книги / Основы математической теории термовязкоупругости

Если нам известно обращение линейных операторов КХ1и К121 т. е. извест­

ны резольвентные операторы Гп и Г12, то соотношения (37.1) можно обра­ тить, воспользовавшись схемой (35.8), производя разбиение оператора'/? (8) на сумму двух операторов по формуле (35.14), причем за оператор С1х (<5)сле­ дует принять правую часть первого соотношения*(37.1), а за оператор (х2 (8) — правую часть второго соотношения (37.1). В результате получим обращение соотношений (37.1) в виде

со со р.

3 =	Гц.8 +	2 Гп1-е"+	2	2 ( г с - 2Р +	1) ГпР+1еп^
	П= 2		7 1 = 2	Р= 1
		СО V
I> о =	Г12Т>е +	22 2 рГ„ р+1еп-2			р	+	(37.4)
		71=2 р = 1

где наряду с обозначениями (37.2) приняты во внимание ранее введенные

0 = Зе, е = е1} (тх) е1} (т2).

(37.5)

Аналогично выражение (37.3) можно записать

=	Гцб/ +		Г12Т)е + Г2хв2/ + Г22[207^8 е1] +
+	^З1еЬ1 +		Г32 [2022?€ +	2Ве1] +1^зз [4&Ое] +
+	Г41е4/	+	Г42 [203/)€ +	302е/] + Г43 [40еЯе + еЧ)+	(37.6)
+	Гб1е5/	+	Гб2 [2041>€ +	403е/] +

+ Гбз [402^ е + 20е2/] + Гб4 [6еЮ,] +

+...................................................................................

Резольвентные ядра Гпт (^т1э . . хп) (т = 1, 2, . . [(/г + 3)/2]) нахо­ дятся после выполнения п приближений по изложенному выше методу либо по формуле (34.23)

Г21 — — ГцТ^гГцГп,
122 = —		12^*12= —Г12^22ГПГ12,
Г31 = — Гц^ зхГцГцГц + ЗГц^хГц (Гхх^хГххГи)»
Г32=	—	+ Гхх^гхГхх (Т'и^ггГхгГхг) +
+	2Гхх-^22Гх2 (Гхг^ггГххГ1г) — ^г^ЗгГхх! цГх2 “Ь
+	Гх2-^22Гх2 (Гхх^гхГххГхх) + 2Гх2А’22Г11(Гх2^22ГцГх2),		(37.7)
Г33 =	— Гхг-^ззГхгГхгГхг + Г12Х 22Гх2 (^12^ 22^12^12)1

Если в соотношениях (37.1) положить V = N — 1, то получим соотно­ шения квазилинейной теории ползучести, АГ-кратной по девиаторам. Как следует из предыдущего, обратные соотношения с точностью до величин высшего порядка малости по сравнению с || Е |)^ можно записать в виде (37.4), причем в последних V ^ N. Таким образом, соотношения квазили­ нейной теории релаксации, АГ-кратной по девиаторам, являются взаимно обратными соотношениями квазилинейной теории ползучести, АГ-кратной по девиаторам (37.1), и поэтому (37.1) и (37.4) вместе являются соотноше­ ниями квазилинейной теории вязко-упругости, А^-кратной по девиаторам.

В частности, положив V = [л = 1 в соотношениях (37.1) и (37.4), получим квазилинейную теорию вязко-упругости, квадратичную по девиаторам [71]. Соотношения этой теории получаются из (37.3) и (37.6), если в по­ следних сократить только два первых столбца слагаемых. Следовательно, из (37.1) или (37.3) имеем

			г		г	г
е (*) =5	0 {г) =		^ К г1 (* — т)о (х) Ах +		^ А	^ а (т)^ <з (х) Ах +
	6I	I	а(х))з(х1, х 2)ах1ах2,
+ 2	$$В	(				(37.8)
*	О0	т—О
			1 1 1
еН(*) — $ ^12 (* — Т) 8ц (т) йх + §§ С				(	а (х)) 8ц (тх) а (т2) йхгйт2,
О			оо	Т=0

