книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Максимальное

значение

со* при

действительных

р

есть

максимальное

значение со (*), т. е. согласно (18.4) значение со (^) при со' ($) =

0.

Обозна­

чим

максимальное

и минимальное

значения положительной

функции

со (I) через сотах, сот т . В случае

Пх =

сопз1, например,

это будут

1 - 2 у

1

П ( и

«>гаах -

®0 -

1 +

V

/4*

Ятах

-

^

П (0)

’

® т т — ®0

д ^0)

Л т т =

1/к>о =

я (0),

(18.38)

где

Лщт есть

значение

К {1оо) в

конечный

момент

времени I = 1^, в

пределах которого рассматривается задача. Значит при

Р }> — 1/сотах и

Р

— 1 /сОщт

функция

ёНр)

не

имеет

полюса

р$,

т. е.

является це­

лой функцией р.

для функции

имеем

следующие сходящиеся

абсо­

Следовательно,

лютно и равномерно ряды при указываемых условиях:

1Р1

со,

=

Ро>* + (Р<о*)2 -

(Рсо*)3 4- • . •

*

Я*

/ Я*

\2

/

я*

\3

— • • •

(18.39;

®тШ

’

=

р

— ( “У

]

+ (

3 )

так

как при этом в первом случае

|рсо*|

1 , а во втором — |я*/Р|

1.

Если |Р| заключен вне указанного в (18.39) интервала, т. е.

1/&>ппп

[Р| ^ 1/^о ^

(18.40)

то уравнение

(18.37)

может иметь действительный корень р$,

и функция

.*$

— полюс в точке р =

р$, т. е. будет иметь вид

ё1 (р)

= С-г/р - р $ +

С0 +

Ог (со*

-

а*) + С2 (со*

-

со;)2

+ ...

0~1 =

1/Рсор ,

С0 =

— соэ /2р (сор)2.

(18.41)

Индекс ф» означает, что

производные со*'(/?), со*"(р)

и

функция

со*(р)

берутся при р =

р$

и , конечно,

являются действительными числами.

На основании

(18.39)

восстанавливается

оригинал

функции §$ (г):

г

(0 = 1 — Рсо +

р2 (О0со

^ со (I — т) йсо (т)

(18.42)

о

Таким образом,

поставленная в начале §

18 задача нахождения ори­

гинала функции /, представленной ее изображением (18.6), для рассмот­

ренных выше типов операторов		, т. е. когда они имеют вид
=	1Лп (сот + в п(я*)- +		Сп $;п]	(18.43)
и Ж* одно из основных ядер 1,		Е \ П*,	, Щ , решается обращениями
(18.15), (18.18),	(18.34), (18.39),	(18.42). Для этого		перепишем срп в виде
фп = оЛрп-1 = СО*пфо,
	I
фп (*) =	«>оФп-1 00 + 5Фп-1 (* — т) 0)' (т) йх.			(18.44)
	6

Обозначая оригиналы степеней со*п через соп (г)
	©1 =	©*,	©2 =		(со*)2, . . . , ©п = (© Т					(18.45)
и записывая обращение уравнения в виде
	'Ф* =	СОп/ =		(С0*)П/г
		х
	•Ф(г) =				—	с?/ (т)				(18.46)
		0
и аналогично для я, получаем оригиналы степеней
	СО						I
		=	®(0,\ * '		<02(0~ \ / = й>о(0+и •			— Т)Л»(Т), . . .
	1*- (\ 0/
							6о
							X
	(0 =		«о^п-г (0 +				$ ®п-1 (* — Т) <*«> (Т)г
							о
							X
	Ях (^) = Я (г),				Я2 (0 = я0я + ^ я			— Т) б/я (т),. . .
							о
							X
	Яп (0 =				(О +		\ Яп_х (* — т) йл (X).			(18.47)
Формулу для оригинала						$рп согласно		(18.39), (18.42)	записываем	в виде-
	§Эп (0 =		1 — Рп©1 +				Рп©2 — РпИ3 + • • • = 1 + 2		(—Р)т ®т-	(18.48)
Мы выделим две часто встречающиеся в задачах функции
Вч* =	«Го (й	при		р -	1/2)		и & (& при	р = 2):
	$7г (0 =			(0 =		1 “	© (0/2 + •. .			(18.49)
	§2 (0	= 1 — 2со +				4	со0со -|- § со (2 — т)б/со (т). .
Оператор ЖЛ вида|
	Ж0 =	Ж	2	М псоп -{- 5^яп +				Эпг		(18.50-)
имеет	оригинал
	о ( 0 — 2			^ $ Л'* (* — т)й©п(т) Ь Вп$Ж (г — т)йя„(т) ч-
		+	Сп \л г ({ — т)<1§рп (т)							(18.51)

