2. Анализ линейных электрических цепей постоянного тока и синусоидального переменного тока.

Анализ цепей на основе уравнений Кирхгофа

В задачах анализа электрических цепей структура цепи, элементы и их параметры заданы, а токи, напряжения, мощности для участков цепи требуется определить. Это можно сделать, составив систему уравнений Кирхгофа и решив ее относительно величин, которые вычисляются в задаче.

При этом, чтобы система уравнений была полной и не избыточной, количество уравнений в ней должно быть равно количеству ветвей (токов) , причем число уравнений по первому закону должно быть на единицу меньше общего числа узлов (один узел зависимый), а число уравнений по второму закону должно быть равно количеству независимых контуров (главных ветвей) .

В приведенной на рис. 1.10 схеме три ветви, два узла и два независимых контура. Следовательно, в системе уравнений Кирхгофа будут три уравнения, одно уравнение по первому закону и два по второму.

Рис. 1.10. Схема электрической цепи с комплексными ЭДС и сопротивлениями ветвей

В комплексной форме, при выбранных направлениях обхода контуров, показанных на схеме круговыми стрелками, система уравнений Кирхгофа имеет вид:

Где —комплексные сопротивления элементов R, L, C или совокупностей этих элементов. Для такой же цепи постоянного тока токи, ЭДС и сопротивления на схеме и в уравнениях — вещественные величины: I₁, I₂, I₃, E, R.

Количество уравнений в системе можно сократить и привести ее к каноническому для систем уравнений линейной алгебры виду, преобразуя таким образом, чтобы в ней были только уравнения для напряжений или токов.

В первом случае получается система уравнений контурных токов, а во втором — система уравнений узловых напряжений (узловых потенциалов). Количество уравнений в системе уравнений контурных токов равно количеству независимых контуров цепи (главных ветвей), а в системе уравнений узловых напряжений — количеству независимых узлов (общее число узлов минус единица).

Для составления системы уравнений контурных токов (контурных уравнений) вводятся понятия контурного тока, контурного сопротивления и общего сопротивления смежных контуров. Контурным током называется условный ток, протекающий через все элементы контура и совпадающий по величине и направлению с током главной ветви. На рис. 1.10 — это токи и . Контурное сопротивление равно сумме всех сопротивлений контура. На рис. 1.10 — это сопротивления и . Общее сопротивление у контуров на схеме (рис 1.10)

Используя принятые обозначения, уравнения по второму закону Кирхгофа можно записать в виде:

или

На основании полученного результата можно сформулировать правило составления уравнений контурных токов. Контурный ток умножается на контурное сопротивление и к полученному напряжению добавляется напряжение, создаваемое на общем сопротивлении контурным током смежного контура, со знаков плюс, если направления контурных токов в смежном сопротивлении совпадают, и со знаком минус, если они направлены встречно.

В общем случае, для сложной электрической цепи, содержащей n контуров, система уравнений контурных токов имеет вид:

,

Где — контурная ЭДС, равная алгебраической сумме ЭДС контура. В эту сумму ЭДС,

которые совпадают по направлению с контурным током, входят со знаком плюс, а имеющие противоположное направление — со знаком минус.

Системы уравнений узловых напряжений составляются для электрических цепей, состоящих из генераторов тока и элементов с параметрами проводимости. При этом один из узлов, обычно тот, в котором соединяется наибольшее количество ветвей, рассматривается как опорный (зависимый), имеющий условно нулевой потенциал (нулевой провод). Напряжения остальных (независимых) узлов относительно этого узла называются узловыми напряжениями (узловыми потенциалами). Сумма проводимостей ветвей, соединяющихся в узле называется узловой проводимостью, а проводимость между двумя узлами — общей.

Если преобразовать в схеме рис. 1.10 генератор напряжения в генератор тока и сопротивления в проводимости, то получится схема, изображенная на рис. 1.11, для которой можно написать уравнение узловых напряжений.

Рис. 1.11. Схема с генератором тока и одним независимым узлом

Узел “0” на схеме — опорный. Потенциал узла “1” относительно него равен U₁₀. Узловая проводимость точки “1” . Уравнение для узлового напряжения:

На схеме (рис. 1.12) с двумя независимыми узлами: U₁₀ и U₂₀ — узловые напряжения; и — узловые проводимости; — общая проводимость узлов “1” и “2”.

Рис. 1. 12. Схема с двумя независимыми узлами

Система уравнений узловых напряжений для схемы (рис. 1.12)

или

При составлении уравнений токи, втекающие в узел, имеют знак плюс, а вытекающие — минус. В общем случае, для схемы, содержащей m узлов. система уравнений узловых напряжений имеет вид:

Ток называется узловым и равен алгебраической сумме токов источников в узле (втекающие токи прибавляются, а вытекающие вычитаются).

Метод эквивалентных преобразований (свертывания)

Метод основан на преобразовании схем электрических цепей. Существуют два вида типовых соединений элементов последовательное и параллельное, при которых элементы схем и их параметры можно объединять.

Последовательным называется такое соединение элементов цепи, при котором через них протекает одинаковый ток (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Последовательное соединение элементов

В соответствии со вторым законом Кирхгофа падение напряжения на этой группе элементов . Таким образом, на схеме цепи, последовательно соединенные элементы можно заменить одним элементом, сопротивление которого равно сумме их сопротивлений.

Параллельным называется такое соединение элементов цепи, при котором к ним приложено одинаковое напряжение.

Рис. 1.14. Параллельное соединение элементов

По первому законы Кирхгофа . Соединенные параллельно на схеме элемнты можно заменить одним элементом, проводимость которого равна сумме их проводимостей.

В схеме, приведенной на (рис. 1.15, а), сопротивления ветвей Z₂ и Z₃ параллельны.

а) Исходная схема б) Преобразованная схема

Рис 1.15. Эквивалентные преобразования

Объединяя их, получим: и схема преобразуется к виду (рис 1.15, б)

На этой схеме элементы Z₁ и Z₂₃ соединены последовательно и их можно объединить, складывая сопротивления . Согласно закону Ома . Чтобы определить остальные токи, нужно найти падение напряжения на разветвленном участке цепи Z₂₃. Это напряжение равно . Тогда и .

Таким образом, при анализе электрических цепей методом эквивалентных преобразований,

сначала ее элементы поэтапно объединяются, пока не останется один контур и вычисляется ток в этом контуре по закону Ома, а потом, в обратном порядке, на промежуточных схемах вычисляются падения напряжения на разветвленных участках цепи и токи в ветвях.

На схеме электрической цепи может не быть ни последовательных ни параллельных соединений. В таких случаях иногда можно получить схему с последовательными и параллельными соединениями, воспользовавшись вспомогательными преобразованиями звезды сопротивлений (рис. 1.16, а) в треугольник сопротивлений (рис. 1.16, б) и наоборот.

а) б)

Рис. 1.16. Соединения сопротивлений звездой (а) и треугольником (б)