книги / Основы математической теории термовязкоупругости

бесконечного интервала времени		если решение (23.23) устойчиво для
любого I	0.
Пусть система (23.20) с начальными условиями I = 0, С — С0 удовлет­
воряет условиям:

1. У-мерные		векторы Р (г, С) и Я (2, т, С) определены и непрерывны
для всех	т >	0 и	по вектору С, принадлежащему области В евкли­
дова пространства			и пусть в В имеют место условия (23.21);

2.Для каждого С из области В существует среднее значение # (С) (23.22);

3.Решение системы (23.23) | (г), удовлетворяющее начальному усло­

вию I = 0, | (0) = Со, определено для I ^ 0 и вместе с его р-окрестностью находится в области В\

4. Вектор-функция §(С) (23.22)	в области В ограничена и удовлетво­
ряет условию Липшица
II8 (Сг) - 8 (С2) II < *х3!! Сг -	С21|.	(23.24)
Условие 1 при некоторых предположениях		обеспечивает существова­

ние и единственность решения системы (23.20) при начальных условиях 2 = 0, С = С0. При выполнении условий 1—4 имеет место следующая

теорема близости решений систем (23.20) и (23.23): для любого ц >			0 и
Ь	0 существует такое е0, что при е < е0 на интервале 0 ^	I ^	Ьг~У
выполняется неравенство
	IIС{1) - 6(01 < Ч -	(23.25)

Для доказательства вычтем уравнение (23.23) из (23.20) и результат проинтегрируем от 0 до I: учитывая одинаковые начальные значения век­ торов С и 6, получим после простых преобразований

	^	г	т
=	(г, С(т))йт +	е$йтГ$#(т, в, С ($)) Аз - § (| (т))1 =
	О	О	^0
=	/ Н - / 2+ /,		(23.26)
где ^обозначены
г
1\ = е ^ [Я (*, С (т)) — Р (т, |		(т))^ Ах,

I.Т

/ 2 =	е $	о	[Я (т, 8, С ($)) — Н (х,з,Ь С (8))] Аз,	(23.27)
	0
I =	1		х
	е ^Ат IР (т^ (т)) — § (I (*)) +\Н{%, 8,1 (8)) * ] .
	о	и	О

Первые два интеграла (23.27) просто оцениваются по норме, согласно ус­ ловиям 1, 3

г

\\1г\\< е^\\С (х)-1(г)\\А х,

®	т	(23.28)
II /«||< ец,2 \ А х ^|С (8) — I (8) | Аз.
о	о
Для оценки интеграла I разделим интервал 0 <		I ^ Ь е~,/2 на п равных
частей и распространим интеграл I на весь этот интервал, считая, что
при х^> 1 ^ .Ь г~ 42	подынтегральная функция,	стоящая в квадратных

скобках, равна нулю. Обозначая
1{ =	к*0.				= 1Ь/п |/е,			(г =	1, 2, . .	/г),
получим
/ ' *		$		{ я ( т ,|( т ) ) - Я ( т ,^ )					+
	1=1	*Ь 1
	т
+	5 [ Я	(Т, 5, |			(5)) -	Я	(Т,	8, Ю ] *	+ § (Ь)	-	В № ( Т ) ) } * ,
	О										^
											(23.30)
/" =	п	8	^	г				т			т
	2			[Р (Т, Ь) -			* (50 + $ я (т, 5, 50				<*т.
	г=1							О
На основании условий 1, 4 имеем оценку:
		п	*{						т
||/ '|< е		2		^ ГнаеЛ/- —					^ (П— 8) йя + р,3еМ —^=1 йт =
		■ .		I		я Уе			*>		и V 8 ^
		» =1
	= е^		+	^	2 +	У щ 2мь*			.		(23.31)

Для оценки I "		заметим, что на основании условия 2 существует функция
а (I, |), для каждого | стремящаяся к нулю при ( -► оо, причем
I		т				(23.32)
Ш	^ ( Т. «) + 5 Я (т,8, |)<& — # (Ы ЙТ ||<*<*(*, I).
"о	*"	о
Обозначим
						(23.33)
<%(е, п) = зир ха			(~^= ,	, Рх (е, п) =	зир ха(-^= , \ г ) ,
		О	\ у 8	/	0 < т а /п \У 8	/
причем при е —> 0, а г —>- 0 (г =				1, . . . , » ) , Рх	0. Тогда
| / ' | <		УТ[«1 (8, П) + Р (8, П) + 2 2 04 (8, И)] .				(23.34)