и решение исходного уравнения (18.1) имеет вид (18.2). Подобное же ре­ шение задачи при. у* Ф 0 получается аналогичным путем, поскольку возможно разложение Жо по степеням у*, оригинал которого известен заранее и равен еП (г).

§19. Точные решения задач и метод аппроксимаций

Все трудности построения точных решений рассматриваемых задач линей­ ной теории сводятся только к обращениям решений в изображениях, рассмотренных в § 17, т. е. переходам к рригиналам.в (17.33), (17.34) с использованием при необходимости (17.32), (17.37). Краевых задач для дифференциальных уравнений с производными по координатам тела не возникает, так как предполагается известным решение соответствующих задач теории упругости. Координаты точек тела, его размеры, области приложения нагрузок, предполагаемые постоянными во времени, явля­ ются параметрами, зависимость от которых в изображениях остается точно такой же, как в задачах теории упругости.

Поэтому можно взять любую точку тела (практически интересны только некоторые расчетные точки) и рассмотреть в ней величину V типа пере­ мещения и величину а? типа напряжения, для которых имеем выраже­ ния, представляющие решение линейных задач теории упругости или строительной механики

V = Пу +		Ру + &ТуФ»
Я -	2С17з + Р 8 + ЗаК7в<К		(19.1)
Здесь [/у,	С/з — однородные линейные функции или функционалы по ко­

ординатам заданных граничными условиями величин типа перемещения (т. е. размерность которых не содержит силу); Ру, Р8 — аналогичные функции заданных величин типа сил; Ту, Т8 — не зависят от заданных сил и перемещений. Все эти шесть типов функций зависят от координат, размеров и, что теперь для нас самое главное,— только от коэффициента Пуассона Vи от параметра у = Еп120 (в случае контакта тела с внешним упругим телом), но не от С и К, которые только явно указанным образом входят в (19.1) и другие аналогичные формулы в § 17.

Вопрос о зависимости решений задач теории упругости от упругих констант полностью ясен в смысле зависимости от модулей С и К в от­ дельности, что и выражено в (19.1), но в общем случае еще не решен в

отношении зависимости от коэффициента Пуассона.			задаче
Еще в работе	[29] установлена независимость Р8 от V в плоской
при заданных на	всей границе усилиях	= ©§ = 1/у — 0у =	0) для

односвязных областей, а также для многосвязных, если на каждом кон­ туре главный вектор и главный момент внешних сил равны нулю. Так, например, если Л" — одно из напряжений; V — одно из перемещений, то Р8 не зависят от V, а

Рг = Р у ----у р т Ру,		(19.2)
где Ру,	Ру не зависят от V. Переходя в (19.1) к изображениям решений
вязко-упругих задач, т. е., заменяя		1/2С —> П*, 3*у/(1 + V). —> 1 — со%
ЗП*со* =	Пх, получим для таких задач
	= Р'3, V* - П* [Ру - (1 -	<0*)Рг1 = ГГ (Ру — Ру) + 1 и; IV .
		(19.3),

Более полные исследования зависимости решений от коэффициента Пуас­ сона в плоских задачах даны в [30, 31], причем в работе [31] рассматри­ ваются контактные граничные условия. Пользуясь результатами § 18,,

находим точное решение таких плоских задач с помощью ядер П и ^

8 = Р8, Г = $Г1(*-т)[4Ру(т)-<Н >у(т)] +	^ п 1^ ^ х ) а р 'у ( х ) . (19.4)
о	о

Такой же результат получится во всех задачах с заданными на по­ верхностях тел силами, если напряжения не зависят от коэффициента Пуассона; итак, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Напряжения упругого и термовязко-упругого тел совпада­ ют, перемещения получаются заменой нагрузок операторами ползучести (19.4). Доказательство очевидно из (17.33), (17.34), (17.32), (17.37).

