книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье
.pdf3.5. Ряд Фурье для функций с произвольным периодом 2l
Пусть функция f (x) мимеет период T = 2l и задана на отрезке[−l;l] . Коэффициенты разложения в ряд Фурье находим по формулам
|
|
a0 |
= |
1 |
l |
f ( x)dx, |
|
(44) |
|
|
|
|
|
l |
−l |
|
|
|
|
an = |
1 l |
|
|
|
πnx |
(45) |
|||
l |
f (x) cos |
l |
dx, |
||||||
|
− l |
|
|
|
|
|
|
bn = |
1 l |
|
πnx |
||
l |
f (x) sin |
l |
dx. |
||
|
−l |
|
|
Ряд Фурье имеет вид
|
a0 |
∞ |
|
|
πnx |
|
πnx |
|||
f (x) = |
|
+ an cos |
l |
|
+ bn sin |
l |
. |
|||
2 |
||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
(46)
(47)
Пример 44. Разложить в ряд Фурье функцию |
f (x) = 4 − x |
||||||||||||
с периодом Т = 4 , заданную на отрезке −2 ≤ x ≤ 2 (рис. 6). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f(x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
–10 –8 –6 –4 –2 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
Рис. 6
Период Т = 4 , полупериод l = T2 = 2 . Вычисляем коэффициен-
ты ряда Фурье:
81
|
|
1 l |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
1 |
|
x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a0 = l − l |
f |
( x)dx = |
2 −2 (4 − x)dx = 2 4x |
− |
|
|
|
−2 |
= |
|||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= |
1 |
8 |
− 4 |
− |
1 |
−8 |
− |
4 |
= 3 + 5 |
= 8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
an = |
1 l |
|
|
|
πnx |
|
1 |
2 |
|
|
πnx |
|
||||||
l |
f |
( x) cos |
l |
dx = |
2 |
|
(4 − x)cos |
|
dx = |
|||||||||
|
− l |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = 4 − x, |
dv |
|
= cos |
πnx |
dx, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
du = −dx, |
v = |
|
2 |
|
sin πnx |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
πnx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
(4 − x) |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
sin |
|
|
dx |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
−2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sin (πn) |
|
|
|
|
6 |
|
|
sin (−πn) + |
1 |
|
|
πnx |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
dx = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
πn |
πn |
|
πn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
1 |
|
|
− |
|
2 |
|
πnx |
|
= − |
|
|
|
|
2 |
|
|
(cos(πn) − cos(−πn)) = 0. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
πn |
|
2 |
|
|
−2 |
(πn) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
bn |
= |
|
1 l |
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
= |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
|||||||||||||||
|
|
|
f ( x) |
sin |
|
|
l |
|
dx |
2 |
|
|
(4 − x)sin |
2 |
dx = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
l − l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = 4 − x,
=
du = −dx,
dv = sin |
πnx |
dx, |
|
|
||||
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
||
v = − |
2 |
cos πnx |
|
. |
||||
πn |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
− (4 − x) |
2 |
|
πnx |
|
2 |
|
2 2 |
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
cos |
|
|
|
+ |
|
|
cos |
|
dx |
= |
|
2 |
πn |
2 |
|
−2 |
−2 πn |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
82
|
|
|
2 |
cos(πn) + |
6 |
cos(−πn) + |
1 |
2 |
πnx |
|
||||||||||||
= − |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
dx = |
|||||||||||||
πn |
πn |
πn |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
4 |
|
cos(πn) + |
2 |
|
|
πnx |
|
= |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
πn |
(πn) |
2 |
−2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
= |
4 |
|
(−1)n + |
2 |
|
(sin (πn) |
− sin (−πn)) = (−1)n |
4 |
. |
|||||||||||||
πn |
(πn)2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
Коэффициенты ряда Фурье
a0 = 8, an = 0, b = ( −1)n π4n .
Ряд Фурье для данной функции
f ( x) = 4 + |
4 (−1) |
n |
|
|
sin πnx . |
||||
|
|
∞ |
|
|
|
π |
n=1 n |
|
2 |
На концах отрезка, в точках x = −2 |
и x = 2 , сумма S (x) ряда |
Фурье (рис. 7)
S (−2) = S (2) = f (−2 + 0) + f (2 − 0) |
= |
(4 + 2) + (4 − 2) |
= 4. |
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
y |
|
|
y = S(x) |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
–10 –8 –6 |
–4 –2 |
|
6 |
8 10 |
|
|
2 |
4 |
|
Рис. 7
83
Сумма ряда Фурье
( ) 4 − x, − 2 < x < 2,
S x =
4, x = −2, x = 2.