Из (23,31), (23.34) следует, что всегда можно найти такие п И80 > е , при

которых на интервале 0 ^		I ^ Ьг~Ч* будет выполнено условие || /			|| < б,
где 6	0 (любое число). В результате из (23.26),			(23.28), (23.31),	(23.34)
имеем	I		г	т
	!! С - 1II< б + 8 ^ $ IIС (т) -		1 (т) 1Яг 4- е.у2 $ йт 5 || С (8) - I (8) !|йз.
	О		0	0	(23.35)
Это неравенство-для 2 {I) =		[| С — 5 || ^ 0,
	I	I	т

2< б + ецх § 2 (х) йх +	ец2 5	5 2 ^ ^8
о	о	о

имеет решение

2 < 6 ехр

+ ец2 ^ < б ехр (р* + у

Ь.

(23.37)

Отсюда следует, что, выбирая

б = шш (Т], р) ехр (— р,х у~г — у р21 | Ь,

получим 2 < ш1п (т], р), т. е. С (*) в силу 3 не выйдет из области В и 2 будет меньше г], т. е. теорема доказана. Эта теорема распространяется и на бесконечный интервал времени I ;> 0, если исходная система (23.20) не имеет особенных точек и решение системы (23.23) асимптотически устой­ чиво.

Изложенный метод доказательства и оценок накладывает слабые огра­ ничения на ядро Н уравнения (23.20) и потому недооценивается близость

решений этого уравнения и уравнения (23.23), т. е. величина 2 =										|| С — 11|
оценивается неравенством 2 <							4 У г.
Для	реальных ядер, встречающихся в теории вязко-упругости, реше­
ния С и		по-видимому, всегда будут еще более близкими, т. е. оценкой
будет 2 ^		Ае.	Это		следует,		например, из точного решения уравнения
(23.18)	с экспоненциальным ядром со.
Решение некоторых динамических задач методом усреднений [95].
Рассмотрим вынужденные поперечные колебания опертых										балок и
плит, описываемые уравнениями (23.12). Представим заданную										погонную
нагрузку		(х, I) рядом Фурье по х
	<?	(х,	I) =	гхМцт{ 1 ) * \ п ^				, (т = 1, 2 ,.. .),		(23.38)
где предполагается суммирование по т?г, фт									{I) — данные функции време­
ни; I — длина балки.
Прогиб представим в виде
	и>(х, I) =			Тт ( О . з т ^ .						(23.39)
Из (23.12) находим					интегро-дифференциальное уравнение
							I
	ТтЛ~ ^гпТ'т =					ОДРтл +	^ Гг (I — х) Тт (т) йт,			(23.40)
где обозначено							о
	Кт =		(тя/1)2		УЩМ.					(23.41)
Аналогично поступим при изучении колебаний свободно опертой пря­
моугольной пластинки с размерами а, Ъ:
	Р	(*, У, 0 =			е х М ф т п З т ^ - з ш ^				,
		гг,		,,ч	.	тпх .	пПу	,
	№ — * т п ( 0 81П					- 81П —^

Б_

^тп —	М *

Из (23.12) получим

	г
Ттп “Ь ХтпТ1тп = е1фтп ~Ь	Гг — Т) Ттп (Т) д,Х,	(23.42)
	О

Уравнения (23.40), (23.42) совпадают с точностью до обозначений и имеют вид типичного уравнения колебаний вязко-упругой системы с од­ ной степенью свободы

т

Т" Х*Т- = е1ф + еХ2 5 Г ( « - т) Т (X) ах.	(23.43)
о

Таким уравнением, очевидно, точно описываются вязко-упругие колеба­ ния многих других систем (ортотропных пластинок и цилиндрических обо­ лочек и др.), а приближенно — всех систем, которым придана только одна степень свободы.

Приведение уравнения (23.43)			к	«стандартному»	виду производится
с помощью преобразования
т- сг(о соз и + с2 (г) 81п и,					(23.44)
причем, удовлетворяя уравнению (23.43), полагаем
Сг соз	~|~ С2з т XI = 0,
— С1з^пX^	С2соз XI =	А	(*),		(23.45)
	г
/ {I) = 8хф + &Х2^ Г (I — х)Т			(т) йт.
Отсюда находим	0
				/(^) соз XI
С1 = — / (*) з т XI,		С2 —

или после некоторых преобразований получаем систему интегро-диффе- ренциальных уравнений в «стандартном» виде (23.20)

г

= —у фзтЯ^ — еЫ п Х^Г {I — т) [С^т) созАл; + С2(т) зт^т]йт,

	(23.46)
= -у- Ф 008 ^ + & соз	Г {I — т) [Сг (т) соз Хх + С2(х) з т Хт] йх.
	о

Следуя методу усреднений’ в случае малых внешних сил (&, —■е), находим вектор § (23.22):

§1 — -- §10 — §11^1 — ^12^2?

