книги / Микрополосковые излучающие и резонансные устройства

w/d = 2 [exp {z V еЭф/6о} — (exp [z 1f	е>ф/Зо} — в) Л];
Z > 1 2 8 /K i^ ,	(2.20)
где значение вэф аппроксимируется выражением
еЭф = 0,2775 + 0,722в.	(2.21)

Вычисления по формулам (2.19) — (2.21) имеют максимальную погрешность 4 % для Z £ (5; 250) Ом и е < 16, для Z < 800 Ом

погрешность не превышает 2 %. Если е^ заменить на бэф, то по­ грешность уменьшается до 0,5 %.

Учет реальных особенностей конструкции и материала про­ водника. При конструировании НС на НПЛ часто оказывается, что их характеристики значительно отличаются от теоретических. Это объясняется наличием таких факторов, как конечная толщина проводников, потери на нагревание проводников и диэлектрика, излучение и др. Поэтом^ при проектировании ИС следует учитывать их влияние.

Краевые поля в НПЛ, образованные га счет конечной толщины

Т = ttd проводников, влияют				на эффективную ширину проводни­
ков шэф следующим образом [81:
для гомогенных (однородных) подложек
	о,э ф в а,{1 +	(77и)1п [1 + Ю,87/Гс«1*Кб,517а»/с1]},							(2.22)
для	гетерогенных	(многослойных)			подложек
	шэф = w [И - (772п) (1 + ch				1У Т ^Л ) In (1 4*
	+ 10,87/7’ cth2 V				6,517wld)].				(2.23)
Без	учета свойств материала подложки выражения (2.22) и (2.23)
имеют более простой вид
	I [tine) (In (2/Г) +				1),	wld >	У, > 2Т-,
	ю .ф - и + ( ((/яе)(1п (4/Г )+ |)					ш/d <	V, >	2Г	^	'
Формулы (2.22) — (2.24) справедливы для подложек								с диэлект­
рической проницаемостью			е ^	128 и	размеров		проводника		НПЛ
w!d£[ 0,01; 100].
Затухание в НПЛ
		а =	52,17яc/Q0f y Ъф,						(2.25)

где с — скорость света; Q0— собственная добротность НПЛ, вклю­ чающая в себя потерн в металлическом слое (обусловленные тепло­ вым действием тока), в диэлектрических слоях и на излучение.

Величина, обратная общей добротности, является аддитивной по отношению к частным добротностям ее составляющих

Qo 1 = <2м 1+ Фа 1+ Q “ J.

Добротность НПЛ, «подвешенной» в воздухе (диэлектрическая

проницаемость подложки е = 1),
Qu = nZ0fw/cyRs>	(2-26)

где Rs = 1/<тА — поверхностное сопротивление скин-слоя А (а — удельная проводимость металла); у — коэффициент, учитывающий распределение тока в НПЛ [8],

у = ехр {— 1,2 (2/120л)0,7}.

(2.27)

Зависимость поверхностного сопротивления от величины шеро­ ховатости проводников

R* (6) =

(0)( 1 ч- (2/л) arctg [1,4 (6/A)aJ},

(2.28)

где б :— среднеквадратичная шероховатость поверхности. Добротность диэлектрического слоя НПЛ фд определяется доб­

ротностью подложки Q„ и воздушного пространства над полоской QB, которая весьма велика (Qn % Qn):

<?Д - [(I ~Я) +	»*] 1(1 -q )Q 7 ' +	?г®Г‘Г '-	(2.29)
Коэффициент заполнения	НПЛ диэлектриком
q = 0,5 [(1	+ 10d/w)~°’655+	1 ].	(2.30)

Потери на излучение практически не учитываются, поскольку они проявляются при большой толщине проводника (превышающей толщину шести скин-слоев) и, кроме того, от них можно избавиться экранированием НПЛ. Добротность излучения Q„ стремится к бес­ конечности.

Следует отметить, что в ПА должно присутствовать излучение энергии из линии, например, когда ПЛ является питающим фиде­ ром ПА типа бегущей волны.

