книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье
.pdfТеорема 3. Предельный признак сравнения
Пусть даны два знакоположительных ряда
∞
a1 + a2 + a3 + … + an + … = an
n=1
и
∞
b1 + b2 + b3 + … + bn + … = bn .
n=1
Если существует конечный, отличный от нуля, предел
lim an = k,(0 < k < ∞ ),
n→∞ bn
то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Для подбора вспомогательных рядов можно использовать:
– «эталонные» ряды;
– ограниченные функции: |
|
sin x |
|
≤ 1, |
|
cos x |
|
≤ 1; |
|||
|
|
|
|
||||||||
– бесконечно большие эквивалентные величины: |
|||||||||||
многочлен |
a xn + a xn−1 |
+ a xn−2 + … + a |
|
~ a xn , при n → ∞, |
|||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
|
n |
0 |
a0 ≠ 0;
Бесконечно малые эквивалентные величины:
если α(n) → 0 при n → ∞ , то
sinα(n) ~ α(n), tgα(n) ~ α(n), arcsinα(n) ~ α(n), arctgα(n) ~ α(n), ln(1+ α (n)) ~ α (n), eα(n) − 1 ~ α (n), aα(n) − 1 ~ α (n) lna.
Пример 4. Исследовать ряд на сходимость:
1 + 1 + 1 |
|
+ ... + |
1 |
+ ... = 1 . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
ln 2 ln 3 ln 4 |
|
|
ln (n) |
n=2 |
ln (n) |
|
|||||
Общий член ряда an = |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||
ln (n) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
Натуральный логарифм числа меньше самого числа:
тогда ln1(n) > 1n , имеем bn = 1n . Вспомогательный ряд нический ряд, расходится. Имеем
ln(n) < n ,
– гармо-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
> 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln (n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Следовательно, исходный ряд расходится по признаку срав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Пример 5. Исследовать ряд на сходимость: |
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∞ |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ … + |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ … = |
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
1 +1 |
|
23 + 2 |
|
33 + 3 |
|
|
|
|
n3 + n |
|
n3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
+ n |
|||||||||||||||||||||
|
|
Общий член ряда |
|
an = |
|
|
|
1 |
|
|
|
. Подберём вспомогательный |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n3 |
+ n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ряд. Отбросим в знаменателе младшее слагаемое n, имеем |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= |
1 |
= b . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n3 + n |
|
|
|
n3 |
3 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Вспомогательный ряд |
|
|
|
|
|
|
|
= 13 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n3 |
|
n=1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Обобщенный |
гармонический |
ряд |
с |
показателем степени |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
α = |
3 |
> 1 сходится. Применим предельный признак сравнения. Най- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дём предел отношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a |
= lim |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
n3 |
|
= lim |
|
n3 |
|
= 1. |
|||||||||||||
|
|
|
lim n |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n3 + n |
|
n3 |
+ n |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ bn |
|
n→∞ |
n3 + n n3 |
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел отношения – конечный, отличный от нуля. Вспомогательный ряд сходится, следовательно, сходится и исходный ряд.
Пример 6. Исследовать ряд на сходимость:
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||||
arctg |
|
|
arctg |
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
∞ |
arctg |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
+ |
|
3 |
|
+ |
|
|
|
3 |
|
+ …+ |
|
3 |
+ … = |
|
3 |
|
|
. |
||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
n |
|
|
2 |
n |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Общий член ряда a |
= |
|
|
|
|
3 |
|
. Найдём предел числителя: |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim arсtg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемсяэквивалентнымибесконечномалымивеличинами:
|
1 |
|
1 |
при n → ∞. |
|
arсtg |
|
|
~ |
|
|
n |
n |
||||
|
3 |
|
3 |
|
Составим вспомогательный ряд:
|
|
arctg |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|||||||
a |
= |
|
|
3 |
|
3 |
= |
= |
= b . |
|||
2n |
|
2n |
2n 3n |
6n |
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
n |
Ряд
∞ 1
n=1 6n
сходится (убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = 16 < 1).