где нелинейные функционалы А, В и С имеют следующий вид:

		*		оо	I
	^		3 (^))	2	^ **’ $		(^	Ть ^		I — <») б (**) • • •
		*г=0		П=2 О		О
			. . .	<з (тп) йх2.. . йтп,
		*		оо	I	г
	в	(	«(*))=	2 $ . . . $ * „ ( * - * * , * - т „ .						^ *п ) ® (*з) О {Т'Л)'-*
		Т = 0		71=2 О		О
			. . .	0	(тп) йх3йт4 . . . йтп,
		г						г
					г		дБ	( с ( т ) )
	С	(	о(т)) =	Б	(о(т)) +		о -	=0	'■ •	(37.9)
								дз
		Т = 0			т=о

Соотношения, обратные к (37.8), запишутся точно в таком же виде

*	*	г
0 (0 = $Гц {I — т)е (т) Ах +	^1/ ( 6(*))е (т) йт +
о г г	о	т=0

+2 $ $М (0 (т)) е 0*1 . *г) ЙТ1 йх2,

оо

с				1*		(х)) ег}(т^) 0 (т2)йхг йх2,
8« (*) = 5г12(* — т)ен (т) йх +				^^N (0
0				0	0
где нелинейные функционалы Ь, М и N находятся из выражений
	оо	I	I
I, (0(т)) =	2	$ • • • $ ГП1(I — х1у г — т2,,					. . I — тп) 8(т2) ...
	п=20		о
... 8(тп) йх2. . . йхп,
	оо	г	г
М (Ъ(т)) =	2	§• ..$ Г П2( г - т х,					I — тп)0(т,)0(т«). . .
	71=2 О		О
...	0 (тп) йхайт4 . .. йхп,				].		(37.10)
^(0(т)) =[М (0 (т)) +0

Каждое нелинейно? ядро Гл1, Гп2 (п = 2, 3, . . . оо), входящее в вы­ ражение функционалов Ь, М, находится в квадратурах по заданным нели­ нейным ядрам К п1, К п2 (п — 2, 3, . . ., оо), если известны линейные ядра

К 1г и К 12:

"1” ^12^22^ 12 (111^ 21^ 11^ 1)	2Гп ./Г22Г12 (Г12А22Гп Г12)	(37.11)
Заметим, что каждое ядро Гп1 (п =	2, 3, . . ., оо) определяется по извест­
ным ядрам К т1 (т = 2, 3, . . ., п),	в то время как в обращении ядер

Гп2 (п = 2, 3, . . ., оо) участвуют как ядра К т1, так и ядра К т2 (т = 2, 3, . . п).

Рассмотрим соотношения [3] кубичной теории вязко-упругости (31.12), (3.13)

	(
ец (0 = $ К (I — т)		(х) йх +
	оО
* г *
0	0 0	(37.12)
или в операторной записи
	= А7?с + К 3зВ0.	(37.12)'

Для обращения соотношений (37.12) воспользуемся тем, что оператор 0(8), представляющий собой правую часть выражения (37.12), является оператором третьего порядка. Поэтому справедливо доказанное выше ут­ верждение, что для получения обратного оператора Р (К) достаточно про­ делать три шага изложенного выше метода последовательных приближе­ ний. Применяя схему последовательных приближений (35.8), получаем

=	<? (0, />,) = Г1>е,			(37.13)
# (02) =	V	о г) =	Г2>, - Т К а <ГД,. Г2>.> 2),.
Так как мы	должны	ограничиться только членами порядка малости
О (б3), если сами тензоры е^,				считать порядком малости О (б), то третье

приближение даст нам только члены высшего порядка малости по срав­ нению с О (б3) из-за отсутствия в (37.13) членов порядка малости О (б2). Итак, обращение получено. Его можно записать в виде

