Учебные пособия / Эдельштейн лекции по ТММ учебник

По вычисленным значениям углового ускорения строим его график (рис. 85,б).

2) Из соотношения

находим значение времени для интервала, пока угловая скорость изменяется от величины ωj до ωk:

По вычисленным значениям ∆t строим график времени (рис. 85, в), имея в виду выражение (62), tk= tj+ ∆tjk,

Исключая параметр ω1из выражений ɛ1 (ω1)и t(ω1), можно построить график ɛ1 (t), а интегрируя график ω1(t), можно найти зависимость φ1(t).

2°. Случай (б) соответствует, например, агрегату, состоящему из электродвигателя, строгального станка и коробки скоростей (в станок входит механизм Витворта с переменным передаточным отношением).

Приведенный момент движущих сил зависит от угловой скорости (рис. 86, а), приведенный момент сил сопротивления — от координаты (угла поворота) (рис. 86,6) и приведенный момент инерции тоже есть функция угла поворота (рис. 86, в). При заданном положении j(φ1 = φj) звена его скорость ω1= ωj, а приведенный момент инерции Iп = In j .

Решение (дается методом Вяч. А. Зиновьева и М. А. Скуридина). Запишем уравнение энергий (58 в) для перемещения ведущего звена из положения jв положение k:

Предполагая, что в пределах шага интегрирования ∆φ= φK - φjдвижущий момент, Мд изменяется линейно, поэтому значения первого интеграла в левой части написанного равенства можно представить так:

это его значение внесем в уравнение энергий и решим его относительно Мдк

Нетрудно убедиться, что обе постоянные С и С1| легко подсчитываются.

Дальнейшее сводится к совместному решению двух уравнений: заданного МД =МД(ω1) и полученного (68).

На рис. 86, а приведено графическое решение, которое дает значение МДК и соответствующую ему угловую скорость ωк, (принято, что С1 имеет знак минус), повторяя подобное же решение для следующего положения l, найдем ω1 и т. д. После чего построить график функции ω1= ω1 (φ1) не представляет труда. Дальнейшее исследование можно вести в порядке, указанном при решении задачи об истинном законе движения, когда Мд = Мд(φ1), Мс = Мс(φ1) и Iп = Iп(φ1).

ЛЕКЦИЯ ДЕСЯТАЯ

§ 11. Установившееся (стационарное) движение ведущего звена машинного агрегата (или отдельного его механизма)

1°. Установившееся движение ведущего звена наступает при равенстве работ движущих усилий и усилий всех сопротивлений за один динамический цикл этого движения. Динамический цикл может совпадать и не совпадать с кинематическим циклом механизма. Например, у поперечно-строгального станка он совпадает (динамический и кинематический циклы соответствуют рабочему и холостому ходу резца. Этот процесс осуществляется за один оборот кривошипа кулисного механизма); у четырехтактного одноцилиндрового двигателя внутреннего сгорания динамический цикл вдвое продолжительнее кинематического (динамический цикл совершается за два оборота коленчатого вала кривошипно-шатунного механизма).

Для установившегося движения машин и их механизмов будут следующие характерные параметры: средняя угловая скорость ωс ведущего звена или среднее число оборотов его в минуту п (эти величины подсчитываются для одного динамического цикла движения машины); мощность машины; коэффициент полезного действия (КПД) машины или отдельных механизмов ее; коэффициент неравномерности хода ведущего звена машины или механизма.

2°. Мощность двигателя (эффективная)

(69)

где МД — момент на выходном валу двигателя; φЦ —угол поворота этого вала за один динамический цикл; tЦ —время одного динамического цикла.

Преобразуем формулу (69

здесь MДср – средний за цикл момент на валу двигателя; если - средняя угловая скорость этого вала, то мощность

(69 а)

Для рабочей машины потребляемая ею мощность будет подсчитываться по тем же формулам (69) и (69 а), но только в них надо подставить вместо МД момент МС на входном валу ее и ωср будет его средней угловой скоростью.

3°. Ё машинах будем различать два вида сил сопротивлений: полезные (производственные) и вредные (паразитные).

Полезные силы сопротивления — это те силы сопротивления, которые преодолевает машина в ходе технологического процесса.

Вредные силы сопротивления возникают вследствие трения в кинематических парах механизмов машины, сопротивления среды, в которой движутся звенья механизмов ее и т. п., поэтому работа сил сопротивления Ас = Ап с + Ав с (Апс— работа сил полезного сопротивления; Авс

— работа сил вредного сопротивления). Формула энергетического баланса, установившегося движения (49) примет вид

(70)

Очевидно, что, чем меньше будет работа Авс по сравнению с Апс, тем совершеннее будет машина или механизмы в нее входящие. Эффективность использования подводимой к машине (или механизму) работы движущих сил оценивается ее КПД:

(71) где Ад — работа движущих сил;

ψ = ABC — коэффициент потерь.

