книги / Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье
.pdf= π12 (−1 + (−1)n + (−1)n − 1) = π22 ((−1)n − 1). n n
an = π2n2 ((−1)n − 1) = π−n22 (1 − (−1)n ).
|
|
|
|
|
bn = 1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x) sin (nx)dx = |
||||
|
|
|
|
|
π |
− π |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
(− x − 1) sin |
(nx)dx + |
1 |
π |
|
|
= |
|
|
(x + 1) sin (nx)dx = |
||||||
|
π |
− π |
|
|
|
π |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
(x + 1) sin (nx)dx + 1 |
π |
|||
= − |
|
(x + 1) sin (nx)dx. |
|||||||
|
|
|
π − π |
|
|
π |
0 |
Вычислим неопределённый интеграл по частям:
(x + 1) sin (nx)dx = |
|
u = x + 1, |
dv = sin (nx)dx |
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
du = dx, |
v = − |
cos(nx) |
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ( x + 1) − |
cos(nx) |
|
− −1 cos(nx)dx = |
||||||||||||
|
|
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||
= (x + 1) − |
cos(nx) |
+ |
1 |
cos(nx)dx = |
|||||||||||
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= (x + 1) − |
cos(nx) |
+ |
1 |
|
1 sin (nx) + C = |
||||||||||
|
n |
||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
= −n1( x + 1)cos(nx) + n12 sin (nx) + C.
Вычислили неопределённый интеграл:
(x + 1) sin (nx)dx = −n1(x + 1)cos (nx) + n12 sin (nx) + C.
71
Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
(x + 1) sin (nx)dx + 1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
bn = − |
|
( x + 1) sin (nx)dx = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π − π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
( x + 1)cos(nx) + |
|
|
|
|
sin (nx) |
−π |
+ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
n |
n |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
(x + 1)cos(nx) + |
|
|
|
|
sin (nx) |
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
n |
n |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−1 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
cos(0) + |
|
|
|
sin (0) − |
|
|
|
(−π + 1)cos(−nπ) |
+ |
|
|
|
|
|
sin (−nπ) |
+ |
|||||||||||||||||
π |
n |
|
n |
2 |
|
n |
|
n |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
+ |
1 −1 |
(π + |
1)cos(nπ) + |
1 |
|
sin (nπ) − |
−1 |
|
+ |
|
1 |
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 0 |
|
|
|
|
|
sin 0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
π |
n |
n |
2 |
|
n |
|
n |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
−1 −1 |
cos(0) |
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
n |
(−π + 1)cos(nπ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
−1 |
(π + 1)cos(nπ) + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
cos0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n1π (cos(0) − (−π + 1)cos(nπ) − (π + 1)cos(nπ) + cos (0)) =
=n1π (2cos (0) − ((−π + 1) + (π + 1))cos (nπ)) =
=n1π (2 − 2cos(nπ)) = n2π (1 − (−1)n ).
bn = π2n (1 − (−1)n ).
Нашли коэффициенты Фурье:
a0 = 2, an = π−n22 (1− (−1)n ), bn = π2n (1− (−1)n ).
72
Разложение функции f (x) в ряд Фурье имеет вид
∞ |
|
−2 |
|
n |
|
2 |
|
|
n |
|
|
f ( x) = 1 + |
|
|
(1 − (−1) |
|
) cos(nx) + |
|
(1 |
− (−1) |
|
) sin (nx) . |
|
πn |
2 |
|
πn |
|
|||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём разложение функции в ряд в развёрнутом виде. Выпишем коэффициенты ряда
a0 = 2, an = π−n22 (1− (−1)n ), bn = π2n (1− (−1)n ).
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a1 = |
|
π |
(1 |
+ 1) = |
|
|
π |
; |
a2 = 4π (1 |
− 1) = 0; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a3 = |
9π |
(1 + |
1) = |
9π ; |
a4 = |
|
|
|
|
|
|
(1 − 1) = 0; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
16π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2n−1 = |
|
|
|
|
−4 |
|
|
; a2n = 0. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (2n − 1)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b1 = |
2 |
(1 + 1) = |
4 |
; b2 = |
2 |
(1 − 1) = 0; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
π |
π |
2π |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b3 = |
2 |
|
|
(1 |
+ 1) = |
4 |
; |
b4 = |
2 |
|
(1 |
− 1) = 0; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
3π |
|
|
4π |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2n−1 |
= |
|
|
4 |
|
|
; |
|
b2n = 0. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π (2n − 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Все чётные коэффициенты (2n) |
|
|
в разложении равны нулю. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Нечётные |
коэффициенты |
(2n −1) |
отличны от нуля. Разложение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции |
f (x) можно записать так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
∞ |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
f ( x) = 1 + |
|
|
|
|
cos((2n − 1) x) + |
|
|
|
|
sin (( |
2n − 1) x) = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n − 1) |
|
|
||||||
|
|
|
|
π n=1 (2n − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||
= 1+ |
|
|
−cosx + sinx − |
|
cos3x + |
|
sin3x − |
|
cos5x + |
|
sin5x − … . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
2 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
73 |
Найдем сумму S (x) ряда Фурье. Функция f (x) имеет x = 0
точку разрыва 1-го рода. Сумма ряда S ( x) |
в точке x = 0 |
||||||||
S (0) = |
f (−0) + f (+0) |
= −1 + 1 = 0. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
На концах отрезка, в точках x = − π и x = π , сумма S (x) ряда |
|||||||||
|
|
S (−π) |
= S (π) = |
|
f (−π + 0) + f (π − 0) |
= |
|||
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
(− (−π) − 1) + (π + 1) |
= π − 1+ π + 1 = 2π |
= π. |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
На интервалах |
непрерывности сумма S (x) |
ряда совпадает |
|||||||
с функцией f (x) . Сумму S (x) |
ряда Фурье можно записать так: |
− x − 1, − π < x < 0,x + 1, 0 < x < π,
S ( x) = 0, x = 0,
π, x = −π, x = π.
