книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Ап = 4;			А12 = — 18;				А13 ——
Аг -	0	;	А22=		I»		=	0;
1
А31=	—5;		А3ов		24;		^зз =	4.
Составляем	матрицу из алгебраических дополнений
			4	— 18		—3'
			О		1	0	,
			. —5		24		4
транспонируем	ее, чтобы			получить			союзную матрицу А и делим
на |Л| ** 1 . Учитывая,			что	на основании формулы				(5,2)'

-1 _ Л

“И Г

получаем

А~1=	4	0	—5
	— 18	1	24	•
	—3	0	4
Из равенства (а) следует,	что

ху	х4	х7	4
х2	Х3	хв =	— 18
Хл	хв	х9^	со 1 __
			1

Отсюда, выполняя умножение чаем

0	—5'	' 7	1 0	'
1	24 •	11	2	5
О	•	—2	11	1

матриц в правой части, полу­

Ху	X* X,	38	- 5 1	—5'
х2 X* X» =		— 163	248	29
X3	X«	—29	41	4.

Учитывая условия равенства матриц, находим

ДГ] =	38;	х2=	— 163;	х3=	—29;
=	—51;	=	248;	хв =	41;
х, =	—5;	хг =	29;	х„ =	4.

Отметим безусловную выгоду, которую мы извлекли, приме­ няя в данном случае определение обратной матрицы и используя формулу (7,4). Если бы эти системы решать по формулам Кра­ мера, то пришлось бы вычислять 10 определителей третьего порядка. Однако подчеркнем, что экономия в вычислениях полу­ чилась вследствие того, что матрица коэффициентов во всех трех системах была одной и той же.

Задача 7,7 (для самостоятельного решения). Решить системы уравнений, применяя метод, указанный в предыдущей задаче:

1)	2*| +	У\ +	^1 =	11;	2) 2 *2 + Уг •+■ 2г ** 2 ;
	*1	ух	в	15;		*г	+ .2г2 =	Г,
	3*| +		2^! =	14;	,	3* 2 +	у2 + 2гг =	—4; .
3)	2*,	Уа Л- 2.| =” —3;			4)	2*4 +	у4-(- г4 =	0;
	*.	+ 2г3 = 1 ;				* 4	+ 2г4 = — 1 ;
	3*.| ■+■Уз +		2^з =	5;		3*4 +	У*+ 224 =	12 .
У к а з а н и е .		Все четыре			системы представить в виде одного

матричного уравнения

' 2	1	п
1	0	2!
3	1	2	]

Для контроля

О т в е т .

г * . х2 X» * 4						И	2 - 3		0 '
	Ух Уг		У»	Ух	=	15	I	1	— 1
1	г,	г2	2з	Ч .		.14	—4	5	12
.
			- 2	- 1		2
	А ~ х =		4		1	— 3 .
			1		I	— 1 .

х 1 = — 9;

*з = — 13;

* , = 15;

* 4 = 25;

Ух =	17;
Уз =	2 1 ;
Уз =	—26;
5? II	СО
	1

II	Г-с
и
ы II	1
**
24 =	-1	3 ;

Задача 7,8 (для самостоятельного решения). Решить систему

	уравнений
	3*! — 2*з		— *4 ** 1;
		2*з +	2*з + *4 =		1;
	*1 — 2*з — З* 3 — 2* 4 =				1;
		* 2 +	2*3 + * 4 "		1-
	У к а з а н и е . Обратная матрица			коэффициентов
		1	I	— 2	— 4
	Л~! =	0	I	0 ;	— 1
		1 — 1		3	6
		2	1	— 6 — 10

О т в е т . *, = —4; * 2 = 0; *3 = 7; * 4 = — 13.

Теперь приступим ко второй части упражнений этого практи­ ческого занятия.

Из большого числа известных методов решения систем линей­ ных алгебраических уравнений мы будем пользоваться только одним из наиболее распространенных методов — методом исключе­

ния, который обычно называется методом					Гаусса (с другими мето­
дами читатель может ознакомиться по				книге:		Д. К. Ф а д д е е в
и В. Н. Ф а д д е е в а. Вычислительные				методы линейной алгебры,
Физматгнз,	1960).
Метод Гаусса в матричном			виде позволяет указать удобную для
практики компактную схему			решения,	которая		сводится к	пред­
ставлению	матрицы коэффициентов в виде произведения двух						тре­
угольных	матриц, а эту задачу мы уже				подробно разобрали на
предыдущем практическом занятии.
В матричном		виде система	линейных		алгебраических (7,1) за­
писывается	так	(7,3):
		Ах = 4,
где А— матрица		коэффициентов системы (7,1).
Представим матрицу А в виде произведения						нижней треуголь­

ной матрицы С на верхнюю треугольную матрицу В, причем ин­ тересующие нас формулы выведем применительно к случаю, когда диагональные элементы матрицы В равны 1.