Ва = ТВ, + Т3еВ,			(37.14)
или в полной записи
(0 = 5 Г (* — х) ец (т) йт +
о		г
г г
0	0	0	(37.14)'

где учтена симметрия ядра Г3 по всем трем своим аргументам и использова­ но обозначение (37.5). Ядро Г3, как видно из записи вторых слагаемых в (37.13) и (37.14), выражается в виде

I г г

555 — т1-1 — г2, * — *з)Чг (Т!)ек1(тг2) еи (т3) Ахгйх3йх3=

0 0 0

Iт

=— ^Т{1 — х)йх^К3{х — хх,х — хг,х — х3)йххйх3д.х3 х

оо

	Т 1	т 2			т 3
х	$ Г ( т , - Ы е « (Ь )й |15		Г (т2- | 2)		Г (т3—| 3)	(13Щ 3.
	0	0			0	(37.15)
Полагая в (37.15) ец (I) =		б^* б (I — д) и произведя			некоторые	вычисле­
ния, получим
гз(* — хи I — т2,1— т3) =			г	г г	г
			— 5 Г(^ — т)с?т^ ^ К3{х — 1Ь т —
	* - 5з) Г (^ -		0	Т 1 Т 2 Т 3
-		хг) 1\ ($2 - т2) 1\ (%3 -		т3)		(37.16)

Заметим также, что если ядра К, К 3 за счет процессов старения, поли­ меризации или др. не будут ядрами разностного типа, то уравнения квад­

ратичной теории	вязко-упругости		будут содержать ядра неразностного
типа:	Г(*' т ) еИ(т) й* +	5г г5г5Гз(*.1:ь тг>тз) е (Ть та) е{; (х8) йххЛх3йх3,
8И(0 = 5г
0		0	0	0
*	I г г			(37.17)
еН (*) = 5 ^ (* ’Т ) ^ ( Т) ЙТ+		555 ^ 3 (*. т 1. * 2 Д з ) 5 ( т г, Т2) 5 {,( Т 3 )Й Т 1С?Т2ЙТз ,
0	0	0	0

причем нелинейные ядра релаксации Г3 выражаются через ядра ползуче­ сти следующим образом:

гт т т

г »(*. т1т2, т3) = — $Г(*, т)<7т$ ^ ^ К 3(х, | ь | 2> | 3) Г (§!, тх) X

0	Т 1 Т 2 Т 3
X Г(52, т2)Г(53, т3) ^ 1 « 3.	(37.18)

Приведем другой метод для получения обратных соотношений в кубич­ ной теории вязко-упругости [3]. Соотношения (37.12)'и (37.14) выражают свойство взаимности в квадратичной теории вязко-упругости: каждое из этих уравнений (*/ = И , 12, 13, 22, 23, 33) является решением системы взаимных нелинейных интегральных уравнений. Свойства «резольвенты» ядра К 3, т. е. ядра Г3, должны быть аналогичны свойствам К 3, в частности, должно соблюдаться свойство симметрии для Г3 по всем аргументам. Необ­ ходимо подчеркнуть важность взаимности соотношений (37.12) и (37.14); ядра К , Г, К 3, Г3 должны быть связаны какими-то интегральными урав­ нениями (не зависящими от е, з) и обладать соответствующими свойствами, вытекающими.из их взаимности.