Теорема 2. Если кривые сдвиговой и объемной ползучести данного те­ ла подобны, то решение задачи термовязко-упругости при заданных лю­ бых массовых силах и любых контактных граничных условиях 1-го и 2-го рода (§ 17) получается из решения задачи теории упругости заменой нагрузок и внешних заданных перемещений на соответствующие опера­ торы ползучести и релаксации. Если контактирующее тело вязко-упру­ го и его кривые сдвиговой и объемной ползучести подобны кривой пол­ зучести данного тела, теорема также верна.

По условию теоремы Пг (I) аП (2), следовательно, Пх = 1/йх =

— аТГ = а/1Т, т. е. кривые релаксации также подобны. Кг (I) — К (г)/а,

но /ГПх = Зсо* =-= а, следовательно, со* =со0 = а!3 = (1 —- 2*у)/(1 + V) — постоянна и г — мгновенный коэффициент Пуассона тела; в случае

контакта с другим телом по условию Еп = агК и, следовательно, Е*п =

==Ох/Г,т. е. у* = П*ЕП = ах = у постоянно и равно отношению мгновен­ ного Еп к К (0) = 20. Таким образом, в уравнениях (19.1), имеющих вид в изображениях

V* =	11у + П*Ру +	а Ту Г ,
Я* =	В*<7*8 + Р*8 +	ЗаВ[Т*8	(19.5)

функции [Г, Р* содержат, причем линейно, только изображения нагру­ зок и заданных перемещений, а коэффициент Пуассона V и у в них, как и в постоянны (т. е. Т* = Г). Следовательно, оригиналами (19.5)

6УДУТ

I
V — IIу + (хТу'д' + ^ П {I — т) с1Ру (т),
о	I
I
8 = Р8 + \ Н { 1 - х)Ш 8 (т) + За Тв	— т) (т).	(19.6)
О	о

Понятно, что при переменных во времени нагрузках и задаваемых пере­ мещениях Р, С/, д будут функциями времени и в (19.6) под интегралами сто­ ят их дифференциалы по времени в момент т. Теорема доказана: «внеш­ ние нагрузки» Цу, Р$, не содержащие множителями упругих констант С, К в (19.1), сохраняются в (19.6), а содержащие множителями модули 1/20,

.20 и К, заменились операторами с ядрами П, К и Дг.

Приведенные, теоремы и формулы (19.4), (19.6) дают простые точные решения большого числа практических задач. В примерах нет особой необходимости, так как монографии, учебники, справочники содержат

'много формул для максимальных напряжений, моментов, перерезываю­ щих сил, перемещений, деформаций, кривизн, углов поворотов, которые легко переписываются в виде (19.1), и, значит, для вязко-упругих тел в виде (19.6). Если нагрузки (Р8, Ру) прикладываются мгновенно и ос­

таются затем постоянными и перемещения ({/у, Из) и нагрев		('& = Т —
— Т0) — также, то (19.6) переписывается в виде
V =	[7у + а Ту# + П (1)Ру,
3 =	Р8 + ЗаТЕЯ1 (*)«■ + Л (0% ,	(19.7)

т. е. в (19.1) просто происходит замена модулей на ядра П, Я, Яг.

Теорема 3. Общее решение задачи термовязко-упругости при произ­ вольных допустимых граничных условиях, налагаемых на перемещения на границе, включая постоянные 1-го рода (и 2-го рода, если контакти­

рующее тело вязко-упруго и Еп = сгВ*), для тел, являющихся упруго несжимаемыми (К = оо), имеет вид

I

V = Г/у + аТ°у® + ^ П (« — х) ЛРу (т),

О

I		I
5 = Р% + 1я(г-т)<Ш%(х) + аТ § $Да( « - т)М (т),				(19.8)
О		о
где Vу, Ту, Ру, Р%,	Из получаются	как предел	соответствующих	вели­
чин в (19.1) при V	х/2 (о)0->0),	а
		)-■/.•		<19-9)
Существование последнего предела		следует из	того, что в § 17 через Т$

обозначается фго)*, получающаяся непосредственно при решении задачи. Допустимые условия на перемещение означают, что общее увеличение объема тела должно равняться свободному температурному его расшире­ нию. Тогда (19.8) получаются в предположениях предыдущей теоремы, если в (19.6) заменить Яг (2) = К (2)/За)0 и перейти к пределу оо0 —> 0.