А=СВ.

Тогда уравнение (7,3) запишется в виде
СВх =	4.	(7,6)
Произведение Вх матрицы В на	х — матрицу-столбец	неизвест­

ных, — будет матрицей-столбцом, который	мы обозначим через у
В х - у .	(7,7)
Уравнение (7,6) перепишется в виде
Су = 4.	(7,8)

После того как из уравнения (7,8) будет определена матрицастолбец у, из уравнения (7,7), в котором, таким образом, правая часть окажется известной, можно определить матрицу-столбец х, чем и закончится решение задачи.

Распишем подробно уравнение (7,8), учитывая, что С — нижняя треугольная матрица:

са 0	0	0 . . . 0 “	У\	” <*Г

С21	С	0	0	. . .	0	Уз
	22
С81	С22	С33	0	. . .	о	Уз	(7,9)
	СП2	СПЗ	СП* ‘ ■		СПП—	_ Уп_	1 .

Здесь элементы сц (», } = 1,2, . . . , л) иззестны, так как матрица А коэффициентов при неизвестных считается уже разложенной на произведение двух треугольных матриц С и В.

Перемножив матрицы в левой части (7,9) с учетом условия

равенства двух

матриц,

получаем такие

уравнения для определе­

ния неизвестных ух, у2, . . .

. У„-

сиУ\ —

СглУх “Ь С22у2=

съхУх +

СзгУг +

сззУз ™ ^з>

(7,10)

ск,1 Ух +

*• • + ск%к_2ук_г + ск,*_,*/*_, +

сккук — йк,

сл91 +

с*ъУ2 +

спзУз +

• *•

+

смуп = йя. ,

Из

этой системы

уравнений,

начиная

с' первого, получаем зна­

чения

неизвестных у-.

из

1-го уравнения

ух — ^

;

_<?* — ° * х У х .

из 2-го уравнения у2 =

из

3-го уравнения

у3 _ Аз

—

С)хУх —

сз*У * .

из к-го уравнения

“

с»

А к —

с кху х —

с н У *

—

с ю У з —

• • • —

с*. к - х У к - 1

Ук----------------------------- йй

и, наконец, из

л-ого

уравнения

„

— спхУх —

сп *У *

СпзУз

* * * ~

сп> п — хУа— Х

----------------------------- ^

Все эти формулы можно объединить в одну

У, =

(7.11)

После того

как

все

у,

(I =

1, 2 , . . .

, л) определены по фор­

муле (7,11), их надо подставить

в уравнение (7,7), в котором все

элементы Ьц (I,} = 1, 2,

. . .

, л) верхней треугольной матрицы В

уже известны, так как, повторяем еще

раз, что матрица А пред­

ставлена как произведение двух

треугольных

матриц.

~ 1	Ь12	&13	•	•	•	Л	*1	У\
0	1	Ьгз	•	•	•	Ь2п	Х 2	Уг
0	0	1	. . •			^зл	*з	Уз
0	0	0				I К-г.п	ХП-1	Уп-X
_0 0		0				0 *	- х п _	—Уп —
Все диагональные элементы матрицы В равны I. Умножив матрицы
в левой части		уравнения,				получим	матрицу-столбец, а учитывая

условие равенства двух матриц, будем иметь такую систему урав­ нений

Х\ 4" &12хг + ^13*3 4“				**■4" ^\ПХП= Уь
	Х г + Ъ чъХ г +			• • •4- Кпхп =			Уь
		ХЪ4-		• • •4-		пхп =	Уз»	,	п о.
			+	&Л-1 , пхп =			Уп-1'
						*п = Уп-
Начиная решение этой системы уравнений с последнего, по­
лучим
хп	Уп
Хп—1 в	Уп—1	1»п*п*
*3 ~ Уз— &34Х 4 --			Ь & Х 5 - - -			• • •--	Ь 3пХ п \
Х\ =	Ух — Ьпх2— Ьих3 — --------Ь1пхп.
Общая формула для	определения х4 (I =					1,2,	... , п)	запишется
так:
	*, =	</,—	5		Ь,кхк.				(7,14)
			*^/+1
Для удобства напишем рядом формулы (7,11) и (7,14)
			/—1		с!кУк
		*!— 2
			к~\

У, =

-------------- ;

П

= у*— „ Е . . К Я-/+1

По формуле (7,11) элементы д( находятся так же, как н эле­ менты Ь(/ (< < /) верхней треугольной матрицы по формулам (6,2 1 ). Ниже приводится так называемая компактная вычислительная схема для применения метода Гаусса решения линейных систем алгебраических уравнений (табл. 1).