Интегральное соотношение между инвариантами е (т1? т2), 5 (т1? т2) по­ лучим так. Обозначим

	г	г
	Ф{*, хг) =	к 3 (г, тъ т2, т3) 5(тх, т2) йхгйх2,
	ОО		(37.19)
	г	г

/ (*, *з) = $$ г з(*> т1-т2- тз)е (Тх, т2) йххйх2. Оо

Напряжения 8тп и деформации етп являются малыми порядка б: 8тп , етп ~ О (б). Тогда 5, е ~ О (б2), ср, / ~ О (б2). Основные соотношения (37.17) принимают вид

ец (*) =	$ [К (Ь, х) +	ф (I, т)] 5у (т) йх,
	О	(37.20)
	I
8а (() =	$ [Г (*, х) +	/ (*, т)] ец (т) йх.
	О

Перемножив $н (х) и 8^(у) и затем просуммировав по I] (х, у — различные моменты времени), получим с ошибкой порядка б6,искомое интегральное соотношение между 8 же

8(х,у) = зй(х,у) +$'(х,у),		(37.21)
где	зс у
«®(*,») =	$$ г (х, %) Г (у, х\)е ($, Г])й^йг\,
	о о
	Xу
«'(я. у) =	$$ [г (*>!)/(у> л) +	Г{у, л)/(я. Ъ)]е(Ъ, Л)^Л-
	о о

Решением нелинейного интегрального уравнения (37.21) относительно

е, очевидно, является выражение, получаемое		перемножением значений
е^ (37.20) в моменты времени	у
е(х, У) = е°(х, у) + е' (х, у),		(37.22)
где
XУ

е° (х, у) = ^ К (х, |) К (у, л) 5(|, л) ^ Л .

о о

XУ

е' {х, у) = $ $ [К (х, I) ф (у, л) + К (у, л) ф(я, 1)1«(I, Л)<^Л>

Оо

причем, конечно, отброшены члены порядка б6. Для нахождения, в част­ ности, модуля напряжений (причем модулем девиатора напряжений мы называем интенсивность ои)

| в I = (8шп (*) *«,„ ( № = [5 (г, *)Г'* = аи (()

(37.23)

достаточно в (37.21) положить х = у — I; выражение модуля деформации

I в | = (етп (I) етп (*))* = (е (*, 1)Г‘ = еи (*)

(37.24)

получим из (37.22) при х = у = I.

Как видим, интенсивность напряжений ои (2) выражается не через ин­ тенсивность деформаций в предшествующие моменты времени т ^ I, а через билинейную форму етп (X) етп (т)) (X, ц < {).

Интегральное уравнение, связывающее второе ядро ползучести К3 со вторым ядром релаксации Г3, получим так: внося значение 5 (х , у) из (37.21) и (37.22) и используя (37.19), мы получим соотношение, содержащее К3 , Г3 и е (х , у), которое должно быть тождеством относительно е (х , у). Это тождество будет содержать члены порядка б6, образующие сумму

XV
е (х, у) = §§ К (х , |) К (у, г]) й|йт] ^ ^ Г (|, и) Г (г], и) йийи,					(37.25)
0	0	0	0
и члены порядка б4, образующие сумму
Xу
$ $ [К (X, X) Фо {у, Г])		к (у, Г]) Фо (X, I)] 5° (I, Г])		+
о о
X X
+ 5$ к (х, X) к (у, п) 5' (X, Г])д&ъ					(37.26)
о о
где $' (#, у), 5° (#, у) имеют выражения			(37.21) и
	X X
Фо (*, У) = \ \ к г (*, Ь % У)*° (Е. Л)					(37.27)
	о о

причем слагаемые порядка б6 отброшены. Требуя тождественного обраще­ ния в нуль (37.26) и (37.27), получим два интегральных уравнения для Г,

Г8, Кя.

Менее громоздкие уравнения таким же методом получим из (37.20) под­

становкой зи в выражение	Для слагаемых порядка б получим
I I
««(*) = $ $ # ( * ,т ) Г ( т ,|) ^ ( |) ^ т		(37.28)
о о

и для слагаемых порядка б3 (отбрасывая малые порядка б5) —

'	I т
	55 [К (*, т)/(т, X) + г (г, 1)ф, («, -с)] е^(Х) йтй|,	(37.29)
	о о

гдеф0 (х , у) имеет выражение (37.27), 5 (х , у) — (37.28), / (х, у) — (37.26).

