Якоб Бернулли (нем. Jakob Bernoulli, 27 декабря 1654, Базель, − 16 августа 1705, там же) − швейцарский математик, профессор математики Базельского университета (с 1687 года). Один из основателей теории вероятностей и математического анализа. Старший брат Иоганна Бернулли. Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701).

Биография

Якоб родился в семье преуспевающего фармацевта Николая Бернулли. Вначале, по желанию отца, учился в Базельском университете богословию, но увлёкся математикой, которую изучил самостоятельно. В университете овладел также 5 языками (французский, итальянский, английский, латинский, греческий), в 1671 году получил учёную степень магистра философии.

В1676-1680 годах совершил поездку по Европе. Заехал во Францию для изучения идей Декарта, затем в Италию. Вернувшись в Базель, некоторое время работал частным учителем.

В1682 году отправился в новое путешествие, навестив Нидерланды и Англию, где познакомился с Гюйгенсом, Гуком и Бойлем. В 1684 году, по возвращении в Базель, женился на Юдит Штупанус (Judith Stupanus),

уних родились сын и дочь.

В1683 году начал читать лекции по физике в Базельском университете. С 1687 года избран профессором физики (с 1687 года — математики) в этом университете.

1687: обнаружил первый мемуар Лейбница (1684 года) по анализу и с энтузиазмом начал освоение нового исчисления. Обратился с письмом к Лейбницу с просьбой разъяснить несколько тёмных мест. Ответ он получил только спустя три года (1690, Лейбниц тогда был в командировке в Париже); за это время Якоб Бернулли самостоятельно освоил дифференциальное и интегральное исчисление, а заодно приобщил к нему брата Иоганна. По возвращении Лейбниц вступил в активную и взаимно-полезную переписку с обоими. Сложившийся триумвират — Лейбниц и братья Бернулли — 20 лет возглавлял европейских математиков и чрезвычайно обогатил новый анализ.

Эпитафия и спираль на гробнице Якоба Бернулли В 1692 году у Якоба Бернулли обнаружились первые признаки туберкулёза, от которого он и скончался в

1705 году. В честь Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер Bernoulli на Луне.

Научная деятельность

Первое триумфальное выступление молодого математика относится к 1690 году. Якоб решает задачу Лейбница о форме кривой, по которой тяжелая точка опускается за равные промежутки времени на равные вертикальные отрезки. Лейбниц и Гюйгенс уже установили, что это полукубическая парабола, но лишь Якоб Бернулли опубликовал доказательство средствами нового анализа, выведя и проинтегрировав дифференциальное уравнение. При этом впервые появился в печати термин «интеграл».

Якоб Бернулли внёс огромный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождение вариационного исчисления. Его именем названа лемниската Бернулли.

Он исследовал также циклоиду, цепную линию, и особенно логарифмическую спираль.

16

Последнюю из перечисленных кривых Якоб завещал нарисовать на своей могиле; по невежеству там изобразили спираль Архимеда. Согласно завещанию, вокруг спирали выгравирована надпись на латыни, «EADEM MUTATA RESURGO» («изменённая, я вновь воскресаю»), которая отражает свойство логарифмической спирали восстанавливать свою форму после различных преобразований.

Я. Бернулли принадлежат значительные достижения в теории рядов, дифференциальном исчислении, теории вероятностей и теории чисел, где его именем названы «числа Бернулли».

Он изучил теорию вероятностей по книге Гюйгенса «О расчётах в азартной игре», в которой ещё не было определения и понятия вероятности (её заменяет количество благоприятных случаев). Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и сформулировал первый вариант закона больших чисел. Якоб Бернулли подготовил монографию в этой области, однако издать её не успел. Она была напечатана посмертно, в 1713 году, его братом Николаем, под названием «Искусство предположений» (Ars conjectandi).

Это содержательный трактат по теории вероятностей, статистике и их практическому применении, итог комбинаторики и теории вероятностей XVII века. Имя Якоба носит важное в комбинаторике распределение Бернулли.

Якоб Бернулли издал также работы по различным вопросам арифметики, алгебры, геометрии и физики.