Таблица 1 указывает компактную схему решения системы ли­ нейных алгебраических уравнений. Приведенный аппарат формул для решения системы линейных алгебраических уравнений по спо­ собу Гаусса приводит к такому простому правилу:

	1.	Заготавливаются схемы, аналогичные схеме на стр. 187.
	2.	Вычнслення ведутся в такой же	последовательности, как
н	в схеме на стр. 155: сначала определяются элементы столбцов,
а	потом элементы строк, т. е. элементы		первого столбца, элементы

первой строки; элементы второго столбца, а потом элементы вто­

рой строки;	элементы третьего столбца, а потом элементы третьей
строки и т. д.
3. Чтобы получить элементы, расположенные на главной диа­
гонали или	ниже ее, берется соответствующий элемент матрицы
А и из него	вычитается сумма произведений элементов, располо­

женных в той же строке и в том же столбце, что и вычисляемый элемент, причем произведения берутся так, что умножается первый элемент в строке на первый элемент в столбце, второй в строке— на второй в столбце р т. д.

4. Чтобы получить элемент, стоящий над главной диагональю, поступают так же, как указано в п. 3, но полученное от вычитания число надо еще разделить на диагональный элемент той же строки,

вкоторой стоит вычисляемый элемент.

5.Искомые неизвестные вычисляются в таком порядке:

*«, хг, х2, хи

т. е. так называемым «обратным ходом» по формуле (7,14)

П

Если вычисления ведутся с помощью арифмометра или клавиш­ ной машины, то элементы в табл. 1 получаются без каких бы то ни было промежуточных записей.

Все вычисления должны быть проконтролированы. Контроль осуществляется так: для него отводится последний столбец и по­ следняя строка вычислительной схемы. Последний столбец делится на две части: верхнюю и ннжнюю (см. табл. 1). Элемент верхнего

столбца, который мы обозначим через	равен сумме элементов,
стоящих с ним в одной и той же строке,

/, - $ « / / + <*/•

	Т а б л и ц а 1
КОМПАКТНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ СПОСОБА ГАУССА	__________

	*|		*г
	«и		«1*
	«21		а»
	«31		032
	«4.		«42
	«И —«11	\	к — ?1*
			"1* ~ '
			«и
	сч —«21		сгг—агг— |
			— а21^12
	II	с?	«32~«32—
			—а31^12
	II		«42= «42—
			—°41^11

Х\—У\—б^Х*-*- Хг^Уг—

—^1Л —^14*4 6*3X3 6*1X4

*л

«13

«23

«33

«43

ь - ? й «13 “ Г“

«11

йв = а*> ~ см У

«22

«33“ «33““	I
—«зАз—«3362З

«43—«43—С41б13 —«4*6*3

х»=Уз—Ь,1Х1

*4	4	Контрольный столбец
		и и */
		1

«14

«24

«34

«44

ь - Ь~« «14 —«11

к __ «*4 — С2|6ц 14 _ СМ

634 = «34—««1614—«326*4

«33

			/| = «11+«12+«13+«14+^1
	<к		/*=«21 +«2*+«23+«*4+^2
			/з = «31+ «32+«33+«34+^3
			Л =«41 +«42+ «43+«44+^4
	у‘ =	^	*	- Ь .
			1	о„
		«22		«22
Уз —	^з—«31У1—«з1У1		к _ N	«31^1 — «32^2
		-	*•	ъ ----------
		«33

«44 —«44—С«1бм—	1	.	у* =	^	—«41^1—с*1^1^с49^3
		_ Ла—СаМ —с**И*—с*1У»
—«426*4—«43634			«44	4	«41

*4=У4

Элементы же нижнего контрольного, которые мы обозначим через к(, получаются, как и элементы верхней треугольной матрицы, т. е. по формуле

I* с//*/

к,-

Контроль состоит в том, что элементы контрольного столбца должны быть равны сумме элементов, стоящих в той же строке над главной диагональю. Например, в схеме элементы контроль­ ного столбца должны быть равны:

** 1 + ^2» 4* Ьи + Уг<

^ з = 1 + ^э« + Уз<

“ у*-

Контроль должен осуществляться после вычисления каждой строки.