Найдём предел отношения:
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
n |
|||
|
an |
|
arctg |
|
|
|
1 |
|
arctg |
|
|
6 |
|
|
|
n |
|
|
n |
||||||||
lim |
= lim |
|
3 |
: |
= lim |
|
3 |
|
= |
||||
|
2n |
|
|
6n |
2n |
|
|||||||
n→∞ b |
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
|
|
1 |
|
2 |
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
arctg |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
arctg |
|
|
|
||||
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
= lim arctg |
|
|
3 |
= lim |
|
|
|
|
|
= 1. |
|
|
2 |
n |
|
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
3 |
|
n→∞ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3n |
|
|
Предел отношения – конечное число, вспомогательный ряд сходится, следовательно, исходный ряд сходится по предельному признаку сравнения.
Пример 7. Исследовать ряд на сходимость:
2 |
1 |
|
sin |
2 |
2 |
|
|
sin |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
sin |
2 |
(n) |
|
∞ |
sin |
2 |
(n) |
|
|||||
|
sin |
+ |
|
+ |
|
|
+ …+ |
|
+ … = |
|
. |
||||||||||||||||||
3 1+1 |
3 22 + 2 |
|
|
|
|
|
3 n2 + n |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 32 + 3 |
|
|
|
|
|
n=1 |
3 n2 + n |
|||||||||||||||||||||
Общий член ряда |
|
|
|
|
|
|
sin2 (n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
3 n2 + n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Предел lim sin2 |
(n) не существует, |
предельный признак срав- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нения не применим. Функция 0 ≤ sin2 (n) ≤1, тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
= |
sin2 (n) |
|
≤ |
|
|
1 |
|
|
< |
1 |
|
= b . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
3 n2 + n |
|
|
|
3 |
n2 + n |
|
|
|
3 n2 |
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Вспомогательный ряд |
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
3 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится как обобщённый гармонический ряд, с показателем степени α = 23 < 1. Больший ряд расходится, но про меньший ряд ниче-
го сказать нельзя – он может как сходиться, так и расходиться. Ограничим общий член ряда an снизу:
sin2 (n) |
≥ |
1 |
= |
|
1 |
= c . |
|
|
|
|
|||
3 n2 + n |
3 n2 + n2 |
3 |
2n2 |
n |
||
|
14
Вспомогательный ряд:
∞ 1 ,
n=1 3 2n2
расходится как обобщённый гармонический ряд, с показателем сте-
пени α = 23 < 1. Меньший ряд расходится, значит, расходится
и больший ряд. Следовательно, исходный ряд расходится по признаку сравнения.
В данном примере нам пришлось ограничивать ряд снизу, получили такую цепочку неравенств:
c = |
1 |
= |
1 |
≤ |
sin2 (n) |
≤ |
1 |
< |
|
1 |
= b . |
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
3 2n2 |
|
3 n2 + n2 |
|
3 n2 + n |
3 n2 + n |
3 |
n2 |
n |
||
|
|
|
|
Исходный ряд расположен между двумя расходящимися ря-
дами.
Пример 8. Исследовать ряд на сходимость:
3 |
+ 1 |
|
|
|
3 |
+ 1 |
|
|
|
|
3 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
3 |
+ 1 |
|
∞ |
|
3 |
+ 1 |
|
||||
|
2 |
|
+ |
|
3 |
+ |
|
|
4 |
+ … + |
|
n |
|
= |
|
n |
. |
||||||||||||
3 4 |
− 2 |
3 |
4 |
− 3 |
3 |
3 |
− 4 |
3 |
n |
4 |
− n |
3 |
n |
4 |
− n |
||||||||||||||
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
n=2 |
|
|
||||||||||||
Преобразуем общий член ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
+ 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a |
= |
n + 1 |
= |
6 |
( |
|
|
) |
~ |
6 n |
= 6 |
n = b . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n4 − n)2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
n |
3 n4 − n |
|
|
|
|
|
n8 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||
Вспомогательный ряд |
6 2 + 6 3 + 6 4 + … + 6 n + … расходится, |
как возрастающая последовательность.