График суммы ряда Фурье изображен на рис. 2.
y
|
|
|
|
|
|
y = S(x) |
|
|
|
1 |
|
|
|
–3π |
–2π |
–π |
0 |
|
|
x |
–1 |
π |
2π |
3π |
Рис. 2
74
3.4. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
Определение 9. Пусть функция y = f (x) определена на мно-
жестве D и для любого |
x D выполнено условие −x D (т.е. об- |
ласть D симметрична относительно начала координат). Функция |
|
y = f (x) называется |
чётной, если выполняется условие |
f (−x) = f (x); нечётной, если f (−x) = − f (x) .
График чётной функции симметричен относительно оси OY, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Если функция f (x) – чётная на отрезке [−a;a] , то
|
а |
а |
|
f ( x)dx = 2 f ( x)dx. |
|
|
− а |
0 |
Если функция |
f (x) |
– нечётная на отрезке [−a;a] , то |
|
|
a |
|
|
f ( x)dx = 0. |
|
|
− a |
Рассмотрим разложение чётных и нечётных функций в ряд |
||
Фурье. |
f (x) |
|
Если функция |
чётная на отрезке [–π;π] , то произведе- |
|
ние f (x) cos(nx) |
– чётная функция, f (x) sin(nx) – нечётная |
функция. Вычисляем коэффициенты ряда Фурье:
an = π1
π
− π
|
|
1 |
π |
2 |
π |
|
a0 |
= |
f (x)dx = |
f (x)dx. |
|||
π |
π |
|||||
|
|
− π |
0 |
f( x) cos(nx)dx = 2 π f ( x) cos(nx)dx.
π0
|
1 |
π |
bn = |
f (x) sin (nx)dx = 0. |
|
|
π |
− π |
75
Получили неполный ряд Фурье, содержащий косинусы:
|
|
|
|
a0 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
f ( x) = |
|
+ an cos(nx). |
(42) |
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
||
Если функция |
f (x) |
нечётная на отрезке [–π;π] , то произве- |
|||||||
дение f (x) cos(nx) |
– нечётная функция, f (x) sin(nx) |
– чётная |
|||||||
функция. Вычислим коэффициенты ряда Фурье: |
|
||||||||
|
|
|
= 1 |
π |
|
|
|||
|
|
a0 |
f (x)dx = 0. |
|
|||||
|
|
|
π − π |
|
|
||||
|
an = 1 |
π |
|
|
|
|
|
||
|
f ( x) cos(nx)dx = 0. |
|
|||||||
|
|
π |
− π |
|
|
|
|
|
|
bn = 1 |
π |
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
f (x) sin (nx)dx = |
f ( x) sin (nx)dx. |
|
|||||||
π |
|
||||||||
π |
− π |
|
|
|
|
|
0 |
|
Получили неполный ряд Фурье, содержащий синусы:
∞ |
|
f (x) = bn sin (nx). |
(43) |
n=1
Пример 42. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x2 периода 2π , заданную на отрезке [–π;π] . График функции изображен
на рис. 3.