Сравним НПЛ и прямоугольный волновод. НПЛ й прямоуголь­ ный волновод имеют много общего. Электромагнитное поле НПЛ сосредоточено в основном в области под токонесущим проводником и с ростом частоты поле концентрируется в этой области. По этому соонстпу можно сравнивать НПЛ и прямоугольный волновод [251. Строго говоря, продольное волновое число h в НПЛ с идеально про­ водящими проводниками и идеальным диэлектрическим заполне­ нием есть комплексная величина: h = к‘ + ih". Наличие мнимой части у к (к") связано с дифракционным излучением волны из линии. Зависимость нормированного продольного волнового числа k'/k0 и h /k0 (kQ— волновое число в воздухе) от т и d для первой высшей волны НПЛ и значения продольного волнового числа

прямоугольного волновода с поперечным сечением а X Ь раесмотрены в работе [25]. Наличие дифракционных потерь в НПЛ приво­ дит к существованию волны в закритической области (в прямо­ угольном волноводе с идеальными стенками распространение в этой области отсутствует: h' = 0). Зависимости волнового сопротивлеия от kd для НПЛ и для прямоугольного волновода аналогичны.

Экранированная микрополосковая линия. Строгая постановка задачи о собственных волнах МПЛ оказались весьма сложной и для ее решения потребовалась математическая теория дифракции [25]. В ряде задач теории и практики излучающих структур и ПА можно обойтись более простыми моделями и методами, которые, тем не менее, дают приемлемые по точности и экономии машинных ресурсов результаты. Можно использовать методы, позволяющие представить искомое решение в аналитическом, квазианалитическом или численно-аналитическом видах [10; 15; 21; 33], или метод ортогонализирующей подстановки, с помощью которого решен ряд важных задач теории полосковых структур [19]. Кроме сущест­ венного упрощения расчета, большой экономии машинных ресур­ сов этот метод обладает и серьезным преимуществом перед числен­ ными: он позволяет понять физические процессы, а понимание физи­ ки функционирования базовых элементов помогает строить эффек­ тивные вычислительные схемы и алгоритмы для более сложных электродинамических структур [14; 15; 21; 25; 31].

Рассмотрим постановку задачи для обобщенной экранированной МПЛ с многослойным заполнением. Краевая задача для собственных волн такой структуры сводится к системе интегральных уравнений (ИУ) первого рода относительно составляющих электрического тока }Х) /2на полоске [19]:

	Wt	[Кц (X, х') и (х0 + К1г (X,	х') и (*')] dx' =
	j				0;
	Wi				1	(2.31)
	wt
	j	[Кях(*. * ')/г (* ')+ Д 22(*> x')jx {x’)]dx'= 0,
	Wt
		о о			1, 2,
где	Кц(х, х')= 2 г т1 №т{{х)ч>т}{х'),			i, / =		(2.32)
		m=0
	<Pmi (*) = s»n M ; 4>m2 (x) =		cos 0mx;	P„, =	тя/а;
2тц,	1»/ == 1»2‘— элементы тензора импеданса границы					раздела

двух соседних областей. Правила построения Zmij хорошо извест­ ны [14], но они имеют громоздкий вид и здесь не приводятся.

Для решения ИУ (2.31) введем новые переменные и, v:

и = s—1[cos (ях[а) — с]; и — s—1[cos (пх/а) — с], (2.33)

где

			JI&.W	(2.34)
	l - C K	- ^	b “ 5<Г
	Переменные и, v изменяются	в интервале [— 1, 1].
	Преобразуем систему ИУ (2.31) к виду, удобному			для преобра­
	зований (2.33). Продифференцируем		первое уравнение	(2.33) по х и

перейдем от поперечной составляющей тока \х к ее производной }[. Кроме этого, улучшим сходимость рядов в выражении (2.32) путем вычитания из них соответствующих асимптотических рядов при т -»>

- > о о .	Учитывая, что при т						оо		асимптотиками для		2,пц в фор­
муле	(2.32)			являются выражения
				*ооп =		lim
						т-wo
				tooi2 =		lim Zmi2		— lim 2,mi;			(2.35)
						jtl-*oo			m-*oo
				ioo22=					К
						lim (2т 2фгп ),
						m-* oo
можно вместо системы (2.31) записать следующую:
		я		[*00Пи (v) — *0012/* (v)l					Utn-l (w) Tm(v) dv =
		\	l					S
				1			m=I
		=		SJ Иг (о) Рц (V, и) +				jx (n) Pl2 (v,		и)] dv;
		r						00			(2.36)
				[*0012/2(и) — tomjx (u)J
		j						£	£Лл-1 («) Тот (о) dv =
		lL\		1			m=l
		== S J [/* (0) P2l (v, и) -I- /1- (u) P%2(0,								u)] dv +	A
				M
•де Рц (vt				u) — £	AmijUm-i (sv +				c) 7^ (w -f c) dv;
				ГП=1
A /n ll		—			^0011;	A/7i21	=		A/ni2 —	^0012»	(2.37)
A/n22		8=8		Zm22$m	"b ^0022?		A Q— -------“ ^022 £ jx (£ )				^ 5 »

(Л)# Um 0l) ” соответственно полиномы Чебышева первого и вто­ рого рода.

