Простейшим уравнением вида (4.1) является уравнение, в котором правая часть зависит только от x, т. е. уравнение вида

y(n) = f (x) .

(4.3)

Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Уравнения вида (4.3), где f (x) − известная непрерывная функция, интегрируется в квадратурах.

Интегрируя по x левую и правую части уравнения, получаем y(n−1) = ∫ f (x)dx +C1 , т. е.

приходим к уравнению такого же вида, что и исходное; далее находим y(n−2) = ∫(∫ f (x)dx)dx + C1 x + C2 .

Через n шагов получим общее решение уравнения (4.3):

	y(x) = ∫(∫( ∫ f (x)dx )dx)dx + C1	xn−1		+ C2		xn−2		+ + Cn
		(n −1)!				(n − 2)!
Пример 4.1. Найти общее решение уравнения y′′′ = ex				и выделить из него частное реше-
ние, удовлетворяющее следующим начальным условиям: y(0)						′		′′
					= 0, y (0)			= 0, y (0) =1.

▲ Последовательно интегрируя дважды, находим

y′′ = ∫exdx = ex +C1, y′ = ∫(ex +C1 )dx = ex +C1x +C2 .

Интегрируя еще раз, получаем общее решение данного уравнения:

y = ∫(ex +C1x +C2 )dx = ex +C1 x22 +C2 x +C3 ,

где C1, C2 , C3 − произвольные постоянные величины.

Подставляя в выражения для y, y′, y′′ начальные условия, имеем:

0 =1+C3 , 0 =1+C2 , 1 =1+C1 ,

откуда находим С1 = 0, C2 = −1, C3 = −1.

Итак, y = ex − x −1 − искомое частное решение. ▼

5. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

5.1. Свойства решений однородного линейного уравнения

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, ли-

нейное относительно неизвестной функции и всех ее производных. Оно имеет вид

a	(x)y(n) + a (x)y(n−1) + + a						(x)y = g(x) ,
0			1			n
где a0 (x), a1(x), , an (x), g(x) − заданные на некотором интервале (α; β)										функции. Если
g(x) ≡ 0 на этом интервале,	то уравнение называется линейным однородным, в противном
случае уравнение называется неоднородным.
Пусть имеем однородное линейное дифференциальное уравнение
a	0	(x)y(n)	+ a (x)y(n−1) +		+ a			n	(x)y = 0 .
			1
Если a0 (x) ≠ 0 на некотором интервале, то, разделив все члены данного уравнения на
коэффициент a0 (x) , получим
y(n) + p			(x)y(n−1) + + p	n	(x)y = 0 .					(1.1)
или		1
y(n) = −p (x)y(n−1) − − p					n	(x)y .				(1.2)
			1

27

Если коэффициенты pk (x), 1 ≤ k ≤ n , уравнения (1.1) непрерывны на отрезке [a; b], то правая часть уравнения (1.2) непрерывна по x, a ≤ x ≤ b, и по y, y′, , y(n−1) для любых значений y, y′, , y(n−1) и, кроме того, имеет частные производные y(k ) , равные − pn−k (x) , ограниченные на [a; b] . Поэтому в силу теоремы Коши получаем:

Если коэффициенты pk (x),1 ≤ k ≤ n , уравнения (1.1) непрерывны на [a; b] , то каковы бы ни

были начальные условия y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′, , y(n−1) (x0 ) = y0(n−1) ,

x0 (a; b), −∞ < y0(k ) < +∞, 0 ≤ k ≤ n −1,

существует единственное решение уравнения (1.1), удовлетворяющее этим начальным условиям.

Напомним следующее понятие. Говорят, что на множестве E задан оператор A со значениями во множестве F, если каждому элементу y E по некоторому закону поставлен в

соответствие определенный элемент f = Ay F . Множество E называют областью опреде-

ления оператора A.

Пусть E − линейное пространство. Оператор A, заданный на E , называется линейным, если он аддитивен и однороден, т. е.

1)A(y1 + y2 ) = Ay1 + Ay2 , y1, y2 E ;

2)A(αy) =αAy, y E, α, гдеα − число.

Представим однородное линейное уравнение (5.1) в виде L[y] = 0 , где

L[y] ≡ y(n) + p1(x)y(n−1) + + pn (x)y .

Нетрудно видеть, что L есть линейный дифференциальный оператор, определенный на линейном пространстве функций y(x) , непрерывных на интервале (a; b) , вместе со всеми

производными до n-го порядка включительно. Дифференциальный характер оператора очевиден. Покажем его линейность, т. е. что

1)L[ y1 + y2 ] = L[ y1 ] + L[ y2 ] ;

2)L[Cy] =CL[y], где C − постоянная величина.