Однако в общем случае и во многих практически важных задачах ус­ ловия приведенных теорем не выполняются. В полимерах, например, ча­ сто совсем отсутствует объемная ползучесть, и потому Ях (I) — 1/П^ (2) — = К есть постоянный модуль объемного сжатия; следовательно, оо* — (1 —

— 2V*)/(1 + V*) = /Г/ЗК есть оператор, а со {I) — с точностью до множителя 1/ЗК — ядро сдвиговой релаксации (18.4).

Если контактирующее тело (в случае контактного граничного усло­ вия 2-го рода) также упруго, то у* = Еп11*, т. е. у (г)— с точностью до множителя есть ядро сдвиговой ползучести (18.5). Следовательно,

ш(*)=	п (*)’	г =р*и (*) = ж - я (*).	(0я - зки (О,
			(19.10)

т. е. не выполнено условие второй теоремы, если только нельзя вообще пренебречь упругим изменением объема и считать Еп равным нулю.

В общем случае решения задач термовязко-упругости рассматривае­ мого типа получаются методом аппроксимаций: решения в изображениях

.(19.5) получаются из решений задач упругости (19.1) заменой 1/2О —> Я*,

2С -> К*, К —> V = (1 — со*)/(2 + со*) и входящих в них линейновнешних сил и перемещений такими же величинами со звездочками. Ут­

верждается, что функции [/, Р, 0 ,			входящие	в (19.1), представимы (точ­
но или в качестве		аппроксимации)	многочленами или			рядами по степе­
ням со0 и у, т. е. имеют следующий			заданный	вид:
^ к	— 2	+ В п	+ 1 +	3((^пу)СОо )		’	(19.11)
где \УК — (11к , Р к , Т к ) — одна из указанных					в этих	скобках	букв, а
индекс «К »	(V, 8). При этомРп(Кту) ф 0 только				при у =^= 0 (контакт 2-га
рода); коэффициенты А П(к ЮуВ-щкуп, В щ к ю — известные						линейные функ­

ции (функционалы по координатам) от внешних сил для (К]У) = (УР)Г (8Р), от заданных перемещений и температуры '0' для (К\У) = (VI7), (817) и не зависят от внешних сил, перемещений и температуры 'О* для (К\У) -- (УТ), (8Т). Решение задачи термовязко-упругости в изобра­ жениях (19.5) определяется следующими значениями входящих в нега

функций \У*К = ((/*, Рк, тк ):

где	п(хи7)(°п +	к п + СП(к\у) &п(кю) г	(19.12)
со; (ю т,	я ; = (©*)-" =	( л т ,
*	1		(19.13)
Ъ%(КИ0=	1 + рО Т )со* ,

а коэффициенты А П(к\у)1- ' получаются из А П(кю (19.11) простой заменой внешних сил и перемещений — их изображениями (т. е. простым при­ писыванием звездочек внешним силам и заданным на границе пере­ мещениям). После этого изображение решений задач вязко-упругости

(19.5) составляется из				шести	слагаемых типа			где ТУ* =	(П*, Е*г
# 1). Оригиналы		выражений ЛТ*\УК теперь					находятся	методами, указан­
ными в § 18 с помощью функций со (I), я (I),							$$ (2). Для последних слагае­
мых в (19.5), пропорциональных?7^, например, коэффициенты									4 , В, С в
изображениях и в оригиналах одинаковы
А п(кт)=		АщКт),		Вп(кт) = ВП(Кт),
СП(кт) = СП(КТ)ч				К = (Р, а^).					(19.14)
Обозначим входящие в правые части (19.5) слагаемые
V* = У у		+ У р +		Ра,					(19.15)
где		+	Яр +
Ру =	и*у,		Р р =	П'Ру,	VI = а Т*у#\
8*у =	Л		8р = Р'8,		81 = ЗаПтгТ*8Ъ\				(19.16)
Решение задач вязко-упругости						имеет вид
У = Уу + УР +				Р*, .V -		8 у + 8 Р + 8*,			(19.17)