При выводе формулы (2.36) использовано соотношение

		оо	тях'		т п х	—sin		S	и„^Ли)Тт(о). (2.38)
		s 5] sin		COS
		ГП—\	а		а			Ш—\
		Суммирование по пг в правой части соотношения (2.38) ограни­
чено некоторым числом М , так как Атц									0 при достаточно боль­
ших М.									1, 2) в виде разложения
по		Представим функции Рц (a, v) (lt / =
		степеням s:
			Pil(v, и) — s 2			Л ^ с $ /Р (о )У ,(в ) +
		3			П=0
+							N
		„п 3—	а??/? (о) У. («) +			+	2	s"c'v-',a ir '>/i'V_1) (») У„ (в),
		2 S С
	/2=:О						л=0			(2.39)
где		(и) — полином k-Pi степени (п =					0,1 ...... N)\ afj (г, / =			1,2) —
некоторые постоянные.							(Um («)} и \Тт (и)}			на отрез­
		Ортогональность систем функций
ке 1—1, 1] приводит к					тому,	что ИУ		(2.36) распадаются на две

независимые системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)| система из 2N -f 1 уравнений для нахождения дисперсного урав­ нения

N+l -v-t-l

и (у)	S AimTm {V) +			и (V) Ё В;тТт(о) dv -f
	/?2^=0			т=0
+	Л А	==0	1 =	0, 1, 2,	, 2Л?		(2.40)
и соотношений для п >		W +	1
j* /* (W) 7\, (0) fito = 0;				[jA v 'iT jW d v		0.	(2.41)
—I

В формуле (2.40) постоянные А[т, Bi!U имеют достаточно громоздкий вид и поэтому здесь „.не приводятся; 6о* — символ Кронекера.

Простейшие выражения для /г, /*, удовлетворяющие условиям (2.41), можно записать в следующем виде:

АЧ-1	Л'+1
/Лв) = 2 «Л(«)П - а2)-1'-:	,;<«) = £ 6„,Г,„(и)(1—иТ‘\
т=С	//2=0
	(2.42)

где ат, Ьт— некоторые постоянные.

Из уравнений (2.40) и (2.42) нетрудно получить СЛАУ из 2N + + I уравнений относительно постоянных ат и Ьт. Приравнивая определитель системы уравнений к нулю, получаем ДУ.

Точность полученных соотношений зависит от параметра N, оп­ ределяющего число функций Чебышева первого рода в разложениях

(2.42) для /2, /,. Параметр N фиксирует число членов в разложе­ ниях (2.42) для функций Рг/ (и, v). Отброшенные слагаемые в соотношениях (2.42) имеют порядок малости о (snc‘y+l~n), где я = 0 , 1 , N — 1. Заметим, что параметрыs и с малы при следующих условиях:

Aw/a <£ 1; cos (пх0/а) <£ 1.	(2.43)
Первое условие выполняется для достаточно больших	разме­

ров экрана, второе	— при малых смещениях полоски относительно
плоскости х = а!2.	Поэтому неравенства (2.43) можно использовать
при моделировании	открытых ПЛ.

Четные волны. Определим ДУ и формулы для распределения электрического тока на полоске. При симметричном расположении полоски относительно плоскости х — а!2 собственные волны в структуре распадаются на две группы независимых волн: четные и

нечетные. В этом случае

параметр с — 0 и суммирование для чет­

ных волн в соотношениях (2.40) и (2.42) осуществляются

только

по нечетным т.

(N = 1) 'для

четных

волн

структу­

В первом

приближении

ры (2.39)

м

Рг/ (v,

и) — sRijVi (и),

(2.44)

Rtf =

(2т — \)А2т~\,и,

i,

j = 1,

где

£

2.

т= I

запишем следующим

Решение

уравнения (2.44) для

ИУ

(2.36)

образом:

h = К

+

а,Тг («)) (1 — а2)- ''*;

(2.45)

U = [* 0 + Ь гТ г ( и ) \ ( \ -

а 2) - 1' 1.

В соотношении

(2.45)

отброшены

слагаемые,

имеющие

поря­

док (s8).