▲ Имеем L[y

1

+ y

2

] = (y

1

+ y

2

)(n) + p

(x)(y

1

+ y

2

)(n−1)

+ + p

n

(x)(y

1

+ y

2

) =

1

= (y1(n) + p1 (x)y1(n−1) + + pn (x)y1 )+ (y2(n) + p1 (x)y2(n−1) + + pn (x)y2 )= L[y1 ] + L[y2 ]

и

L[Cy] = (Cy)(n) + p (x)(Cy)(n−1) + + p

(x)Cy =

n

1

= C(y(n) + p1(x)y(n−1) + + pn (x)y)= CL[y]. ▼

Как следствие получаем

m

m

−постоянные.

L

∑Ci

yi (x)

= ∑Ci L[yi ], где Ci

i=1

i=1

Установим некоторые свойства решений однородного линейного уравнения.

Теорема5.1. Еслифункция y0 (x)

являетсярешениемоднородноголинейногодифференциаль-

ного уравнения L[y] = 0 ,

то функция Cy0 (x) , где C − произвольная постоянная, тоже явля-

ется решением этого уравнения.

▲ По условию, L[y0 ] ≡ 0 . Надо доказать, что L[Cy0 ] ≡ 0 .

Пользуясь свойством однородности оператора L[y], имеем L[Cy0 ] = CL[y0 ] ≡ 0. Это означает, что функция Cy0 (x) есть решение уравнения L[y] = 0 . ▼

Теорема 5.2. Если функции y1(x) и y2 (x) являются решениями однородного линейного уравнения L[y] = 0 . То сумма функций y1 (x) + y2 (x) тоже является решением этого уравнения.

28

▲ По условию, L[ y1 ] ≡ 0 и L[ y2 ] ≡ 0 . Надо доказать, что L[ y1 + y2 ] ≡ 0 . Последнее равенство сразу вытекает из свойства аддитивность оператора L[y]:

Следствие.	L[ y1 + y2 ] = L[ y1 ] + L[ y2 ] ≡ 0 . ▼
	Линейная комбинация	с произвольными постоянными коэффициентами
m
∑Ci yi (x)	решений y1(x), y2 (x), ,	ym (x) однородного линейного дифференциального урав-
i=1

нения L[y] = 0 является решением того же уравнения.

Однородное линейное дифференциальное уравнение L[y] = 0 всегда имеет тривиальное решение y ≡ 0. Из теорем 5.1 и 5.2 получаем: совокупность решений однородного линейного дифференциального уравнения L[y] = 0 образует линейное пространство, нулем которого является функция y ≡ 0.

Теорема 5.3. Если однородное линейное уравнение L[y] = 0 с вещественными коэффициентами pk (x), 1 ≤ k ≤ n , имеет комплексное решение y(x) =u(x) + iv(x) , то вещественная частьэтогорешения u(x) иегомнимаячасть v(x) вотдельностиявляютсярешениямитого же однородного уравнения.

▲ Дано, что L[u + iv] ≡ 0 . Надо доказать, что L[u] ≡ 0 и L[v] ≡ 0 .

Пользуясь свойствами линейности оператора L , получаем L[u + iv] = L[u] + iL[v] ≡ 0 . Отсюдаследует,что L[u] ≡ 0 и L[v] ≡ 0 ,таккаккомплекснозначнаяфункциявеществен-

ного аргумента обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда ее вещественная и мнимая части тождественно равны нулю. ▼

5.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы функций

При отыскании общего и частного решений линейных дифференциальных уравнений важную роль играет понятие линейно зависимости и линейной независимости системы функций. Понятие линейной независимости функций вводится аналогично понятию линейной не-

зависимостивекторов.Пустьимеемсистемуфункций y1 (x), y2 (x), , yn (x) ,определенныхна некотором интервале (a; b) .

Определение. Будем говорить, что система функций y1 (x), y2 (x), , yn (x) линейно зависима на интервале a < x < b , если существуют постоянные λ1 , λ2 , , λn такие, что на этом интервале выполняется тождество по x

λ1 y1 (x) + λ2 y2 (x) + + λn yn (x) ≡ 0 ,
причем хотя бы одно из чисел λ (λ2	+ λ2	+ + λ2	≠ 0)	отлично от нуля.
1	2	n
Если это тождество имеет место только при λ1			= λ2	= = λn = 0 , то семейство функций

y1 (x), y2 (x), , yn (x) называется линейно независимым на интервале (a; b) .

