книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

С. УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ
Задача	5 ,2 1 . Даны	матрицы
	5	7	4]				15	7	1	2	“
							2	3	0	2
	2	0	- з				3	0	1	1	:
							1	Г	2	—2 _
	1	0	1	2			" 2		— Г
	0	1	2	0		о	3		0
	4	1	1	1	;		= 5		—2	•
	0	2	— 1	2			1		—3
Найти: 1) компоненту матрицы						АВ, стоящую во второй строке
и третьем	столбце;

2) компоненту, стоящую в третьей строке и втором столбце матрицы ВО-,

3)компоненту, стоящую в последней строке и последнем столбце матрицы ^4^;

4)компоненту, стоящую в третьей строке и первом столбце матрицы Сй.

Р е ш е н и е .

Искомую

компоненту

будем обозначать во

всех

четырех

случаях

через сц,

причем первый индекс I означает номер

строки,

а второй

индекс / — номер столбца, в которых находится

эта

компонента.

А на

1)

Умножим вторую

строку

матрицы

третий

столбец

матрицы В:

1

С 23

[ - 1 , 2 ,

0,

- 3 ]

•

0

= 1— 1 - 1

+ 2 . 0 +

0 - 1 +

(—3) -2] =

1

2

= — 7.

2)

Умножим

третью

строку

матрицы

В на

второй

столбец

матрицы О:

Сэз ™ [—3,

0,

1 , 1 ] •

= —3 - (— 1) +

0 • 0>

1 • (—2) + 1 - (—3) = —2.

3) Матрица

Ай по

правилу (4,35) имеет размер

(2 х

4) • (4 х

2) =

(2 х 2).

Поэтому в ней две строки и два столбца. Значит, ее последней

строкой является вторая и последним столбцом — второй. Искомая компонента

				— 1
с22= [— 1 * 2 ,		0 ,	—31 ♦		О	• (—	1) + 2 • 0 + 0 • (—2 ) +
				—2
				—3
			+	(—3) • (—3) = 10.
				2
4) с31 =	[4,	1,	1, И •	3	= 4 ’ 2 +	1 * 3 + 1 * 5 + 1 ‘ 1*» 17.
				5
				1
Задача	5,22. В условии предыдущей задачи определить размеры
матрицы: 1) АС; 2) РА; 3)					АО; 4) ВС; 5)		СВ; 6) РАС; 7) ВСРА.
Р е ш е н и е .		1) Размер		матрицы АС (2 X 4) • (4 X 4) = (2 ж 4).
Она имеет две строки и четыре столбца.
2) Размер матрицы РА определится из формулы
			(4 х 2) • (2 х 4) =			(4 х	4).

Значит, матрица РА — квадратная с четырьмя строками и четырьмя

столбцами.		АР (2 х
3) Размер	матрица		^ • (4 х 2) => (2 х 2). Это		тоже
квядрвтвая матрице с двумя строками и двумя столбцами.
4) Размер	матрицы	ВС (4 X 4) • (4 х 4) *= (4 х		4).
5) Размер	матрицы СВ (4 х 4).				РА,
6) Матрица РАС можно получить в таком				порядке: а)
б) (РА) С или составить сначала			произведение АС, а потом умно­
жить его слева на Р: Р • (ЛС).			Размер РА определен в пункте
2. Он равен (4 X 4). Если матрицу			А размером 4 x 4 умножить на

	матрицу	С размером 4 х 4, то получим матрицу				РАС размером
	)	(4 X	4) - (4 X 4) =	(4 х 4).
		же взять РАС =	Р • (АС), то, зная,		что размер АС равен
	Если
	(2 х 4),	и учитывая, что размер Р		равен (4 х		2), а также, что
	матрица	АС умножается	на матрицу О слева,		находим

(4 х 2) х (2 х 4) = (4 х 4).

7) Размер произведения четырех матриц ВСРА можно опреде­ лить так, если учесть сочетательное свойство произведения:

а) ВСРА = (ВС) • (РА); б) ВСРА = В • (СРА); в) ВСРА = (ВСР) ■А.