Иоганн Бернулли (нем. Johann Bernoulli, 27 июля 1667, Базель − 1 января 1748, там же) − швейцарский математик, самый знаменитый представитель семейства Бернулли, младший брат Якоба Бернулли, отец Даниила Бернулли.

Один из первых разработчиков математического анализа, после смерти Ньютона — лидер европейских математиков.

Иностранный член Парижской (1699), Берлинской (1701), Петербургской (1725) академий наук и Лондонского Королевского общества (1712).

Биография

Иоганн стал магистром (искусств) в 18 лет, перешёл на изучение медицины, но одновременно увлёкся математикой (хотя медицину не бросил). Вместе с братом Якобом изучает первые статьи Лейбница о методах дифференциального и интегрального исчисления, начинает собственные глубокие исследования.

1691: будучи во Франции, пропагандирует новое исчисление, создав первую парижскую школу анализа. По возвращении в Швейцарию переписывается со своим учеником маркизом де Лопиталем, которому оставил содержательный конспект нового учения из двух частей: исчисление бесконечно малых и интегральное исчисление.

В качестве концептуальной основы действий с бесконечно малыми величинами Иоганн сформулировал в начале лекций три постулата (первая попытка обоснования анализа):

1.Величина, уменьшенная или увеличенная на бесконечно малую величину, не уменьшается и не увеличивается.

2.Всякая кривая линия состоит из бесконечно многих прямых, которые сами бесконечно малы.

3.Фигура, заключенная между двумя ординатами, разностью абсцисс и бесконечно малым куском любой кривой, рассматривается как параллелограмм.

Позже Лопиталь при издании своего учебника отбросил 3-й постулат как излишний, вытекающий из пер-

вых.

В этом же 1691 году появился первый печатный труд Иоганна в Acta Eruditorum: он нашёл уравнение «цепной линии» (из-за отсутствия в то время показательной функции построение выполнялось через логарифмическую функцию). Одновременно подробное исследование кривой дали Лейбниц и Гюйгенс.

1692: получено классическое выражение для радиуса кривизны кривой. 1693: подключился к переписке брата с Лейбницем.

17

1694: защитил докторскую диссертацию по медицине, женился. У него родились 5 сыновей и 4 дочери. В ответ на письмо Лопиталя сообщает ему метод раскрытия неопределённостей, известный сейчас как «правило Лопиталя».

Печатает в Acta Eruditorum статью «Общий способ построения всех дифференциальных уравнений первого порядка». Здесь появились выражения «порядок уравнения» и «разделение переменных» — последним термином Иоганн пользовался ещё в своих парижских лекциях. Выражая сомнение в сводимости любого уравнения к виду с разделяющимися переменными, Иоганн предлагает для уравнений первого порядка общий прием построения всех интегральных кривых при помощи изоклин в определяемом уравнением поле направлений.

1695: По рекомендации Гюйгенса становится профессором математики в Гронингене.

1696: Лопиталь выпускает в Париже под своим именем первый в истории учебник по математическому анализу: «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий» (на французском языке), в основу которого была положена первая часть конспекта Бернулли.

Значение этой книги для распространения нового учения трудно переоценить − не только потому, что она была первой, но и благодаря ясному изложению, прекрасному слогу, обилию примеров. Как и конспект Бернулли, учебник Лопиталя содержал множество приложений; собственно, они занимали львиную долю книги − 95 %.

Практически весь изложенный Лопиталем материал был почерпнут из работ Лейбница и Иоганна Бернулли (авторство которых в общей форме было признано в предисловии). Кое-что, впрочем, Лопиталь добавил и из своих собственных находок в области решения дифференциальных уравнений.

Объяснение этой необычной ситуации − в материальных затруднениях Иоганна после женитьбы. Двумя годами ранее, в письме от 17 марта 1694 г. Лопиталь предложил Иоганну ежегодную пенсию в

300 ливров, Он обещанием затем её повысить, при условии, что Иоганн возьмет на себя разработку интересующих

его вопросов, и будет сообщать ему, и только ему, свои новые открытия, а также никому не пошлет копии своих сочинений, оставленных в свое время у Лопиталя.