3.6. Разложение непериодической функции в ряд Фурье
Рассмотрим непериодическую функцию y = f (x) , заданную на всей числовой оси (−∞ < x < ∞) . Данную функцию нельзя разложить в ряд Фурье, так как сумма S (x) ряда Фурье есть периодическая функция. Если непериодическая функция y = f (x) на любом
конечном промежутке [a;b] удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то её можно представить в виде ряда Фурье.
Пусть функция y = f (x) задана на отрезке [a;b] и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Переместим начало координат
в середину отрезка [a;b] |
и построим функцию f1 (x) с периодом |
||||||
T = 2l = |
|
b − a |
|
. Функция |
f1 (x) = f (x) |
при |
−l ≤ x ≤ l . Функцию |
|
|
||||||
f1 (x) можно разложить в ряд Фурье. |
Сумма |
S (x) этого ряда во |
|||||
всех точках отрезка [a;b] |
совпадает с заданной функцией y = f (x) , |
кроме точек разрыва. Вне этого интервала сумма S (x) ряда и функция y = f (x) не совпадают.
Перенесём начало координат в точку x = a |
отрезка [a;b] , то- |
||||
гда l = |
|
b − a |
|
. Пусть непериодическая функция |
f (x) задана на от- |
|
|
резке [0;l], и её надо разложить в ряд Фурье. В этом случае функцию надо доопределить на отрезок [−l;0] , затем осуществить периодическое продолжение с периодом T = 2l .
Функцию f (x) , заданную на отрезке [0;l], можно доопределить на отрезок [−l;0] :
84
1) произвольным образом;
2) чётным образом, т.е. f (x) = f (−x) при −l ≤ x ≤ 0 . Функция f (x) разлагается в неполный ряд Фурье по косинусам;
3) нечётным образом, т.е. − f (x) = f (−x) при −l ≤ x ≤ 0 . Функция f (x) разлагается в неполный ряд Фурье по синусам.
Рассмотрим на нашем примере, как можно разложить в ряд Фурье непериодическую функцию.
Пример 45
Непериодическая функция f (x) = 2x − 4 задана на отрезке [2;6]. Найти её разложение в ряд Фурье.
Функция f (x) = 2x − 4 непрерывна и монотонно возрастает на отрезке [2;6], удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.
Период функции T = 2l = 6 − 2 = 4 . Перенесём начало координат в середину отрезка, в точку x = 4 . Составим функцию f1 (x) , заданную на отрезке [−2;2] :
f1 (x) = 2(x + 4) − 4 = 2x + 8 − 4 = 2x + 4.
Функция f1 (x) = f (x) при −2 ≤ x ≤ 2 , f1 (−2) = f (2) = 0,
f1 (2) = f (6) = 8 .
Разложим функцию f1 (x) = 2x + 4 в ряд Фурье на отрезке
[−2;2] (рис. 8):
a0 |
= |
1 (2x + 4)dx = 1 |
(x2 |
+ 4x) 2 = |
||
|
|
2 |
|
|
|
−2 |
|
|
2 −2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 12 ((4 + 8) − (4 − 8)) = 8.
85
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f(x) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
–10 |
|
–8 |
–6 |
|
–4 |
|
–2 |
2 |
4 |
6 |
|
8 |
|
10 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an = |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(2x + 4)cos |
2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
|
|
4 2 |
|
|
|
|
πnx |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
(2x + 4)sin |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(πn) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
(cos(πn) − cos(−πn)) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(πn)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn = |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(2x + 4)sin |
2 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
|
|
4 2 |
|
|
|
πnx |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
(2x + 4)cos |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(πn) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n+1 8 |
|
|
||||||||||||||||
= |
−1 |
((4 + 4)cos(πn) − (−4 + 4)cos(−πn)) = −8 |
(−1)n |
= |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
πn |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
||||
|
Коэффициенты Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a = |
1 |
= |
8, |
a = 0, |
|
b = |
|
(−1)n+1 8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
Ряд Фурье
f ( x) = f1 |
( x) = 4 + 8 (−1) |
n+1 |
πnx . |
|
|
||||||||||||||||
|
sin |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π n=1 |
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
Функция f1 (x) = 2x + 4 |
|
непрерывна на отрезке [−2;2] и сов- |
|||||||||||||||||||
падает с суммой S (x) |
ряда Фурье. |
Найдём сумму S (x) |
|
ряда на |
|||||||||||||||||
концах отрезка, в точках x = −2 и x = 2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
S (−2) = S (2) = |
f1 (−2 + 0) + f1 (2 − 0) |
= |
(−4 + 4) |
+ (4 + 4) |
|
= 4. |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На концах отрезка, в точках x = −2 |
и x = 2 , |
сумма S (x) ряда |
|||||||||||||||||||
не совпадает с функцией f1 (−2) = 0 и |
f1 (2) = 8. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Получили разложение в ряд Фурье непериодической функции |
|||||||||||||||||||||
f (x) = 2x − 4, заданной на отрезке [2;6] (рис. 9) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y = S(x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
–10 –8 –6 –4 –2 |
2 |
4 |
|
|
6 8 |
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 46 |
|
функция f (x) = 2x − 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Непериодическая |
задана на |
отрезке |
[2;6]. Найти её разложение в ряд Фурье.
