книги / Практические занятия по высшей математике. Численное решение алгебраических и трансцендентных уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование линейных дифференци

Если среди элементов, на которые требовалось производить де­ ление, окажутся равные нулю, то надо сразу раскрывать определнтель (9 ,2), не прибегая к дальнейшим его преобразованиям, или переставить строки так, чтобы избежать этой неприятности. Теперь применим описанный метод к нескольким матрицам, выполняя все указанные операции последовательно. В качестве матриц возьмем те, которые нам уже встретились в задачах 8,1 — 8,5.

Задача 9, 1 . По методу академика А. Н. Крылова найти ха­ рактеристическое уравнение матрицы

5	1	4
А = 3	3	2 .
6	2	10

Р е ш е н и е .	1 . С этой	матрицей мы уже встречались в задаче
8 ,1 . Находим	первые строки последовательных степеней матрицы А
по формуле приведения (9,		1)
		52	16	62
		680	224	860

Первые строки матриц Аг и А3 можно получить проще, не при­ бегая к формуле (9,1): на отдельном листке бумаги написать мат­ рицу А и этот листок приставлять поочередно к матрице А и Аг, составляя сумму произведений элементов первой строки этих мат­ риц на соответствующие столбцы «приставной» матрицы.

2. Составляем определитель вида (9,2)

	1	1	0	0
Я(Х) =	X	5	1	4	(первая	строка за­
	X*	52	16	62	данной	матрицы)
	X»	680	224	860

3. Теперь разделим элементы каждого столбца, начиная с треть­ его, на верхние их элементы, находящиеся во второй строке:

1	1	0	0	1	1	0	0
X	5	1	1	X	5	1	1
0(Х ) = 4 • X*	52	16	62	= 4 X2	52	16	31
			4				2
X»	680	224	860	X8	680	224	215
			4

Вычтем из элементов четвертого столбца соответствующие элементы третьего. Получится определитель

	1	1	0	0
	X	5	1	1 — 1
1>(Х) = 4 -	X»	52	16	31	16 = 4 х
	X8			2
		680	224	215 — 224
	1	1	0	0
X	X	5	1	0
	X*	52	16	1	Ф
	X8	680	224	“ 7
				- 9

Теперь разделим все элементы четвертого столбца на — у :

1	1	0	0
X	5	1	0
0 (Ь) = 4 - ( - 4 ) X8	52	16	1
X8	680	224	18

Еще раз напомним: последний элемент последнего столбца равен следу заданной матрицы, т. е. сумме ее диагональных элементов, а предпоследний элемент должен быть равен 1. Раскроем этот опре­ делитель по элементам первого столбца, начиная с его последнего элемента.

			1	0		0		1	0	0
Я(>0 = 4 - ( - т )	—X8		5	1		0	+ х*	5	1	1
			52	16		1		680	224	18
1	0		0	+ 1		5		0
—X 52	16		1			52	16	1
680	224		18		680		224	18
1. Определитель	при	X8 равен
	1	0	0	=г	1	0
	5	1	0
					16		1
	52	16	1

(Напомним, что если все элементы какого-либо ряда определителя, кроме одного, равны нулю, то определитель равен произведению этого, не равного нулю элемента, на его алгебраическое дополне­ ние).

2.	Определитель			при X*
			1		0	0	_	!		1	0
			5		1	0						=	18.
			680	224		18		1224			18
3. Определитель при X
			1		О	0		I	16		1
			52		16	1						=	64
			680		224	18			224		18
4.	Свободный		член
			5		1	0	=			0		1	0
			52		16	1			—28		16		1
		680		224		18	1	—440			224		18
				1	—28			=* — (—64) =					64
		~		1—440			18
Таким образом,
	О	(X) =		4 • (—		-у) (— X®+				18Х* +		64Х +		64).
Характеристическое					уравнение запишется							так:
или						О(Х) = 0
		4	• ( “		т )			+	18^ +		64х +		64) = о.
Сокращая на множитель 4 • у—									и умножая обе части уравне­
ния	на — 1 , получим окончательно
			X»— 18Х* — 64Х -							64 = 0 .
Это же уравнение было найдено в задаче 8 , 1.
Задача 9,2.		Найти			методом академика А. Н.									Крылова харак­
теристическое		уравнение матрицы
						1	1	—	6		2 1
						6			1 0 —4
						2		— 4			б]