Рассмотрим примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функций.

1. Функции y1(x) = x и y2 (x) = 2x линейно зависимы на любом интервале (a; b) , так как имеет место, например, тождество 2y1 − y2 = 2x −2x ≡ 0, где λ1 = 2, λ2 = −1.

2.Функции 1, x, x2 , , xn линейнонезависимыналюбоминтервале (a; b) ,таккактождество

λ0 1+λ1x + +λn xn ≡ 0, x (a; b) , возможно лишь в случае, если λi = 0, 0 ≤ i ≤ n .

▲ Если хоть одно из чисел λi было бы отлично от нуля, то в левой части тождества стоял бы

многочлен степени не выше n, который может иметь не болееn различных корней и, следовательно, обращается в нуль не более чем вn точках рассматриваемого интервала. ▼

29

Замечание. В случае двух функций y1

= y1 (x), y2 = y2 (x)

(y1 ≠ 0, y2 ≠ 0) необходимым

и достаточным условием линейной зависимости является их пропорциональность.

▲ Действительно, если функции y1(x)

и y2 (x) пропорциональны, т. е.

y2 = ky1, k = const , то ky1 − y2

= 0 или λ1 y1 + λ2 y2

= 0 , где λ2 = −1 ≠ 0 ,

то они линейно зависимы.

Обратно, если функции y1(x) и y2 (x) линейно зависимы, т. е.

λ y +

λ

y

2

= 0 и

λ2

+λ2 ≠

0 .

1

1

2

1

2

Пусть λ

2

≠ 0 ,

тогда y

2

= −

λ1

y или y

2

= ky , где

k = −

λ1

= const , т. е. функции y (x) и

λ2

λ2

1

1

1

y2 (x) пропорциональны. ▼

Очевидно, что если функции

y1(x) и y2 (x) линейно независимы, то их отношение

y1 (x)

≠ const , т. е. они не пропорциональны.

y2 (x)

Например,

функции

y (x) = 4x2

, y

2

(x) = x2

линейно зависимы на любом отрезке [a; b],

y1 (x)

1

так как

= 4 = const ; функции y

(x)

= x2 , y

2

(x) = x3 линейно независимы на любом ин-

y2 (x)

1

y1 (x)

= 1

тервале (a; b) , поскольку

≠ const .

y2 (x)

x

5.3.Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

Вдальнейшем речь пойдет об уравнениях 2-го порядка

			y′′ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) ,								(3.1)
так как здесь можно увидеть все основные интересующие нас закономерности.
Разрешая уравнение (3.1) относительно y′′: y′′ = −p(x)y′ − q(x)y +											f (x) , видим, что оно
является частным случаем уравнения y					′′	= f (x; y;			′
							y ) и удовлетворяет условиям теоремы су-
ществование и единственности решения.
					′			′	− q(x)y + f (x) – непрерывная как функ-
Действительно, функция f (x; y; y ) = −p(x)y
ция трех переменных			x, y и y′ (она зависит от y и y′ линейно,а функции p(x), q(x)и f (x)
непрерывны по условию). Частные производные								f y′(x; y; y′) = −q(x) и			f y′′ (x; y; y′) = −p(x)
также	являются	непрерывными		функциями			трех			переменных	x, y и y′ (они от
y и y′	p(x) и q(x)	не зависят, а как функции x непрерывны по условию). Поэтому при лю-
бых начальных условиях			y(x0 ) = y0 ,	y′(x0 ) = y0′ , где x0 (a; b) , уравнение (3.1) имеет един-
ственное решение задачи Коши.
Предположим теперь, что функции y1 (x) и y2 (x)										являются решениями уравнения (3.1).

Вопрос о том, являются ли они линейно зависимыми или линейно независимыми, решают с помощью определителя Вронского:

W (x) =		y1 y2		= y1 y2′ − y2 y1′.	(3.2)
		y1′ y2′
Определитель Вронского (или вронскиан) является функцией, определенной на (a; b) .

Теорема 5.4 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции y1(x)

и y2 (x) , имеющие производные, линейно зависимы на интервале (a; b) , то определитель Вронского, составленный из них, тождественно равен нулю: W (x) ≡ 0 на (a; b) .

30

▲ Так как по условию функции y1 (x) и y2 (x) линейно зависимы на интервале (a; b) , то существуют числа λ1 и λ2 , из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что имеет место

равенство: λ1 y1 (x) + λ2 y2 (x) ≡ 0 .