и нам остается найти входящие здесь оригиналы функций (19.16). Д ля

	IУк	= (уу,	8 Р) находим		оригиналы
					X
		(Уу, *5’р) =		У?к = 2 К 03*- (* “ т) ^п(*ио (*) +
					1"«Л
				X	0			х
			+	^ П	— Т) <ЛВп(КЮ (т ) +			^§П(КЮ (I — т) <1Сп(КЮ (Т)*
				о				о	(19.18)
	Д ля	остальных четырех вводим дополнительные обозначения
		х					X
		^ ГТ(I — х) в.АП}(ур) (т) =				АП[уР),	^ II	— х) (1Вп{у Р) (т) =	Вп^уР),
		о					о		(19.19)
		X					х
		^ П (* — т) ЗСП(ур) (т) =				Сп(уР);	\Л(1 — х) йАп{зи) (т) =		А п(ЗП),
		о					о
		X					X
		\ в	(I — х)д.ВП(ЗХ]){х)= #п(8пь				^/?(2 — т) ^СП(зс7) (х) = СП(8С7);
		о					о
		X

^ В г(? — т) йО (т) = 'З’(^)

о

и находим в соответствии с (19.16) и (19.12)

		X	X
Ур = 2		[^ЮЛ(* — т)йЯ„(ур)(т) + ^яп(* —т) Й-®«(^Р)('Г) +
	х	о	о
+	^§П(УР) (I ” ■Т) ЗСп(УР) (т) "] ,
	о	X	X
$ у = 2		[5 Юл ^ Т)	(т) + § л п {I — т) (1Вп{3и) (X) -I-
	X	0	о
	^^п(8Г7)		^П(ЗП) (Т)1 »
	О	X	X
У& =	а 2	[л п (ут)	— т) ^'0 (т) + ^п(ут) ^ яп (^ —*т) ^	(^) +
		О	о
		X
+	СП(УТ)^8П(УТ)(* — т)^ 1Э'( т)]1			(19.20)
		о
		*	X
8& =	За ^ ^п (зт) ^		(^ — тО ^ (т^) "Ь ^п(зт)^ (^ — т) ^	(т) ~Ь

+ С п (8 Т ) ^ п (8 Т ) (* — Т ) Й О ( Т ) ] .

О

Таким образом, задача решена с помощью функции со (I), л (I) и § 5 (^ч

Возможность представления изображения решения в виде (19.5), (19.12) вытекает из ограниченности со* при преобразованиях Лапласа с действительным параметром р , так как при этом, очевидно,

0 < Фтт ^ Ю ^ ^тах?

(19.21)

где пределы определены (18.38).

При у — 0, т. е. в основных задачах и контактных с граничными усло­ виями 1-го рода в (19.12) все Вп будут равны нулю, а Сп можно положить равными нулю согласно (18.39) при условии | Рсо01<С 1* Но последнее нецелесообразно, если представление §$ (I) линейной функцией (о (I), т. е. двумя первыми слагаемыми в (18.42), является недостаточно точным, так как функция (I) предполагается известной [35].

§ 20. Сличай рациональных зависимостей решения (19.1) от коэффициента Пуассона

В основных задачах теории упругости решения являются рациональ­ ными функциями коэффициента Пуассона [32], причем встречаются сле­ дующие комбинации:

		1 — соо			1 — 2V			1		п	2
		2 +	(Оо	’	^ ~ 1 + V ’	Л'° ~~ СОо			’	^ 1/2 ~ 2 + 0)0 *
2ц — 2С = ЗКсо0,					Е = 9К	=	9К (1 -		ф	,
^ = К			- А	|А=К (1-< в0),		^ =	4 - (1-Юо).				(20.1>
- г -=			-	4>,	1 - =	2 Т ^ - =		3(!	- ф	,
1	_	1	(2л0 + 1),		1 — У1*_	1	1	1 +	2(0о	Лр	/_4
Е	~	9К			Е	ЗК.	соо	2 -|- соо		2К	\3

В абсолютном большинстве других задач [33] (включая задачи с кон­ тактными граничными условиями [34]) коэффициенты IV = (С/, Р, 0) в (19.1) также являются рациональными функциями коэффициента Пуас­ сона, и сами решения (19.1) при у = 0 (иногда и при у =/= 0) могут быть записаны или аппроксимированы формулами

V = у ° + ы°у 1+ "о7 -, + 2 т + т & ^ 1

(20.2)

5 =5° + +Яо‘5-1+ 2 Т+р”8СОо’

где ©о = (1 — 2у)/(1 + V), я 0 = 1/щ, Рпу, Рп§ — числа, а все коэффициен­ ты V и ^ являются линейными функциями внешних сил, заданных пере­ мещений и температуры '0'. Тогда решение задач вязко-упругости сразу записывается в виде сверток