(23.47)

§2 = §20 + #21^1 + ^22^2,

где постоянные §\0 имеют значения

1	1	т
		С
#ю = — П т -у-ЛфООзтМсЙ,
~*эо		О
1	1	1
		Г

#20 = “х-Ит"у-\Ф00Соз XI й1,

о

а постоянные	(г, /	=	1, 2) равны пределам при Т -+■ оо:
		1	г
= XНш		^ й181П XI ^ Г (I — т) соз Хх йх,

тг

§12 = XН т ^ А181и УЛ^ Г {I — т) зш Ят йт,

ОО

Т/

§21 = X11т -1- ^ й1со8 XI ^ Г {I — т) соз Хх йх,

о

о

(23.49)

ТI

§22 = ^ Иш ^Л С08А,^ Г (I — X) 81П Хх йх.

Параметр 8 в (23.46) можно считать равным 1. Учитывая условие (23.13)г

из (23.49) получаем выражения		через два основных Фурье-образа яд­
ра Г
#11 “	#22 = у Г з ( Я ) ,	#12 =	#21 — у Г С (М>
			(23.50)
Г8 =	^ Г (т) 81П Хх йх,	Гс =	§ Г (т) соз Хх йх.
			о

Усредненная система уравнений (23.46) имеет вид (23.23), т. е.

§ + | ( Г 811 + Гс12) = - § 10.

(23.51)

§ - - | ( Г сЕ1- Г я|,) = ^ао.

Характеристическое уравнение этой системы имеет корни

----\ ± ^ 1Гсг,

ипотому после подстановки ее решения в (23.44) получим следующее вы­

ражение функции Т {I) с двумя произвольными постоянными 4, В:

Т = [.Асов% (1 + ^-Гс)> + ВэшХ (1 + у Г с)*]<ТТГ8* +

+ 4 - 1 ^ $ ^ с о э ( М + Ъ - Ъ ) ,

(23.52)

ГА8 ~Т~1 С

= агс!§ Гя/Гс,

Чг2 = агс!§ д10/#2о-

Как видно из (23.41), (23.41)', X, а значит Гс, Г&, ^10, §2о Для вязкоупругих тел имеют множество дискретных значений, и перемещения выра­ жаются суммами по всем значениям X 0 величин Т , умножаемых на соответствующие координатные функции. Первое слагаемое (23.52) пред­ ставляет свободные затухающие колебания системы, причем декремент затухания пропорционален синус-образу Фурье ядра Г, возрастание час­ тоты — косинус-образу ядра. Второе слагаемое представляет гармони-

ческие вынужденные колебания С частотой X, амплитудой

и смещением фазЧ^—14^ (23.52). При малых силах порядка е излагаемый метод усреднения дает отличную от нуля амплитуду (23.53) только в слу­ чае резонанса, т. е. если «внешние силы»<рт (23.38), сртп (23.41) при какихнибудь т, п имеют вид

<р = а соз XI + Ъ81п Х1\

(23.54)

при этом из (23.48), (23.52) находим

й.о = Ы2Х,

$20 = а!2Х,

= агс!§ Ь/а.

(23.55)

В случае, если сила в! ср в (23.43) не является малой, полагая г1 = 1,

необходимо еще уравнения				(23.46) привести к «стандартному» виду. Для
.этого находим из (23.46) при 8 =					0
			I
С1 =	Сг(1)-----~ ^ ср (т)зт				Ххйх,
			0			(23.56)
			1
С2=	С2 {I) -|—		^ Ф (т) соз Ххйх
			о
и для Сг, С2 получаем «стандартную» систему с малым параметром]
-^1 =		—Хг зш XI ^ Г(* — т) [Сг соз Хх +				зш А/г] йх — &Ф {I) зш XI,
						(23.57)
-^1 =		Хг соз XI ^ Г {I — т) [С^ соз Хх + С2зш Хх] йх + еФ {I) соз XI,
где			о
		I		т
Ф (0 =		(г — т) йх ^ ф (?•) зш X (т — |) йI =
		0		0
		I	I
	=	^ Ф (^) с#* ^ Г {I — т) зш X(т — ^) йх.				(23.58)

О%

теперь к системе (23.57) можно применить метод усреднений, уже исполь­ зованный для системы (23.46) при гг — 8.

