книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье

Показатель степени α > 0 – действительное число.

Рассмотрим функцию f (x) = x1α . Эта функция непрерывна и

монотонно убывает на промежутке x [1;∞) и f (n) = n1α . Вычис-

лим несобственный интеграл:

∞ 1

b

1

x1−α

b

b1−α

1

dx = lim

dx = lim

= lim

−

=

α

α

x

b→∞

x

b→∞

1− α

b→∞

1− α

1

1

1

1− α

1 , если α > 1,

=α − 1

∞, если 0 < α < 1.

Следовательно, при α > 1 обобщенный гармонический ряд сходится, при 0 < α < 1 ряд расходится по интегральному признаку Коши.

Пример 16. Исследовать ряд на сходимость:

1

1

1

1

∞

1

+

+

+ … +

+ … =

.

3

3

3

3

3

2(ln2)

3(ln3)

4(ln4)

n(ln (n))

n=2

n(ln (n))

Общий

член

ряда

an

=

1

= f (n).

Функция

n(ln (n))3

1

f ( x) =

непрерывна и монотонно убывает на промежутке

x(ln ( x))3

x [2;∞). Вычислим несобственный интеграл:

∞

1

b

1

dx

1

b

dx = lim

= lim

−

=

3

3

2

b→∞

x

b→∞

2(lnx)

2 x(lnx)

2

(lnx)

2

1

1

1

= lim

−

+

=

.

2(lnb)2

2(ln2)2

b

→∞

2(ln2)2

21

Несобственный интеграл сходится, следовательно, сходится числовой ряд по интегральному признаку Коши.

К некоторым рядам можно применить несколько признаков сходимости. Например,

bn

bn

						∞			1
		1)			к ряду						можно применить признак сравнения
									2n − 1
						n=1
=		1				или интегральный признак Коши;
			n						1
						∞
		2) к ряду									можно применить признак сравнения
								2	− 2n + 2
						n=1 n
=		1				или интегральный признак Коши;
		n	2

∞1

3)к ряду (2n − 1)(n + 3) можно применить признак сравне-n=1

ния b = 1 или интегральный признак Коши;

n n2

∞	2n+1
4) к ряду	3	можно применить признак Даламбера или
	3n+2
n=1	2

радикальный признак Коши.

1.4.Знакопеременные ряды

1.4.1.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Определение 4. Знакочередующимсярядомназываетсярядвида

∞
a1 − a2 + a3 − a4 + … + (−1)n+1 an + … = (−1)n+1 an ,	(13)

n=1

где an > 0 для всех n N. Положительные и отрицательные члены

ряда чередуются.

Для знакочередующегося ряда укажем достаточный признак сходимости.

22

Теорема 8 (признак Лейбница)

Если в знакочередующемся ряде (13)

1) последовательность абсолютных величин членов ряда мо-

нотонно убывает, т.е. a1 > a2 > a3 > … > an > …;
2) общий член ряда стремится к нулю: lim an = 0,	то ряд схо-
n→∞
дится, его сумма положительна и не превосходит первого члена,
0 < S < a1.	(14)
Замечание 1. Знакочередующийся ряд с первым отрицатель-
ным членом
−a1 + a2 − a3 + a4 − … + (−1)n an + …	(15)

путём умножения всех членов ряда на (−1) приводится к ряду (13).

Ряды (13) и (15), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбницевскими рядами.

Замечание 2. Соотношение 0 < S < a1 позволяет получить оценку погрешности вычисления суммы ряда S при замене её час-

тичной суммой Sn. Представим сумму ряда S = Sn	+ Rn , где Rn – ос-
таток ряда
Rn = (−1)n+1 (an+1 − an+ 2 + an+ 3 − an+ 4 + …).		(16)
Остаток ряда (16) есть знакочередующийся ряд, сумма которого
по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е.	Rn < an+1.	Ошибка

вычисленияδменьшемодуляпервогоизотброшенныхчленов:

δ < an+1.

(17)

Пример 17. Исследовать знакочередующийся ряд на сходимость:

(−1)		n+1		1 +	1 − 1	+ … + (−1)	n+1
			= 1 −				+ … .
∞
						n
n=1	n			2	3 4

23

Проверим выполнение условий теоремы Лейбница: 1) 1 > 12 > 13 > 14 > … > 1n > … – условие выполнено;

2) lim 1 = 0 – условие выполнено.

n→∞ n

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

Пример 18. Исследовать знакочередующийся ряд на сходимость, в случае сходимости найти его сумму с точностью 10−2.