Для упражнения определим размер матрицы ВСРА во всех этих трех случаях:

а) Размер матрицы	ВС	равен (4 х 4) (см. пункт 4).	Размер
матрицы ОА тоже равен	(4 х 4). Поэтому размер матрицы		ВСОА
равен (4 х 4) • (4 X 4) =	(4 х	4).
б) Определим сначала размер матрицы СОА. Матрица СОЛ =

= С • (ОЛ). Но размер матрицы С равен	(4	х	4),	а размер матрицы
ОА уже определен в п. 2 и тоже равен	(4	х	4).	Поэтому матрица

СОА имеет размер (4 х 4) • (4 х	4) — (4 х	4). Умножая	эту мат*
рнцу слева на матрицу В, размер	которой равен (4 х 4).		найдем,
что матрица ВСОА имеет размер
(4 х 4) • (4 х	4) = (4 х	4).

Как и следовало ожидать, мы получили тот же результат.

в) Вычисления надо выполнить самостоятельно. Результат, ко­ нечно, должен получиться тот же самый. Правило умножения матриц дается формулой (4,34). На первый взгляд, оно может по­ казаться громоздким и сложным. Однако те, кому приходится часто и много работать с матрицами, очень быстро привыкают безоши­ бочно это правило применять и оно представляется им исключи­ тельно простым; палец левой руки должен скользить слева направо вдоль строк первой матрицы, а палец правой руки должен при этом скользить по столбцам второй матрицы .сверху вниз. Проделав не­ сколько упражнений, правило умножения матриц можно легко осво­ ить.

Здесь мы приведем три способа проверки правильности проде­ ланного умножения. Эти способы указана Л. К- Нарадоя и мы по­ кажем их на примерах.

I способ проверки. Пусть

С — АВ = 27			20
		17	40/
Для проверки умножения		составляем		две матрицы-столбца О
и Р: в первой матрице О элементы			равны сумме элементов в соот­
ветствующей строке матрицы	В
' 1	+ 2		‘3'
0 = 3 +		(— 1 )	=	2
4 +		5		9

а во второй матрице Р элементы равны сумме элементов в соот­ ветствующей строке матрицы произведения С

	[27 +	20' _	[47]	(3)
	1.17 +	40	[57]*

Произведение матрицы А и Я должно равняться матрице Р (АО = Р)

АО —

7

4

2]

3

[ 7 . 3 +

4 - . 2 +

2 . 9 ] _

[47] _ р

2

(4)

6

- 3

5]

9

[ б -3 — 3

2 +

5 . 9 ]

[57] ~

II

способ

проверки.

Составляем две матрицы-строки

О и Я :

в первой матрице О элементами

являются суммы элементов в каж­

дом столбце в первом сомножителе (матрица А)

0 =

17 +

6,

4 - 3 ,

2 +

5} =

(13,

1,

7],

(5)

а во второй

матрице

Я

элементами

являются

суммы элементов

в каждом столбце матрицы произведения С

Я

= (27 +

17,

20 +

40) = (44,

60}.

(6)

Произведение матриц О и В должно равняться матрице Я (ОВ =

Я).

ОВ = (13, 1 ,

7 ). [ 13

—2|1 = ( 1 3 - 1 +

1 . 3 + 7 - 4;

| 4

1 3 . 2 +

1 • (— 1 ) +

7 • 5] = (44,

60} =

Я.

