книги / Расчет электрических фильтров для аппаратуры связи

Рис. 100. Шестизвенные фильтры 18 (от -j- К). Соотношение между зату­ ханиями в полосе пропускания и в полосе непропускания в фильтрах с Чебышевскими характеристиками затухания. Фильтр нижних частот с по­ стоянным сопротивлением катушек добротности Q = 100 на частоте среза.

Таблица 36

Коэффициенты

для

определения групповой

задержки

и

затухания

в полосе пропускания

по кривым,

приведенным на рис. 96 — 100

Множитель для

Тип фильтра

затухания, дб

групповой

задержки,

Зам еч ан и я

сек

Нижних

/

100_100

г

3,66

Коэффициент

для

зату­

хания

постоянный,

если

частот

fi

Q

Qi

/"i

fi

активное сопротивление

катушки

постоянное

Верхних

fi

' 100 _

100 g

Коэффициент

для зату­

3,66 £

хания постоянный, если

частот

f

’ Q ~ Q g i

активная

проводимость

катушки

постоянная

Полосовой

2/mI00 (* +

l )

7,32 ( . + i )

* +

!

1

х

^ в*

пUо л о11сVMе V vV«

2Q {fi —fi)

2x (fa —fi)

.--------------а 1

^

пропускания

О б о з н а ч е н и я :

Qi = Q— на частоте среза

ri — г — иа частоте f u

f i — частота среза,

gi = g — на

частоте /,,

г— активное сопротивление ка­ тушки,

g — активная проводимость ка­	fm — средняя частота полосы про­
тушки,	пускания.

Кроме того, они позволяют выбрать оптимальные значения частот среза.

Следующие примеры должны пояснить сказанное.

Пример 32. Необходим фильтр нижних частот с минимальным характе­ ристическим затуханием порядка 80 дб на частоте выше 16 кгц и максималь­ ным затуханием 1 дб на частоте ниже 15 кгц, т. е. мы имеем

= 1,066.

Рассматривая кривые, приведенные на рис. 99 и 100 для В» = 80 дб и

— =1,066, находим, что затухание в полосе пропускания будет равно 6 и

2,8 дб. Для затухания в 1 дб добротности индуктивностей тогда должны быть равны 600 и 280 соответственно. Очевидно, что такие требования являются очень строгими. Сердечники для катушек индуктивностей с такой высокой добротностью в последнее время, однако, уже разработаны. Для фильтра, состоящего из шести звеньев, частоте 15 кгц соответствует у = 0,96, так что частота среза должна быть равна 15,62 кгц. Фильтру из пяти звеньев соот­ ветствует у = 0,99, и частота среза должна быть 15,15 кгц.

	Пример	33.	Полосовой			фильтр		должен	иметь	полосу пропускания
12,3 -ь 15,4 кгц			и	характеристическое				затухание, равное 55 дб или большее
за	пределами	диапазона			частот 11,4			16,3 кгц.
	Предполагаем, что				добротность		катушек индуктивности равна Q=150:
					/ т =	/11,4.16,3=13,65 кгц.
	/		11Д			12,3		15,4	16,3
	X		0,837			0,902		1,127	1,195
	1		1,197			1,11		0,885	0,836
	X
X	1	— 0,360			— 0,208			0,242	0,359 равно wy или wy'
	-------
	X
				— = 1,73					—=	1,48
				У	’				У
w — x s — х и		т.	е.	величина		его	зависит от положения частот среза. Эти

частоты пока еще неизвестны, хотя некоторое ограничение на них уже нало­

жено выбором величины / т	как среднегеометрического значения частот,
при которых затухание равно	55 дб.
	у'

Можно заметить, что отношения^- на обеих границах полосы пропуска­

ния различны. Это объясняется тем, что требуемая характеристика симмет­ рична на линейной шкале частот, тогда как полосовой фильтр с симметрич­ ной характеристикой имеет симметрию по логарифмической шкале частот.

у'

Небольшое увеличение средней частоты сделает отношения ~ равными для

обеих сторон фильтра. Однако выбранное положение частот имеет то пре­ имущество, что Чебышевская характеристика затухания в полосе непропускания будет получена одновременно на требуемых частотах 11,4 и 16,3 кгц: в фильтре с симметричной характеристикой.