	1 1 1							(−1)n+1		∞	(−1)n+1
1 −			+		−		+ … +			+ … =		3 .
	2	3		3		3		n	3		n
				3		4				n=1

Проверим выполнение условий теоремы Лейбница: 1) 1 > 213 > 313 > 413 > … > n13 > … – условие выполнено;

2) lim 13 = 0 – условие выполнено.

n→∞ n

Следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

Найдём сумму ряда. Погрешность вычисления меньше модуля первого из отброшенных членов: δ < an+1 < 0, 01.

Определим, сколько надо взять членов ряда, чтобы найти сумму ряда с точностью 10−2 :

n = 4, a =	1	=		1			>		1			; n = 5, a =				1			=		1			<		1	.
	43														53										100
4			64				100						5						125
Слагаемое a5	< 0,01, найдём частичную сумму S4:
S4 = 1−			1		+			1		−		1	= 1− 1 +	1			−			1		=
			3					3				3		27					64
			2				3				4		8
= 27 64			− 8 27 + 64 − 27 = 1549														≈ 0,896.
				27 64									1728

24

1.4.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и отрицательных членов, называется знакопеременным. Чередование знаков может быть произвольным. Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременных рядов.

Для знакопеременных рядов приведём только один важный признак сходимости.

Теорема 9 (достаточный признак сходимости)

Пусть дан знакопеременный ряд

a1 + a2 + a3 + … + an + … .

(18)

Если сходится ряд

a1

+

a2

+

a3

+…+

an

+… ,

(19)

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд.

Замечание. Обратное утверждение неверно: из сходимости ряда (18) не следует сходимость ряда (19). Например, знакочере-

∞	(−1)	n+1	∞		,	составленный из
дующийся ряд			сходится, а ряд 1
n=1	n		n=1	n

модулей, (гармонический ряд) расходится.

Определение 4. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, еслиряд, составленный измодулейегочленов, сходится.

Определение 5. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают свойством конечных сумм: переместительным, сочетательным и распределительным законами.

Условно сходящиеся ряды этими свойствами не обладают. Пример 19. Исследовать ряд на сходимость. В случае если ряд

сходится, установить характер сходимости:

25

1 −

3 +

5

−

7

+ … + (−1)n 2n + 1

+ … .

2

3

2

2

2

n

2

Составим ряд из абсолютных величин:

1 +

3

+

5

+

7

+ … +

2n + 1

+ ….

2

2

2

3

2

n

2

Применим признак Даламбера:

a

= 2n + 1

,

a

=

2n + 3.

n

2n

n+1

2n+1

lim

a

= lim

2n + 3

:

2n +1

= lim

2n + 3

2n

=

n+1

2n+1

2n

2n+1

2n +1

n→∞

a

n→∞

n→∞

n

= lim

2n + 3

=

1 < 1.

(2n +1)

n→∞ 2

2

Ряд из абсолютных величин сходится, следовательно, знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример 20. Исследовать ряд на сходимость. В случае если ряд сходится, установить характер сходимости:

									sin1 + sin2														+ sin3									+ … +							sin (n)					+ … .
									12				22										32																				n2
		Ряд			знакопеременный,																										содержит положительные члены
ряда			sin1			,		sin2				,	sin3							,			sin7								,			sin8													и	отрицательные
					2				2	2			2										7							2		2 ,								…
				1									3																			8
sin4		,	sin5		,	sin6				,		sin10						,					sin11								,
	2		5				2						2										2										… .
	4						6						10										11
		Составим ряд из абсолютных величин:
								sin1				+				sin2							+						sin3					+ …+									sin (n)				+ … .
								12						22																32													n2
		Применим признак сравнения:
																	a			=						sin (n)											≤	1					= b .
26																	n													n2								n2					n

Вспомогательный ряд ∞ 1 сходится как обобщенный гар-

n=1 n2

монический ряд с показателем степени α = 2 > 1, следовательно, ряд

из модулей сходится. Значит, знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример 21. Исследовать ряд на сходимость. В случае если ряд сходится, установить характер сходимости:

1 − 312 + 313 − 314 + … + (−1)n 31n + … .

Ряд из абсолютных величин 1 + 312 + 313 + 314 + … + 31n + …

расходится как обобщенный гармонический ряд с показателем степени α = 13 < 1.