Соотношения (37.28), (37.29) должны быть тождествами при любых независимых значениях функций е^ (х) и е (х, у). Поэтому, полагая

ец (х) = 8 (х — г), е (х, у) = 8 (х — р) 8 (у — д),

(37.30)

где использована 6-функция, получим (37.28) интегральное уравнение для К и Г

1к(х,Х)Г(Х,у)ОХ = 8 ( х ~ у ) ,	(37.31)
V

по существу совпадающее с известным интегральным уравнением (2.29) линейной теории вязко-упругости. Из (37.21), (37.27) и (37.30) найдем

	5° Ц, Т1) =	к (I — р) к (Т]		— д) Г (I, р) Г (ть д),	(37.32)
		X		х
	Фо (х, у) =	\к{1 — р)Т (5, р) ^ к (т] — д) Г (т], д) К 8 (х ,			т], у) йх\,
	х	о		о
где	Н (х) — ^6 (^)		б (х) =	АН (х)1(1х.
	—оо
. Из	(37.19)
	/ (х, у) — к (х — р) к ( х — д) Г3 (х, р, д, у).				(37.33)

Внося (37.32), (37.33) в (37.29), получим интегральное уравнение, свя­ зывающее ядро К 8 и резольвенту Г3

(
5 К (Ь, т) Г3 (т, р,	д, г) йх =	— Ф (I, р, д, г),	(37.34)
О
где	г	I
г
ф (*, Р, Я<г) = $ г (т>г) йт§ § г (5. Р)г (Л, Я) К 3(I, I, г], т			) (37.35)
г	рд

И Р, д, г < т .

Так как резольвента ядра К {I, т) есть Г (I, т), то решение уравнения (37.34) известно и дает выражение резольвенты в следующем виде:

X т т т

— Г3 Ц, Р, д, г) = §В (г, т) йх ^ ^ К ъ(т, |, -п, I) Г (I, р) X

О	V Я.т
X г (Г), д) Г (2, г) й&МЕ.		(37.36)

Вследствие симметрии всех соотношений можем написать и обратное соотношение, т. е. выражение К 3 через Г3 в виде (37.36), если все буквы Г заменить на К и буквы К заменить на Г

	X	т т т
— К 3(*, р, д,г)	= ~ ^ К	(I, т) йх §§ § Г3 (т, т], I) К р) х
X К (т|, д) К (С,	г) йЩй1.	(37.37)

§38. Квазилинейная теория вязко-упругости несжимаемой среды

Экспериментальные исследования, проводимые с различными материала­ ми для исследования их механических свойств, показывают, что у многих материалов объемные свойства не зависят от времени и изменяются в боль­ шинстве случаев по упругому закону. Только сравнительно продолжи­ тельные по времени опыты регистрируют релаксацию объемных свойств материалов [84]. Если в результате нагружения материал не изменяет своего объема или изменяет его незначительно, то такой материал назы­ вают несжимаемым. Иногда к понятию несжимаемости прибегают и в том

случае, когда имеют дело с достаточно сжимаемыми материалами, с тем, чтобы упростить решение поставленных задач. Особенно часто этой идеа­ лизацией пользуются при решении геометрически или физически нели­ нейных задач механики твердого деформируемого, тела. Таковы, например, задачи нелинейной теории упругих оболочек, многие задачи теории малых упруго-пластических деформаций и др. Для решения задач нелинейной теории вязко-упругости важно рассмотреть различные квазилинейные теории вязко-упругости для несжимаемых сред.