§24. Квазистатические периодические нагрузки

ичастотный метод определения характеристик ползучести и релаксации

Пусть слой толщины а, нижняя плоскость которого неподвижна, под­ вергается действию касательного напряжения а12 = $12 на верхней плос­ кости, и происходит сдвиг у = 2е12 = 2е12 в плоскости (1,2) (рис. 21).

	“1
~ Т 7 ..	г	Рис.	21.
I/		Схема	опыта на периодическую
		сдвиговую ползучесть:
777/77777777777777777}7777777777777777777777777Г		<Г12 =	СГ12° 81ПС0*

Нагрузка о12 предполагается периодической с частотой со, например, а12 = = 2 з т <о1. Смещение верхней плоскости иг = ау и его скорость йг =

=== ау будет порядка аусо. Если будет выполнено условие

^12

7

(241)

где с2 — скорость упругой волны сдвига, К *— податливость:

С2 = УС/р, К = (^12)тах/(512» (24.2)

то силы инерции в уравнении движения р д2иг1д12 = да12/дх2 будут малы­ ми и да12/дх2 = 0, т. е. а12 = а12 (г) с той же точностью, с какой выпол­ няется неравенство (24.1): напряженное и деформированное состояние слоя будет однородным и периодический процесс квазистатическим. Как видим, при сколь угодно больших частотах со такое состояние достигается в достаточно тонком слое вещества.

Измерения амплитуды деформации е12 = у/2 при заданном периоди­

ческом изменении напряжения а12 = а?2 з т со^ позволяют изучать ядро
ползучести П, включая значения	при очень малых (П ^ П0) и больших
(П ~ Поо) временах, а испытания	при различных постоянных темпера­

турах, реализуемых за счет теплоотвода через плоские границы слоя,— находить температурную зависимость П от Т и, значит, находить функ­ цию ЯГ.

Аналогичные опыты при заданной амплитуде деформации слоя е12 =

— е012з1псо^ позволяют изучать ядро сдвиговой релаксации Е (*).

Опыты в камере с пульсирующим давлением а = а0з1псо^ позволяют измерять амплитуду изменения объема образца, помещенного в камеру, и изучать ядро объемной ползучести (I), все расчеты и оценки точности метода получаются такими же, как и при сдвиге, если произвести простую замену букв в соответствующих формулах; мы рассмотрим подробнее только опыты на сдвиг.

Периодическая ползучесть. Опыты на сдвиг могут быть не только типа колебаний слоя, это могут быть опыты с трубками и т. п., поэтому рас­ смотрим простое периодическое нагружение по всем компонентам девиатора напряжений (в слое амплитуды всех компонент, кроме $12, были рав­ ны нулю)

Зт п =	8тпеШ = 8тп (СОЗ(^У^ +^81ПС0^).			(24.3)
Если мы хотим		рассмотреть зтп = втп созсо^, то величину 4 т берем рав­
ной (Тшп, 4 т	=	су°тп, и в дальнейшем нас	будет интересовать	действи­
тельная часть	(24.3); если же зтп = Отп зтсо*, то 4 т = —			и в (24.3)
нас снова будет интересовать действительная часть выражения.
Деформации		етп в рассматриваемом	квазистатическом однородном

(по координатам) процессе найдем, с одной стороны, теоретически, с дру­ гой — из опыта.

В первом случае используем основные виды закона связи

I	*
етп = \к{1 —т) 8тп (г) йх =	^ П	(I — т) <18тп (*).
о	о
/Г(*) = П06(0+ 1Г(0.	По = 1/2С.
Внося сюда значение (24.3), получим
*
= к т(со, о = [ к ( г )	а%.	(2 4 .5 )

Податливость К* (со, г) можно выразить и через П (г), но для дальней­ шего будет удобнее рассмотреть вместо П (I) его дополнение до предель­ ного значения П (оо) = Поо,

Лео - П (г) = Р (0,

Р (оо) = 0,

(24.6)

предполагая, что Поо 4= 00 • Тогда из (24.4), (24.5)

		I
К {I) =	П06 (* )-/> ' (0,	Р* (ю, *) = 5 Р (т) е*" <1х,
		0
К* (со, 0		(2 4 .7 )
	= П оо — Р (*) е~ш — тР* (со, *).