Этот тайный контракт пунктуально соблюдался 2 года, до издания книги Лопиталя. Позднее Иоганн Бернулли — сначала в письмах к друзьям, а после смерти Лопиталя (1704) и в печати — стал защищать свои авторские права.

Книга Бернулли-Лопиталя имела оглушительный успех у самой широкой публики, выдержала четыре издания (последнее издание − в 1781 году).

Она обросла комментариями, была даже (1730) переведена на английский, с заменой терминологии на ньютоновскую (дифференциалов на флюксии и т. п.). В Англии первый общий учебник по анализу вышел только в 1706 г. (Диттон).

1696: Иоганн публикует задачу о брахистохроне: найти форму кривой, по которой материальная точка быстрее всего скатится из одной заданной точки в другую. Ещё Галилей размышлял на эту тему, но ошибочно полагал, что брахистохрона — дуга окружности.

Это была первая в истории вариационная задача динамики, и математики с ней блестяще справились. Иоганн сформулировал задачу в письме Лейбницу, который тотчас её решил и посоветовал выставить на конкурс. Тогда Иоганн опубликовал её в Acta Eruditorum. На конкурс пришли три решения, все верные: от Лопиталя, Якова Бернулли и (анонимно опубликовано в Лондоне без доказательства) от Ньютона. Кривая оказалась циклоидой. Своё собственное решение Иоганн тоже опубликовал.

1699: вместе с Якобом он избран иностранным членом Парижской Академии наук.

1702: совместно с Лейбницем открыл приём разложения рациональных дробей (под интегралом) на сумму простейших.

1705: вернулся в Базельский университет, профессором греческого языка. Восемь раз был избран деканом факультета философии, и дважды − ректором университета. Сразу после смерти брата Якоба (1705) Иоганн был приглашён на его кафедру в Базеле и занимал её до самой смерти (1748). Незадолго до кончины он опубликовал свою переписку с Лейбницем, представляющую огромный исторический интерес.

Другие научные заслуги: Иоганн Бернулли поставил классическую задачу о геодезических линиях и нашёл характерное геометрическое свойство этих линий, а позднее вывел их дифференциальное уравнение. В 1743 году опубликована монография «Гидравлика», где при исследовании успешно применяется закон сохранения энергии (живой силы, как тогда говорили). Необходимо также отметить, что он воспитал множество учеников, среди которых — Эйлер и Даниил Бернулли.

К его портрету Вольтер написал четверостишие:

Его ум видел истину, Его сердце познало справедливость.

Он — гордость Швейцарии

Ивсего человечества.

Вчесть Якоба и Иоганна Бернулли назван кратер на Луне.

18

2.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

						a(x)y′ + b(x)y = c(x) ,	(6.1)
	где y = y(x) − искомая функция; a(x), b(x), c(x) − заданные функции. Будем считать,
	что они непрерывны на отрезке [α; β], причем a(x) ≠ 0 .
	Поскольку a(x) ≠ 0 x [α; β], то данное уравнение можно переписать так:
						y′ + p(x)y = f (x) ,	(6.2)
где p(x) =		b(x)	,	f (x) =	c(x)	.
		a(x)			a(x)

Название уравнения объясняется тем, что неизвестная функция y , а также ее производная y′ входят в уравнение линейно, т. е. в первой степени.

Если f (x) ≡ 0 на (α; β) , то уравнение (6.2) называется однородным линейным уравнением. Если f (x) ≠ 0 , то уравнение (6.2) называется неоднородным линейным уравнением.

Функции p(x) ≠ 0 и f (x) ≠ 0 должны быть непрерывными в некоторой области, например на отрезке [α; β], для того, чтобы выполнялись условия теоремы Коши (3.1) существова-

ния и единственности решения.

Теорема 6.1.Если функции p(x) и f (x) непрерывны на отрезке [a; b] (α; β) , то уравнение (6.2) всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию y(x0 ) = y0 , где точка (x0 ; y0 ) принадлежит полосе a < x > b, −∞ < y < ∞.

▲Разрешаяуравнение(6.2)относительно y′ приведемегоквиду y′ = −p(x)y + f (x) , гдеправая часть f1 (x; y) ≡ −p(x)y + f (x) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1: она непрерывна

по совокупности переменных x и y и имеет ограниченную частную производную ∂∂fy = −p(x) в

указанной полосе. Отсюда следует справедливость утверждения. ▼

Решение будем искать в виде произведения двух функций u = u(x),

v = v(x)

′

′

′

y =uv .