A Д

Напомним, что все работы подсчитываются для одного или нескольких динамических циклов движения машины.

Вместо работ в формулу (71) можно подставить соответствующие мощности и тогда

(71 а)

Если все усилия приведены к одному ведущему вращающемуся звену, то выражение для КПД будет следующим:

(71 б)

где МПС, МД, МВС — приведенные моменты сил полезного сопротивления движущих сил и сил вредного сопротивления.

КПД механизма (машины) зависит от величины полезной нагрузки, что вытекает из следующего: работу сил вредного сопротивления Авс можно представить суммой двух работ: АSВС — работой сил вредного сопротивления, зависящей от полезной нагрузки, Аχχ. — работой, затрачиваемой на холостой ход:

(72)

теперь

(73) Полагая, что работы Ап с и А'ВС линейно

зависят от полезной нагрузки (по гипотезе проф. Г. Г. Баранова), график КПД примет вид, показанный на рис. 87, КПД достигнет своего наибольшего значения при расчетной нагрузке, так как за этим пределом резко изменится режим смазки и можно ожидать падения КПД.

КПД системы, состоящей из ряда последовательно соединенных механизмов (рис. 88), подсчитывается по формуле

(74)

Приведем значения и формулы для подсчета КПД некоторых механизмов.

1.Трехзвенная зубчатая передача, для нее КПД изменяется в зависимости от способа изготовления и смазки от 0,8 до 0,99.

2.Червячная передача:

при ведущем червяке

(75)

(75 а)

при ведущем колесе

где а – угол подъема винтовой линии φ – угол трения.

Из формулы (75, а) вытекает, что при а ≤ φ η ≤ 0. Это условие является признаком самоторможения (η ≤ 0)

3.Одноступенчатые планетарные редукторы:

колесо — ведущее звено (i1H — положительная правильная дробь)

(76) (i1H — принимает все остальные значения)

(76 а) поводок — ведущее звено (i1H – положительная правильная дробь)

(76 б) (i1H принимает все остальные значения),

(76 в)

где η13 — КПД редуктора, составленного из тех же колес, но с неподвижным водилом Н. 4°. Коэффициент неравномерности хода ведущего звена машины (механизма ).

В механизмах, как правило, законы изменения приведенного движущего момента и приведенного момента сопротивления, в пределах одного динамического цикла, различны (рис. 89, а). Поэтому запас кинетической энергии механизма меняет свое значение нз протяжении этого цикла (рис. 89, в). Приведенный момент инерции (при переменном передаточном отношении) тоже изменяющаяся величина (рис. 89,6).

Угловая скорость ведущего звена определяется по формуле (60):

из которой прямо следует, что при переменных Т и Iп ω тоже будет переменной (рис. 89, г). Заметим, что экстремумы со не совпадают с экстремумами Т и Iп. Пусть угловая скорость ведущего звена приобретет свое наибольшее значение в положении 0 (рис. 89, г) и наименьшее — в положении 3.

Обозначим эти ее значения ωmах и ωmin . Тогда средняя скорость за один цикл

(77)

а колебание угловой скорости в пределах цикла определится коэффициентом неравномерности

хода:

(78)

Решая совместно равенства (77) и (78), находим значение наибольшей угловой скорости (79)

и наименьшей угловой скорости

(79 а)

В том, что звено (ведущее) в пределах цикла движется неравномерно, мы убедились из рассмотрения графика (рис. 89, г) и формул (79) и (79 а). Коэффициент δ показывает, на сколько ωmах и ωmin отклоняются от ωср. Но коэффициент δ не дает нам представления о том угловом ускорении, которое будет у ведущего звена при неравномерном его движении. И, следовательно, мы не можем судить о тех добавочных тангенциальных ускорениях, которые будут у всех точек рассматриваемого механизма.

Академик И. И. Артоболевский предложил характеризовать неравномерность вращения ведущего звена другим коэффициентом, который он назвал «динамическим коэффициентом неравномерности»:

(80)

где εmax — наибольшее значение углового ускорения в цикле установившегося движения; ωср — средняя угловая скорость этого движения.

Физический смысл коэффициента χ.

Возьмем на ведущем звене АВ (рис. 90) точку В. Ее полное ускорение будет векторно складываться из касательного (тангенциального) и нормального (центростремительного). Вектор полного ускорения точки В' составит с направлением радиуса АВ наибольший угол µ, тангенс которого

(81)

Откуда, зная коэффициент χ всегда можно найти наибольшее угловое ускорение ведущего звена и тем самым наибольшие добавочные ускорения всех точек механизма.