Исследуем знакочередующийся ряд по признаку Лейбница:

1)	1 >			1		>	1	>		1	> … >		1	> … – условие выполнено;
		3		2			3 3		3	4		3	n
2)	lim			1		= 0 – условие выполнено.
	n→∞ 3 n

Знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Так как ряд из абсолютных величин расходится, следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 22. Исследовать ряд на сходимость. В случае если ряд сходится, установить характер сходимости:

π

2π

3π

4π

nπ

+ … .

cos

6

+ cos

6

+ cos

6

+ cos

6

+ … + cos

6

Данный знакопеременный ряд расходится, так как не выпол-

няется необходимый признак сходимости:	lim a		= lim cos	nπ			не
		n			6
	n→∞		n→∞

существует.

27

ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

2.1. Основные понятия

Определение 6. Ряд вида

∞
u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + …+ un (x) + … = un (x),	(20)

n=1

где un (x) – функция от x, называется функциональным рядом. Придаваяопределённоезначение x = x0 , получимчисловойряд

∞
u1 (x0 ) + u2 (x0 ) + u3 ( x0 ) + …+ un ( x0 ) + … = un (x0 ),	(21)

n=1

который может, как сходиться, так и расходиться.

Точка x0 называется точкой сходимости функционального

ряда (20), если числовой ряд (21) сходится.

Точка x0 называется точкой расходимости функционально-

го ряда (20), если числовой ряд (21) расходится.

Совокупность значений аргумента x, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Совокупность значений аргумента x, при которых функциональный ряд расходится, называется его областью расходимости.

В области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х.

Составим n-ю частичную сумму функционального ряда в области сходимости:

Sn (x) = u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) +…+ un (x).
Если ряд сходится при некотором значении х, то
lim Sn ( x) = S ( x),	(22)

n→ ∞

где функция S (x) – сумма функционального ряда (20).

28

Остатком ряда Rn (x) называется выражение вида
Rn (x) = S (x) − Sn (x).	(23)

В области сходимости ряда для всех x выполняется равенство

lim Rn ( x) = 0.

(24)

n→ ∞

2.2. Равномерная сходимость ряда. Свойства равномерно сходящихся рядов

Определение 7. Функциональный ряд

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) + …+ un (x) + …

называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд

a1 + a2 + a3 + … + an + …

с положительными членами, что для всех значений х из данной области выполняются соотношения

u1 (x)

< a1 ,

u2 (x)

< a2 ,

u3 ( x)

< a3 , ...,

un ( x)

< an ... .

(25)

Пример 23. Ряд

sinx

+ sin2x

+ sin3x

+ … +

sin (nx)

+ …

1

22

32

n2

мажорируемы на всей числовой оси Ох, так как для всех значений х выполняется неравенство

	sin (nx)		<	1	(n =1,2,3,…).
	n2			n2
Обобщённый гармонический ряд						1	+	1	+	1	+ …+	1	+ …
						1		2		2		2
								2		3		n

с показателем степени α = 2 > 1 сходится.

29

Теорема 10. Признак равномерной сходимости (признак Вейерштрасса)

Пусть функциональный ряд

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) +…+ un (x) +…

мажорируем на отрезке [a;b]: un ( x) < an . Знакоположительный чи-

словой ряд

a1 + a2 + a3 + … + an + …

сходится. Пусть S (x) – сумма функционального ряда, Sn (x) – сум-

ма n первых членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа ε > 0 найдётся положительное число N такое, что при всех

n ≥ N выполняется неравенство S ( x) − Sn ( x) < ε при любом

x [a;b].

Определение 7. Функциональный ряд

u1 (x) + u2 (x) + u3 (x) +…+ un (x) +…

называется равномерно сходящимся рядом на отрезке [a;b], если

для любого как угодно малого числа ε > 0 найдётся такой номер N, что при всех n ≥ N будет выполняться неравенство

S ( x) − Sn ( x) < ε для любого x [a;b].

Свойства равномерно сходящихся рядов

1.Если члены равномерно сходящегося на отрезке [a;b]

функционального ряда непрерывны, то его сумма также непрерывна на отрезке [a;b].

2.Если члены равномерно сходящегося на отрезке [a;b] функционального ряда непрерывны, то ряд интегралов

xu1 (x)dx + xu2 (x)dx + … + xun (x)dx + …,

α α α

30