у'

Разница в отношениях частот —будет, таким образом, представлять боль­

шее	затухание в полосе пропускания на частоте 15,4 кгц, чем на частоте
12,3	кгц.
	Очевидно, что частоты среза близки к частотам 11,8 и 15,9 кгц. При
	2 2- 13.7
использовании этих приближенных значений мы получаем, что — «s —^ — =

= 6,7. Поскольку добротность индуктивностей равна 150, ординаты рисунков

96— 100, должны быть	помножены на	коэффициент 6 7 100= 4,5.
Из рис. 96 — 98 найдем, что при затухании, равном 55 дб,					и отношении
у'
ч астот у — 1,5:
для двух звеньев	— требование	выполнить невозможно,
для трех звеньев	• затухание — 4,5		• 0,39	дб,	у — 0,75;
для четырех звеньёв — затухание =		4,5	• 0,38	дб,	У = 0,7.

Таким образом, фильтры, состоящие из трех или четырех звеньев, обес­ печивают в этом случае по существу одинаковые частотные характеристики. Выберем, естественно, более простой вариант.

Так как у = 0,75 на частоте 15,4 кгц, где мы уже знаем, что х —— =

= 0,242, то

w—xt — Xi	0,242	= 0,322.
	0,75

и из табл. 50 находим, что при т) = 0,322:

*, =	1,174;	fs= 16,02
дг, =	0,852;	Л = П ,63;

«•2' Щ = 4.12.

Отсюда находим, что затухание в полосе пропускания будет равно на частотах:

15,4	кгц		частота	4,12-0,39	= 1 ,6	дб;
13,65	кгц— средняя	.		4,12- 0,195 = 0,8 дб,
-12,3	кгц		-	4,12-0,31	= 1 ,3	дб.

Возможно, что фильтр, состоящий из 2,5 звеньев, удовлетворяет предъ­ являемым требованиям, но при незначительном увеличении затухания в поло­ се пропускания. Увеличение числа звеньев больше трех дает незначительное улучшение, которое сопровождается непропорциональным усложнением всего фильтра. Поэтому фильтр, рассмотренный выше, оказывается наиболее опти­ мальным для изложенных выше требований. Для получения еще более сущест­ венного улучшения следует применять катушки с более высоким Q.

§5. ОБОБЩЕННЫЕ КРИВЫЕ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАТУХАНИЯ

ВПОЛОСЕ ПРОПУСКАНИЯ

Кривые затухания, приведенные на рис. 96 — 100, в большой

области представляют собой		по существу горизонтальные прямые.
В этой области затухание в		полосе пропускания не зависит от
коэффициентов	т фильтра	(при	условии, если значения коэф­
фициентов т	изменяются	так,	что сохраняется Чебышевская

характеристика). Следовательно, можно построить кривые затуха­ ния в полосе пропускания в зависимости от частоты для фильтвов, состоящих из двух, трех ... и шести звеньев, по одной кривой для каждого фильтра. Эти кривые приведены на рис. 101.

Из рисунка видно, что затухание почти прямо пропорционально основному числу элементов, входящих в фильтр, т&к что резуль­

таты	для других, фильтров,		например, для фильтра 11а (см.
рис.	70) могут	быть получены на этой основе интерполяцией.
Следующее		выражение описывает кривые, приведенные на
рис. 101, с точностью порядка			5%.
		_	1,7 (л- 1 )

с<3(1 — IУI)0,7 ’

Более общее приближение, в основу которого взято это выра­ жение, приводилось в гл. 1.

Пример 34. Фильтр нижних частот должен иметь максимальное затуха­ ние 1 дб на частоте 20 кгц и минимальное характеристическое затухание

Рис. 101. Затухание в полосе пропускания сложных фильтров. Приведены приблизительные данные, которые составлены по данным рис. 96— 100 для фильтров, имеющих Чебышевские характеристики затухания в полосе непропускания. В полосе пропускания затухание почти не зависит от значе­ ний т и прямо пропорционально основному числу элементов. Кривые приве­

дены для фильтров нижних частот с катушками, имеющими {? =			100. Они
используются совместно с кривыми	рис. 70,	71 для определения	наилуч-
шей величины	частоты	среза.

60 дб на частотах выше 24 кгц. Имеются катушки индуктивности с доброт­

ностью Q = 100. Из рис.	101 для затухания в	1 дб находим, что:
Фильтр	Ун акс	У*— 1*2 Умажс

18

15

12а

9а

0 ,845	1 ,0 1 5
0,87	1 ,0 4 5
0,91	1 ,0 9 2
0 ,9 4 5	1 ,1 3 5

Из рассмотрения рис. 70 видим, что подходящим для этого случая является фильтр Ив с у '==1,1.

