книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

У к а з а н и е . В этом случае матрица А представляется в виде произведения таких двух треугольных матриц (нижней и верхней):

0Ц	012 013	• • •	вьГ			си	0	0 . . . 0
021	022 023	• • •	02л			• 021	022 ^ . . . У
031	032 033	• • •	° 3л			031 032 033 --- 0
- °л1 ап2 0*3		• • •	апп-			~Сп1 Сп2 СпЗ *• * Спп-
			" 1	Ь\2		• • * ^1л
			0	1	^23 . . .		Ь2п
		X	0	0	1	• • •	ьВп
			_0	0	0	. . .	1	_

Последовательность определения элементов сцЦ > /) и &//(»</) указывается такой схемой:

	—	а и		Ьц		Ь13	Ьы .
					I I ---------- -
	С21 ~	^21		с22		^23		•
				I I I		IV ------------
	С31 =	031		с32	^31		у34
						V VI-----
	с41 =	41		<42 4		3 11	И Т.	Д.
(Римские	цифры над	стрелками			указывают			последовательность,
в которой должны определяться элементы).
Задача	6,9. Пользуясь		формулами (6 ,2 1 ), представить матрицу
			“	2	4	6	2'
		.		4	2	2	1
		А ~		1	2	1	1
				—3	1	1	2
в виде произведения двух			треугольных матриц нижней и верхней.
Р е ш е н и е . Поступим			так же,			как и в		предыдущем	случае.
Напишем матрицу А, а под				ней матрицы С и В — см.					формулу

(6,10), причем вместо диагональных элементов матрицы В впи­ шем 1. В нижней таблице подробно выполнены все вычисления по формулам (6,21 ).

6 И. А, Каллам

161

2		4		6			2
4		2		2			1
	1	2		1			1
							N
- 3		1		1			2
2	1	2		3			1
	4	2 - 4 - 2 =	1	2 - 4 - 3	5		1 — 4 . 1	1
		= - 6		- 6			—Ъ	2
	1	2 - 1 - 2 = 0		1 — 1 . 3 = —3		1	1 - 1 • 1 - 0 - 4 -		0
							—2
		1 _ (—3) • 2 =		1 — (—3)- 3 — 7 X			2 — (—3 • 1 ) - 7 х
- 3				Х А = _ А			1	3	1
		= 7
							Х Т “	7
				* 3	3
Таким	образом, матрица А представлена в виде произведения
			.0	0 0“		“ 1 2	3
			—6	0 0		0 143
			0 —2 0		•
			-	5 3		0 0 1
			7 -т Т_			,0 0 0

На стр.

156 было

указано

правило

преобразования

матрицы

в произведение двух

треугольных

для случая,

когда си ^

1 . Вы­

ведите аналогичное

правило для

рассматриваемого

случая, когда

в матрице В диагональные элементы

Ъа — 1 .

Ь„= 1,

Задача

6,10.

Полагая, что

в формуле (6,10) элементы

представить указанные

матрицы

в виде

произведения

двух тре­

угольных

матриц:

“ 1

4

5

7“

“ 3

6

9

—3“

0

5

1

—2

2

3

0

1

3 —4

5

1 ; 2)

2

4 — 1

2

_1

0

1

2_

_1

1

2 — 1 _

~1	0	0	0 "		" 1	4 5		7 ~
0	5	0	0		0	1	1	_ _ 2
3 — 16		34	0	•			5	5
		5			0	0	1	66
		16	99					17
1	—4					0
		5	17 _		_0		0	I _
“ 3	0	0	0 “		“ 1 2 3 — 1 “
2	— 1	0	0	•	0	1	6	—3
2	0	—7	0		0	0	1	4
			1					7
1	— 1	5			_0	0 0
			7 _					1
З а м е ч а н и е .	Во	всех	предыдущих				вычислениях мы пред­

ставляли матрицу в виде произведения двух треугольных: пер­ вый сомножитель был нижней, а второй — верхней треугольной матрицей. Однако такой порядок сомножителей не является обя­ зательным и матрицу можно разложить на произведение двух

треугольных матриц так,	чтобы первый сомножитель был верх­
ней, а второй — нижней	треугольной матрицей. Относящиеся
к этому случаю формулы	мы указывать не будем.

IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ПРИ ПОМОЩИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЕЕ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ

	Задача 6,11. Доказать, что если матрица А представлена в виде
произведения двух матриц		С и В, т. е.
		А — СВ,		( 1)
то	матрица А~1, обратная	матрице А, определяется по формуле
	А-1 = В~1С~1.
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Обе части равенства			(1) умножим слева
на матрицу С~1, обратную матрице С
	С~1А = С~'СВ,			(2)
но	произведение С~1С есть единичная матрица			Е, т. е. С~гС =■ Е,
а потому равенство (2) перепишется			так:
	С~1А - ЕВ -		В,	(3)

так как произведение матрицы на единичную матрицу в любом порядке оставляет эту матрицу без изменения. Теперь обе части

равенства	(3) умножим слева на матрицу В~1, обратную матрице В,
и получим
	В~К~'А = В~>В = Е.
Таким	образом, произведение матриц
	В -'С -'А = Е.	(4)

Перепишем (4) в виде

(В- , С-1 )Л — Е.

Усматривая, что произведение матриц (5- , С~1) и А есть еди­ ничная матрица Е, заключаем, что матрица В~1С~ 1 является обратной для матрицы А, т. е. матрица В- 1С- 1 есть А~1. Итак.

А -1 = В~*С~1,

(6,22)

	что и	требовалось доказать.
	Заключение. Матрица, обратная произведению двух матриц,
	равна	произведению обратных		матриц сомножителей, взятых в об­
	ратном	порядке.			матрица А равна произ­
	Можно доказать, что и вообще, если
	ведению п матриц
	то	А = Аг • А2• А3 . . .			Ап,
		А - ' - А ?		... А ~'А ?А ?
	(доказательство проведите		самостоятельно).
	Читателю уже известно, что любая матрица А, удовлетворяю­
	щая условиям, указанным		на	стр. 151,	может быть представлена
	в виде произведения двух треугольных				матриц С и В, а обраще­
	ние треугольной матрицы,		как видно из предыдущего, не пред­

ставляет больших затруднений (задачи 6,1—6,4).

Таким образом, для обращения матрицы А надо: 1) предста­ вить ее в виде произведения двух треугольных матриц С и В (нижней и верхней, или верхней и нижней), 2) определить ма­ трицы, обратные этим треугольным, и 3) полученные в п. 2 матрицы

перемножить в обратном порядке, т. е. если
А =	СВ,
то	В-'С-К
А -1 =		(6,22)

Формула (6,22) дает еще один способ получения обратной матрицы. Итак, задачу определения обратной матрицы при помощи ис­ пользования двух треугольных можно считать решенной. Однако можно найти матрицу, обратную данной, минуя определение

матриц, обратных полученным треугольным.

V. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ ДАННОЙ БЕЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТРИЦ, ОБРАТНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫМ

Покажем, что обращение матрицы							можно произвести		и без		ис­
пользования формулы (6,22), т. е. минуя								определение матриц В~ 1
и С ~ \		обратных	тем		треугольным,		на	которые разложена			ма­
трица		А.
Из формулы (6,22)					умножением ее обеих частей сначала слева
на матрицу В, а потом						справа на матрицу С получаем
						ВА~1 = ВВ^'С-К
Но	произведение ВВ~1					матрицы В на обратную ей матрицу В~1
есть	единичная матрица					Е, потому
						ВА~1= ЕС-1,				(6,23)
а произведение ЕС~1 единичной матрицы								Е на матрицу	С- 1	остав­
ляет	эту последнюю			без изменений:			ЕС~Х■■ С-1. Поэтому			(6,23)
перепишется так:						ВА-1 = С-1.				(6.24)
Аналогично легко				показать, что
						А~Ч: = В '1.				(6,25)
Введем такие			обозначения:
1) элементы матрицы А будем обозначать через ац, а элементы
ей обратной матрицы — через							В и С обозначим				Ъц
2)		элементы треугольных матриц							через
и сц соответственно,				а	элементыим		обратных матриц — через				&/

иТ//•

Вразвернутом виде формула (6,24) запишется так, причем мы

рассмотрим только тот случай,					когда	диагональные		элементы ма­
трицы В равны		1 (см. задачу 6,8 и указание к ней);
				ВА-1:= С- 1
1	^ 1 2	^13	• • •	Ь 1п	“ « .7	а 12	а 13 • • •	а 1л
0	1	&23	• • •	^ 2 л	а 21	а 22	а 23 . . .	2
								& л