(7)

III способ проверки. Составляем матрицу-строку О, элементы которой равны сумме элементов в соответствующих столбцах пер­ вого сомножителя О = (13, 1 , 7). Составляем матрицу-столбец О так, что ее элементы равны сумме элементов в соответствующих строках второго сомножителя

3

0 = 2

9

Произведение 00 должно быть равно сумме всех элементов матрицы С

'3~ ОО = [13, 1 , 7}. = 1 3 . 3 + 1 - 2 + 7 - 9 = 1 0 4 =

			=	2 7 +	17 + 20 + 40.
	Задача 5,23.	Перемножить			матрицы		з-
					~	2
	‘ 2	3	— 1	2	4 1	1	2
						4 —5
	А = 1 0 5 — 1				2 ; В =
	1.3	2	0	1	41	—2	- 3
						1	4

Р е ш е н и е

(столбцы I, II отделены пунктирной линией)

" 2 • 2 +

3 • 1 +

(— 1) • 4 + 2 • (—2) +

4 • (— 1)

АВ =

1 . 2 + 0 - 1 + 5 . 4 + ( - ! ) . ( - 2 ) + 2 - ( - 1)

3 . 2 +

2- 1 +

0 • 4 +

1 • (—2) +

(

4) • (— 1)

2~ 3 +

3 Г2 + ( - 1)"“ (-5 )"+ 2 ~

( - 3 ) +

2~ 4

, . 3 +

0 • 2 +

5 • (—5) + (— 1) • (—3) • + 4

-4

3 . 3 +

2 • 2 +

0 • (—5) +

1 • (—3) +

(—4) • 4 .

Г—5

27

22

— II

10

—6 _

Получилась матрица размером 3 х 2 , как

и должно

быть:

(3 х

5) • (5

х

2) =

(3 х

2).

Правильность выполненного умножения установите первым спо­

собом

проверки.

Задача

5,24. Найти произведение матриц

~2

3

Г

‘—2

4

5

8

1

3'

А = 4 3 —2 и В = 1 2 4 — 1 0 4

2

4

1.

—3

1 2

5

' 4

3

Р е ш е н и е

(столбцы

I—IV отделены пунктирными линиями)

”2 . ( - 2) + 3 . 1 + 1 - ( - 3 )

1 2 - 4 + 3 - 2 + 1 - 1

-3)1 4 - 4

+

3 - 2 + (—2) • 1

4 • (—2) + 3 - 1 + (—2) • (—

2 - 4

+

4 - 2 + 1 - 1

2 - (—2) +

4 - 1 +

1 • (—3)

2 - 5 + 3 - 4 + 1 - 2

1 2 - 8 + 3 •(— ! ) + 1 -5

А В =

4 - 5 +

3 • 4 + (—2) • 2

14-8 +

3-

(— 1) +

(—2) • 5

2 - 5 + 4- 4 + 1 -2

]2 - 8 + 4 • (— 1) + 1 • 5

2 . 1 + 3 - 0 + 1 - 4

'

2 • 3 +~3

- 4 +

1

- 3

4 ♦ 1 +

3 • 0 + (—2) • 4

1

4 - 3 +

3 - 4 +

(—2) • 3

_ 2 - 1 + 4 - 0 + 1 - 4

} 2 - 3 + 4 - 4 + 1 - 3

—4

15 24

18

6

21

1

20 28

19

—4

18

- 3

17 28

17

6

25

Получилась матрица размером 3 x 6 , как и должно быть по пра­ вилу (4,35), так как размер матрицы А равен (3x3), матрицы В (3 х 6), а размер матрицы АВ (произведения матриц Ап В) равен (3 х 3) х х (3 х 6) = (3 х 6).

Правильность умножения самостоятельно установите вторым спо­ собом проверки.

1) Ц

2)А =

3)А =

4)А =

Правильность умножения проверьте по одному из указанных спо­ собов.

..

О т в е т. 1)

10— 19

3)4 — 12

6— 15

Задача 5,26.

Г 3	0	13	—3 |		Лч| 66		1111	14	11	,71-
I	10	1	- 3 1	:	,[	10	17	21
			б )						18 29^
15		'	3		—8		8	1
			7		— 19		22	6
26		4)
	У		9		- 2 6		44	25
19
		. — 10			27		-30	—7
Доказать, что			произведение				АВ матриц

Ч?	?]		■ Чс	2]
л	Го	о!	.
есть нулевая матрица 0 = к
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Н			Н	2] -

Эта задача показьгеает, что произведение двух матриц может быть нулевой матрицей и тогда, когда ни одна из матриц сомножителей не являет ся нулевой.