Т а б л и ц а 2

*1					*4			и	и	к (
3		2	- 1		5		— 8		1
1		I	—	I	1		— 4	— 2
1		— I		1	2		0		3	Г<
2		— 3	—	I	3		— 15	—	14
3	1	2		1	5		8		1
		у		3	У		3		т
1		т	—	2	- 2		- 4		— 7
			'							*/
		5		'	+4				9
I			— 2				2
		" У							Т
2		~у	- 9		+4	'	— 2		—	1
		13
1		2		5	— 2		!
							У>

I I I ■*»

Задача 7,9. Решить по способу Гаусса систему уравнений

3*! + 2* 2 — * 3 4- 5*4 = —8;

— Х3 + *4 = —4; XI — *2 4- Х3 + 2*4 = 0;

2*| — 3* 2— * 3 4- 3*4 = — 15.

Ре ш е н и е . Используя указанный аппарат формул (7, 1 1) н (7,14),

стакже схему, приведенную в табл. 1 на стр. 187, располагаем все вычисления, как указано в табл. 2 , стр. 188. (Вычисления про­ ведены в простых дробях для упрощения проверки по ходу реше­ ния. Дальнейшие задачи решаются в десятичных дробях).

Задача 7,10. Решить по способу Гаусса систему уравнений

		2*1 4~ *2	3*з 4~ 5*4 =		18,9012;
		*1 — *г 4* * 8— 3*4 =			14,0800;
		3*1 4- *2 — *з 4- 2*4 =			—2,2954;
		5*1 4- 2*2 — 3*а 4- *4 =			—6,3764.			Таблица 3
		х2	**		* 4			<1/	1/ и к,-
	2	1			5			18.9012	23.9012
	1	— 1	1		—3			14.0800	12.0800
	3	1	—1		2		—2.2954		2.7046
	5	2	- 3		1		-6,3764		—1.3764
									//♦
2	1	0.5000	-1,5000		2,5000			9,4506	11.9506
	1	—1.5000 1	-1.6667		3,6667		-3.0863		—0,0863
	3	—0.5000	2.6667	1	—1.3750		—12.0717 —12.4467
	5	—0.5000	3,6667	—4,6251		1		2,3590	3.3590
	3.5359	—26.4498	—8.8281		2.3590
	*	*	I		I		I	I

•*1

**

*»

* 4

V I

Л/

Р е ш е н и е . Для решения используем компактную схему, при­ веденную на стр. 187, в которой как уже указывалось, использо­ ваны формулы (7,11) и (7,14). Последний столбец отведен для контроля. Читатель должен проделать все вычисления с помощью арифмометра или настольной клавишной вычислительной машины. Все вычисления помещены в табл. 3. на стр. 189.

Задача 7,11 (для самостоятельного решения). Решить-систему уравнений

0,8320л;, + 0,4670*2 +				0	+	0	+ 0,0155** =		0;
0,4670лс, +		1,5160*2 +		0,0467*, +		0	+	0,0294*» =	—0,302;
0,0155*, +		0,0294*2 +		0,0561*, +		0,0561*, +		0,0283*» =	—0,634;
0	+	0,4670*2 +		1,7850*, +		0,5120*, +		0,0561*» =	— 1,163;
0	+	0	+	0,5120*, +		1.4720*, +		0,0561*» = — 1,977.

О т в е т . *, = 0,378; *2 = 0,0485; *,=0,184; *, = —0,580; *» = = —21,7.

Задача 7,12 (для самостоятельного решения). Решить систему

уравнений
*1 +	*г +	+	*» =	3;
*, +	2*2 + 2*, +	3*, +	4*» =	9;
2*, +	*2 — 2*, +	2*4 +	3*» =	— 16;
3*, +	2*2 — 3*, +	4*, +	*» =	2;
—*, +	* 2— 4*, +	4*, +	2*» = — 12.

Ответ.

*, =

1;

*2 — — 1; *, = 2; *, =

— 2; *» = 3.

Задача

7,13 (для

самостоятельного решения). Решить систему

уравнений

10*, +

л ,— 2*з +

*, +

2*» = —20;

2*| +

20*2 +

3*, —

*, +

3*» я

15;

3 * , —

2 * 2 +

2 5 * ,+

* , —

2*»»=—20;

—

—

2дс2 +

*, —10*, +

2*» = —40;

2*| +

2*з + 3*, —4*, +

50*» » —75.

О т в е т .

*, =

—2,411;

* ,=

1 ,439;

* ,= —0,633:

*, = 3.664;

*» = — 1,130.

Задача

7,14 (для самостоятельного решения). Решить

систему

уравнений

0 .5 * ,+

0

+

* ,+

1,023*,= 4,725;

• .5 * ,+

х2 +

0

+

3,702*, =

3,402;

1,273*, — 2,752*2 +

3,208*,— 1,305*, =

2,709;

2*, +

* 2 +

*, +

4,007*, =

1,231.

О т в е т . *, =

— 14,980;

* 2 =

-9,682;

*, = 2,390;

*, =

9,604.