Свойства функций К (*), Р (2) таковы, что они по времени довольно быстро затухают и стремятся к нулю при г —> о о , по крайней мере в том смысле, что числовые значения интегралов

I	*
^Р(т)с7т,	^ К ( х)ах
о	о

начиная с времен I, соизмеримых с временем релаксации, очень мало из­ меняются. Это значит, что измеряемые в опытах амплитуды и фазы дефор­

маций при данных Отп сначала быстро возрастают, а затем стабилизи­ руются. Именно эти стабилизированные значения и должны измеряться в опытах, на основе чего должны быть построены частотные зависимости

отношения	амплитуды		деформации		| етп |	к амплитуде	напряжения Ошп
и угол смещения фазы
/ (ю)	=	I етп I /<У°тп, 8 (со)		=	ф.		(24.8)
С теоретической точки зрения это будут измерения,							относящиеся к
моменту I	оо, так что					оо
К* (со) =		Поо — йоР* (со),		Р * (со) =		^ Р (0 е~ш Л,
			оо			о
-^22- =		К* (со) =	СК (I) е~1ш <11.				(24.9)
8тп			*
Функции Р1 (со), К * (со)			называются		в физике Фурье-образами функций
Р ® , *(*)•"

Если Фурье-образ

некоторой функции Р (I), определенной только при

/ ^ 0

с интегрируемым

квадратом,

5 (Р ц ))2<и ф о о

(24.10)

о

построен, т. е. найдена для со

0

зависимость

со

р * (о) =

^ р а ) е~ш <и.

(24.11)

о

то функция

Р (*) определяется интегралом Фурье

го

(24.12)

В нашем случае, следовательно, ядра ползучести К

(() и П (2) находятся

через частотные! зависимости^

податливостей К1 (со), Р* (и) по

формулам

ОО

Я(*) =

4 - $ Я

» Л

о ,

о

(24.13)

оо

Р Ц) =

Пот -

II (0 =

^ Р * (со) е1ш( Л.

Измеряемые

величины

(24.8)

есть

отношение

амплитуд \етп\ к |$тп | =

= втп, т. е. согласно

(24.9) есть |# * | =

К& и фаза

смещения

амплитуд­

ного

значения

\етп\ относительно

амплитудного значения [ 8тп |. Введем

обозначения амплитуды и фазы:

#*(©) = _ ™

6т п

’ =

К ые~

К с

1К л(1о),

$т п

8гпп

(24.14)

к а = у щ

+ т

*.<«)

фо =

*«(»> ’

получим из

(24.9)

ОО

оо

К с =

^ К (^) С08 СО^ Л,

К 8= ^ К (2) зтсо^ <И.

о

о

Теперь, сравнивая (24.14) и (24.8),

находим Кш и ср, а следовательно, и

К 8 =

ф, Кс= К» С08 ф

К(Л = /

(со),

к

# (со) = I? фсо,

с

оо

К с =

г ^

К (I) соз ы а г

оо

.ЙГ3 = Г.^ —	= \ к	{I) 31п соI а .
V I +8*	3	V’

Отсюда, используя обращение (24.13), находим ядро К (I)

	оо	оо
К (I) =	^ К с (ю) соз	^	(ю) з т соЛо.	(24.16>
	1о	о

Функция К* (со) (24.9) называется' комплексной податливостью, ее действительная часть есть измеряемая в опытах функция податливости /((О).

Периодическая релаксация. В этом случае деформация задается как периодическая функция времени

__ 0	гео?
втп — втппу	У

и в опытах измеряют амплитуду и фазу напряжения 8шп.

Рассмотрим процесс в действительных переменных. Пусть деформация

изменяется по закону
&тп —	.	(24.17)
Найдем теоретическое значение напряжения

	ь	г
8тп =	^ Я (2 — т) йетп (т) = е°псо ^ Я (I — т) соз сотйх =
	о,	о
	I
=	^тпО) ^ Я (т) соз со {I —*т) йх
или
е°	Яс (со, I) соз (01 +	Я3(со, I) з т со^,
тп
Где
Я с = со ^ Я (г) соз сот йх,
	6
	г
Л8 =	со ^ 7? (т) з т сот йх.

(24.18)’

(24.19)

Как и в случае ползучести, ввиду особенности кривой релаксации, че­ рез некоторое время процесс деформации (например, слоя, рис. 21) ста­ билизируется, и величины Я с, Я8 при данной частоте со становятся посто­ янными

Я с(<*>) = ©^ ^ (т) 008 а)Т

(24.20)

Я3(со) = со ^ Я (х) з т сот йх.

Закон изменения напряжения (24.18) становится периодическим с посто­ янной амплитудой и фазой

$т п — 8тп 31П (С0^ -р фю),

(24.21)