0 0

_ 0

0

1	&34 ...	Ь3п	• а 31	а 32	азз	•• •	л
о*	О •	1	_ а л1	<*л2	«Л3	• ••	а лл
|В |
				\А~г\
	Ти	0	0	0 ...	0 "
	Та	Т22	0	0 . . .	0
	Т31	Т32	Тзз	0 . . .	0
	-Т/Ч	Тл2	ТлЗ	• • •	7лл—

• \с - Ч

Из этой формулы легко определятся те элементы яц, которые стоят в треугольнике над главной диагональю (для них первый индекс I меньше второго индекса /:» < у). Для этого надо исполь­ зовать правило умножения матриц и условие равенства двух матриц. Например, умножая элементы первой строки матрицы В на соот­ ветствующие элементы второго столбца матрицы Л~*и приравни­ вая сумму произведений нулю — элементу 1 12 в матрице С-1, полу­ чим

®12 "I" ^12«22 +	^13«82 +		^14«42 +	• • •	+ ^1Л«Л2 =		О
ИЛИ			п
	« 1 2 +	I I Ь 1к а к 2 = О ,
откуда	А - 2
	« 1 2 =	-----.1 1 ^1* « * 2 *
			я —2
Здесь нижний индекс суммирования к ~					2 есть первый			индекс 1
определяемого элемента	а 12, сложенный			с 1, т. е.		2 = 1	+	1. Легко
установить и общую формулу			для определения			элементов я,/ при
« < /
« / / *	— . ! ]		Ь1кяы.	( / < / ) .				(6,26)
	Л-1	+1

Для определения диагональных элементов яи и элементов я^, стоящих под главной диагональю (/ > у), воспользуемся формулой

А~К = В

|В~М

Определяемые из этой формулы элементы стоят в треугольнике первого сомножителя. Напомним, что если диагональные элементы треугольной матрицы равны 1 , то в обратной для нее матрице диагональные элементы также равны 1 — см. формулу (6,8).

Например, элемент «м определится из произведения элементов последней строки первого сомножителя на соответствующие эле­ менты последнего столбца второго, если сумму этих произведений приравнять на основании условия равенства двух матриц элементу

матрицы В-1:

<*« • 0 +

а„г • 0 +

• • •

+ <*«, • ст =

$т =

1;

ам =* спп

^пп

Рассмотрим

вычисление

какого-либо

другого

диагонального

элемента,

например

а33;

«31 • О +

« 8 2 • 0 '4*

а 33• С33 +

«3 4 • С43

4 *

«35С43+

* * *

+

лЗпСпЗ — 1»

« 3 8

= с3»

П

—

(«Э4С43

4 -

«36С63

4 *

* * ‘

4 *

«ЗлС лз)1;

п

а«

=

- ^ [ 1 -

2

«а*

^з].

*-4

(здесь нижний

индекс

суммирования 4 =

3 + 1 ,

т.

е.

он равен

индексу I

определяемого

элемента плюс

1) и вообще

аи ~

^

а/*с4/|»

(6,27)

*=Н-1

а элемент а,/, стоящий под

главной

диагональю

(» >

/),

находят,

как легко

проверить, по формуле

$

а‘кСк1

«//

»-/+!

(« > /)

(6.28)

И

с !:

Из формул (6,26) и (6,27) видно, что элементы лц обратной матрицы А~1 выражаются через элементы Ьа и сц тех треуголь­ ных матриц, в виде произведения которых представлена данная матрица А, а элементы матриц, обратных треугольным, определять нет надобности. Для удобства выпишем формулы (6,26), (6,27) и (6,28), по которым определяются элементы обратной матрицы:

г»

»// = — X А * а*/; (» < /) Л-/+1

XI	(‘ = /)
*»<+!
2 V	У
а// = _ - Ш	; (*>/)•

В заключение укажем последовательность, в которой следует вести вычисление элементов а,/, так как между ними существует зависимость, определяемая формулами (6,26) — (6,27), причем эту последовательность укажем применительно к матрице пятого порядка

__	1	VIII	VI	IV	II
		>
IX «Ц	«12		«13	«14 1	«13
«-	1

VII	<*21	а«
V	а31	а32
III	а4,	а42

«23	«24	«25
«33	«34	«35
«43	«44	«45

I * ы «52

«53

«М

«55

Из этой схемы видно, что сначала следует определить элемен­ ты последней строки, начиная с последнего а»», а затем элементы последнего столбца, начиная тоже с последнего, затем — элементы предпоследней строки и предпоследнего столбца, опять-таки начи­ ная с последнего и т. д. Стрелки и римские цифры, проставлен­ ные на этой схеме, указывают необходимую последовательность.