Задача 5,27 (для самостоятельного решения). Доказать, что если

ч ?

? } ч ;

о Ч ч «

з

и придумайте пример, когда произведение двух квадратных матриц третьего порядка является нулевой матрицей, а ни одна из пере­ множаемых матриц не является нулевой.

Задача 5,28. Доказать, что произведение двух диагональных матриц одного и того же порядка есть диагональная матрица того же порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть даны диагональные матрицы А и В:

		О] ]	0		0 . . .		0
	А =	0	а 2г		0 • • •		0	:	в =
		.......................				♦	♦ •
		О	о	о			а* а
	Тогда				'аиЬи		0		0 . . .
		АВ =			0		<*22^22		0 . . .

г & „	0 0 . . .	0 -1
0	622 0 . . .	0
, . . . .		. . .

10 0 0 . . . Ьм -

0

0

.0 0 0 • • •

что и доказывает требуемое.

Отметим, чтр произведение двух диагональных матриц одного и того же порядка коммутативно: для этих матриц АВ — ВА.

Задача 5,29. Доказать, что произведение АЕЛ= А, если А — квадратная матрица порядка п, а Е„— единичная матрица того же порядка. Убедиться, что АЕ„ = Е„А, т. е. матрицы А и Е — ком­ мутативны, если они одного и того же порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

~ Д ц	агг а »		• • •	а и	г 1 0 0
а21 а гг		аг» • • •		а 2Я ;	Е а = 0 1 0
-а„1	а„г	а пЭ	• • •	Я/1Л-	. о ’ 6 0

По правилу умножения матриц получаем

Г« И	а 12	« и	.	.	•	Й 1я’
<»21	&22	° 2 »	•	.	•	Л2/1

. . .	0
. . .	0
. . •	1.

- ° п 1

а п2

° п 3

• • •а п п -

Этот пример показывает, что в матричной алгебре единичная матрица играет такую же роль, какую в обычной алгебре играет /.

Задача 5,29а (для самостоятельного решения). Убедиться, что матрицы А и В не коммутативны.

Г5	2	2	П
А = 4	3	4	—2 .
.1	5	2	3.

Г20	20	4 1	Г24	17	2 1 1
АВ = 126	36	22 ;	ВА = 1 24	6	30
1.15	26	—3]	1.16	23	23.1
Задача 5,30. Даны		матрицы
					3
					4 *

Убедиться, что выполняются следующие алгебраические законы:

1) (А + В) С = АС + ВС;

2)А(В + С) = АВ + ВС;

3)А (ВС) = (АВ) ■С.

Задача 5,31. Проверить ассоциативный закон умножения мат­ риц на примере матриц

	А =	3 51	Г— 1 7 2'		Г - 1 2 ]
		2 3 ^	В =	3 1 4 ;	С = 1 3 0
			. 0	5 7.	1. 0 5^

Задача 5,32 (для самостоятельного решения). На примере квад­ ратной и диагональной матриц третьего порядка убедиться в спра­ ведливости таких утверждений:

1 ) умножение квадратной матрицы слева на диагональную мат­ рицу сводится к умножению на постоянную величину всех эле­ ментов каждой строки этой матрицы;

2) умножение квадратной матрицы справа на диагональную матрицу сводится к умножению на постоянную величину всех элементов каждого столбца этой матрицы.

О . СТЕПЕНИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Если А — квадратная		матрица,		то	Ак - А‘ —-4*+/; (И*)' = А*1.
Задача 5,33.	Матрица	М ! И-
Найти А2, А3, А* и А3.
Р е ш е н и е .	- аа=[I		•].[!		‘]=[187		,3|:
а'
№ — А?А =■ (18			, ! ] • [ !		4	32	31
						93	94[*
/!< ., М * ) '- [ ||		19] *[18			19	157	156]
						468	469];
л.	[32	31]	Г32	31]		Г 3907	39061
А* = (Л3)2 = |д^		94]	' [93	94]		[ 11718	11719]*

		- 1 1;000			0,2001
Найти Л3 и Аь.			к200		1000, ]
О т в е т .						1,408	1,0801
_	Г1,120	0,6081
“	10,	1 , 120] ’		А1		[!:080	1,408]
Задача 5,35 (для самостоятельного решения). Показать, что
все степени матрицы			0	1		0 ‘
		А
			0	0		1
			.1	1		0 .
начиная с пятой, не		содержат элементов, равных нулю, а степени
меньше пятой этим свойством не обладают.
Задача 5,36 (для самостоятельного решения). Доказать, что
любая целая степень п единичной					матрицы Е есть та же единич­
ная матрица,	т. е.

Еп = Е.

Е. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И СПОСОБЫ ЕЕ ПОЛУЧЕНИЯ

Если две матрицы А и В—квадратныеодного и того же порядка, а их произведение АВ есть единичная матрица

АВ = Е,

то матрица В называется матрицей обратной к А и обозначается

символом А-1	А ■А~' = Е.				(5,1)
Следует иметь в виду, что квадратная матрица А и ей обрат­
ная ^4- , коммутативны, т. е. А ■А- 1 = А~ 1			■А — Е.		обратную,
Для того, чтобы квадратная		матрица	А имела
необходимо и достаточно,	чтобы	определитель		| А \ матрицы А
не был равен нулю, т. е.	матрица А не должна			быть	особенной
(вырожденной).

Формула для вычисления обратной матрицы
Если Л — союзная матрица для матрицы А (формула	(4,13),
стр. 93), то обратная матрица для А
А~' = т -	(5-2>

т. е., чтобы найти матрицу, обратную матрице А, надо составить для А союзную матрицу А, найти определитель | А | матрицы А

5 И, А. Каплан

129

и разделить А на |Л |. Следует иметь в виду, что если порядок матрицы А большой, то получение обратной матрицы по этой формуле требует сложной вычислительной работы. Кроме того, существуют другие способы нахождения обратной матрицы. Мы укажем их после нескольких упражнений на применение фор­ мулы (5,2).

Операция определения обратной матрицы А~ 1 имеет исклю­ чительно важное значение для решения системы линейных алгеб­ раических уравнений.

Задача 5,37.		Доказать, что				матрица
			/Г>				0		—5]
								1		24
							0			4.
является	обратной для матрицы
			А =		'4	0			51
					0	1		— 6		•
					.3	0			4.
			4	0		51			4	0	—51
		К 1	0 1 —6 .				.	— 18 1				24
			.3	0		4.			—3	0		4.
4 • 4 + 0 • (— 18) +				5 • (—3)						-0 +	0	1 + 5 - 0
0 . 4 + 1		(-1 8 ) + ( - 6) - ( - 3 )								- 0 + 1		1 + (—6)
1.3 • 4 + 0 • (— 18) +				4 • (—3)						- 0 + 0		1 + 4 - 0
	4 . (—5) + 0 • 24 + 5 • 4									1 0		:	Е.
	3 . (_ 5 ) + 0 - 2 4 + 4 - 4								0 0
	0 • (—5) + 1 - 24 + (—6) - 4								0 1
Легко	проверить,		что	и	произведение					А на		А~ *	в обратном

порядке, т. е. ^4- ,	• А тоже есть единичная матрица. Действительно,
	4	0	—51	'4	0	51	1	0	0
— 18 1			24 • 0 1 —6				0 1		0
. —3 0			4.	.3 0		4}	.0	0	1
Задача 5,38. Найти союзную матрицу для матрицы
			ГЗ
			А =	4					( 1)
			.3
Р е ш е н и е .	Напомним			(см.	стр.	93),	что для		составления

союзной матрицы А надо найти алгебраические дополнения Ац элементов матрицы А, из этих элементов составить матрицу