§ 6/ В Л И Я Н И Е З А Т У Х А Н И Я В С Л Е Д С Т В И Е О Т Р А Ж Е Н И Я И З А Т У Х А Н И Я В З А И М О Д Е Й С ТВ И Я

Влияние этих факторов в полосе пропускания подробно рас­ сматривалось в гл. 6 и 7, где было показано, что легко можно свести затухания, обусловленные этими факторами, к величине менее 0,4 дб, даже вплоть до частот, равных 0,9 от частоты среза. Результаты этой главы показывают, что, как правило, характери­ стическое затухание будет значительно больше этой величины, а поэтому оно является более важным фактором, который необхо­ димо рассматривать при расчетах.

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ

ДОПУСКИ НА ЗНАЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ

Задача состоит в определении допустимых отклонений величин емкостей, индуктивностей и активных сопротивлений от расчетных, при которых изменение характеристик фильтра будет находиться в заданных пределах. И, наоборот, задача может состоять в опре­ делении изменений характеристики фильтра, получаемых при от­ клонениях величин элементов фильтра от расчетных.

Задача состоит из двух частей:

1. Расчет влияния малого изменения в каком-нибудь одном элементе.

2. Общее влияние всех изменений.

За исключением схем очень простых фильтров вторая часть

задачи	требует применения теории вероятности.	Причина этого
в том,	что обычно очень мала вероятность того,	что все элементы

фильтра отличаются на максимальные величины от номиналов и что все они вызовут аналогичные изменения характеристики.

Поэтому изменения характеристик фильтра могут быть выпол­ нены в значительно более узких пределах, чем те, которые соот­ ветствуют арифметической сумме допусков на элементы. Это весьма благоприятный факт, так как для получения приемлемых допусков на характеристики в сложных фильтрах нужно было бы задавать очень малые допуски на элементы.

Поэтому допуски на элементы выбираются на основании малой, но вполне определенной вероятности (скажем, 1 из 300) отклоне­ ния характеристик на величину большую, чем задана.

§ 1. Э Ф Ф Е К Т Н Е Б О Л Ь Ш О ГО И З М Е Н Е Н И Я В Е Л И Ч И Н Э Л Е М Е Н Т О В

1. Основной метод

Лестничную схему можно разделить на Т- и П-образные звенья (рис. 102, а и б), чтобы создать ту или иную из эквивалентных схем, приведенных в нижней части рис. 102. На рис. 102, в AZ

представляет собой увеличение Z выше ее нормальной величины. На рис. 102, г ЬУ — увеличение поперечной полной проводимости У. Ток в схеме, приведенной на рис. 102, в, или напряжение в схеме рис. 102, г определяет мощность в Z9 или У2 и, следовательно, в оконечном сопротивлении RL. Вносимое затухание, обусловлен-

Рис. 102. Эквивалентные схемы, позволяющие учесть влияние изменения

элементов на передачу через четырехполюсник лестничной схемы

а, б, в, 2.

ное изменением AZ или ЬУ, дается соотношением токов или на­ пряжений в схемах рис. 102, в и а до и после их изменения

	дЯвн— 20 lg	1 +	AZ	^
или			+ z 3
			ДY
	ДЯВН= 201g			дб,
		1 + ÿ ^ j r
AgBH^	^ Za ■или ÿ -j^ ÿ- непер		и радиан при условии, что AZ

или ДУ достаточно малы. Величина AgBH равна увеличению gBH= ô BH-J—/авн, где gBH— вносимая постоянная передачи. 1

Таким образом, Д6ВН приблизительно равно вещественной части

AZ

Z !+ Z S [неп\,

Дав„ приблизительно равно мнимой части

Z7T27 [радиан]-

1 В оригинале книги ошибочно указано ярабочая постоянная передачи*

(Прим. ред.).

Если положим,	что
		Z	T z ï ^	' +	W	’
тогда ДАВН= ДА' — ^		(ДА')3 4" 4" (Д°03			Для	второго	порядка при­
ближения.			Да' много	больше		ДА', т. е. основное дей­
Есть случаи, когда
ствие заключается	в	изменении		фазы. Если мы			рассматриваем

влияние изменения только одного элемента, то для нахождения ДАШ1 должен быть использован второй порядок приближения. Обычно мы должны складывать величины изменений, обусловлен­ ных большим числом элементов. При условии, что вклад каждого элемента линейно пропорционален изменению этого элемента, это можно сделать путем алгебраического сложения отдельных эффектов.

Однако добавки пропорциональны квадрату изменения величин элементов, т. е. заключают в себе произведения членов между изменениями нескольких элементов.

Поэтому лучше воспользоваться совершенно отличным методом, основанным на расчете входного сопротивления фильтра.

2. Идеальный фильтр

Ниже будут рассматриваться только результаты, непосред­ ственно применимые к схеме, приведенной на рис. 102, а. Результаты, относящиеся к схеме, приведенной на рис. 102, б, могут быть найдены взаимной заменой проводимости и сопротив­ ления в соответствии с принципом дуальности. Формулы, которые выражены только через частотные параметры и процентные изме­ нения величин элементов, остаются без изменений.