5°. Связь между коэффициентами δ и χ (метод автора). Мы показали значение для динамики машин динамического коэффициента χ ( по нему можно находить добавочные

тангенциальные ускорения точек исследуемого механизма, а следовательно, и добавочные инерционные нагрузки. Сила инерции точечной массы: Риj = - mjaj.

Неравномерность вращения ведущего звена машины обычно характеризуется коэффициентом неравномерности δ. Этот коэффициент назначается в зависимости от того технологического процесса, на который рассчитана машина. Например, для динамомашин он должен быть меньше 0,005, в противном случае свет от нее будет мигать.

Покажем, как приближенно связать между собою коэффициенты δ и χ. На рис. 91, а изображена часть графика угловой скорости ведущего звена, взятая в пределах цикла установившегося движения.

При φ1 = φj угловая скорость достигает наименьшего значения, а при φ1= φk, ее значение наибольшее.

Угловое ускорение (среднее) на этом интервале (∆φ = φk — φj) (82)

Подставляя значения ∆ω и ∆t в формулу (82), получаем

(83)

так как , то окончательно среднее ускорение

(84)

Примем, что на интервале ∆φ угловое ускорение изменяется по закону треугольника (рис. 9 1 , б ), тогда его максимальное значение

(85) принимая во внимание формулы (80) и (85), окончательно получаем

(86)

Практическое применение формулы (86) затрудняется тем, что необходимо знать те положения ведущего звена, где его угловая скорость достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Как эти положения звена найти будет показано в следующей лекции.

6°. Примеры.

Пример 1. Динамический анализ установившегося движения ведущего звена машины.

Цикл установившегося движения ведущего звена АВ равен одному обороту его (рис. 92, а). Угловая скорость в начале цикла ωо = 10 сек-1 движущий момент Мд постоянен на всем цикле, момент сопротивления изменяется в соответствии с графиком (рис. 92,6), его максимальное значение равно 40 кГм. Приведенный момент инерции постоянен и Iп = 0,8 кГмсек2.

Требуется построить графики угловой скорости и углового ускорения ведущего звена, а также подсчитать коэффициент неравномерности б.

Решение. 1) На основании равенства работ Ад и Ас находим движущий момент:

На одних и тех же осях координат строим графики моментов Мд и Мс (рис. 92, в). Масштабы их

вычислим из условия наиболее полного использования поля чертежа.		значением
ymax задаем	, значение χ задаем (рис. 92, б) (принимаем π~3,00)

2) Строим график запаса кинетической энергии ведущего звена (рис. 92, г). Делим абсциссу графика моментов на т равных частей (в нашем случае на 4) и размечаем избыточные площадки

F01, — F12, — F23, F34, эти площадки в нашем примере оказались одинаковыми и равными

3

2 0 * 2 0 : 2 = 200 мм2. Избыточные работы А01 = F0µMµφ=200*1* 40 = 15 кГм, остальные имеют те же численные значения и будут отличаться только знаками.

Кинетическая энергия в начале цикла Т0 =		I П ω02	= 0,8* (10)	2	: 2 = 40 кГм; T1	= T0+А01 = 40+15 =
		2
55; T2 = T1-А12 = 55-15 = 40; T3 = T2-А23 = 40-15 = 25; T4 = T3+А34 = 25+15 = 40;
В выбранном масштабе µT строим график кинетической энергии (рис. 92,г).						,
3)	Вычисляем значения угловой скорости по формуле (60):

Отсюда

По найденным значениям угловой скорости строим график ее (рис. 92, г) (для экономии места оси ординат графиков T(φ) и ω(φ) совмещены).

4) Вычисляем значения углового ускорения по формуле (65), так как в нашем случае Iп постоянно, то

Значения углового ускорения

Ввыбранном масштабе строим график углового ускорения (рис. 92, д).

5)Определяем коэффициент неравномерности хода δ по формуле (78), предварительно найдя среднюю угловую скорость по формуле (77):

Пример 2. Для планетарного редуктора типа Джемса (рис. 93; подсчитать его КПД для двух случаев: а) при ведущем колесе 1 и б) при ведущем водиле H. Числа зубцов указаны на чертеже, а КПД каждой пары зубчатых колес равно 0,95.

Решение. 1) Передаточное отношение редуктора находим по формуле (47 б):

2) Определяем КПД редуктора, составленного из тех же колес, но при остановленном водиле Н и свободном колесе 3 (КПД в обращенном движении редуктора) по формуле (74):

η13 = η12 • η23= 0,95 • 0,95 = 0,90.

3) Подсчитываем КПД редуктора при ведущем колесе 1. Передаточное отношение редуктора —

целое число, поэтому воспользуемся формулой (76 а) (формула (76) применяется тогда, когда передаточное отношение редуктора правильная положительная дробь):