15
Найдём предел отношения:
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
3 |
+ 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim an |
= lim |
n |
+ 1 |
: 6 |
n = lim |
|
( |
|
|
) |
|
|
1 |
|
= |
||||||||
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
(n4 − n)2 |
|
|
|
||||||||||||||||
n→∞ bn |
n→∞ |
3 n4 − n |
n |
→∞ |
|
|
|
6 |
n |
|
|||||||||||||
= lim |
6 |
n9 + 3n6 + 3n3 + 1 |
|
= lim |
6 |
n9 |
|
+ 3n6 + 3n3 + 1 |
= 1. |
||||||||||||||
(n8 + 2n5 + n2 ) n |
|
|
n9 + 2n6 + n3 |
||||||||||||||||||||
n→∞ |
|
n→∞ |
|
|
|
|
Предел отношения конечен. Вспомогательный ряд расходится, следовательно, исходный ряд тоже расходится.
Пример 9. Исследовать ряд на сходимость:
|
|
∞ |
|
n − 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
n − |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем общий член ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
an = ( n − |
n − 1) = |
( n − n − 1)( n + n − 1) |
= |
|
1 |
|
. |
||||||
|
n + |
n − 1 |
|
|
|
|
n + |
n − 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Составим вспомогательный ряд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
an = ( |
n − n − 1) = |
1 |
|
~ |
1 |
|
< |
1 |
= bn . |
|
|
||
n + |
n − 1 |
2 |
n |
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вспомогательный ряд
∞ 1
n=1 n
расходится, как обобщённый гармонический ряд, с показателем степени α = 12 < 1.
Найдём предел отношения:
lim an |
= lim |
1 |
: |
1 |
= lim |
n |
= |
|
n + n − 1 |
n |
n + n − 1 |
||||||
n→∞ bn |
n→∞ |
|
n→∞ |
|
16
= lim |
n |
= lim |
|
n |
= |
1 . |
|
n + n |
2 |
n |
|||||
n→∞ |
n→∞ |
|
2 |
Предел отношения конечный. Так как вспомогательный ряд расходится, то расходится и исходный ряд по предельному признаку сравнения.
Теорема 4. Признак Даламбера
Пусть дан ряд с положительными членами a1 + a2 + a3 + … + an + ….
Если существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему
lim an+1 = l,
n→∞ an
то при l > 1 ряд расходится, при l < 1 ряд сходится.
При l = 1 признак Даламбера неприменим: ряды могут быть как сходящимися, так и расходящимися. В этом случае применяются другие признаки.
Признак Даламбера удобно использовать, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или an .
Пример 10. Исследовать ряд на сходимость:
1 1 4 1 4 7 |
|
1 4 7 10 |
1 4 7 10 … (3n − 2) |
|
||||||||||
5 + |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
… + |
|
|
|
+ … |
|
5 9 |
5 9 13 |
5 9 13 17 |
5 9 13 17 … (4n + 1) |
|||||||||||
Общий член ряда an и следующий за ним an+1 рассчитывают- |
||||||||||||||
ся так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 7 10 … (3n − 2) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a = |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
5 9 13 17 … (4n + 1) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a |
= |
1 4 7 10 … (3n − 2) (3(n +1) − 2) |
= |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
n+1 |
|
5 9 |
13 17 … (4n +1)(4(n +1) +1) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 4 7 10 … (3n − 2) (3n +1) = 5 9 13 17 … (4n +1)(4n + 5).
17
Найдём предел отношения: |
|
|
|
|
|
|
|||||
lim an+1 = lim |
1 4 7 … (3n − 2)(3n + 1) |
: |
1 4 7 … (3n − 2) |
= |
|||||||
5 9 13 … (4n + 1)(4n + 5) |
5 9 13 … (4n + 1) |
||||||||||
n→∞ an |
n→∞ |
|
|
||||||||
= lim |
1 4 7 … (3n − 2)(3n + 1) |
|
5 9 13 … (4n + 1) |
= |
|
||||||
5 9 13 … (4n + 1)(4n + 5) |
|
|
|||||||||
n→∞ |
|
1 4 7 … (3n − 2) |
|
||||||||
|
|
= lim |
(3n + 1) |
= |
3 < 1. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n→∞ |
(4n + 5) |
4 |
|
|
|
|
Предел отношения меньше единицы, следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
Пример 11. Исследовать ряд на сходимость:
|
|
|
3 + 32 |
|
+ |
33 |
|
+ 34 |
+ … + 3n + …. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2! |
|
|
3! |
|
4! |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
||
Общий член ряда a |
= |
3n |
|
, и следующий за ним a |
|
= |
3n+1 |
. |
||||||||||
n! |
|
(n + 1)! |
||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
||||||
Найдём предел отношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
a |
= lim |
3n+1 |
: |
3n |
= lim |
3n+1 n! |
= lim |
3 |
|
= 0 < 1. |
|
||||||
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(n + 1)! |
n! |
(n + 1)! 3n |
|
|
|
|||||||||||||
n→∞ |
an |
n→∞ |
|
|
|
n→∞ |
n→∞ n + 1 |
|
|
|
|
Предел отношения меньше единицы, следовательно, ряд сходится по признаку Даламбера.