Фильтр,	нагруженный		характеристическим сопротивлением,
будет иметь	Z1= Z2=	ZcT, где ZcT— характеристическое сопро­
тивление со стороны Т-образного входа. При отсутствии потерь AZ
будет чисто реактивным, a Zcт,				реактивно	в полосе непропускания
и чисто активно в полосе пропускания.
Следовательно, в полосе непропускания
	ДА	я &й		♦ Д д	0
a в полосе пропускания
	ДАвн^		0;	Д	.

Эти выражения показывают, что в первом приближении изме­ нения величин элементов не влияют на затухание в полосе про­ пускания. Это объясняется тем, что малое изменение реактивного сопротивления не может перевести полосу пропускания в полосу непропускания, так что характеристическое затухание должно

оставаться равным нулю, хотя рабочее затухание может слегка увеличиваться из-за эффекта несогласованности.

Расчет влияния изменения величин элементов в полосе пропу­ скания поэтому может быть разделен на 2 части:

1. Изменение затухания вследствие рассогласования на за­ жимах.

2. Изменение характеристического затухания. Характеристическое затухание равно нулю до тех пор, пока

незначительны потери в элементах, поэтому добротность Q элементов

может	являться	важным фактором в определении отклонений
от их	реактивного	характера. Затухание вследствие рассогласова­

ния на зажимах наиболее легко может быть определено из вход­ ного сопротивления.

В большей части полосы непропускания малые изменения характеристических сопротивлений дают очень малые изменения затухания вследствие отражения. Поэтому необходимо рассматри­ вать только изменение характеристического затухания, АЬс

u AZ

2ZсТ

Входное сопротивление в полосе пропускания

Нас интересует не столько входное сопротивление, сколько затухание из-за рассогласования. Оно является функцией рабо­ чего возвратного затухания (см. гл. 6) и его можно, несколько проще рассчитать непосредственно. Эффективное отражение от входных зажимов представляет собой сумму отражений от вход­ ных и выходных зажимов и от некоторых промежуточных точек фильтра, измененное за счет двойного затухания и фазового сдвига от входных клемм к точке отражения, в соответствии со следую­ щей формулой.

Эффективный коэффициент отражения приблизительно равен:

	Ф* +		- 4 g _
		*tLe S^c+ 2 Atne *4
	где	AZ
	Ц п		для м-го плеча;
		2Z,сТ

. Zcl — /?$

^Zci + Rs ’

ф===^ , ~ Zca

gc— характеристическая	постоянная	передачи всего фильтра;		до
gn— характеристическая	йостоянная	передачи	от источника
п-то плеча.	отражения так малы,		что амплитуда	па­
Предполагается, что

дающей волны не сильно уменьшается ими.

Изменения характеристического затухания в полосе пропускания

Эти изменения имеют место:

а) из-за изменений добротности Q элементов;

б) из-за изменений реактивного сопротивления при постоянной добротности Q.

Увеличение реактивного сопротивления при постоянной доброт­ ности сопровождается увеличением активного сопротивления и изменением вследствие этого затухания. Кроме того, при наличии потерь в элементах характеристическое сопротивление не является

более чисто активным, так что член имеет вещественную со-

z c T

ставляющую, представляющую собой изменение затухания, даже когда ДZ чисто мнимое. Оба эти эффекта учитываются теоремой наклона фазовой постоянной, а именно:

так что
где: Дас— есть мнимая	часть выражения			zzcT
Дас— приращение	фазовой	постоянной,			обусловленное изме­
нением элемента A.Z,		а
Дbс— вызванное этим увеличение коэффициента затухания.
3.	Расчет отношения •=—
				z c T
тт *			&Х	Д/?	ДВ	Д(?	в зависн­
Необходимо рассчитать величины			е т	~	, рг-,
				Z cT	Ус7	Y сТ

мости от структуры фильтра и допусков на элементы. Мы должны рассмотреть также:

а) использование резонансных контуров и б) соединение смежных плеч.

Резонансные контуры

Обычно индуктивности и емкости фильтра объединяются в пары и образуют резонансные и антирезонансные контуры. Если такие контуры настроены в резонанс на определенной частоте, но в более жестких допусках, чем допуск для каждого элемента, то измене­ ния в характеристике фильтра значительно уменьшаются по срав­ нению со случаем отдельной настройки двух элементов. Настройка резонансной частоты производится изменением элемента, который более легко поддается точной регулировке. Обычно таким элемен­ том является индуктивность и это положено в основу приводимых ниже таблиц.