Функция f (x) = 2x − 4 непрерывна и монотонно возрастает на
отрезке [2;6], удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Следовательно, её можно разложить в ряд Фурье.
87
Перенесём начало координат в точку x = 2 . Составим функцию f1 (x) , заданную на отрезке [0;4]:
f1 (x) = 2(x + 2) − 4 = 2x + 4 − 4 = 2x.
Функция f1 (x) = f (x) при 0 ≤ x ≤ 4 , f1 (0) = f (2) = 0 ,
f1 (4) = f (6) = 8 .
Функция f1 (x) задана на полупериоде [0;4] длиной l = 4 . Функцию f1 (x) можно доопределить на отрезок [−4;0]
а) чётным образом:
f |
( x) = |
−2x, − 4 ≤ x ≤ 0, |
||
1 |
|
|
≤ x |
≤ 4. |
|
|
2x, 0 |
ФункцияразлагаетсявнеполныйрядФурьепокосинусам(рис. 10); б) нечётным образом: f1 (x) = 2x при −4 ≤ x ≤ 4 (рис. 11). Функция разлагается в неполный ряд Фурье по синусам. Най-
дём это разложение.
|
|
|
|
bn = |
2 |
4 |
|
|
|
πnx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
2x sin |
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
−4 |
|
|
πnx |
|
|
|
2 16 |
|
|
|
|
|
πnx |
|
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
|
|
|
2x cos |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
(πn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
−4 |
x cos |
πnx |
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
πnx |
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
πn |
|
|
|
4 |
|
(πn) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= −4 4 cos(πn) = |
−16 (−1)n |
|
= |
(−1)n+1 16 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
=
.
88
–12 –10 –8 –6 –4 –2
–12 –10 –8 –6 –4 –2
Ряд Фурье:
y
8
6
4
2
0
Рис.210
y
8
6
4
2
2
–2
–4
–6
–8
Рис. 11
y = f(x)
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|||||
|
y = f(x)
3x
4 6 8 10 12
|
|
16 |
|
( |
−1 |
n+1 |
πnx |
||
|
|
|
|
||||||
f (x) = f1 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
( x) = |
π |
|
|
n |
|
sin |
4 |
. |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
89
Получили разложение в ряд Фурье непериодической функции f (x) = 2x − 4, заданной на отрезке [2;6], передвинув начало координат в точку x = 2 и доопределив функцию нечётным образом.
Функция f1 (x) = 2x непрерывна на отрезке [−4;4] и совпада-
ет с суммой S (x) |
ряда Фурье. Найдём сумму S (x) ряда на концах |
||||||||||||||||||||||
отрезка, в точках x = −4 и x = 4 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
S (−4) = S (4) = |
f1 (−4 + 0) + f1 |
(4 |
− 0) |
= |
−8 |
+ 8 |
= 0. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
На концах отрезка, |
в точках x = −4 |
и x = 4 , |
сумма S (x) ряда |
||||||||||||||||||||
не совпадает с функцией |
f1 (−4) = −8 и |
f1 (4) = 8. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
y = S(x) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
–12 |
–10 |
–8 |
–6 |
–4 |
–2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
10 |
12 |
|||||||||
2 |
4 |
6 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 12
В примерах 45 и 46 получили разное разложение в ряд Фурье одной и той же непериодической функции f (x) = 2x − 4, заданной на отрезке [2;6], по-разному доопределив её.
90