мулой (9.1) или приставной табличкой (это в данном случае, пожа­

луй, проще)

-161 — 134 58

А* =

'2691 —2538 12081

А* =

2. Составляем определитель вида (9,2)

1	1	0	0
X	11	— 6	2	первая строка
X*	161	— 134	58	матрицы А
X»	2691	—2538	1206

3.Разделим элементы третьего столбца на элемент — 6 , а эле­

менты четвертого столбца на 2, в результате чего определитель

1	1	0	0
X	11	1	1
О (X) = — 6 • 2	161	67	29
X*		7
X*
	2691	423	603

Вычтем из элементов четвертого столбца соответствующие эле­ менты третьего столбца. Тогда

1	1	0	0
X	11	1	0
Я (X) = — 6 • 2	161	67	29 —
X*		3
X®	2691	423	603-
1	1	0	0
X	11	1	0
= —6 - 2	161	67	20 •
X*		3	3
X®	2691	423	180

Разделим элементы четвертого столбца на у.*

1	1	0	0
X	11	1	0
О(Х) = - 6 - 2 . ^ .	161	67	1
X®		7
			27
X®	2691	423

Контроль: Последний				элемент в последнем столбце равен следу
матрицы А.
Разлагаем этот		определитель					по элементам первого									столбца,,
начиная с его последнего элемента
		г			1		0		0					1	0	0
Я(Х) = -			— X3		11		1		0	+		Х3		11	1	0
							67
					161				1				2691		423	27
							У
		1		0	0					11			1	0
— X		161		67	1		+		161				67	1
				У									У
	2691			423	27			2691					423	27
Определитель при			X3
			1	О				1		О
		11		1								=	1.
								67		1
		161		^	1
								У		1
Определитель	при X*
		1		О	0				1			0
		11		1	0								=	27.
	2691		423		27			423—27
Определитель	при X
		1	О		0
	161		|		1	=		67				1	=	180.
								У				1
2691			423		27			423			27
Свободный член
11			1	0				0					1	0
161		67		1	=			254				67		1
		У					— Г						3
2691
		423		27			— 1962					423		27
(к элементам первого столбца прибавлены элементы второго
столбца, умноженные				на — 1 1 )
			254		.
		—		3	1		=	-	(-324)					324.
		— 1962			27

8 И.. А. Каплан

225

Таким .образом, приравнивая /Э(Х), нулю, получаем характери­ стическое уравнение для матрицы А

О (X) =: —6 • 2 - 2? (_х» + 27Х* — 180Х + 324) = О,

или окончательно
		X3— 27Х2 +	180Х — 324 = 0.
Такое же уравнение найдено и в решении задачи 8,2.
Задача		9,3. Методом академика			Крылова найти характеристи­
ческое	уравнение матрицы
		А =	6	3	2
			3	6	2 .
			2	2	1
Р е ш е н и е . С этой матрицей				мы	встречались в задаче 8,3.
1.		Определим первые строки			ее степеней Аг и А3, пользуясь
формулой		приведения (9,1) или «приставной» матрицей ^
		49		40	20
		А3=
		454		427	198
		А3 =	•		• •	•

2. Составляем определитель вида (9,2)

1	1	0	0
X	6	3	2	первая строка
X2	49	40	20	матрицы А
X3	454	427	198

3.Разделим все элементы третьего столбца на 3 (верхний эле­

мент	этого столбца в	его	второй	строке),		а элементы четвертого
на 2	(верхний элемент	во	второй	строке этого столбца):
			1	1	0	0
			X	6	1	1
	0 (X) =	3 • 2 • X2		49	40	10
					Т
			X3	454	427	99
					Т

Теперь из элементов четвертого столбца вычтем соответствую­ щие элементы третьего столбца

				1		1	0	0
				X		6	1	0	10
	О (X). = 3 - 2 -			X»		49	40
							7	_	7
				X3	454		427	130
							х
Разделим все элементы четвертого столбца на									элемент			и по­
лучим						1	1	0		0
						X	6	1		0
О (X) =		3 - 2 - (—			-	X3	49	40		1
								7
						X3	454	427		13
								X
Разлагаем	этот	определитель				по элементам первого						столбца,
начиная с его	последнего-элемента.
					1	0	0			1	0	•0
О (X) = 3 • 2			— X3		6	1	0 + Х*			6	1	0
					49	40	1			454	427	13
						7					3
		1	0	0			6	1		0
	X	49	40	1 +			49	40		1
			7			1		Т
	454		427	13		454		427		13
			X					3
Определитель при X3
		1	0	0			«
		6	1	0		1	0
		49	40	1		40
			7			7	1
Определитель при X3
		1	0	0				1
		6	1	0		1	0
	454		?	13		427	13
						X