/х (х),

Постоянная bQопределяется из граничного условия для

согласно

которому

функция

jx (х)

равна

нулю в

центре

полоски

jx (а/2) = 0 .

Так

как

L М

=

i

U (0

(2.46)

0 0 = — 2 {— (V2) + s“ 2 [1 — Е (s)/K (s)] Ьг) = - 2m1b3, (2.47)

где К (s), Е (s) — полные эллиптические интегралы первого и вто­

рого

рода соответственно.

Для определения а0 используем первое уравнение из системы

(2.31). Перепишем это уравнение для х — а!2:

WS

[tmijt'W) — ^0012/je(■^/)] In /(1 "h sin (nxrlc£))(\

j

sin(jix/<z))

|X

Wi

x dx' +

‘

г

ж

j

I \г (v)

Asm—I,ii (2m — 1)

+

м

л

+

и (») S

A2m—I,12(2m — l ) \ d v = 0.

(2.48)

m=l

J

Подставляя зависимость (2.45) в условие (2.48), получаем урав­

нение' для определения

где

«2 =

? А

— (l/2)

(2*49)

=

{*ooi2 (т- - - - g - j У6 +

/7j — 2т

Ая

£

Д г т - 1 ,12т (

—

1)

‘ J X

X *0011^8

Ж

I

? * = “

*оо11«^5 ~Ь 2л

£

A2m—i.ii (2т — 1)

|*оопЛГ*

[ П = \

J

•/. = пК (У"Г=72);

J, = ns- ! [1 -

В ( V I - s2)) +

/ 5;

*^8 =

*^7 “—(**б/2).

ДУ в этом случае принимает вид

(2s2R21-f- *ooi2<72) (9i*oou — *ooi2+

2sam1./?12) =

= (2s2Rn + *0011^2) (^1*0012— *0022+

2s2m1R2Z).

(2.50)

Составляющие плотности тока на полоске

U(и) =

а, [! -

(V.) (q,q, +

д2Тг<«))] (1 -

и Т '1".

/*(“) =

(a<fl/4n)<liU(1 — и1)4',

(2.51)

где

и ~ $r~^ cos (TIX/ Q) J

— —(2srR2l 4* ^0012^2) (^x^ooia — ^0022*b

+

2АП,/?,,,)-1

Соотношения (2.50) и (2.51) дают решение краевой задачи для четных типов собственных волн ПЛ (в том числе и для высших типов). Точность полученных соотношений определяется отброшен­ ными слагаемыми, имеющими порядок о (s4). Формулы справедливы для любой экранированной ПЛ с одной токопроводящей полоской.

Нечетные волны. Определим ДУ и формулы для распределения электрического тока на полоске. Функция Рц (», я) с точностью порядка о (s) для этого типа волн

		Ptf(v,	и) = sQt/T^v),			(2.52)
где		м
	Q i j =	£	i , / =	1,	2 .
		//2=1
ДУ в этом случае принимает вид
(^0011"Ь S2Q il) [^0022"f" (S2Z002/2) — S2Q223				=	(/0012 *f- S2Q 2 l ) 2,	(2.53)
В соответствии с выражением (2.51) получаем
7*1	f	abjn				(2.54)
1г )	I		[s2— cos2(nx/a)]±,/S
		cos (Я*/Я)
где	Р = (А)012 +		S2Q 2J ) {/о0!1 “Ь S2Q ll) *■

Соотношения (2.53) и (2.54) определяют решение краевой задачи для нечетных собственных волн ПЛ с точностью порядка о (s2).

нализирующие преобразования (2.33), можно построить аналитическое ре­ шение системы ИУ (2.31) для ПЛ н оценить точность полученных со­ отношений. Формулы справедливы для любой экранированной ПЛ с од­ ной токопроводящей полоской. По-

7.25 Ю

HQ,K3

Рис. 23. Характеристики основной волны, экранированной несимметричной по* лосновой линии на ферритовой подложке:

а — дисперсионная	характеристика; 6	— зависимость частоты от	подмагничивающего
гполя (---------- -	прямое направление	распространения волны;	~ ^ обратное)j

Рис. 24. Распределение составляющих	электрического тока на полоске для		ос­
новной волны полосковой линии на ферритовой подложке (------------		прямое на*
правление распространения	волны; — — — —	обратное)	*“*

лученные соотношения справедливы также для высших типов волн ПЛ.

На основе полученных ДУ и выражений для токов в структуре выполнено численное моделирование различных ПЛ.

