Следовательно, общим решением данного дифференциального уравнения является функция

y = uv = (x2 − x +C)

x

,или y = x2 +

Cx

.

x −1

x −1

Из него выделяем частное решение, соответствующее начальному условию y(−2) = 2 :

2 = 4 −

2C

, C = −3, y = x2 −

3x

. ▼

−2 −1

x −1

Пример 6.2. Найти общий интеграл уравнения (2x − y2 )y′ = 2y .

▲ Данное уравнение является линейным относительно функции x(y) . Действительно,

(2x − y2 ) dy

= 2y,

2x − y2

= 2y dx

,

dx −

1

x = −

y

, p(y) = −

1

, f (y)

= −

y

,

dx

dy

dy

y

2

′

′

y

′

2

т. е. получили уравнение вида (4.2). Положим x

= uv , тогда x

, уравнение примет

= u v +uv

вид

′

′

1

y

′

′

1

y

−

uv = −

−

v

= −

.

u v +uv

, или u v +u v

y

2

y

2

В качестве v выберем одну из функций, удовлетворяющих уравнению

1

dv

1

dy

dv

dy

v′−

v, dy

−

v =

0

dy, dv −v

y

= 0: v,

v

=

y

, ln

v

= ln

y

.

y

y

Очевидно, в качестве такой функции можно взять v = y . Подставив эту функцию в урав-

′

y

′

y

′

1

du

1

dy,

1

1

нение u v = − 2 , или u y = −

2 , получим u

= −

2 ,

dy

= −

2

du = −

2 dy, u

= − 2 y +C .

Следовательно, общим решением данного дифференциального уравнения является

функция

x = uv = (−

1

+C)y, или x = C y −

1

y2 . ▼

2

2

Для нахождения общего решения уравнения (6.2) может быть применен метод вариа-

ции постоянной (Лагранжа).

Метод вариации постоянной (Лагранжа).

В этом методе сначала находят общее решение однородного линейного уравнения

y′ + p(x)y = 0 ,

(6.10)

соответствующего данному неоднородному уравнению (4.2). Уравнение (6.10) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем

dy

+ p(x)y = 0

dx, dy + p(x)ydx = 0

: y, dy = −p(x)dx,

ln

y

= −∫p(x)dx +ln

C1

.

dx

y

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения (6.10)

y = ±C1e−∫p( x)dx ,

или y = Ce−∫p( x)dx ,

(6.11)

где C = ±C1 − произвольная постоянная величина.

Теперь найдем общее решение уравнения (6.2) в виде (6.11), где C будем считать не постоянной, а новой неизвестной функцией от x (в этом смысл метода!), т. е. в виде

		y = C(x)e−∫p( x)dx .							(6.12)
Чтобы найти функцию C(x) и, тем самым, решение в виде (6.12), подставим функцию
(6.12) в уравнение (6.2), получим
′	−∫p( x)dx	− C(x) p(x)e	−∫p( x)dx		+ p(x)C(x)e		−∫p( x)dx	= f	(x)
C (x)e
или
		′	f (x)e	∫p( x)dx		.			(6.13)
		C (x) =

21

Итак, чтобы функция (6.13) являлась решением уравнения (6.2), функция C(x) должна

удовлетворять уравнению (6.13). Интегрируя его, находим C(x) = ∫ f (x)e∫p( x)dx dx + C1 , где C1

− произвольная постоянная величина. Подставляя найденное выражение для C(x) в соотношение (6.12), получаем общее решение линейного уравнения (6.2)

y(x) = e	−∫p( x)dx	+ ∫ f (x)e	∫p( x)dx		(6.14)
	C1			dx .

Прирешенииконкретныхпримеровпрощеповторятькаждыйразвсеприведенныевыше выкладки, чем использовать громоздкую формулу (6.14).

Пример 6.3. Проинтегрировать уравнение y′cos2 x + y = tg x при начальных условиях y(0) = 0 .

▲ Интегрируем соответствующее однородное уравнение y′cos2 x + y = 0 , разделив перемен-

ные:

dydx cos2 x + y = 0 dx; cos2 xdy + ydx = 0 : y cos2 x; dyy + cosdx2 x = 0; ln y + tg x = ln C ; y = Ce−tg x .

Ищем решение неоднородного исходного уравнения в виде y = C(x)e−tg x , где C(x) − неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение

y = C(x)e

−tg x

и y

′

′

−tg x

−tg x

1

= C

(x)e

−C(x)e

,

придем к уравнению

cos2 x

1

2

′

−tg x

−tg x

cos

2

x +C(x)e

−tg x

= tg x ,

cos

xC (x)e

−C(x)e

′

cos2 x

2

xe

−tg x

= tg x , откуда

или C (x) cos

dC(x)

2

−tg x

tg x

1

= ∫

etg x tg x

tg x

(tg x −1) +C .

dx

cos

xe

= tg x

dx, dC(x) = e

tg x

dx, C(x)

cos2 x

dx = e

cos2 x

dx

e

tg x

tg x

u = tg x,

du =

e

tg x

dx

cos

2

tg x

tg x

tg x

x

tg x −

=e

tg x −e

+C

dx

=

= e

∫ cos2 x

etg xdx

∫cos2

x

, v = e

tg x

dv =

cos

2

x

Таким образом, получаем общее решение данного уравнения y = tg x −1+Ce−tg x . Используя начальные условия y(0) = 0 , найдем произвольную постоянную величину C:

0 = tg 0 −1+Ce−tg 0 , откуда C =1.

Следовательно, искомое частное решение y = tg x −1+e−tg x . ▼

Преимущество метода вариации постоянной заключается в том, что он переносится на неоднородные линейные дифференциальные уравнения высшего порядка.

Уравнения Бернулли.

Уравнение (нелинейное) вида y′ + p(x)y = f (x)yα , где α R,α ≠ 0,α ≠1, называется

уравнением Бернулли.

Уравнение это предложено Я. Бернулли в 1695 г., метод решения опубликовал И. Бернулли в 1697 г.

Предположив, что y ≠ 0 , уравнение перепишем так:

y −α y′ + p(x)y −α+1 = f (x) .

(6.15)

22