С помощью полученного разложения найти сумму числового
ряда:
S = 12 = 1+ 12 + 12 + 12 + … + 12 + … |
|||||||||||||||||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n=1 |
n |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
n |
|
||||||||
Функция f (x) = x2 |
– чётная, |
|
следовательно, b = 0 . Найдём |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
коэффициенты a0 и an : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a = |
2 |
π x2 dx = |
2 |
|
x3 |
|
π = 2π3 |
= 2π2 . |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
π |
0 |
|
|
π |
3 |
|
|
0 3π |
3 |
|
||||||||
76 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y
y = f(x)
–3π |
–2π |
0 |
π |
2π |
3π |
x |
–π |
|
|||||
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x2 |
|
|
dv = cos(nx)dx |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
an = |
0 x2 cos(nx)dx = |
|
du = 2xdx |
v = |
sin (nx) |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
π |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
sin (nx) |
|
π |
|
2 |
π sin (nx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
π |
|
|
n |
|
π |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
4 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x, |
dv = sin (nx)dx, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
= − |
0 x sin (nx)dx = |
du = dx, |
|
|
|
|
−cos(nx) |
. |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||
πn |
v = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
4 |
x |
|
−cos(nx) |
|
π − |
π |
|
|
−cos(nx) |
dx = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π − |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
x cos(nx) |
|
|
|
cos(nx)dx = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
πn |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= |
4 |
|
|
π cos(nπ) − |
|
|
|
|
4 |
|
sin (nx) |
|
π |
= (−1)n |
4 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
πn2 |
|
|
πn3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
n2 |
|
77
Коэффициенты разложения
a |
= |
2π2 |
, |
a = (−1)n |
4 |
. |
0 |
|
3 |
|
n |
n2 |
Получили неполный ряд Фурье, или косинус-разложение:
f ( x) = |
π2 |
+ 4 |
|
−cosx + |
cos2x |
− |
cos3x |
+ |
cos4x |
− |
cos5x |
|
|
= |
|||||
3 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
4 |
2 |
2 |
+ … |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
π2 |
|
∞ |
(−1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
3 |
+ 4 |
n |
2 |
cos(nx). |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сумма |
S (x) ряда совпадает |
с |
функцией |
|
f (x) : |
S (x) = f (x) = x2 на отрезке [–π;π] .
С помощью полученного разложения найдём сумму числового
ряда:
|
|
S = 12 = 1+ 12 + 12 + 12 + … + 12 + … . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
Подставим в разложение x = π , получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
f (π) = |
π2 |
+ 4 |
|
|
|
|
cos2π |
− |
cos3π |
+ |
cos4π |
− |
cos5π |
|
= |
||||||||||||||
3 |
−cosπ + |
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
+ … |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
||||||||
= |
π2 |
+ 4 1+ |
1 |
+ |
|
1 |
+ |
1 |
+ … + |
|
1 |
+ … |
= π2 |
+ 4S. |
|
||||||||||||||
3 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
f (π) = π2 + 4S. 3
По условию f (π) = π2 , тогда
π2 = π2 + 4S, 3
4S = π2 − π2 = 2π2 , 3 3
78
S = π2 . 6
С помощью разложения функции в ряд Фурье нашли сумму числового ряда:
∞ |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
= 1+ |
+ |
+ |
+ … + |
+ … = |
π . |
||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||
n=1 |
n |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
n |
|
6 |
Пример 43. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x периода 2π , заданную на отрезке [–π;π] . График функции изображен на рис. 4.
y
|
|
|
|
|
|
π |
|
y = f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
0 |
2π |
3π |
|||||
–3π |
–2π |
–π |
π |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
–π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
|
Функция |
f (x) = x |
– нечётная, |
следовательно, a0 = an = 0 . |
Найдём коэффициент bn :
bn = 2 π x sin (nx)dx = π 0
= |
2 |
x |
−cos(nx) |
|
n |
||
|
π |
||
|
|
|
|
= −πn2 x cos(nx)
|
|
u = x, |
|
dv = sin (nx)dx, |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
du = dx, |
v = |
−cos(nx) |
. |
|
= |
|||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
−cos(nx) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
π − |
π |
|
dx |
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
π + |
π |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
cos(nx)dx = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
πn |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
79
= |
−2 |
π cos(nπ) + |
2 |
sin (nx) |
|
π = |
−2 (−1)n = (−1)n+1 |
2 . |
|||||
|
|||||||||||||
πn |
πn2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
n |
|
|
n |
|||
f (x) = 2 sinx − sin2x |
+ sin3x − sin4x |
+ sin5x |
− … |
= |
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
= 2 (−1) |
n+1 |
|
sin (nx). |
|
|
|
|||||
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
Получили неполный ряд Фурье по синусам, или синусразложение. В точках непрерывности функции на интервале (−π;π)
сумма S (x) ряда Фурье совпадает с функцией S (x) = f (x) = x .
На концах отрезка, |
в точках x = − π и x = π , сумма S (x) ряда |
|||||||||||
Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S (−π) = S (π) = |
f (−π + 0) + f (π − 0) |
= |
−π + π |
= 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сумма ряда Фурье |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x, |
− π < x < π, |
|
|
|
||||
|
|
S ( x) = |
x = −π, x = π. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|||||
Сумма ряда Фурье изображена на рис. 5. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = S(x) |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
–3π |
–2π |
–π |
0 |
π |
2π |
|
3π |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
–π |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5
80