Характеристики и распределение составляющих электрического тока на полоске для основной волны экранированной НПЛ на фер­ ритовой подложке, подмагниченной касательно плоскости слоя, с параметрами ух — 1 мм; г/2= 5 мм; а = 20 мм; Atw = 3 мм; еф = = 12,7; //„ = 10 кЭ показаны на рис. 23 и 24.

Метод сингулярного интегрального уравнения (СИУ). Вектор­ ное СИУ относительно токов на полосках проводника обобщенной

многослойной ПЛ можно представить в следующем виде:
J	= J Т(о, и) 1(v) dv,	(2.55)
Ln	Ln

где неизвестный двухмерный вектор искового тока

элементы 7\/ (о, и) (i = 1, 2) тензорной функции Т (о, и)

м

Т И {v,	U) =	2	AmijUm-l (pv + Я) T-m(Р“ + Я)>			h l '= U	2j
		m==l		sm
р	sin
я	cos		[п (Win — wx)/2a]	cos ■[я (“'2п +		ю1)/2а],	(2.56)
где Tm (x),	Um (x) — соответственно			полиномы	Чебышева		первого
и второго	рода;		(i, / = 1,2) — некоторые		неизвестные посто­
янные, причем		Д„„-/ =ф- 0 при достаточно больших				значениях пг.

Конкретные выражения для коэффициентов &тС1 определяются гео­ метрией поперечного сечения линии передачи.

Интегрирование в уравнении (2.55) проводится по контуру Ln, состоящему из совокупности п гладких разомкнутых непересекающихся отрезков, соответствующих токопроводящим полоскам

линии передачи, или более конкретно: контур интегрирования Ln
состоит из п отрезков [pfe, AJ; k =	1,2,..., п, где
p[ih = cos (nwyt-i/a) — q\	pXk —cos ( я ^ /а ) — q.

Поскольку на концах отрезков контура Ln вектор I (v) обраща­ ется в бесконечность, для регуляризации СИУ (2.55) можно воспользоваться формулами обращения интеграла типа Коши для решения неограниченного вблизи концов отрезков контура Ln. После этого вместо исходного СИУ (2.55) можно записать следующее век­

торное	ИУ Фредгольма		второго		рода
	/ (и) = J 3 (t>,			и) I (о) dv -f		Р„_i (u)/R (и),			(2.57)
		Ln
здесь элементы G,-/ (i, / =			1,2) функции Грина G (и, и)
	Gtj (V,	и) =	м	Aflj/yl/m-i (pv +			q) ут (и),
			2						(2.58)
			m=l
Тш(а) =	—	(и) f					(и) = Со п ' („4 + у .
		Ч						6-i
«	(г) =	П	sgn К		Й -	1;	Еб =	(2/1*6 - «	х
		А=1
	X [г — (pft -f		ЯЛ)/2];		sgn г =	~Г 1 ,		г > 0 ;
						— 1»		2 < 0 ,
— произвольные		постоянные.
Важно отметить; что функция Грина G (v, и), являющаяся ядром
ИУ (2.57), принадлежит			классу		L2 (т. е.		пространству		функций

с интегрируемым квадратом) и, что также чрезвычайно важно, явля­ ется вырожденной.

Таким образом, краевая задача для собственных волн рассмат­ риваемой экранированной ПЛ в строгой электродинамической

постановке свелась к векторному	ИУФредгольма второго рода
с вырожденным ядром. Точность получаемого		решения опреде­
ляется числом М слагаемых в формуле (2.58).
Рассмотрим конкретную задачу о собственных волнах экрани­
рованной НПЛ с симметричным	(относительно	боковых экранов

модели) расположением полоски, т. е. в плоскости х =									а/2. В этом
случае		контур	интегрирования				Ln представляет собою			отрезок
[— 1,1] и постоянная <7= 0. Для основной волны структуры (четной)
ДУ имеет вид
/	,	+ 2я	м	А	г г	\	м	1) 4s-.-i.il	=	0. (2.59)
2 V			2 -	~		l -	’V 2! ! <2яг -
\			1			/	т= 1
где	=	я In (4/р) + (я/4) [In (4jp) — 1] /?а; Am« = (пт/a) Zmu — fu ;
Д/Л22 =		^22 ^ т 2 2 р /н		J	Ря1 =	Ш Я /Д , / ц — Н ш		ftmZ m l l ’,	=	П ш Z m l2 t
							т$>оо			т^оо
t%2 в		Pm ^m?2i
т$>оо

ХтЦ — элементы матрицы импедансов поверхности у = 0.