Определитель при X
	1		0	0		40	1
	49		«	1	Ж»	7
							СО	31.
	454	^		13
Свободный член
	6	1		0		0	1	0
	49	40		1		—31	40	1
		7					7
	454	427		13	—400		427	13
		Т					X
(элементы второго		столбца			умножены		на —6 и прибавлены
к элементам	первого		столбца)
		I	—31		1	- ( - 3 )		- 3.
		1—400			13
Подставляя	эти значения определителей							в О (X) и приравни­

вая нулю полученное выражение, находим характеристическое уравнение

0(Х) = 3* 2 ( — -у )(—Х» + 13Х»— 31Х + 3) = 0

и окончательно

X»— 13Х* + 31Х — 3 = 0.

Это же уравнение было получено в задаче 8,3.

Задача 9,4 (для самостоятельного решения). Методом академика Крылова найти характеристическое уравнение матрицы

		3		2		Л
	А = 2			4		2 .
		1		2		3 |
О т в е т .	X*— 10Х*4-24Х — 16 =			0		(см. задачу	8,4).
Задача 9,5 (для самостоятельного решения). Найти методом
академика	Крылова характеристическое уравнение						матрицы
		“5	1 3			2"
	А =	2	3		1 3
		4	2	4		6
		3	1 3			4

Промежуточные результаты:
А2=		45	16	34		39
А3=	510		200	404			498
6060		2416		4840			6036
А* =
2. Определитель (9,2) имеет вид
1		1		0			0	0
X		5		1			3	2
X2		45		16			34	39
X*		510	200			404		498
х«	6060		2416		4840			6036
О т в е т . Х« — 16Х» + 52Х2 — 48Х =					0.
Задача 9,6 (для самостоятельного решения). Найти методом
академика Крылова характеристическое уравнение матрицы
		” 5		4 3		2	Г
А		4		8 6		4	2
		3		6 9		6	3
		2		4 6		8	4
		1		2 3		4	5

и ее собственные значения. Промежуточные результаты: Первая строка в матрице А?

55 80 81 64 35.

Первая строка в матрице А3

1001 1672 1863 1568 889.

Первая строка в матрице А4

21307 36608 41877 35968 20651.

Первая строка в матрице Л5

471185 814528 938223 810656 467281.

Определитель			(9,2)
		1	1			0			0		0	0
	X		5			4			3		2	1
	X8		55			80			81		64	35
	X8		1001		1672			1863		1568		889
	х«		21307		36608,			41877		35968		20651
	X8		471185	814528			938223			810656		467281
После преобразования по указанной схеме получится характе­
ристическое	уравнение
	1		1			0		0		0	0
	X		5			1		0		0	0
	X*		55		20			1		0	0
	X8		1001		418			29		1	0
	х«		21307		9152		4807			230	1
							~ Т			~Т
	X8	471185		203632			15587		814		35
После разложения этого определителя по элементам первого
столбца и вычисления определителей при										степенях		X это уравне­
ние примет	вид
X* — 35Х« + 336Х8 — 1296Х* + 2160Х— 1296 = 0.
Его корни — собственные значения матрицы А
X, = 2;	Х2 ж3; X, =			6;	X, =		12 +		6 ^ 3 ;		X, =	12 — 6 / 3 .
Задача 9,7 (для самостоятельного								решения)			Методом Крылова
найти характеристическое уравнение								матрицы
					О		1 0 '
					О		0	1
				—6		— 1		4.
и ее собственные			значения
О т в е т .	X8— 4Х* + X+				6 — 0;
			X, =	— 1;		Х2 = 2;			Х3 = 3.
Задача 9,8.		Методом Крылова					найти		характеристическое урав*
нение матрицы			"	0		1		0	0“
				0		0		1	0
				0		0		0	1
			_48 —28 —8 7
и ее собственные			значения.