1®*)ф*.

(18.22)

имеем оригинал (18.19), причем

^0 (0 = Ф0 + ф 1« (0 + Ф-1* (*)•

(18.23)

2. Обращение рациональных функций со*. Пусть Ф* в (18.11) — ра­ циональная функция со* (при е = 0). Тогда она представима в виде суммы элементарных дробей и полинома. Полином по степеням уже рассмотрен выше, следовательно, остается рассмотреть уравнение (18.11) при

Ф*(со*)	2			Сп
		1 + Рп<о*		(1+Э„ «V
	Пз
	V			Эп + я*		Ь ..	(18.24)
где Рп — действительные			числа.
Достаточно рассмотреть только правильную дробь,							т. е. обратить
оператор
& = 1/(1 + Р«0 = я*/(Р + я*) = 1 -					р/(р	я*),	(18.25)
так как степени		,	обращаются так		же,	как со*п. Возьмем урав­
нение
Г =							(18*26)
которое, согласно (18.25), переписывается в виде
/* + рсо*/* =		ф*.					(18.27)

Переходя к оригиналам, получаем для / интегральное уравнение в нор­

мальном	виде	I
1	(0 =	'Ра(0 — $ <*>' (г — т) / 00			(18.28)
		о
где обозначены		числа
Я.0 = Р/(1+Рю(0)),			ю(0) =	ю0= ( 1 - 2 г ) /( 1 + г ) « 1 /4	(18.29)
и функция
$ а=					(18.30)
причем V — мгновенный коэффициент				Пуассона вещества; со" — произ­

водная со по аргументу.

Для нахождения резольвенты ядра со' (*) в уравнении (18.28) сущест­ вуют известные методы; согласно (18.4), (18.5)I

I

ограничена по модулю вследствие того, что ограничены и положительны не только все В и Г1, но и все П'(^) и (—В ').

Пусть построена резольвента Гр (2) ядра —Х0со' (0 уравнения (18.28),

т. е. его решение имеет вид
/ (0 =	Фх (0 + 5 ГЭ(* — т) Ф* СО	(18.32)
	О
причем Гр (0 есть производная от нормированной функции		Гр ($)
1 = 0,	Гр (0) = 1.	(18.33)
Тогда изображением (18.32), согласно (18.2) и (18.30), будет

* = Грф! = -у - г ; ф*.

Сравнивая с (18.26), находим изображение #р и #р (I)

*	1
1 +	[Зсо (0) ■Гр.
8» (0 =		1	Гр (0	= 1 +	1	1 4- ( Гр (о а	(18.34)
	1+рсо (0)				рсо (0)
где резольвента Гр (I) равна сумме итерированных ядер
Гр (0 =	2	АЭт (0>
т=1
	I						(18.35)
Кцт+1 =	5	(* “	Т)	(Т)		А0г (0 = — V 0' (О
	о

и со9 определена (18.31).

Другой метод построения #р (I) основан на важном свойстве функций со (I) и л ((): представимости их в виде сумм экспонент с действительными декрементами. В самом деле, ядра В , В19 П, Пх представимы такими сум­ мами (§ 3), значит согласно (18.4), (18.5) со и л; также представимы. Те­ перь из (18.34), (18.35) следует, что в таком же виде представима резоль­

вента Гр (г) и значит #р(0- Но все полюсы изображений таких функций со*, л*, #р, лежат на дей­

ствительной оси плоскости комплексной переменной р, так как для функ­

ции ехр (а1) при	действительном а изображение определяется правиль­
ной элементарной дробью
[ехр (<х*)Г =	= 1 + Т ^ Г ’	(18>36)

и значит все полюсы указанных функций действительны.

Для действительных р (т. е. для полюсов) функция #р (р) (18.25) мо­ нотонна, так как со* и л* монотонны. Значит #р (2) имеет единственный полюс рр в точке

оГ (Ра) = —1/Р-

(18.37)