Дляопределенностибудемсчитать,что λ1 ≠ 0 .Разрешимтождествоотносительно y1 (x)

и продифференцируем его: y1(x) = −

λ2

y2 (x), y1′(x) = −

λ2

y2′

(x) .

λ

λ

1

1

Составляя определитель Вронского, получаем

y1 (x)

y2 (x)

−

λ2

y

2

(x)

y (x)

W (x) =

=

λ

= 0 .

y1′(x) y2′ (x)

−

λ12

y2′ (x)

y2′ (x)

λ

1

Первый столбец определителя

является линейной

комбинацией второго столбца при любом

x (a; b) . Такой определитель, как известно, равен нулю; следовательно,W (x) ≡ 0 x (a; b) . ▼

Рассуждением от противного легко доказывается следующая теорема.

Теорема 5.5. Если определитель Вронского W (x) , составленный из функций y1 (x), y2 (x) , не равен тождественно нулю в некотором интервале (a; b) , то эти функции линейно незави-

симы в этом интервале.

Теорема 5.6 (необходимое условие линейной независимости решений). Если решения y1 (x) и y2 (x) уравнения (3.1) линейно независимы на интервале (a; b) , то определитель

Вронского, составленный из них, отличен от нуля на этом интервале.

▲ Допустим обратное, т. е. предположим, что существует точка x0 (a; b) , в которой определитель Вронского W (x0 ) = 0 . Составим систему уравнений

λ

y

(x

) + λ

y

2

(x

0

) = 0,

(3.3)

1

1

0

2

λ1 y1′(x0 ) + λ2 y2′ (x0 ) = 0,

в которой λ1 и λ2

− неизвестные числа. Определитель этой системы W (x0 ) в силу допуще-

ния равен нулю, поэтому системаимеет ненулевое решение λ~

,

λ~ , т. е. по крайней мере, одно

из чисел λ~i отлично от нуля.

1

2

Рассмотрим функцию y(x) = λ~

y

(x) +

λ~

y

2

(x) . Она является линейной комбинацией ре-

шений y1 (x), y2

1

1

2

(x)

уравнения (3.1), и,

значит, сама есть решение этого уравнения. Кроме

того, поскольку

~

,

~

−

решение системы (3.3), функция

y(x) удовлетворяет нулевым

λ

λ

2

1

) = λ~ y

+ λ~ y

начальным условиям

y(x

0

(x

0

)

2

(x

0

)

= 0 ,

1

1

2

′

~

′

(x0 ) +

~

′

(x0 ) = 0 .

y (x0 ) = λ1 y1

λ2 y2

Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение y(x) ≡ 0 уравне-

ния (3.1) и, по теореме о единственности решения, только это решение. Следовательно,

λ~1 y1(x) +λ~2 y2 (x) ≡ 0 на (a; b) ,

причем хотя бы одно из λ~i отлично от нуля. Таким образом, решения y1 (x), y2 (x) оказыва-

ются вопреки условию теоремы линейно зависимыми. Противоречие возникло в связи с допущением, что W (x) обращается в нуль в точке x0 (a; b) . Значит наше допущение неверно, и

W (x) ≠ 0 всюду в интервале (a; b) . ▼

Из теорем 5.4 и 5.6 как следствие получаем следующую важную теорему.

31

Теорема 5.7. Для того чтобы частные решения y1 (x), y2 (x) однородного линейного дифференциального уравнения (3.1) с непрерывными на отрезке [a; b] коэффициентами были линейно независимыми на интервале (a; b) , необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского W (x) системы решений был отличен от нуля.

▲ Необходимость. Условия прямо следует из теоремы 3.3.

Достаточность.Условиявытекаетизтого,чтоприлинейнойзависимостифункций y1 (x), y2 (x) ,согласнотеореме5.4,имеемW (x) ≡ 0 .ПоэтомуеслиW (x) ≠ 0 ,тофункции y1 (x), y2 (x) немогут быть линейно зависимыми, т. е. они в этом случае линейно независимы. ▼

5.4. Структура общего решения однородного линейного дифференциального уравнения

Теорема 5.8 (о структуре общего решения однородного линейного дифференциального

уравнения). Если функции y1 (x) и y2 (x) − линейно независимые на интервале (a; b)	реше-
ния уравнения
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 ,	(4.1)
то функция
y(x) = C1 y1 (x) +C2 y2 (x) ,	(4.2)
где C1 и C2 − произвольные постоянные, является общим решением уравнения (4.1).