Теорема 5. Радикальный признак Коши
Пусть дан ряд с положительными членами a1 + a2 + a3 + … + an + …
Если существует предел
lim n an = l,
n→∞
то при l > 1 ряд расходится, при l < 1 ряд сходится.
Если l = 1, то признак неприменим: ряды могут быть как сходящимися, так и расходящимися.
18
Пример 12. Исследовать ряд на сходимость:
∞ |
|
2n3 + 3n + 1 |
n |
|||
|
|
|
|
|
. |
|
3 |
+ 2n |
2 |
|
|||
n=1 |
|
5n |
|
− n |
Общий член ряда содержит степень n. Применим радикальный признак:
|
lim n an = lim n |
|
2n3 + 3n + 1 |
n |
= lim |
|
2n3 + 3n + 1 |
= |
2 |
< 1. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
5n |
3 |
+ 2n |
2 |
|
|
|
|
3 |
+ 2n |
2 |
− n |
5 |
|||||||||||
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
− n |
n→∞ 5n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Предел меньше единицы, следовательно, ряд сходится. |
|||||||||||||||||||||||
|
Пример 13. Исследовать ряд на сходимость: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1 n + 1 2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Вычислим предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim n a |
= lim n |
1 |
n + 1 |
2n = lim |
1 n + 1 n |
= |
1 lim |
1+ |
1 n |
= |
e |
> 1. |
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n→∞ |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|||||||
|
n→∞ 2 |
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
2 n→∞ |
|
|
|||||||||||
|
Предел больше единицы, следовательно, ряд расходится по |
|||||||||||||||||||||||
радикальному признаку Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Теорема 6. Интегральный признак Коши |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Если члены знакоположительного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a1 + a2 + a3 + … + an + … |
|
|
|
|
|
|
|
|
могут быть представлены как числовые значения некоторой непре-
рывной монотонно убывающей на промежутке |
[1: +∞) |
функции |
f (x) так, что a1 = f (1), a2 = f (2), a3 = f (3),..., an = f (n),... то, |
||
|
∞ |
|
1) если сходится несобственный интеграл |
f ( x)dx, |
то схо- |
1
дится и числовой ряд;
19
∞
2) если расходится несобственный интеграл f (x)dx, то рас-
1
ходится и числовой ряд.
Замечание. Нижний предел интегрирования может быть больше единицы, например k.
Теорема 6 опирается на геометрический смысл определённого интеграла: площадь криволинейной трапеции. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции
y = f (x), основанием служит отрезок оси Ox от x = 1 до x = n. Значения an = f (n) находятся на графике функции.
Пример 14. Доказать, что гармонический ряд расходится:
1 |
= 1+ 1 + 1 + 1 |
+ … + 1 + … |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
n=1 n |
2 3 4 |
n |
|
|
|
Необходимое условие выполняется: lim an |
= 0. |
|
|
||
|
|
n→∞ |
|
|
|
Общий член ряда совпадает с функцией |
an = f (n) = |
1 . |
Рас- |
||
|
|
|
|
n |
|
смотрим функцию f (x) = 1x , она удовлетворяет условиям теоремы 6
на промежутке x [1;∞). Вычислим несобственный интеграл:
∞ |
|
|
b |
|
|
(lnx |
|
1b ) = lim |
|
|
1 dx = lim |
1 dx = lim |
|
(lnb − ln1) = lim lnb = ∞. |
|||||
|
|||||||||
1 |
x |
b→∞ |
1 |
x |
b→∞ |
|
|
b→∞ |
b→∞ |
Несобственный интеграл расходится, следовательно, гармонический ряд расходится по интегральному признаку Коши.
Пример 15. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд:
1α = 1 |
+ 1α + 1α + 1α + … + 1α + … |
||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
2 3 4 |
|
n |
|
20