		I		I
Ш (*) =	+	^(0(* - т)	(т) +	(* — т) <ИУ.Х(т) +
	л	о		о
+ 2	(	* —	(т),
	о

где IV = (V, *5). Если все внешние заданные параметры (нагрузки, пе­ ремещения, температура) при I = 0 прикладываются мгновенно и затем остаются постоянными во времени, то из (20.3) получаем

ТУ (*) = И'о + СО(О + Я ({) I V (0 (2 0 -4 ) ■

Для тел, не обладающих объемной релаксацией, т. е. при Е 1 = 1/Пх =

	= К = сопз1, из (18.4), (18.5) имеем
	(О(г) = Н (0/ЗЛГ,				я (0 =	3XII (0.	(20.5)-
	Функция ^	(г), являющаяся оригиналом оператора
	_	1	_	ЗК	_	ЗКП*	(20.6)
	—	1 + р ш *	~	ЗК +	рЛ* — (З + ЗКГР ’

либо раз и навсегда построена для данного материала в виде серии гра­ фиков на основании (18.42) или (18.34), либо найдена экспериментально [35, 36]. В последнем случае следует произвести испытания на релакса­ цию последовательно соединенного образца материала и идеальной пру­

жины или параллельного					их соединения на ползучесть (рис. 17). Пусть
в первом случае (а) длина пружины						12, ее жесткость /с, сила			=	к12г2;
образец	тела		длины		сечения Р с		характеристиками К		(2),	П {I).
Перемещение конца
и	=	1^1		^2^2 =	^ !к					(20.7)-
моя^ет быть			задано произвольно.			При	простом	растяжении образца и
напряжении			аг =	(?1Р и	о = с^/З,	0 =	о1К =	ах/ЗК его удлинение
находится из			уравнения
				I
8Х-		4 - 0 =		^ П (I -	т) (ааг -	4 - ^ .				(20.8),
				о
Внося гг	в	(20.7),		находим
				I
	=			(*-т)й<?( т),
				о
			ЭР К к и		6 К ^ 1					(20.9)-
'	~ 9К			’	Л — ЭК/' + Их
Изображение (20.9) имеет вид 0* =						/* —		отсюда
е*=<?Г/*,				1-Д д Г -						(20.10).
Решение (20.9) относительно () теперь имеет вид
		I
<2 = ^ 0 } Ц~х)<1/(х).										(20.11)
		о
	(<)		0о(0 _ ЭЯГ/Ч-Ых Л							(20.12).
			/о		Э/’АГ&ио	(1)

ш / т / т

Ри с . 17.

Экспериментальное определение ядер ед(*) для тел, не обладающих объемной релаксацией

Р и с . 18.

Экспериментальное определение ядер (I) при (5 < у 2

т. е., измеряя релаксационную силу (?0 (*)» строим функцию С (I) для нескольких пружин к различной жесткости. Но для О* имеем

г *_	зк	_ ,	а	зкп*	,	з/ш*
	зк + зкш*			зк + гхкп*	~ 1	зк/к + зкт •
						(20.13)

Сравнивая (20.13) с (20.6) и подбирая параметр К и жесткость к из усло­ вия

%= ЗДГ/р,						(20.14)
получаем изображение и оригинал
Й =	1 -	^3 ( 0 = 1 -	(0,			(20.15)
т. е. задача	решена, по данному р функция			(I) построена по измерению
релаксации	силы (?0. Условие (20.14) выбора жесткости пружины, соот­
ветствующей данному р, на основании (20.9) перепишем в виде
к11 = -ЩГ=Т’		Р > х/2,				(20.16)
что пригодно для р >		0,5. При р —> 0,5, к1г --»• оо,			X —»■ 6ЛГ и из	(20.8),
«(20. 10)
(') =		= ж ! г = тяг	<<>,	I	= « " '•	<20-17>

<где Дг .(2) — кривая релаксации образца при простом растяжении, кото­ рую в практике чаще всего и находят; действительно, уравнение (20.11)

имеет вид

I

с= ^ Нг (I — т)с?е.

о

Таким образом, для оператора

^ *	1	2 _ 6К	/оп а о\
	Т + а ? ! ?	~Т+о/ — '6КГ+Л1'	(2У.18)

оригинал