Воспользуемся результатами предыдущего параграфа. Так как для несжимаемых материалов в случае малости деформаций, имеем

е = у 0	=	=	0,	(38.1)
то операторная	связь между напряжениями и деформациями для произ­
вольной нелинейной среды
=		=	=	(38.2)
устанавливается с точностью				до некоторой скалярной функции, называе­
мой функцией давления
Р —				(38.3)

Эта функция определяется при решении задачи. Соотношения (38.2) в этом случае принимают вид

3 = Р ( П * ) +	р 1
или
П а = р {В €),	(38.4)

Уравнения равновесия для квазистатических задач в этом случае будут

Шу /)0 + дгайр = — рР

или
«У,; + РЛ = — Р^г-	(38.5)

Так как в случае несжимаемой среды левая часть первого уравнения (37.1) обращается в нуль, то должна обращаться в нуль и правая часть. Поэтому имеем

Кп1 (^9 ^1> ••• 9Гп) ==		(Т1=	1, 2, . . . , ОО ),		(38.6)
р+1 (*, Ть . . . , Тп)=	0,	(тг =	1,2,..., о о ; р = 0,1,..., |х=[п/2]).
Поэтому в девиаторных соотношениях			(37.1)	отличными от нуля будут
только следующие ядра:
&пр+1 (^1 Т'19 . . м т'д),		(п = 1, 2, . . .,		оо; р — у [х),	(38.7)
у = [(/г + 1)/2], р, =	[п/2],

т. е. для каждого п отлично от нуля только одно ядро, если п — нечетное, и ни одного, если п — четное. Тогда соотношения (37.3) для несжимае­ мых сред примут вид

Е = Т)г =Т^12*^а К Ъъ[4$7)с] 7^54 [6$2.О0] 4- 7^75 [8$37)с] 4~ • • •

(38.8)

или, опуская	второй индекс у ядер К пт (г, тх, . .	тп),
	со
В, =	2 К ^ тВо.	(38.9)
	771=0

Перейдем теперь к обращению соотношений (38.9). Для этого заметим, что последние являются частным случаем соотношений (37.1) при выпол­ нении условий (38.6). Поэтому, согласно предыдущему, соотношения, обратные к (38.9), можно записать в виде (37.4), в которых следует учесть условия (38.6). Для нахождения нелинейных ядер релаксации Гтп (^, тх, . . ., тп) (резольвентных по отношению к нелинейным ядрам ползучести К пт (*, х1У. . т„)) (п = 1, 2, . . оо; т = 1, 2, . . [(и + 1)/2]) воспользуемся соотношениями типа (37.7). Для сравнения воздействий, оказываемых различными интегральными операторами на некоторую проб­ ную, достаточно гладкую функцию ф (т), определенную в промежутке [0, *], введем понятие порядка оператора а. Пусть оператор будет порядка единицы, если его ядро представляет собой произведение б-функций вида

&п (г, х1У. . тп) = б (г — тх) б (г — т2). . . б {г — тп). (38.10)

Оператор К п будет иметь порядок а, если существует следующее соотно­ шение порядков:

г
\ К п {1, ть . . . , т ^ ф ^ ) . .. ф (т„)	. ..йхп~
о
5 А„ (I, хъ . . . , тп) ф (тх) .. . ф (т„) . . . йхп-		(38.11)
о

Тогда, если линейный оператор ползучести имеет порядок а, то, как сле­ дует из (2.29), резольвентный линейный оператор релаксации будет иметь

порядок 1/а. В частности, если оператор Кг имеет порядок, равный нулю,

то обратный оператор 1\ будет иметь порядок, равный бесконечности. Логично распространить это утверждение и на нелинейные операторы.

Другими словами, если некоторый оператор ползучести К п имеет порядок

а, то резольвентный по отношению к нему оператор релаксации Гп будет иметь порядок 1/а. Тогда, воспользовавшись общими соотношениями (34.23) или их частными случаями (35.24), (37.7), (37.11), можно выразить порядок нелинейных операторов через известный порядок линейных

операторов. Пусть, например, порядок оператора Кг есть а, тогда, как

нетрудно установить, порядок любого нелинейного оператора К п есть а 9, где д = (тг + 1)/2. Таким образом,

К г — а, Г х -1/а,

(38.12)

К п~ а(п+1>'2, Гп ~ а-(п+1>/2.