На практике обратную матрицу получают, пользуясь такой схемой:

1 . Выписывают данную матрицу.

2.Под ней образуют две треугольные матрицы, произведение которых равно данной (см. предыдущие задачи).

3.Под этими матрицами по формулам (6,26) — (6,28) получают обратную матрицу данной, соблюдая последовательность опреде­ ления элементов по указанной схеме.

Этот способ обращения матриц достаточно компактен и при использовании клавишных вычислительных машин не требует про­ межуточных записей вне таблиц, так как эти машины позволяют вести «умножение с накоплением». Ниже эта схема применяется при решении ряда примеров.

Задача 6, 12. Обратить матрицу

2	7	1	4
5	2	0	— 1
3	4	2	I
6	8	4	3_

2			7	«
5			2	0
	3		4	2
	6		8	4
2		1	7	1
			2	ъ
	5			5
			2	31
	3		13	«	,
			2	31
	6		—13	96
				зг
	1		5	23
“	и		54	24
	5			67
	54			48
	7		13	7	’
“	54		” 48	48
	0		0	—2

	4
	— 1
	1		\ац\
	3
	2
	22		1М
	5Т
		1
		4
	1		1
	1
	2
	.	3	К /1
		4

т

1

Ниже приведены подробные вычисления элементов а(, обратной матрицы.

		1	1
а44 *= ;— =			т 3=5 1*
			96
— —	а 44С43		Л	= - 2?
		СЭЗ	48
			31
а 4А		• ^А2
а4?- — А—3____________ __			а 43^Я<	а 44С42
	С2*			С2а

31

31

.

о-

и’

т

2

° 4*С*1

*-2__________ а<2^2| Ч* а48^81 4- Д44С11

_

с \\

с и

<Ь'5 + ( - 2 ) * 3 + 1

-6

2 .

^

"-‘0;

а 34 —

--- ^34 ‘ а 44 =

^

4“| ’

1 =

“5'»

4

а 24 “

----

5 ]

& 2ка к4

(^23а 34 +

&24а 4 4 )

=

л«з.

/5

1

л- 22

I х. -

Л3

3 .

“ — \З Г

Т

+

5Г"

1) -------124 **

4" ’

4

« 1 4 = ----

2

^ 1 к а к4

в

----(^12а 24 +

&13а 34 +

&14а 44)

к -2

= - [ т * ( ~ т ) + Т ' Т + 2 ‘ 1 ] “ Т ;

а«

= ^ з ! 1 ”

2

аз«с« ] = й

•

( ! -

т

• 1 т) -

Л—4

31

4

5] аэ* • Скг

а32 —

кш3______

а 33с 3 2 « 4 - 0Г34С12

с22

С%1

7 /_ 1 3 \ ,

I (_,з>

13

48\

Т

/ +

Т (

13)

31

“

_

45»

5] ®а^ 1

а 31

А-?

а 82С21 4 ~ а Ш^81 Ч" а Э4С41 =

Сп

е

,

7

«

“

!3

7

45’ 5 + 4§ * 3 + Т

* 6

4

24:

«23 =

---

&2*аЛЗ =

-- 023а33 +

&24а4з) а

к-Ь

Г 5

7 .

22 у

0

1

67

= — [ з Г 45 + 5Г <— 2 > ] в 55 *

4

« 1 3

* * -----

Д

^ 1 * « * з ™

-----(^ 1 2 « 2 3 +

^ 1 3 а 33 +

^ 1 4 а 4 з)

-

/ 7

67 а . 1

7 . 9 / 9 ^

23.

-------( Т

•

Й

+ Т

• 45 + 2 <“

2);

24’