′

(6.3)

Т.к. y

, топодстановкавыражений для y и y

вуравнение(6.2)приводитегоквиду

=u v + uv

′

′

+ p(x)uv = f (x) , или

u v + uv

+ p(x)v)= f (x) .

′

′

(6.4)

u v + u(v

Вкачестве v выберем одну из функций, обращающих в нуль сумму в скобках, т. е. функ-

цию, удовлетворяющую уравнению

v′ + p(x)v = 0 .

(6.5)

С учетом (6.5) уравнение (6.4) принимает вид

′

f (x) .

(6.6)

u v =

Уравнение (6.5) является уравнением с разделяющимися переменными x и v , из него определяется функция v = v(x) . Функцию u =u(x) находят из уравнения (6.6), которое приv = v(x) также является уравнением с разделяющимися переменными. Определив

u =u(x) и v = v(x) , по формуле (6.3) найдем y . Действительно, из уравнения (6.5) получаем

19

dv + p(x)v = 0,

dx dv + p(x)vdx = 0,

: v dv + p(x)dx = 0,

∫dv

= −∫p(x)dx ,

dx

v

v

ln | v |= −∫ p(x)dx + ln | C1 | ,

а из уравнения (6.6) –

v(x) = C1e−∫p( x)dx ,

(6.7)

1

du C e−∫p( x)dx =

f (x),

dx C e−∫p( x)dxdu = f (x)dx,

: C e−∫p( x)dx

du =

f (x)e∫p( x)dx ,

dx 1

1

1

C

u(x) =

1

∫

f (x)e∫p( x)dx dx + C2 .

1

(6.8)

C1

По формуле (6.3) находим общее решение линейного уравнения (6.2):

y = e

−∫p( x)dx

f (x)e

∫p( x)dx

(C

= C1C2 ) .

(6.9)

∫

dx + C

Пример 6.1. Найти общее решение уравнения (x2 − x)y′+ y = x2 (2x −1) . Решить задачу Коши при начальном условии y(−2) = 2 .

▲ Это уравнение является линейным (содержит только первые степени y и y′, не содержит

их произведения). Приведем данное уравнение

к

виду (4.2),

разделив

обе его части

на x2 − x ≠ 0 . Получим

y′

1

y =

x2 (2x −1)

.

+

x2 − x

x2 − x

Здесь p(x) =

1

=

1

, f (x) =

x2

(2x −1)

=

x(2x −1)

.

x

2 − x

x(x −1)

x(x −1)

x

−1

Положим y = uv , тогда y

′

′

′

, уравнение примет вид

= u v +uv

′

′

1

uv

x(2x −1)

′

′

1

v

x(2x −

1)

.

+

=

+

=

u v +uv

, u v +u v

x(x −1)

x −1

x(x −1)

x −1

В качестве v выберем одну из функций, удовлетворяющих уравнению (функция v выби-

рается произвольно, поскольку только произведение uv

должно удовлетворять исходному

уравнению)

1

dv

1

dx

v′+

v = 0,

+

v = 0,

dx dv +v

= 0,

: v

x(x −1)

dx

x(x −1)

x(x −1)

dvv + x(xdx−1) = 0, ∫dvv + ∫x(xdx−1) = 0 .

Найдем входящий в это решение интеграл. Имеем:

dx

=

1

=

A

+

B

, 1 = A(x −1) + Bx,

A = −1, B

=1

=

∫x(x −1)

x(x −1)

x x −1

1

1

x −1

= ∫

−

+

dx = −ln

x

+ln

x −1

= ln

.

x

x −1

x

Очевидно, в качестве такой функции можно взять ln

v

+ln

x −1

= 0, v =

x

. Подставив

x

x −1

эту функцию в уравнение u′v = x(x2−x 1−1 , получим

	du	x		=	x(2x −1)	,		dx du = (2x −1)dx, ∫du = ∫(2x −1)dx, u = x2	− x +C .
	dx	x −1			x −1

20