▲ Будемисходить из определенияобщего решения и просто проверим, что функция (4.2)удовлетворяет условиям 1), 2) этого определения.

Функция y(x) , определенная формулой (4.2), является решением дифференциального уравнения (4.1) при любых значениях постоянных C1 , C2 . Это следует из следствия теоремы

5.2 (любая линейная комбинация частных решений однородного линейного уравнения есть снова решение этого уравнения).

Для уравнения (4.1) при x [a; b] выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши; поэтому остается показать, что постоянные C1 , C2 всегда

можно подобрать так, чтобы удовлетворялись произвольные заданные начальные условия

y(x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y0′ , где x0 (a; b) .

Потребовав,чтобырешение(4.2)удовлетворялопоставленнымначальнымусловиям,получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно C1 , C2 :

C		y	(x		) + C		y		(x		) = y		,	(4.3)
	1	1		0		2		2		0		0	,
C1 y1′(x0 ) + C2 y2′ (x0 ) = y0′

Определитель этой системы есть определитель Вронского W (x0 ) .

Так как по условию функции y1 (x) и y2 (x) − линейно независимы на интервале (a; b) ,

то в силу 5.6	W (x0 ) ≠ 0 .
Поэтому система (4.3) имеет единственное решение при любом x0 (a; b) и при при лю-
бых правых частях, т. е. при любых y0 , y0′ , которое обозначим C1 =C10 , C2			=C20 . Подставляя
C10 и C20 в	равенство	(4.2), получаем искомое частное решение	уравнения (4.1):
y(x) = C10 y1 (x) + C20 y2 (x) ,		удовлетворяющее начальным условиям. Это и означает, что реше-

ние (4.2) является общим решением уравнения (4.1). ▼ Из доказанной теоремы следует,что для отыскания общего решенияуравнения однород-

ного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка достаточно найти два линейно

32

независимых частных решения и составить выражение (4.2) с произвольными постоянными

C1 и C2 .

Если известно n линейно независимых частных решений однородного линейного дифференциального уравнения n -го порядка, то всякое другое решение этого уравнения представляется в виде линейной комбинации этих частных решений и, значит, линейно зависимо с ними. Отсюда вытекает, что максимальное число линейно независимых решенийоднородноголинейногодифференциальногоуравненияравноегопорядку.Таким образом,

совокупность решений однородного линейного дифференциального уравнения образует линейное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения.

Введем понятие фундаментальной системы решений.

Определение. Совокупность любых n линейно независимых частных решений однородного линейного дифференциального уравнения n −го порядка называется его

фундаментальной системой решений.

Теорема 5.9. У каждого однородного линейного уравнения

y(n) + p1 (x)y(n−1) + + pn (x)y = 0

с непрерывными коэффициентами pk (x) существует фундаментальная система решений

(и даже бесконечное множество фундаментальных систем решений).

▲ В самом деле, рассмотрим, например, однородное уравнение 2-го порядка

y′′+ p1 (x)y′+ p2 (x) y = 0						(4.4)
с непрерывными на отрезке [a; b] коэффициентами. Пусть x0 (a; b) .
По теореме Коши уравнение (4.4) имеет решения
y = y1(x), y = y2 (x) ,						(4.5)
удовлетворяющее при x = x0 начальным условиям
y1 (x0 ) =1, y1′(x0 ) = 0; y2 (x0 ) = 0, y2′(x0 ) =1.						(4.6)
Определитель Вронского в точке x0			системы решений (4.5) отличен от нуля,
W (x0 ) =		1	0		≠ 0 .
		0	1

Следовательно, система решений (4.5) для уравнения (4.4) фундаментальна. Выбор начальных условий (4.6) обеспечил построение одной фундаментальной системы. За

начальные данные в точке x0 можно взять любую систему чисел:

y1(x0 ) = a11, y1′(x0 ) = a21; y2 (x0 ) = a12 , y2′(x0 ) = a22 ,

лишь бы определитель Вронского W (x0 ) =		a11	a12		был отличен от нуля. Очевидно, та-
		a21	a22

ких систем чисел можно подобрать бесконечно много и построить бесконечно много фундаментальных систем решений для уравнения (4.4). ▼

Пример 4.1. Найти общее решение уравнения y′′− y = 0 .

▲ Имеем однородное линейное уравнение. Легко заметить, что его частными решениями являются y1(x) = ex и y2 (x) = e−x .

33