Так как в формулах обращения нелинейных операторов (37.7) для нахож­

дения любого	оператора ГП1 (п = 2, 3, . . .), кроме Ктг (т = 2, 3, . . ., п;
/ = 1 , 2 , . . . ,	[(гг + 3)/2]), требуется знание только оператора Гп , то,,

учитывая, что для несжимаемых сред операторы (38.6) имеют нулевой по­ рядок, а оператор Гп — порядка бесконечности, получаем из (37.7), что

операторы ГП1 (п = 2, 3. . .) имеют порядок а'"(п+1^/2, т. е. бесконечность. Поэтому первый столбец в соотношениях (37.6) будет неопределенным (бесконечность, умноженная на нуль).

Придавая величинам е и 0 порядок малости а при стремлении к нулю, получим, что выражение Гптеп имеет порядок малости ос^-й/2 при стрем­

лении к нулю, т.е. только выражение Г13е имеет нулевой порядок малости— является величиной конечной, а следовательно, при п^> 1 все выражения Гптеп обращаются в нуль.

Далее, операторы Гпт (п = 2, 4, . . т = тг/2 + 1) имеют порядок а (п+1у2-1? так как оператор Гп , имеющий порядока (а-^ 0), входит в формулу

обращения этих операторов в первой степени. Поэтому порядок всех таких операторов равен нулю.

Операторы Гпт (гг = 2, 3, 4, . . . ; т — 2, 3, ..., [(гг + 1)/2]) имеют порядки а9, д = 2т — (гг + 5)/2, т. е. изменяются от нуля до бесконечно­ сти. Однако, как видно из (37.6), эти операторы действуют на нулевые функции 0 и дают поэтому либо нули, либо неопределенности. Принимая для величин 0 порядок малости а при их стремлении к нулю, получаем, что выражения

Тпт [20п'2т+3^т-2/)е +	(П — 2ш + 3) ^-2ш^ет-1]
имеют порядок малости а ^ 1^2, т. е. равны нулю для всех гг 1.
Единственные операторы,	которые вычисляются независимо от Гп —

причем среди функций, на которые они действуют, нет функций 0 — это

операторы Тпт (гг = 3, 5, 7, . . .; ггг =	(гг + 1)/2). Поэтому соотношения
(38.9) обращаются в виде
со
7)о = 2 Г2т+10т -®е*	(38.13)
771=0

Резольвентные операторы Г2т+1, входящие и в эти соотношения, получают­ ся из выражений (37.7), если принять во внимание (38.6).

Соотношения (38.9) можно обратить, разумеется, и непосредственным применением метода последовательных приближений, рассмотренным в предыдущей главе. В этом случае оператор (?, определенный соотношением (35.6), будет скалярным оператором, причем в связи с отсутствием в (38.9) операторов четных степеней, номера шагов последовательных при­ ближений будут только нечетными. В этом случае для нахождения обратно­ го оператора и резольвентных нелинейных ядер удобно воспользоваться теоремой 3 параграфа 34, причем в соотношении (34.22) и (34.23) будут фигурировать только скалярные операторы, а индексы к, г, ггг, по которым производится суммирование, могут быть только нечетными. В результате имеем, например,

	Гз = - 1 у Щ \ Г 15	(38.14)
	г б = - Г .В Д Г , 1 ^ ^ ? ,+ З Г А ^ Г ^ В Д Г х Г !).

Рекуррентные соотношения для определения резольвентных операторов

Г2т+1 (ггг = 1, 2, . . .) получены в [851.

Для того чтобы получить Л^-кратную теорию вязко-упругости (где N — любое положительное нечетное число), следует в соотношениях (38.9) и (38.13) ограничиться первыми М слагаемыми

	м		м
•Ое —	2*	^-2т+18т^а\	7)0 = 2 [ 2т+хбт1)^у	(38.15)
где	771=0		771=0
				(38.16)
М =	(Я -	1)12.